26.11.2019, kl 2b
NWD, NWW i algorytm Euklidesa Zadanie 1. Uzasadnij zdania:
(a) NWD(a, b) NWW(a, b) = a · b;
(b) NWD(a, b, c) = NWD(NWD(a, b), c);
(c) [a, b, c] = [[a, b], c];
(d) Jeżeli c|a · b i NWD(b, c) = 1, to c|a.
(e) Jeżeli a = qb + r, to NWD(a, b) = NWD(b, r).
Zadanie 2. Stosując algorytm Euklidesa wyznacz (a) NWD(252, 198),
(b) NWD(666, 1414),
(c) NWD(12378, 3054), (d) NWD(70, 98, 105),
(e) NWD(81719, 52003, 33649).
Zadanie 3. Znajdź liczby całkowite x, y takie, że
(a) 3 = 51x + 87y, (b) (981, 1234) = 981x + 1234y.
Następne dwa zadania dotyczą pewnej gry. Dwóch graczy zaczyna od wylosowania wspólnej pary liczb naturalnych i wykonują naprzemiennie ruchy według następującej zasady: z pary liczb x, y, gdzie x y można przejść do pary x − ty, y, gdzie t ∈ N i x − ty 0. Zwycięski ruch polega na przejściu do pary, w której jedna z liczb jest zerem.
Zadanie 4. Uzasadnij, że dowolny ciąg ruchów zaczynający się na parze {a, b} w pewnym momencie zakończy się na parze {0, NWD(a, b)}.
Zadanie 5. Jeśli gra zaczyna się parą {a, b}, to gracz zaczynający ma strategię wygrywającą, jeśli a = b lub gdy a > b(1+√
5)/2. W przeciwnym przypadku, drugi z graczy ma strategię wygrywającą. (Przedyskutuj strategie wygrywające, gdy gra zaczyna się od pary 11, 4 oraz 57, 23.)
Zadanie 6. Uzasadnij, że NWD(5a + 3b, 13a + 8b) = NWD(a, b) dla dowolnych a, b ∈ Z.
Zadanie 7. Uzasadnij, że liczby a(a+1)2 i 2a+1 są względnie pierwsze dla każdej liczby całkowitej a.
Zadanie 8. Uzasadnij, że liczby n! + 1 i (n + 1)! + 1 są względnie pierwsze.
Zadanie 9. Niech m będzie liczbą nieparzystą, n ∈ Z. Uzasadnij, że liczby 2m− 1 i 2n+ 1 są względnie pierwsze.
Zadanie 10. Udowodnij, że 2n nie dzieli liczby 3n+ 1 dla dowolnej liczby naturalnej n > 1.
Zadanie 11. Uzasadnij, że [1, 2, 3, . . . , 2n] = [n + 1, n + 2, . . . , 2n].
Zadanie 12. Niech (Fn) będzie ciągiem Fibonacciego (F1 = F2 = 1, Fn+1 = Fn + Fn−1).
Udowodnij, że
(a) (Fn, Fn+1) = 1, (b) (Fn, Fm) = F(n,m).
Zadanie 13. Niech m, n, a ∈ N, a > 1. Udowodnij, że (am− 1, an− 1) = a(m,n)− 1.
Zadanie 14. Uzasadnij, że
[a, b, c]2· (a, b) · (b, c) · (c, a) = (a, b, c)2· [a, b] · [b, c] · [c, a].
Zadanie 15. Liczby naturalne a, b są takei, że liczba a+1b +b+1a jest całkowita. Udowodnij, że (a, b) ¬√
a + b.
Zadanie 16. Udowodnij, że w zbiorze Z × Z ⊂ R2 nie ma punktu odległego od prostej y =
5
3x +45 o mniej niż 301 .
Zadanie 17. Wyznacz wszystkie liczby pierwsze postaci nn+ 1 mniejsze od 1019.
2
