Niech a, b, c będą liczbami rzeczywistymi dodatnimi

.

ZADANIA GRUPA MŁODSZA

1. Niech a, b, c będą liczbami rzeczywistymi dodatnimi. Wykaż, że zachodzi następująca nierówność:

a

b+ c + b

c+ a+ c a+ b ­ 3

2.

2. Niech a, b, c, d będą liczbami rzeczywistymi dodatnimi. Pokaż, że:

1 ab+ 1

cd ­ 8

(a + b)(c + d).

3. Niech a, b, c będą liczbami rzeczywistymi dodatnimi. Wykaż, że:

a b +b

c+ c a ­ 3.

4. Masz 41 monet, z których jedna jest fałszywa (posiada inną wagę niż prawdziwa moneta). Ile, najmniej, ważeń musisz wykonać, aby jednoznacznie określić, czy fałszywa moneta jest lżejsza, czy cieższa (odpowiedź uzasadnij).

5. Mamy n worków z monetami. W n − 1 workach znajdują się prawdziwe monety ważące x gramów, natomiast w jednym worku są fałszywe monety ważące x + f (0) gramów - patrz zadanie 4. grupa starsza konkurs poniedziałkowy. Do dyspozycji mamy wagę elektroniczną, dokładnie pokazującą wagę położonych na nią przedmiotów. Jaka jest najmniejsza ilość ważeń, aby wskazać worek z fałszywymi monetami? Wskaż sposób ważenia.

6. Rozwiązać równanie: x³+ y³+ z³= 2012, gdzie x, y, z ∈ C.

ZADANIA GRUPA STARSZA

1. Załóżmy, że a, b, c ∈ R+ oraz abc = 1. Udowodnij, że:

1 q

a+¹b +¹₂

+ 1

q

b+¹c+¹₂

+ 1

q

c+¹a +¹₂ ­√ 2.

2. Niech a, b, c ∈ R+ oraz√ a+√

b+√

c ­ 1. Pokaż, że:

1

a(1 + b)+ 1

b(1 + c)+ 1

c(1 + a) ­ 3 1 + abc.

3. Załóżmy, że a, b, c ∈ R+ oraz abc = 1. Udowodnij, że:

c b+ b

a+a

c ¬ a³b+ b³c+ c³a.

4. Masz 41 monet, z których jedna jest fałszywa (posiada inną wagę niż prawdziwa moneta). Ile, najmniej, ważeń musisz wykonać, aby jednoznacznie określić, czy fałszywa moneta jest lżejsza, czy cieższa (odpowiedź uzasadnij).

5. Pewien magik zaprezentował następującą sztuczkę. Poprosił kogoś z widzów o wyciągnięcie z talii 52. (nieoznaczonych) kart pięć zupełnie dowolnych. Następnie karty przejmuje jego asystentka i zaczyna wykładać cztery karty w określonej kolejności - nie wykonując przy tym żadnych sugerują- cych znaków. Po namyśle magik odszyfrowuje piątą kartę. Jak przeprowadzić taką sztuczkę? Podaj przykład wykładania następujących kart oraz uzasadnij swój wybór: 5 kier, 6 pik, 6 trefl, as karo, dama kier.

6. Szukamy takich par liczb naturalnych (m, n), że 3 < m < n, które dodatkowo spełniają warunek, iż ilość przekątnych n-kąta wypukłego jest dwukrotnością liczby przekątnych m−kąta wypukłego.

Czy takie pary istnieją? Jeśli tak to czy jest ich skończenie wiele?w

Zadania na środę - grupa młodsza - rozwiązania

1. Niech a, b, c będą liczbami rzeczywistymi dodatnimi. Wykaż, że zachodzi następująca nierówność:

a

b+ c + b

c+ a+ c a+ b ­ 3

2.

Wiadomo, że ^bb^+c+c= ^ac+a^+c= ^bc^+c+b = 1. Zatem wyjściowa nierówność jest równoważna z następującą:

a+ b + c

b+ c +a+ b + c

c+ a +a+ b + c c+ b ­3

2 + 3 = 9 2. Po wyciągnięciu przed nawias czynnika a + b + c dostajemy:

(a + b + c)

 1

b+ c + 1

c+ a+ 1 c+ b



­ 9 2.

Po wymnożeniu stronami przez 2 i rozpisaniu 2(a + b + c) do postaci ((a + b) + (b + c) + (c + a)) dostajemy:

((a + b) + (b + c) + (c + a))

 1

a+ b + 1

b+ c + 1 c+ a



­ 9.

Ta nierówność wynika jednak w sposób jasny z nierówności pomiędzy średnimi: arytmetyczną i harmoniczną. Istotnie, mamy:

(a + b) + (b + c) + (c + a)

3 ­ 3

1

a+b +b+c¹ +c+a¹

.

2. Niech a, b, c, d będą liczbami rzeczywistymi dodatnimi. Pokaż, że:

1 ab+ 1

cd ­ 8

(a + b)(c + d).

Wyjściowa nierówność jest równoważna z następującą:

1 ab+cd¹

2 ­

s 4

(a + b)²· 4

(c + d)² = P.

Na mocy nierówności pomiędzy średnimi: arytmetyczną i geometryczną widzimy, że:

P ¬

4

(a+b)² +_(c+d)^{4 2}

2 = 2

(a + b)² + 2 (c + d)².

Aby zakończyć dowód wystarczy pokazać, że _2ab¹ ­(a+b)^{2 2}.To jest jednak jasne, bo (a + b)²­ 4ab.

3. Niech a, b, c będą liczbami rzeczywistymi dodatnimi. Wykaż, że:

a b +b

c+ c a ­ 3.

Jest to oczywisty wniosek z nierówności pomiędzy średnimi: arytmetyczną i geometryczną. Istotnie:

a

b +^bc +a^c

3 ­ ³

ra b ·b

c · c a = 1.

Zadania na środę - grupa starsza - rozwiązania

1.

2.

3.

4.

5.

6.