Ćwiczenia nr 5
Kognitywistyka: Wstęp do matematyki Matematyczny model prawdopodobieństwa
4.11.2019
Zadanie 1. Wyjaśnij paradoks gry w „dwie szóstki”. Jakie są szanse wypadnięcia co najmniej jednej podwójnej szóstki w 24 rzutach dwiema kośćmi, większe, czy mniejsze od 12? A przy 25 rzutach?
Zadanie 2. Uzasadnij, że rzucając kostkami A, B z prawdopodobieństwem 23 uzyskamy więk- szy wynik na kostce A niż B. Podobnie, B jest „lepsza” od C, C od D i D do A!
Zadanie 3. Niech A, B będą dowolnymi zdarzeniami. Za pomocą A, B, A0, B0 i odpowiednich działań na zbiorach zapisać następujące zdarzenie: spośród zdarzeń A, B
(a) zaszło co najmniej jedno,
(b) zaszło dokładnie jedno, ale nie wiadomo które, (c) nie zaszło żadne.
Zadanie 4. Niech A, B, C będą dowolnymi zdarzeniami. Zapisać za pomocą działań na zbio- rach
(a) zachodzi dokładnie jedno ze zdarzeń A, B, C, (b) zachodzą dokładnie dwa ze zdarzeń A, B, C,
(c) zajdą nie więcej niż dwa zdarzenia spośród A, B, C.
Zadanie 5. Rzucamy trzy razy monetą. Zdarzenie Ai polega na tym, że otrzymamy orła w i-tym rzucie, i = 1, 2, 3. Za pomocą działań na zbiorach zapisać następujące zdarzenia:
(a) w drugim rzucie otrzymaliśmy orła, (b) otrzymano dokładnie jednego orła,
(c) otrzymano co najmniej jednego orła, (d) liczba orłów była większa od liczby reszek.
Zadanie 6. Na podstawie aksjomatów rachunku prawdopodobieństwa wywnioskować, że (a) Jeśli A ⊂ B, to P (A) ¬ P (B).
(b) P (A) ¬ 1 dla dowolnego zdarzenia A.
Zadanie 7. Niech P (A) = 3/4, P (B) = 1/3. Czy zdarzenia A, B mogą się wykluczać?
Zadanie 8. Niech P (A) = x, P (B) = 2x, a ponadto wiadomo, że jedno ze zdarzeń musi zajść, oraz zdarzenia A, B wykluczają się. Wyznaczyć x.
Zadanie 9. Dane są P (A0) = 13, P (A ∩ B) = 14 i P (A ∪ B) = 23. Obliczyć P (B0), P (A ∩ B0).
Zadanie 10. W wyniku doświadczenia możemy otrzymać jeden z trzech wzajemnie wyklucza- jących się wyników: a, b lub c. Niech prawdopodobieństwo otrzymania wyniku a lub b wynosi 23, a wyniku b lub c — 34. Obliczyć prawdopodobieństwo otrzymania każdego z wyników.
Zadanie 11. Dane są P (A ∪ B) = 34 i P (A ∩ B) = 12, a ponadto P (A \ B) = P (B \ A). Obliczyć P (A) i P (B \ A).
Zadanie 12. Uzasadnij, że jeśli P (A) = 0.9, P (B) = 0.7, to P (A ∩ B0) ¬ 0.3.
Zadanie 13. Rzucamy sześcioma kostkami. Jakie są szanse, że otrzymany wynik rzutu spełnia (jednocześnie) następujące 3 warunki :
• na dokładnie dwóch kostkach wypadnie 1 oczko;
• na dokładnie trzech kostkach wypadnie 6 oczek;
• suma uzyskanych oczek jest parzysta.
Zadanie 14. Rzucamy symetryczną monetą do pojawienia się orła. Obliczyć prawdopodobień- stwo, że liczba rzutów będzie parzysta.
Zadania domowe na 18.11.2019
Zadanie 1. Na podstawie aksjomatów rachunku prawdopodobieństwa wywnioskować, że (a) Jeśli P (A) + P (B) > 1, to zdarzenia A i B nie mogą się wykluczać.
(b) Jeśli C ⊃ A ∩ B, to P (C) P (A) + P (B) − 1.
Zadanie 2. Rzucamy niesymetryczną kostką prostopadłościenną. Dwójka pojawia się z praw- dopodobieństwem 13, piątka — 15 a pozostałe liczby mają równe szanse wypadnięcia. Ob- liczyć prawdopodobieństwo, że wypadnie nieparzysta liczba oczek.
Zadanie 3. Załóżmy, że A ∪ B ∪ C = Ω, P (B) = 2P (A), P (C) = 3P (A), P (A ∩ B) = P (B ∩ C) = P (C ∩ A). Wykazać, że 16 ¬ P (A) ¬ 14.
Zadanie 4. Ile rozwiązań całkowitych ma równanie x1+ x2+ x3+ x4 = 12, jeśli x1 2, x2 2, x3 4, x4 −1?
Zadanie 5. Oblicz
2019
X
j=0 2019
X
i=j
i j
!
