1 ♥ Ka˙zda grupa rze,du 21 jest cykliczna.
NIE
2 ♠ Ka˙zda grupa rze,du 245 = 5 · 72 jest przemienna.
TAK: s7= s5 = 1, G ' P7× P5, P5'Z5, P7 'Z49 lub Z27
3 ♥ Niech f : G → H be,dzie odwzorowaniem grup abelowych podzielnych.
Wtedy G ' ker(f ) × im(f ).
NIE. (np Q→Q/Z)
4 ♠ Istnieje grupa zawieraja,ca dok ladnie 8 element´ow rze,du 5.
NIE. G zawiera tylko dwie r´o˙zne podgrupy izomorficzne zZ5: < a > i < b >. Element aba−1 jest rze,du 5.
Je´sli aba−1∈< a > to b ∈< a >. Je´sli aba−1 ∈< b >, to mamy przekszta lcenie
Z5=< a >→ Aut(< b >) =Z4, kt´ore musi by´c trywialne. Wie,c aba−1 = b, < a, b >'Z25.
5 ♥ Ka˙zda grupa rze,du p3, gdzie p jest liczba,pierwsza,, jest przemienna.
NIE
6 ♠ Je´sli ka˙zda podgrupa G jest normalna, to G jest przemienna.
NIE. Kwaterniony
7 ♥ W A10 ka˙zde dwa elementy rze,du 15 sa,sprze,˙zone.
TAK
8 ♠ Je˙zeli n + m + 1 < k i (n, m) = 1, to istnieje monomorfizm grupy Znm w grupe, permutacji parzystych Ak.
TAK. Je´sli m i n sa, nieparzyste, to posy lamy generator na z lo˙zenie roz la,cznych cykli d lugo´sci m i n. Je´sli jedna dna z tych liczb jest parzysta, korygujemy znak dok ladaja,c transpozycje element´ow nie nale˙za,cych do cykli.
9 ♥ Ka˙zda grupa rze,du 40 zawiera podgrupe,rze,du 5.
TAK
1
10 ♠ Ka˙zda nieabelowa grupa rze,du 40 zawiera element rze,du 4.
NIE. D10×Z22
11 ♥ Niech grupa G dzia la na warstwach lewostronnych podgrupy H < G, w naturalny spos´ob.
Niech K oznacza ja,dro tego dzia lania. W´owczas H < K.
NIE
12 ♠ Niech X = G/H. Grupa ekwiwariantnych automorfizm´ow zbioru X jest izomorficzna z G/(T
g∈GgHg−1).
NIE. Automorfizm φ : G/H → G/H jest wyznaczony przez warto´s´c na [1], bo warto´s´c na [g] jest r´owna φ([g]) = gφ([1]). Nie ka˙zde g0 zadaje automorfizm. Warunek konieczny i dostateczny to
∀g ∈ G ∀h ∈ H [ghg0] = [gg0] m
∀h ∈ H [hg0] = [g0] m
∀h ∈ H ∃h0∈ H hg0= g0h0 m
g0 ∈ NG(H)
Mamy odwzorowanie θ : NG(H) → Aut(X). Przypu´s´cmy, ˙ze θ(g0) = id, tzn
∀g ∈ G [gg0] = [g]
m g0∈ H
Czyli AutG(G/H) = NG(H)/H. To zupe lnie inna grupa ni˙z w pytaniu. Np dla G = Σ3, H =< (12) >.
PS: Grupa, kt´ora wysta,pi la w pytaniu to Im(G → Aut(G/H).
13 ♥ Istnieje grupa sko´nczona G, taka ˙ze [G : Z(G)] jest liczba,pierwsza,. NIE
14 ♠ Niech k(G) oznacza liczbe,klas sprze,˙zono´sci element´ow grupy G. Je˙zeli G jest sko´nczona,grupa, nieprzemienna,, to k(G) > |Z(G)| + 1.
TAK. Przypu´s´cmy, ˙ze poza Z(G) mamy tylko jedna,klase,sprze,˙zono´sci. Sta,d grupa ilorazowa H = G/Z(G) ma dok ladnie dwie klasy sprze,˙zono´sci. Nietrywialna orbita dzia lania H przez sprze,ganie to H \ {1}. Zatem
|H| − 1 dzieli |H|. Sta,d |H| = 2. Zatem G jest generowana przez Z(G) i jeden element. Sta,d G jest grupa, abelowa,.
2
15 ♥ Niech G be,dzie dowolna,grupa,. Je´sli [G, G] < H, to H G.
TAK
16 ♠ Istnieje nietrywialne dzia lanie (poprzez automorfizmy) grupy A5 na grupie Z5×Z5
NIE. Niech φ : A5 → Aut(Z25) = GL2(Z5) be,dzie dzia laniem. H = im(φ) = 1 lub H ' A5 bo A5 jest prosta. Przypu´s´cmy, ˙ze H 6= 1. Mamy det : GL2(Z5) → Z5∗ = Z4. Poniewa˙z H ' A5 jest prosta, wie,c H ⊂ ker(det) = SL2(Z5). |SL2(Z5) = (25 − 1)(25 − 5)/4 = 120, |H| = 60. Wie,c H C SL2(Z5), SL2(Z5)/H ' Z2 jest abelowa, wie,c [SL2(Z5), SL2(Z5)] < H. Ale [SL2(Z5), SL2(Z5)] = SL2(Z5).
(Mo˙zna te˙z skorzysta´c z tego, ˙ze P SL2(Z5) jest prosta.)
17 ♥ Grupa nilpotentna jest rozwia,zalna.
TAK
18 ♠ Grupa < x, y|x3, y3, xyxy2 > jest niesko´nczona.
NIE. xyxy2 = 1 i skoro y2 = y−1 dostajemy, yxy−1 = x−1, czyli grupa < y > dzia la na < x >. Mamy ykxy−k = x(−1)k. W szczeg´olno´sci dla k = 3 (wobec tego, ˙ze y3 = 1) mamy x−1 = x. Ale tak˙ze x3 = 1, wie,c x = 1. Zatem G =< y >'Z3 jest sko´nczona.
19 ♥ Niech G i H be,da, sko´nczonymi grupami przemiennymi. Je˙zeli dla ka˙zdej liczby naturalnej n grupa G ma tyle samo element´ow rze,du n, co grupa H, to G i H sa,izomorficzne.
TAK
20 ♠ Niech grupa SL2(Z17) dzia la na zbiorze X, |X| = 182. Dzia lanie musi mie´c conajmniej 3 orbity.
NIE. Niech p = 17.
Niech B be,dzie podgrupa,Borela (g´ornotr´ojka,tne macierze) oraz T (macierze diagonalne o wyznaczniku 1).
|SL2(Z17)| = (p2− 1)(p2− p)/(p − 1) = (p + 1)p(p − 1), |B| = p(p − 1), |T | = p − 1.
Orbity |G/B| = p + 1, |G/T | = (p + 1)p.
Zbi´or X = G/B t G/T . X = (p + 1) + (p + 1)p = (p + 1)2.
3
