Betonliggers onder stootbelasting: Lineaire en niet-lineaire responsie

BETONLIGGERS ONDER STOOTBELASTING

Lineaire en niet-lineaire responsie

Proefschrift

ter verkrijging van de graad van doctor aan de Technische Universiteit Delft, op gezag van de Rector Magnificus, prof.drs. P.A. Schenck in het openbaar te verdedigen ten overstaan van een commissie aangewezen door het Col­ lege van Dekanen, op maandag 22 mei 1989 te 16.00 uur.

door

Antonius Gerardus Titus Johannes Heinsbroek geboren te Bant

civiel ingenieur

Delftse Universitaire Pers

Dit proefschrift is goedgekeurd door de promotor: prof.dr.ir. J . Blaauwendraad

Delftse Universitaire Pers/1989

CIP-GEGEVENS KONINKLIJKE BIBLIOTHEEK, DEN HAAG ISBN 90-6275-553-4

Copyright © 1989 by author

No part of this book may be reproduced in any form by print, photo­ print, microfilm or any other means, without written permission from Delft University Press.

Stellingen

1. Onder kortdurende belasting van constructies is het verschijnsel van de golfvoortplanting zeer belangrijk. Een beschouwing in het tijdsdomein geeft dan meer inzicht dan een beschouwing in het frequentiedomein.

2. De door Mindlin beschreven verhouding tussen de amplituden voor door­ buiging en rotatie in de eigentrillingsvormen van alzijdig vrij opgelegde rechthoekige platen is niet juist.

Mindlin, R.D., Influence of Rotatory Inertia and Shear on Flexural Motions of Isotropic,

Elastic Plates, Journal of Appl. Mech., Maart 1951, pp. 31-38.

3. Continuum-modellen zijn in de regel slechts analytisch oplosbaar voor een beperkte klasse van randvoorwaarden en constitutieve eigenschappen. Ter validatie van hun numerieke tegenhangers zijn zij echter van doorslaggevende betekenis.

4. Niet-lineair dynamisch constructiegedrag kan met behulp van de huidige generatie meer-dimensionale elementen-methodeprogramma's en krachtige computers nauwelijks uitgevoerd worden. Met behulp van een één-dimensio­ nale discretisering is een zodanige tijdwinst te bereiken, dat dergelijke bereke­ ningen zelfs op Personal Computers uitvoerbaar geworden zijn. (dit proef­ schrift)

5. Een stap vooruit in de wetenschap dient niet noodzakelijk voorwaarts te zijn. 6. Bij de discussie of bijstellingen in een zin omgeven dienen te worden door komma's, moet niet de esthetica maar de herkenbaarheid van de structuur maatgevend zijn.

7. Het streven naar perfectie in het geschreven Nederlands is aan de huidige generatie lezers in het algemeen niet meer besteed.

8. In een studieduur van nominaal 4 jaren is de uitwerking van de afstudeerop­ dracht merkbaar meer zakelijk en minder creatief-wetenschappelijk. Door het feitelijk aanbieden van een reeds gedefinieerd probleem, is de opleiding tot onderzoeker minder compleet.

9. Met zijn huidige technisch-gerichte opleiding schrikt een beginnend ingenieur van zijn kostprijs en staat hij versteld van de autoriteit die vrijwel onmid­ dellijk aan zijn adviezen wordt toegerekend.

10. Zijn stelling, dat de voegen in metselwerk bepalend zijn voor de voorkeurs-richting van de doorlopende scheuren, doet vermoeden dat Rots in nieuw­ bouw woont. Bij het slopen van oud metselwerk blijkt namelijk vaak, dat de voeg veel sterker is dan de steen. Helaas.

Rots, J.G. Computational Modeling of Concrete fracture, dissertatie, Delft 1988.

11. Het ziekteverzuim en het fileprobleem kunnen drastisch verminderen, indien werkgevers hun personeel faciliteiten bieden de lichamelijke conditie op peil

Inhoud

Woord vooraf ii Notaties iii 1 Probleemstelling 1 1.1 Inleiding 1 1.2 Doelstelling 2 1.3 Parameters 3 1.4 Methode 5 1.4.1 Continue systemen 5 1.4.2 Discrete systemen 6 1.5 Routebeschrijving onderzoek 7 2 Modellering 9 2.1 Discrete schematisering 9 2.2 Normering van de modelgrootheden 13

2.3 Dimensieloze golfsnelheden 15

3 Computerprogramma voor responsieberekening 16

3.1 Inleiding 16 3.2 Uitgangspunten voor het programma 16

3.3 De werking van elementen-methode programma's 18

3.4 Buigveer 19 3.5 De numerieke oplosmethode 20

4 Elementnjnheid en tijdstapgrootte 21

4.1 Inleiding 21 4.2 Elementnjnheid 21 4.3 Grootte van de rekentijdstap 27

4.4 Gevoeligheidsanalyse 29

4.5 Aanbeveling 33

5 Onderzoeksresultaten (lineair-elastisch) 34

5.1 Inleiding 34 5.2 Gelijkmatig verdeelde belasting 35

5.2.1 Vergelijking analytische en numerieke oplossing 35 5.2.2 DLF-bepaling met het één-massa-veersysteem 38 5.2.3 Maximale DLF-waarden voor de gevallen VEGl tot en met

5.2.4 Maximale DLF-waarden voor de gevallen IEG1 tot en met

I E G 5 42 5.2.5 Maximale DLF-waarden voor de gevallen V B G l tot en met

VBG5 43 5.2.6 Maximale DLF-waarden voor de gevallen I B G l tot en met

IBG5 44 5.2.7 Vergelijkingen en conclusies 45 5.3 Geconcentreerde belasting 47 6 E l a s t o - p l a s t i s c h e m o d e l l e r i n g 5 3 6.1 Inleiding 53 6.2 Ductiliteit 55 6.3 Rotatiecapaciteit 55 6.4 Doel van de elasto-plastische berekeningen 57

7 O n d e r z o e k s r e s u l t a t e n ( e l a s t o - p l a s t i s c h ) 5 8

7.1 Inleiding 58 7.2 Kwantificering van het elasto-plastische model 58

7.3 Resultaten VEG5P 59 7.3.1 Tijdsverlopen 59 7.3.2 Vloeigebieden 65 7.3.3 Ductiliteit 68 7.3.4 Ductiliteit-dwarskracht combinaties 69 7.4 Resultaten VEG4P 71 7.4.1 Vloeigebieden 71 7.4.2 Ductiliteit 73 7.4.3 Ductiliteit-dwarskracht combinaties 74

7.5 Interpretatie met behulp van het één-vrijheidsgraadsysteem . . . . 76

8 O n d e r z o e k s r e s u l t a t e n ( v e r s t e v i g i n g ) 8 4

8.1 Inleiding 84 8.2 Versteviging 84 8.3 Kwantificering van het verstevigingsmodel 85

8.4 Resultaten 86 8.4.1 Doorbuigingen 86 8.4.2 Vloeigebieden 87 8.4.3 Ductiliteiten 87 8.4.4 Ductiliteit-dwarskracht combinaties 92 9 G e s i m u l e e r d e e x p e r i m e n t e n 9 7 9.1 Inleiding 97 9.2 Vallende balk (ETH) 97

9.2.1 Beschrijving van het experiment 97 9.2.2 De opbouw van het discrete model 103

9.2.3 Resultaten 106 9.2.4 Conclusies 113

9.3 Door explosie belaste plaat (TNO-PML) 114 9.3.1 Beschrijving van het experiment 114 9.3.2 De opbouw van het discrete model 117

9.3.3 Resultaten 120 9.3.4 Conclusies 126 10 Conclusies 128 10.1 Lineair-elastische berekeningen 128 10.2 Elasto-plastische berekeningen 128 10.3 Algemeen 130 Referenties 131 Samenvatting 134 S u m m a r y 136 A G e b r u i k t e integratiemethode 138

Woord vooraf

Dit proefschrift is ontstaan in het kader van een onderzoeksproject onder leiding van prof.dr.ir. J. Blaauwendraad aan de faculteit der Civiele Techniek van de Technische Universiteit Delft.

De beschreven modellen zijn geïmplementeerd in het programma TILLY, ontwikkeld in de sectie Toegepaste Mechanica van de vakgroep Mechanica en Constructies van bovengenoemde faculteit. In de beginfase van het project is gebruik gemaakt van de rekenfaciliteiten op het mainframe van het Rekencentrum van de TU. Later is overgegaan naar een Personal Computer omgeving.

Dank is verschuldigd aan het Prins Maurits Laboratorium van TNO waar de analytische berekeningen zijn uitgevoerd, die zijn gebruikt ter vergelijking met het in deze studie gehanteerde discrete model in de lineair-elastische fase.

Voor de financiering door de Stichting Technische Wetenschappen (STW) is de auteur zeer erkentelijk.

Ik wil mijn oud-collega's van de sectie Toegepaste Mechanica bedanken voor de plezierige en inspirerende omgeving gedurende de ruim vier jaar waarin ik naast hen werkzaam geweest ben.

Tenslotte ben ik zeer erkentelijk voor het begrip van mijn nieuwe collega's en de ondersteuning door middel van P.C. en plotprogrammatuur door de sector Industriële Hydrodynamica, productgroep HAPS van het Waterloopkundig Laboratorium te Delft waar ik thans werkzaam ben.

Notaties

A oppervlakte liggerdoorsnede a element lengte B' interpolatiematrix cj> longitudinale golfsnelheid C dempingsmatrix cL longitudinale golfsnelheid CR Rayleigh golfsnelheid cg transversale golfsnelheid D' differentiematrix D' gegeneraliseerde differentiematrix

DLF dynamic load factor

E elasticiteitsmodulus E'c elasticiteitsmodulus beton Es elasticiteitsmodulus staal EI buigstijfheid ligger e veervervorming (verlenging) t] correctiefactor schuifspanningsverdeling e' rekvector sj gegeneraliseerde rekvector F geconcentreerde belasting Fp plastische weerstandskracht ƒ verdeelde belasting /ccm gemiddelde betondruksterkte (NL) /cm prismadruksterkte beton fctm gemiddelde betontreksterkte few gemiddelde betondruksterkte (D) fst treksterkte wapeningsstaal

fv, weerstandskracht van de constructie t.a.v. belasting F amplitude geconcentreerde belasting

ƒ amplitude verdeelde belasting

G glijdingsmodulus: G = £ / 2 ( l + v)

7 afschuiving 72 integratiecoëfficiënt h liggerhoogte

7 spanningstraagheidsmoment t impuls per eenheid van lengte

J massatraagheidsmoment van een element

k veerstijfheid k belastingsvector

K k r o m m i n g

KCr k r o m m i n g waarbij scheurvorming begint

K8y k r o m m i n g waarbij wapeningsstaal vloeit

KU k r o m m i n g bij bezwijken l lengte

A golflengte

M buigend moment

Ma buigend moment waarbij scheurvorming begint

Me effectieve massa

Mp volplastisch buigend moment

Mgy buigend moment waarbij wapeningsstaal vloeit

Mu bezwijkmoment

M massamatrix M' elementmassamatrix m massa per lengte-eenheid H optredende ductiliteit

/iu uiterst mogelijke ductiliteit

v dwarscontractiecoëmciënt (constante van Poisson)

w , ijjn eigenfrequentie

uQ wapeningspercentage onderin balk of p l a a t

Ub wapeningspercentage bovenin balk of p l a a t

Q dwarskracht R dynamische oplegreactie p soortelijke massa 5 stijfheidsmatrix S° elementstijfheidsmatrix S's gegeneraliseerde elementstijfheidsmatrix S\ constitutieve matrix o' spanningsvector o'} gegeneraliseerde spanningsvector T laagste eigenperiode t tijd ta aanvangstijdstip <d positieve faseduur

(m a x tijdstip w a a r o p m a x i m u m w a a r d e bereikt wordt tr stijgtijd belasting

rj relatieve positieve faseduur {t^/T) u verplaatsing, vrijheidsgraad

u' verplaatsingsveld V v o l u m e

v, ve verplaatsingsvector

Wmax m a x i m a l e doorbuiging u)pja blijvende doorbuiging

1. Probleemstelling

1.1 Inleiding

In de praktijk van alledag komt het met regelmaat voor, dat constructies worden beschadigd of zelfs bezwijken bij explosies als gevolg van direct uitgeoefende overdruk of als gevolg van wegslingerende brokstukken. Hierbij wordt niet alleen gedacht aan explosies van gevaarlijke stoffen zoals olie en gas (LNG, LPG enz.) tijdens opslag en transport, maar ook aan explosies die zich bij vele ogenschijnlijk gewone stoffen (bijv. melkpoeder, meel) onder bepaalde omstandigheden kunnen voordoen. Ook worden veel ongelukken veroorzaakt door botsingen als aanrijdingen, aanvaringen, vallende voorwerpen, enzovoorts.

De vaak grote, plotseling aangrijpende belastingen kunnen tot aanzienlijke spanningen in de constructie leiden, waardoor scheurvorming, plastisch vloeien en vervolgens bezwijken kan optreden. Voor ontwerpende en toezichthoudende instanties ligt hier een belangrijke problematiek waarbij nog veel vragen onbeant­ woord zijn. In het bijzonder is de praktijk geïnteresseerd in het incasseringsvermo­ gen en de blijvende vervormingen en beschadigingen, die mede de criteria bepalen aan de hand waarvan het gedrag van constructies moet worden beoordeeld.

Het gedrag van een constructie wordt bepaald door: de aard en de grootte van de belasting, het type constructie (ligger, portaal, plaat, schaal enz.), de afmetingen van de constructie en het toegepaste constructiemateriaal (staal, gewapend beton, voorgespannen beton, hout, kunststof). Het type constructie bepaalt de aard van de draagwerking: via rek (extensie), buiging, afschuiving, wringing enz.

Bij een gegeven materiaalsoort bepalen de afmetingen van de constructie de sterkte zowel als de stijfheid hiervan alsmede ook de massa.

Met betrekking tot de responsie van constructies in het elastisch stadium op voorgeschreven dynamische belastingen is reeds veel bekend, althans voor globale berekeningen. Er bestaat veel ervaring met berekeningen waarin de constructie en de belasting worden geschematiseerd tot een eenvoudig massa-veer-systeem. Voorbeelden hiervan zijn te vinden in de boeken van Biggs [l] en Baker [2]. Volgens de gevestigde mening kan met dit eenvoudige systeem een goede approximatie worden gedaan van de verplaatsingen en van de optredende momenten. Er is echter reden om de aldus berekende dwarskrachten te wantrouwen, zeker by sterk impulsieve belastingen.

Maar er is nog een ander aspect. De belastingen bij explosies zijn meestal zo groot, dat het gedrag tot vèr voorbij het elastische stadium moet worden nagegaan. Materiaaleigenschappen als scheurvorming bij beton en plastisch vloeien bij staal spelen derhalve een belangrijke rol in het gedrag. Bij liggers en platen van gewapend beton bijvoorbeeld zal de betonkwaliteit en het wapeningspercentage van grote invloed zijn en bij de berekening ryst dan de vraag welke rekenmodellen verantwoord zijn. In deze studie blijft de aandacht beperkt tot liggers van

gewapend beton.

Zoals bekend kunnen in een ligger bij belasting onder bepaalde voorwaarden zogenaamde volplastische scharnieren ontstaan die een constant plastisch moment kunnen overbrengen. Moet in de betreffende doorsnede ook een dwarskracht worden overgebracht, dan neemt de grootte van het opneembaar plastisch moment af. De problemen ontstaan nu omdat bij plotseling aangrijpende belastingen in de eerste plaats zeer grote dwarskrachten kunnen ontstaan en in de tweede plaats omdat het verloop van de dwarskrachten en de buigende momenten in de tijd — zeer snel — variëren. Men heeft aldus te maken met steeds andere combinaties op steeds andere plaatsen. Een verdere complicatie is dat ook al kan door een buigend moment een volplastisch scharnier ontstaan, zodat de constructie een taai (ductiel) gedrag vertoont, ten gevolge van dwarskracht toch bros bezwijken kan optreden. Zo kan een aanvankelijk ductiel gedrag van de constructie plotseling worden doorkruist of kan het ductiel gedrag van één van de componenten in het systeem zelfs in het geheel niet tot ontwikkeling komen. Een complicatie en een betrekkelijk onzekere factor is ook het feit dat de eigenschappen van materialen zich bij hoge vervormingssnelheden wijzigen. Een andere complicatie is voorts dat bij botsingen van lokale aard de belasting op de constructie en het gedrag van de constructie als geheel mede wordt bepaald door de vervormingen, eventueel de verbrijzeling, van het materiaal dat direct is getroffen en het materiaal in de naaste omgeving hiervan.

1.2 Doelstelling

De meest algemene doelstelling van het project is, de vorige paragraaf overwe­ gende, als volgt te omschrijven. Gegeven de benodigde fysische en geometrische parameters met betrekking tot zowel de constructie als de belasting, wordt de responsie bepaald binnen zowel het elastische als het plastische domein. Een ontwerper heeft behoefte aan criteria met betrekking tot beschadiging en bezwijken. In deze studie is de mate van beschadiging een doel (in de vorm van plastische rotaties). Uitspraken over de toelaatbaarheid van de beschadigingen vallen buiten de doelstelling van dit onderzoek. Er wordt alleen voorspeld in hoeverre de constructie ten gevolge van de dynamische belasting beschadigd geraakt.

Deze doelstelling is omschreven in termen, afkomstig uit de fysische "werke­ lijkheid'' . Deze werkelijkheid is echter te gecompliceerd om in haar volledigheid te worden beschreven in mechanische en mathematische modelleringen. Dit betreft zowel de schematisering van de constructie, de schematisering van de belasting, de schematisering van de grenstoestanden van de constructie en de bepaling van de responsie volgend uit deze drie schematiseringen.

Een bijkomend probleem is de zeer grote verscheidenheid aan construc-tievormen. In de praktijk komen liggers en platen voor over één of meer velden met willekeurig aandoende verhoudingen en afmetingen. Ingewikkelder constructievormen zijn eveneens denkbaar. Besloten is de constructievorm niet als variatie-parameter in het onderzoek te betrekken. Slechts een eenvoudige

constructie zal worden beschouwd. Voor deze constructie wordt de tweezijdig opgelegde ligger genomen. De wijze van opleggen wordt nog niet op voorhand vastgelegd. Tevens zal enige variatie in de soort en de snelheid van de belasting aangebracht worden.

Bovengenoemde omschrijving en beperkingen als kader beschouwend kunnen we de doelstelling van de in deze dissertatie beschreven studie nader als volgt formuleren.

Bepaal voor een tweezijdig opgelegde ligger de exacte responsie onder invloed van een plotseling aangrijpende belasting, waarbij verschei­ dene parameters gevarieerd worden. Deze parameters zijn: de opleggingscondities, de geometrische verdeling van de belasting en het tijdsverloop van de belasting, welke uiteenvalt in de gedaante van de tijdfunctie en een tijd waarmee de duur van de belasting gekarakteriseerd wordt.

Het uiteindelijke doel van de studie is om ontwerpers gegevens te verschaffen over de wijze waarop zij dynamisch belaste constructies moeten modelleren. De studieresultaten moeten aangeven onder welke omstandigheden de gebruikelijke benaderings-aanpak met eenvoudige massa-veer-modellen bruikbaar is, en in welke gevallen daarmee niet kan worden volstaan en, uiteraard, hoe dan moet worden gewerkt.

1.3 Parameters

De parameters: oplegging, belastingsverdeling en belastingtijdsverloop worden als volgt gevarieerd. Voor de oplegging van de ligger worden "tweezijdig vrij scharnierend'' en "tweezijdig ingeklemd" aangehouden. Hiervoor worden de letters V en I gebruikt. Voor de verdeling over de liggerlengte van de belasting worden de gelijkmatig verdeelde belasting en de puntlast genomen. Dit wordt aangegeven met G en P. Het verloop van de belasting in de tijd is te variëren naar vorm van de tijdfunctie en naar een karakteristieke snelheidsparameter.

Voor de vorm van de tijdfunctie worden twee typen driehoeksbelasting genomen: de explosiebelasting (of schokgolf belasting) en de botsingsbelasting (zie figuur 1.1). Deze onderscheiden we met de letters E en B.

De eerste wordt ook wel driehoeksbelasting genoemd en bestaat uit een sprong van de belasting op tijdstip 0 gevolgd door een lineair verlopende afname in de tijd, waarna op tijdstip t^ de belasting weer nul is en dat na t<j ook blijft. De tijdsduur t$ wordt positieve faseduur genoemd. De botsingsbelasting wordt ook wel symmetrische driehoeksbelasting genoemd en bestaat uit een gedurende het tijdsinterval 0 tot tT lineair toenemende en gedurende het interval tT tot t$ lineair

afnemende belasting. Op tijdstip 0 is de belasting nul, op tijdstip tT maximaal en

vanaf tj weer nul. Het symmetrische van deze belasting komt tot uiting in:

Explosiebelasting (driehoeksbelasting)

0 *r *d

Botsingsbelasting

(symmetrische driehoeksbelasting) Figuur 1.1: Explosie- en botsingsbelasting.

Overigens dient opgemerkt te worden dat bij de puntlast de driehoeksbelasting niet beschouwd wordt, aangezien deze combinatie voor de praktijk minder relevant is. Een puntlast is namelijk een typisch gevolg van een botsing van een brokstuk met de ligger, terwijl de driehoeksbelasting juist geassocieerd wordt met een schokgolf. Voorts wordt voor de puntlast ook de inklemming buiten beschouwing gelaten. De motivatie hiervoor is gelegen in het feit dat het kenmerkende verschil tussen de (geconcentreerde) puntlast en de gelijkmatig verdeelde belasting juist ter plaatse van het midden van de overspanning en niet bij de oplegging is gelegen. Ter plaatse van de rand van de belastingszone ontstaan namelijk de verstoringen in de vorm van dwarskrachten en buigende momenten die zich als golven door de ligger gaan voortplanten.

De variatie van de belastingsnelheid wordt tot uitdrukking gebracht door middel van de verhouding van t& en T, waarbij T de trillingstijd van de grondtoon van de ligger is, hierna de grondperiode genoemd. Deze verhouding wordt de relatieve positieve faseduur genoemd. We zullen daarvoor de naam r,j hanteren. Tabel 1.1: Identificatie van de parameters waaruit combinaties worden samenge­

steld. oplegging V I tijdsverloop belasting E B verdeling belasting G P snelheid belasting 1 t / m 5

De verschillende combinaties worden geïdentificeerd met behulp van 4 para­ meters, zie tabel 1.1. De categorieën 1 tot en met 5 hebben betrekking op een relatieve positieve faseduur rj van respectievelijk 10.0, 1.00, 0.50, 0.10 en 0.01.

In deze dissertatie wordt een bepaalde berekening aangegeven door een combinatie van letters en een cijfer. VEG3 betekent dan: een Vrij opgelegde ligger onder een Explosiebelasting, welke Gelijkmatig verdeeld is, met een relatieve positieve faseduur 0.50. De in deze studie beschouwde combinaties zijn (afgezien van de snelheid): VEG, IEG, VBG, D3G en VBP.

1.4 Methode

Om de exacte responsie van een tweezijdig opgelegde ligger op een kortdurende belasting te kunnen bepalen staan verscheidene methoden ter beschikking. Deze methoden zijn in te delen aan de hand van de aspecten: schematisering van de constructie en de mathematische beschrijving van dit schema. Aan de mogelijke mathematische oplossingen, die in het algemeen beschikbaar zijn, wordt in deze studie geen aandacht geschonken. In hoofdstuk 3 echter, gaan we wèl in op de methode welke in het hier toegepaste computerprogramma is geïmplementeerd. 1.4.1 Continue systemen

Voor wat betreft het aspect schematisering valt een onderverdeling te maken tussen de continue en de discrete systemen. De continue systemen kunnen één-, twee-of driedimensionaal zijn, waarbij fysische - en geometrische eigenschappen res­ pectievelijk worden toegekend aan infinitesimale lijn-, oppervlakte- of volume-elementjes. Voorbeelden van één-dimensionale schematiseringen zijn de Bernoulli-Euler-ligger, de Rayleigh-ligger, de afschuif-buigligger en de Timoshenko-ligger. Bij elk van deze schematiseringen wordt de ligger als een systeemlijn gedacht waarbij ieder punt op die lijn eigenschappen bezit welke de stijfheids- en traag-heidseigenschappen van de liggerdoorsnede ter plaatse van het punt beschrijven.

Continue methoden beschrijven in het algemeen met grote precisie plaatselijke en snel variërende verschijnselen. Ze hebben echter als belangrijk nadeel dat beperkingen zijn opgelegd aan de modellering. Zo kunnen bijvoorbeeld in het geval van dynamisch reagerende platen slechts voor een beperkt scala van randvoor­ waarden de differentiaalvergelijkingen worden opgelost. Ook het verdisconteren van plastische eigenschappen leidt al snel tot onoplosbare vergelijkingen.

Uit de in de literatuur gevonden studies aangaande continue modelleringen kan echter geleerd worden welke grootheden relevant zijn voor een zo exact mogelijke bepaling van de responsie van liggers op explosiebelastingen. Reeds in 1914 gaf Lamb [3] aan dat in de eenvoudige Bernoulli-Eulerligger met slechts buigvervorming en translatietraagheid, een plotseling aangrijpende belasting een oneindig hoge voortplantingssnelheid vertoont. Timoshenko stelde in 1921 [4] voor de Bernoulli-Eulertheorie uit te breiden met zowel de door Rayleigh aangegeven rotatietraagheid als een mogelijkheid voor afschuifvervorming, zoals reeds voor gedrongen liggers onder statische omstandigheden was toegepast. Flügge toonde in 1942 aan dat een plotseling aangebrachte elastische verstoring zich inderdaad met een eindige voortplantingssnelheid door de Timoshenkoligger bewoog. Een uitwerking van een toepassing van deze Timoshenkotheorie kan men vinden in het afstudeerwerk van Leussink [5j. Heinsbroek demonstreerde dat de invloed van rotatietraagheid relatief onbelangrijk is [6].

In een adequaat model blijken derhalve tenminste de volgende grootheden noodzakelijk: buigvervorming, afschuifvervorming, translatietraagheid en, in wat mindere mate, rotatietraagheid. Tevens kunnen uit de continue schematiseringen snelheden voor diverse soorten van golfvoortplanting worden afgeleid. Hierop wordt in hoofdstuk 2 nader ingegaan.

De continue methoden zullen in deze studie voorts gebruikt worden om te con­ troleren in hoeverre de uit de discrete elementenmethode volgende berekeningen van de responsie met die uit de continue modelleringen overeenkomen.

1.4.2 Discrete systemen

Bij de discrete schematiseringen wordt de vorm van de ligger vastgelegd door middel van een eindig aantal vrijheidsgraden. Op deze vrijheidsgraden worden krachten uitgeoefend, te weten inwendige materiaalkrachten, uitwendige belas­ tingskrachten en traagheidskrachten. De materiaalkrachten zijn, bij afwezigheid van initiële spanningen ten gevolge van imperfecties en temperatuurverschillen, een gevolg van de onderlinge verplaatsingen van de vrijheidsgraden. De traag­ heidskrachten ontstaan als gevolg van versnellingen van de desbetreffende vrij­ heidsgraad (lumped mass) of ook door versnellingen van andere vrijheidsgraden (consistent mass). De belastingskrachten zijn autonoom en zijn afgeleid uit punt-, lijn-, oppervlakte- en volumebelastingen. Voorbeelden zijn, in volgorde van toenemende complexiteit, het één-massa-veersysteem, het meervoudig-massa-veersysteem en de elementenmethoden.

Zoals we reeds noemden in paragraaf 1.1 wordt in de praktijk veel gebruik gemaakt van het één-massa-veersysteem. Indien de als gevolg van dynamische belastingen optredende responsie qua gedaante dicht ligt bij de eerste eigentril-lingsvorm kan deze met behulp van het één-massa-veersysteem adequaat berekend worden. De met behulp van een één-massa-veersysteem bepaalde responsie bestaat uit het produkt van een plaatsfunctie met een tijdfunctie. Wanneer echter de responsie is opgebouwd uit significant hogere eigentrillingen zal deze niet meer met het één-massa-veersysteem beschreven kunnen worden. Hogere eigentrillingen kunnen worden veroorzaakt door bepaalde geometrische en/of tijdsafhankelijke eigenschappen van de belasting in relatie met de verzameling eigentrillingen van de ligger.

Ook indien het gedrag van de ligger in het plastische gebied komt is de responsie niet meer gelijkvormig in de tijd. Het is dan moeilijk, zo niet onmogelijk, te bepalen hoe de veer geschematiseerd moet worden. Daartoe is het namelijk nodig de plaats van het vloeischarnier of de vloeischarnieren te kennen. Als daartoe al een aanname gemaakt is moet deze gedurende de tijd van de responsie voortdurend worden bijgesteld. Slechts in die gevallen waarin de plastische responsie wordt gekenmerkt door het optreden van een dominant plastisch scharnier, bijvoorbeeld in het midden van een tweezijdig vrij opgelegde ligger, is het gebruik van het één-massa-veersysteem gerechtvaardigd.

Met behulp van de meervoudig-massa-veersystemen en elementenmethoden kunnen plaatselijke en zich verplaatsende verschijnselen wèl beschreven worden. Indien de vrijheidsgraden goed worden gekozen kan de continue werkelijkheid voldoende nauwkeurig beschreven worden. De eindige elementenmethode, waarop onder andere de programma's DIANA en ICES-STRUDL zijn gebaseerd, heeft het voordeel algemeen geldig te zyn en vergt niet meer dan het constitutieve model van de samenstellende materialen. De eigenschappen van de doorsneden

worden daaruit op elk tijdstip samengesteld. De ervaring met de combinatie van niet-lineair gedrag en tijdstapprocessen in de elementenmethode is echter nog gering. Vanwege het grote aantal elementen en vrijheidsgraden is het vereiste computergeheugen groot en de rekentijden zijn nog uitzonderlijk lang. Voor een studie waarin veel parameters moeten worden gevarieerd is de methode nog niet geschikt.

De aanpak met een meervoudig massa-veer-systeem zullen we hier de "discrete elementenmethode" noemen. In deze aanpak kunnen we met een relatief klein aantal elementen en vrijheidsgraden werken, maar het juist kiezen van de veereigenschappen onderstelt dat we de doorsnede-eigenschappen kennen. Deze zijn nu dus invoer en moeten aan ander onderzoek ontleend (kunnen) worden.

In deze studie is aan deze methode de voorkeur gegeven. De rekentijd is klein, het vereiste geheugen ook, zodat zonodig op een personal computer kan worden gewerkt. Bovendien staat het door Blaauwendraad geïnitieerde programma TILLY ter beschikking dat deze berekeningen daadwerkelijk mogelijk maakt [10] en [25]. Bij toepassing van de discrete elementenmethode kunnen zowel één- als meerdimensionale continua geschematiseerd worden. In het één-dimensionale geval worden de eigenschappen op het niveau van de liggerdoorsnede tot veren en eventueel dempers in een bepaalde geometrie gemodelleerd. In meerdimensionale omstandigheden kunnen met een veren- en dempermodel de eigenschappen op het niveau van het materiaal geschematiseerd worden. Er zullen dan echter veel veren nodig zijn.

1.5 Routebeschrijving onderzoek

Het onderzoek zoals het in deze dissertatie is vastgelegd, beweegt zich langs de in deze paragraaf beschreven weg.

Allereerst is een model opgesteld voor de beschrijving van de traagheden en de vervormingsmogelijkheden welke in rekening moeten worden gebracht voor een ligger onder een kortdurende belasting. Gezien de mogelijkheid dat relatief zeer kortgolvige verschijnselen in de ligger zullen kunnen optreden is besloten de theorie volgens Timoshenko in het model te implementeren. Dit houdt in dat rekening wordt gehouden met translatie- en rotatietraagheid alsmede buig- en afschuifvervorming.

Vervolgens is de oplosmethode van het computerprogramma TILLY geëvalu­ eerd en aangepast voor het onderzoek.

Voor het in deze studie gehanteerde liggermodel is geïnventariseerd wat de fijnheid van de geometrische discretisatie dient te zijn teneinde de door bepaalde belastingen opgewekte hoge eigentrillingen voldoende nauwkeurig te beschrijven. Na vaststelling van het benodigde aantal elementen is geanalyseerd wat de maxi­ male grootte van de rekentijdstap kan zijn om tot een betrouwbare berekening van de eigenperioden van de hoogste significante eigentrillingen te komen. Een eigenschap van de oplosmethode is dat bij correcte berekening van de eigenperiode van een bepaalde trilling, de amplitude zeker aan de eisen met betrekking tot de nauwkeurigheid voldoet.

In de volgende fase is voor lineair-elastisch doorsnedegedrag uitgebreid onder­ zocht in hoeverre de discretisering van de ligger tot afwijkingen van de analytisch bekende oplossing voor de responsie leidt.

Nadat het vertrouwen in de modellering en de oplosmethode in voldoende mate is onderbouwd, is enige aandacht geschonken aan de wijze waarop het meer gecompliceerde niet-lineair-elastische gedrag van een betondoorsnede bij buiging in het model dient te worden ingebouwd.

Voor de tweezijdig vrij opgelegde ligger onder een gelijkmatig verdeelde explosiebelasting (VEG) is voor een elasto-plastisch gedrag van de doorsnede de responsie bepaald en beoordeeld. Daarbij zijn voor de grootte van het vloeimoment verschillende percentages van het maximaal optredende buigend moment onder lineair-elastisch gedrag gehanteerd. Het zuiver elasto-plastisch gedrag van de doorsnede is later uitgebreid met versteviging en de invloed daarvan op de responsie is bestudeerd.

In de laatste fase van het onderzoek is een tweetal experimenten gesimuleerd. Het doel daarvan is het beoordelen in hoeverre de gehanteerde modellering als een betrouwbaar middel is in te zetten ter voorspelling van in de fysische werkelijkheid opgetreden beschadigingen. Zeer interessante grootheden daarbij zijn de maximaal optredende (plastische) kromming en de blijvende kromming na afloop van de beproeving. Om de benadering daarvan te verbeteren is aan het gebruikte com­ puterprogramma een nieuw veertype, het zogenoemde "wissel-model", toegevoegd.

2. Modellering

2.1 Discrete schematisering

In hoofdstuk 1 is reeds vermeld dat uit de literatuur valt af te leiden dat in een gediscretiseerd model tenminste vervorming door buiging en afschuiving, alsmede translatietraagheid meegenomen moet worden. Deze schematisering komt overeen met de Timoshenkc-theorie, waarbij de rotatietraagheid op nul gesteld wordt. Men noemt deze schematisering soms de afschuif-buigligger-theorie.

Een belangrijk punt, waarmee de Timoshenko-ligger en de afschuif-buigligger zich van de eenvoudiger Bernoulli-Euler-ligger onderscheiden, is gelegen in het beschrijven van de voortplanting van buiggolven. Bij de Bernoulli-Euler-ligger treedt namelijk het verschijnsel op dat de golflengte en de voortplantingssnelheid van een buiggolf omgekeerd evenredig met elkaar zijn. Dit houdt in dat voor korte golven de, fysisch mogelijke, maximale golfsnelheid wordt overschreden. De maximale snelheid waarmee evenwichtsverstoringen kunnen worden overgebracht is gelijk aan de voortplantingssnelheid van longitudinale golven: CL = wE/p. Bij explosiebelaste liggers treden, vooral indien de belasting sterk impulsief is, korte tot zeer korte buiggolven op in de ligger, welke zich vanaf de opleggingen of, bij geconcentreerde belastingen, de grenzen van het belaste gebied naar de overige delen van de ligger voortplanten. Het slechts in rekening brengen van buigvervorming en translatietraagheid is derhalve niet voldoende voor de hier bestudeerde problematiek.

Om aan de voortplantingssnelheid van de buiggolven een bovengrens te verkrij­ gen heeft Rayleigh voorgesteld, naast buigvervorming en translatietraagheid, ook rotatietraagheid in rekening te brengen. De bovengrens aan de voortplantings­ snelheid van transversale golven wordt ten gevolge daarvan gelijk aan die voor longitudinale (dilatatie-) golven. Ook dit is, fysisch beschouwd, niet realistisch.

Bij zeer korte buiggolven gaat de vervorming door afschuiving een overheersen­ de rol spelen (zie figuur 2.1). Het ligt daarom voor de hand dat in het model de vervorming ten gevolge van dwarskracht goed beschreven dient te worden. In de theorie is dit het geval. Ook indien men uit de Timoshenko-ligger de rotatietraagheid weglaat, met als resultaat de afschuif-buigTimoshenko-ligger, blijft de bovengrens correct. In figuur 2.1 is te zien dat de liggerdoorsneden bij korte buiggolven weinig roteren.

De logische conclusie lijkt dat het gediscretiseerde liggermodel buig- en afschuifvervorming, alsmede translatietraagheid moet bevatten. Er is echter voor gekozen om ook de rotatietraagheid in het model op te nemen, waarmee het model een gediscretiseerde Timoshenko-ligger vormt. Hieraan is uitvoering gegeven door de ligger te schematiseren tot een rij starre elementen met elk drie vrijheidsgraden, welke onderling zijn verbonden met veren, te weten telkens één veer voor de afschuiving en twee veren die tesamen de buigvervorming toelaten.

Figuur 2.1: De ligger onder een korte buiggolf.

Figuur 2.2: Schematisering van de ligger.

in het onderzoek gemotiveerd door het verschijnsel dat betonnen liggers bij buiging de tendens tot verlengen bezitten. Dit verschijnsel wordt wel dilatantie genoemd. Of dilatantie een relevante invloed heeft op de berekeningsresultaten was bij het opstellen van het model nog niet bekend. Daarom is de mogelijkheid het gedrag van de boven- en van de onderzijde afzonderlijk te modelleren ingebouwd. Een bijkomstigheid is de mogelijkheid met het model ook longitudinaal verlopende processen te simuleren. Deze extra mogelijkheid is echter verder in het onderzoek niet benut.

Van der Veen [9] heeft al een soortgelijke schematisering toegepast, echter daarin bevinden zich geen veren voor de afschuiving. Bovendien neemt hij weinig elementen mee: 4 per halve liggerlengte. Dit is voor statische problemen meestal voldoende om de doorbuiging van de ligger en vooral ook het momenten- en dwarskrachtenverloop goed te volgen. Bij dynamische responsie variëren vooral de dwarskrachten maar ook de momenten zoveel meer naar de plaats dat er een substantiële toename van het aantal elementen per lengte-eenheid nodig is.

In dit onderzoek bevinden zich minstens 10 elementen in de halve liggerlengte (zie figuur 2.2). Op grond van overwegingen met betrekking tot de symmetrie is het voldoende de halve ligger te beschouwen. Het systeem kent dan by 10

i+I

Figuur 2.3: Figuur waaruit de relatie tussen de vrijheidsgraden u en de veerver­

lengingen e kan worden bepaald.

elementen 33 vrijheidsgraden, waarvan er een aantal door de opleggingen en de voorwaarden voor de symmetrie vastgelegd worden.

Zoals reeds in hoofdstuk 1 is vermeld is voor de bepaling van de responsie van het model op explosie- en botsingsbelastingen gebruik gemaakt van het elementenmethodeprogramma TILLY. In hoofdstuk 3 wordt uiteengezet dat de gebruiker van TILLY de relaties tussen de vrijheidsgraden u en de veerverlengingen e moet specificeren, alsmede de stijfheidseigenschappen van de veren. De relaties tussen de vrijheidsgraden en de veerverlengingen zijn vast te stellen met behulp van figuur 2.3.

Wordt terwille van de leesbaarheid het elementnummer t gelijkgesteld aan 0, dan zijn de veerverlengingen als volgt te berekenen uit de vrijheidsgraden u:

ei = - U ! + u4, e, = - u2 + uB, o , ES = -Z7 (- ul + «2 - «4 + «5) - «3 + «6-(2.1) (2.2) (2.3) Hierbij is a de lengte van de elementen en h de effectieve hoogte, dat wil zeggen de arm van de twee krachten die samen het buigend moment vormen.

De veerconstanten k worden bepaald met behulp van de constitutieve relaties voor de buig-afschuifligger:

M = EIK,

Q = nGAi,

met M = buigend moment,

E — elasticiteitsmodulus van het materiaal, I = spanningstraagheidsmoment van de doorsnede,

K = kromming van de ligger ter plaatse van de doorsnede,

Q = dwarskracht,

n = correctiefactor voor de schuifspanningsverdeling,

(2.4) (2.5)

G — glijdingsmodulus van het materiaal: G = E/2(l + u), A = oppervlakte van de doorsnede,

7 = de afschuiving van de ligger ter plaatse van de doorsnede.

Het buigend moment M is als volgt in de veerkrachten k • e uit te drukken (in het elastische domein en met normaalkracht N = 0):

M = hk2et = -hkiei (2.6)

De kromming K is te schrijven als:

e j - e i

ah (2.7)

Voor elastische berekeningen worden boven- en onderveer aan elkaar gelijkgesteld:

ki = fcj. Dit heeft tot gevolg dat: ej = —ei. De kromming laat zich dan schrijven

als:

Substitueren van de in de veerconstanten en -verlengingen uitgedrukte kromming en moment in de constitutieve vergelijkingen levert de volgende veerconstanten voor de boven- en onderveer:

h = k> = — (2.9)

Dezelfde handelwijze kan worden toegepast voor de bepaling van de veercon-stante van de afschuifveer. De dwarskracht Q is te schrijven als:

Q = kses (2.10)

Voor de afschuiving 7 geldt:

7 = 5 (2.11)

a

Substitutie van beide relaties in de constitutieve vergelijkingen tussen de dwars­ kracht en de afschuiving leidt tot:

*, = ^ (2.12) o

Voor een rechthoekige doorsnede van de ligger geldt:

A = bh, (2.14)

waarbij 6 de breedte van de doorsnede is en h de totale hoogte. Voorts is uitgegaan van materiaaleigenschappen voor beton voor wat betreft de dwarscontractie (constante van Poisson v):

als gevolg waarvan volgens Mindlin [7]:

r? = 0.8215. (2.16) Het verband tussen de glijdingsmodulus en de elasticiteitsmodulus luidt:

G

=iï- <

2

-

17

>

De toekenning van waarden aan de overige grootheden komt later ter sprake. De translatietraagheid m per element luidt:

m = pAa, (2.18) met A = totale hoogte maal breedte. Voor de rotatietraagheid J geldt:

J=pb

L/2 /-./. ( *

+ y

)

d x d z = p I a

i

1 +

F J •

(2

-

19)

Niet alleen de "horizontale rotatietraagheid" maar ook de "verticale rotatietraag­ heid" wordt dus in rekening gebracht.

Het grote voordeel van deze discrete schematisering is de mogelijkheid het, nu nog, lineair-elastische model op relatief gemakkelijke wijze uit te breiden met bijvoorbeeld niet-lineaire veren en dempers. Door het toepassen van verschillende veerstijfheden boven en onder in de ligger kunnen ook liggerdilatanties ten gevolge van buiging worden beschreven. De invloed van de afschuiving kan eenvoudig worden bepaald, door variatie van de stijfheid van de verticale veren. Door veren parallel te schakelen kan ook scheurvorming worden gesimuleerd. Tevens kunnen andere, dan de hier beschouwde, belastingen in rekening worden gebracht.

2.2 N o r m e r i n g van de modelgrootheden

Het is mogelijk de berekeningen zodanig te normeren dat de resultaten voor de doorbuiging w, het moment M en de dwarskracht Q dimensieloze coëfficiënten zijn, die door vermenigvuldiging met dimensiedragende grootheden, achteraf zijn om te rekenen tot een dimensiedragende vorm. De, overigens arbitraire, keuze is als volgt gemaakt:

(2.20) (2.21) (2.22) w c.q. w M c.q. M Q cq. Q = w-ff/EI = w-Fl3/EI

=

'M-f

e

= 'M Ft = Q-ft = QF

met I — lengte van de ligger,

ƒ = verdeelde belasting op de ligger,

F= puntlast op de ligger.

Het dimensieloos maken van de in de vorige paragraaf vermelde formules en grootheden, geschiedt door het invoeren van de volgende uitdrukkingen:

ģ = 1 (c.q. F = 1); l = 1; EI = 1 (2.23)

De lengte-hoogteverhouding l/h en de constante van Poisson u, met de daarvan afhankelijke correctiefactor rj voor de schuifspanningsverdeling, zijn dimensieloos. Er is gekozen voor l/h = 20 en v = 0.2 met t) = 0.8215. De waarde voor l/h is gelijk aan 20 gekozen om makkelijk een vergelijking met het werk van Leussink [5] te kunnen maken. In de praktijk hebben liggers vaak een kleinere lengte-hoogteverhouding. Deze is vaak in de orde van grootte van 10. De orde 20 wordt in het algemeen aangetroffen bij platen. Voor de veerconstanten volgt:

Jfci = k2 = 2EI/(ahi) = 16000 (2.24)

Jfc3 = T)GA/a = 32860 (2.25)

Het dimensieloos maken naar de tijd geschiedt door middel van het gelijk aan 1 stellen van de grondperiode van de ligger. Hieruit volgt een bepaalde waarde voor de liggermassa. Het hanteren van deze waarde in de berekeningen heeft tot gevolg dat de tijd uitgedrukt wordt in de periodetijd van de eerste eigentrilling van de ligger. In eerste instantie is de grondperiode van de tweezijdig vrij opgelegde Bernoulli-Euler-ligger aangehouden voor de tijdseenheid. Dit is tevens volgehouden bij de berekeningen met betrekking tot de tweezijdig ingeklemde ligger.

De grondperiode van de tweezijdig vrij opgelegde Bernoulli-Euler- ligger wordt beschreven door de volgende formule:

Hieruit is de translatietraagheid per lengte-eenheid van de ligger af te leiden:

pA = ^-EI-Ti (2.27)

Uit de keuze T = 1 en a = ft = £/20 (10 elementen over de halve liggerlengte) volgt dan voor de massa behorend bij de verticale (transversale) vrijheidsgraden:

m„ = pAa = ^—r- -EI- — = ^- (2.28)

41* 20 80 v '

Voor pla is af te leiden:

pla = pAr2a = ——; f r2 = — V (2.29)

waaruit voor J volgt:

J =

>

7 f l

(

1 +

ë)

= 2 p I a =

ï5i

2

(2.30)

192000

De massa's behorende bij de horizontale (longitudinale) vrijheidsgraden zijn als volgt uit J af te leiden:

J = 2 (h/2)2 ■ mh (2.31)

Hieruit volgt:

m„ = 2J/h2 = ^ (2.32)

2.3 D i m e n s i e l o z e golfsnelheden

Teneinde de met het model berekende responsie beter te kunnen interpreteren en een meer gefundeerde keuze voor de rekentijdstappen te kunnen maken is het nuttig van drie veel gehanteerde golfsnelheden de waarden te bepalen uit de grootheden van het model welke in voorgaande paragraaf zijn afgeleid. Deze snelheden zijn: de longitudinale golfsnelheid: cb = y/Ëjp~ (2.33) de transversale golfsnelheid: c8 = \JGTP (2.34) de Rayleigh-oppervlaktegolfsnelheid: CR = c8 • y/rj (2.35)

Substitutie van de hiervoor afgeleide waarden voor EI, GA, a, rj, pAa en pla levert:

cb = X l ^ = 44.l[l/T] (2.36)

es = ^ P = 2 8 . 5 [ £ / r ] (2.37)

cR = cg • VO.8215 = 25.8 [t/T] (2.38)

Deze snelheden zijn van groot belang voor het kiezen van de rekentijdstap­ pen en voor de interpretatie van de resultaten. Zo is het een gegeven dat verstoringen in transversale zin zich niet met een snelheid groter dan de Rayleigh-oppervlaktegolfsnelheid in de lengterichting door de ligger kunnen voortplanten. Verstoringen in longitudinale zin hebben de longitudinale golfsnelheid als boven­ grens. Deze verschijnselen moeten door het model goed beschreven worden.

3. Computerprogramma voor responsieberekening

3.1 Inleiding

Voor de oplossing van de responsie van het in het vorige hoofdstuk opgestelde model is gebruik gemaakt van een speciaal computerprogramma voor eindige elementen. Dit programma TILLY kent slechts een veer- en een demperelement. De gebruiker van het programma dient zelf aan te geven wat voor elke veer of demper, die in het model voorkomt, het verband is tussen verplaatsingen van vrijheidsgraden en vervormingen van die veer of demper. Dit verband wordt weergegeven in de zogenaamde differentiematrix. De gebruiker dient bij het opstellen van de invoer van dit programma meer elementair te werk te gaan dan bij de grote "multi-purpose" elementenprogramma's. Daar staat echter het voordeel van een grotere flexibiliteit en vrijheid voor de onderzoeker tegenover. Een tweede voordeel is dat het programma TILLY nog volledig toegankelijk is voor de gebruiker-onderzoeker ten aanzien van het aanbrengen van wijzigingen in het programma zelf. De commerciële elementenprogramma's zijn wat dat betreft slechts te benaderen door een beperkte groep ontwikkelingsmedewerkers van de producent, hetgeen op zich begrijpelijk is, maar tijdens onderzoek een hinderpaal kan zijn.

Met het veerelement kunnen drie soorten materiaaleigenschappen beschreven worden: lineair-elastisch, plastisch met onbeperkte vervorming en elasto-plastisch met eindige vervorming. In eerste instantie houdt het hier beschreven onderzoek zich bezig met het lineair-elastische probleem. Daartoe voldoet het veerelement zonder meer. Na de studie in het lineair-elastische domein wordt de aandacht verlegd naar het fysisch niet-lineaire gedrag van een betonnen ligger onder de in de voorgaande hoofdstukken beschreven belastingen. Door parallelschakeling van een aantal elasto-plastische veren zoals voorhanden in TILLY, kan versteviging in het niet-lineaire gedrag van een betonnen ligger in redelijke mate worden gesimuleerd.

Het demperelement binnen de thans in gebruik zijnde versie van het pro­ gramma TILLY beschrijft visceuze demping. De dempingsconstante kan in de tijd variabel worden gedefinieerd. Een, van de reksnelheid afhankelijke, dempingsconstante is nog niet ingevoerd. Evenals bij het veerelement kan het demperelement aan een willekeurig aantal vrijheidsgraden worden verbonden met willekeurige kinematische constanten.

3.2 Uitgangspunten voor het programma

De uitgangspunten voor het programma TILLY zijn als volgt te beschrijven. 1. de elementenmethode volgens de aanpak van de gegeneraliseerde vervormin­

2. de elementen worden gevormd door veren, dempers en geconcentreerde mas­ sa's.

3. per veerelement verstrekt de gebruiker: • de gegeneraliseerde differentiematrix D't,

• het niet-lineair, eventueel tijdsafhankelijke verband tussen spanningen en rekken,

• de initiële vervormingen en/of spanningen. 4. per demperelement verstrekt de gebruiker:

• de gegeneraliseerde differentiematrix D'g,

• het niet-lineair, eventueel tijdsafhankelijke verband tussen spanningen en reksnelheden.

5. per geconcentreerde massa verstrekt de gebruiker: • de vrijheidsgraad en de waarde.

6. niet-lineaire veren kennen een ontlastingstak (bijv. elasto-plastic of fractur­ ing).

7. het programma moet kunnen worden gebruikt voor statische, visceuze en dynamische problemen.

Op deze uitgangspunten zijn in de gebruikte versie van het programma TILLY de volgende beperkingen van toepassing.

1. Het aantal vervormingsgraden per element is voorlopig beperkt tot één. Hiermee kunnen de meeste veersystemen worden behandeld. De proble­ men met meer-assige spanningstoestanden, zoals de betonligger waarbij de rotatiecapaciteit afhankelijk is van de heersende dwarskracht, vereisen veerelementen met meer dan één vervormingsgraad.

2. De initiële vervormingen en spanningen kunnen alleen aan het begin van een . rekentraject worden opgegeven. Gezien de naamgeving "initieel" lijkt dat

logisch, doch om problemen als temperatuureffecten, krimp en dergelijke te analyseren ontstaat de behoefte om deze parameters als functie van de tijd te kunnen opgeven.

3. Er is voorlopig afgezien van een niet-lineaire karakteristiek bij dempers. Vermoedelijk is dat geen zware beperking, maar mocht dat toch het geval zijn dan kan dat in analogie met de veerelementen zonder veel problemen worden toegevoegd.

4. Het niet-lineaire gedrag van de veren is voorlopig beperkt tot het elasto-plastische model. De beperking is minder streng dan men in eerste instantie zal denken. Door het parallel schakelen van twee of meer veren kunnen veel complexere materiaalmodellen worden nagebootst (zoals versteviging). Voor de handleiding van het programma TILLY wordt verwezen naar [10].

3.3 De werking van elementen-methode p r o g r a m m a ' s

In het navolgende beperken we ons tot lineair-elastische gevallen. De totale constructie wordt beschreven door het globale stelsel:

Sv + Cv + Mv = k (3.1)

met S, C en M respectievelijk de stijf heids-, de dempings- en massamatrices, Jfc de belastingvector en v de verplaatsingsvector. De matrices worden geassembleerd uit de elementmatrices S', C' en M°, alsmede uit lumped veren, dempers en massa's. De lumped veren en dempers verbinden niet knopen onderling, maar verbinden steeds een vrijheidsgraad met de vaste omgeving.

We beperken ons nu tot de elementmatrices S' en M'. Deze worden volgens een vast recept opgebouwd. Het verplaatsingsveld u' wordt opgespannen op de vrijheidsgraden v' van het element met behulp van de matrix B°:

u' = B V (3.2)

De rekken c" volgen door differentiematrix D', welke volgt uit differentiatie van matrix B', met v' te vermenigvuldigen:

c« = D'v' (3.3) De constitutieve relatie verbindt de spanningen o' en de rekken e':

o' = S'.e' (3.4)

waarin S°e een constitutieve matrix is. De element-stijfheidsmatrix luidt dan:

S' = f D'S'.D'dV (3.5)

IV'

Analoog wordt de massa-matrix berekend uit:

M' = f B'R'B'dV (3.6) Jv

waarin R' de massa van het materiaal (per volume-eenheid) weergeeft. De matrices

B' en D' zijn in zoverre gecompliceerd dat ze bestaan uit termen die functies zijn

van i , y en z.

Het principe van elementenmethode-programma's is nu dat de matrices B" en

elementtypen is geformuleerd, waaruit de gebruiker een keuze moet maken. De computer voert ook de integraties uit. Hierin zit nu echter ook de beperking van de bestaande elementenmethode-programma's.

Teneinde meer vrijheid te verkrijgen kunnen we de elementenmethode op een andere manier formuleren. Als een element m vrijheidsgraden heeft, zijn deze niet alle verantwoordelijk voor vervorming van het element. Als het element / graden kent voor een verplaatsing als star lichaam, zijn er n gegeneraliseerde vervormingsgraden.

n = m-l (3.7)

We noemen de gegeneraliseerde vervormingsgraden e' en de ermee correspon­ derende gegeneraliseerde spanningen o'. Nu zijn de relaties:

(3.8) (3.9)

De stijfheidsmatrix van het element luidt:

S' = Dt'S',D'g (3.10)

De integraties zijn nu verdwenen (reeds verwerkt in S'g) en de matrix D' bevat

getallen in plaats van functies van x, y en z. Deze getallen hangen af van de geometrie van het element. Het voorbeeld van de buigveer zal in de volgende paragraaf nader uitgewerkt worden.

Dy

'S'e' 3.4 B u i g v e e r m = 3 {wi,wiyw3) l = 2 n = m - 1 = 1 (6)

De vervorming bestaat uit de veeropeningshoek 8. Deze is op de volgende wijze afhankelijk van de verplaatsingen Wi, w2 en W3:

Wi-W2 Wj - WS

«= —.

+

—-

f

Voor de differentiematrix D'g volgt:

Het moment M in de veer is de gegeneraliseerde spanning. Het constitutieve verband tussen M en 6 luidt:

Af: 2EI

Hieruit volgt de constitutiematrix S':

* : = 2EI

L^12+^JSJ

In het geval dat £12 = £23 = £ krijgen we voor de elementstijfheidsmatrix: - 1 2 - 1 EI L t

\[-

1 2

1 -ël

1 - 2 1 -2 4 - 2 1 - 2 1 (3.11)

3.5 D e numerieke oplosmethode

Er bestaan, globaal genomen, twee basismethoden om het stelsel

Sv + Ci> + Mv = k(t) (3.12) op te lossen. Deze methoden worden respectievelijk aangeduid met "modale analyse" en "directe integratie".

De eerste methode vormt de vergelijking

Sv + Mv = k[t) (3.13) om tot een eigenwaardeprobleem. Na oplossing stellen de gevonden eigenwaarden de resonantiefrequenties of eigenfrequenties voor, en de eigenvectoren de trillings-vormen die horen bij die eigenfrequenties. De belasting wordt ontwikkeld in een Fourierreeks en de oplossing wordt gevonden in het bij elkaar optellen van een aantal eigentrillingsvormen.

Omdat het superpositiebeginsel aan deze methode ten grondslag ligt, is deze methode alleen bruikbaar voor lineaire problemen, en viel derhalve af als methode voor het programma TILLY.

De tweede methode gaat rechtstreeks uit van de bewegingsvergelijking in (3.12). Uitgaande van de bekend veronderstelde beginvoorwaarden wordt telkens over een klein tijdstapje geïntegreerd. De dan berekende toestand dient als uitgangspunt voor het volgende tijdstapje, etc. Er bestaat een groot aantal methoden die op dit principe gebaseerd zijn. Voorbeelden zijn de centrale-differentiemethode, de Wilson-0-methode en de Newmark-/8-methode.

Voor het programma TILLY is gekozen voor een integratiemethode welke gebruik maakt van een variatie-uitdrukking. De methode is ontwikkeld door ir. A.W.M. Kok en wordt wel aangeduid met de Kok-^-methode. De methode wordt uiteengezet in appendix A.

4. Element fijnheid en tijdstapgrootte

4.1 Inleiding

Twee belangrijke keuzen die bij een gediscretiseerde berekening gedaan moeten worden zijn die met betrekking tot de elementverdeling en die voor de tijdstap, waarmee het numerieke op losproces rekent.

De elementverdeling moet zodanig worden gekozen dat plaatselijke verschijnse­ len zo goed mogelijk beschreven kunnen worden. Dit hangt nauw samen met de hoogste significante eigentrillingen welke binnen een bepaald verschijnsel spelen. De hoogste eigentrilling die door het model nog goed gesimuleerd wordt moet in ieder geval boven de voornoemde eigentrillingen liggen in het frequentiedomein.

Als vastgesteld is welke de hoogste eigentrilling is die met een voldoende nauwkeurigheid moet worden berekend en bekend is met welke tijdstap het com­ puterprogramma een eigenperiode nauwkeurig genoeg kan volgen is de maximale tijdstapgrootte te bepalen.

Daartoe is met het computerprogramma TILLY een aantal berekeningen ge­ maakt van een vrije trilling van een één-massa-veersysteem onder variatie van de grootte van de rekentydstap en de parameter 72.

4.2 Element fijnheid

Er is uitgegaan van een, langs de lengte van de ligger, constante afmeting van de elementen. De reden hiervoor is het zo eenvoudig mogelijk houden van de randvoorwaarden waarbinnen het onderzoek plaatsvindt. In berekeningen van praktijkgevallen ligt het meer voor de hand ter plaatse van discontinuïteiten in de constructie en de belasting een fijnere elementverdeling toe te passen, opdat de daar optredende locale verschijnselen beter door het model beschreven kunnen worden.

Teneinde te bepalen hoeveel elementen er nodig zijn voor een betrouwbare berekening van de responsie van de ligger op een belasting met een bepaald verloop in plaats en tijd, dient de hiervolgende overweging. Uitgangspunt daarbij is dat de responsie binnen het lineair-elastische domein blijft. Een gevolg hiervan is dat de eigenschappen van de eigentrillingen in de tijd niet veranderen.

De belasting is het product van een plaatsfunctie en een tijdfunctie. De eerste functie geeft de verdeling langs de ligger aan en de tweede functie het verloop in de tijd. Elke eigentrilling van de ligger wordt aangeslagen door een met de eigenfunctie gelijkvormige belasting: de zogenoemde harmonische. De plaatsfunctie van de belasting wordt daarom gedecomponeerd in een aantal harmonischen, elk met een eigen amplitude. Elke harmonische heeft een responsie tot gevolg waarvan de doorbuigingsvorm en het krachtsverloop gelijkvormig zijn aan de met de harmonische corresponderende eigentrilling. De tijdfunctie van die partiële responsie is af te leiden uit de tijdfunctie van de harmonische op dezelfde

wijze als bij het één-massa-veersysteem. Een karakteristieke waarde van de laatst genoemde tijdfunctie is de dynamic load factor (DLF) welke de maximale waarde van die tijdfunctie en dus van de amplitude van de partiële responsie aangeeft. Deze amplitude noemen we hierna de participatiefactor.

De in deze studie beschouwde gevallen betreffen belastingen met een eindige positieve faseduur. Het gevolg daarvan is dat de DLF's voor de verschillende eigentrillingen een verloop kennen van een waarde tussen 0 en 2 voor de eerste eigentrilling tot de waarde 2 voor de hoogste eigentrillingen. Dit kan tot gevolg hebben dat, ondanks dat de amplitude van de eerste harmonische het grootst is, toch een hogere eigentrilling de responsie domineert.

Het is moeilijk te voorspellen wat het resultaat is van de interferenties van eigentrillingen met een zelfde orde van grootte van de frequenties. Het aandeel in de responsie van zulke trillingen heeft het karakter van een zweving en reeds kleine afwijkingen in de door het model beschreven eigentrillingen zullen tot niet onaanzienlijke afwijkingen met de werkelijkheid leiden. Tevens is er de beperking dat het discrete model slechts een eindige verzameling eigentrillingen bezit. Een model met 10 elementen over de halve liggerlengte bezit bijvoorbeeld 10 symme­ trische transversale eigentrillingen.

Tabel 4.1: Vergelijking van de eigenperioden voor de Bernoulli-Euler-theorie, de

Timoshenko-theorie en een discreet model met 10 elementen over de halve ligger. n 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 Bern.-Euler (ms) 1000 111.1 40.00 20.41 12.35 8.264 5.917 4.444 3.460 2.770 Timoshenko (ms) 1004 115.0 43.73 23.92 15.63 11.33 8.782 7.126 5.978 5.140 Model (ms) 1004 115.0 43.79 24.04 15.83 11.63 9.190 7.562 6.704 6.165 Afwijking tussen Model en Timosh. 0.00% 0.00% 0.14% 0.50% 1.3% 2.6% 4.6% 7.7% 12% 20%

De eigenperioden hiervan zijn in tabel 4.1 vermeld, tesamen met die van de corresponderende eigentrillingen uit de Timoshenko-theorie en de Bernoulli-Euler-theorie.

In deze tabel, waarin alle perioden zijn genormeerd naar de periode van de laagste eigenfrequentie van de Bernoulli-Euler-ligger, is te zien dat de eerste zes eigenperioden, behorende bij de symmetrische eigentrillingen 1 tot en met 11, van het model zeer goed tot redelijk samenvallen met die uit de Timoshenko-theorie. De eigentrillingen 13 en 15 wijken al noemenswaard af en de afwyking van de perioden voor de trillingen 17 en 19 zijn groot ten opzichte van de Timoshenko-ligger. Het is echter de vraag in welke mate het ontbreken van eigentrillingen 21 en hoger en het matig tot slecht beschrijven van de frequenties van eigentrillingen

13 tot en met 19 invloed hebben op de resulterende responsie. Het is mogelijk dat deze invloeden elkaar enigszins opheffen, maar ook kunnen ze elkaar versterken. Eén en ander zal blijken bij de berekening van de responsie. In de tabel is ook te zien dat de eigenperioden van een ligger volgens de Bernoulli-Euler-theorie al vanaf de vijfde eigentrilling sterk beginnen af te wijken van de Timoshenko-theorie. De BernoulIi-Euler-schematisering is niet meer bruikbaar indien de eigentrillingen 5 en hoger een substantieel deel uitmaken van de responsie, dat wil zeggen meer dan een paar procent van de meest significante eigentrilling.

Verdubbeling van het aantal elementen per lengte-eenheid leidt tot de eigenpe­ rioden welke in tabel 4.2 zijn gegeven. Een vergelijking met de eigenperioden uit de Timoshenko-theorie leidt tot de conclusie dat ten gevolge van een verdubbeling van het aantal elementen de orde van de afwijking afneemt. Nu zijn de eigentrillingen 1 tot en met 17 zeer tot redelijk nauwkeurig. Van de eigentrillingen 19 tot en met 23 is de nauwkeurigheid matig en van de hogere eigentrillingen is deze slecht. Opvallend is tevens dat de relatieve fout van de hoogste eigentrilling meer dan twee maal zo groot is als die bij het model met tien elementen.

Tabel 4.2: Vergelijking van de eigenperioden uit de Timoshenko-theorie met een

discreet model met 20 elementen over de halve ligger. n 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 Timoshenko (ms) 1004 115.0 43.73 23.92 15.63 11.33 8.782 7.126 5.978 5.140 4.505 4.009 3.610 3.285 3.013 2.783 2.587 2.416 2.268 2.136 Model (ma) 1004 115.0 43.74 23.95 15.68 11.41 8.889 7.267 6.156 5.360 4.769 4.321 3.976 3.708 3.499 3.338 3.217 3.130 3.074 3.047 Afwijking tussen Model en Timosh. 0.00% 0.00% 0.02 % 0.13 % 0.32 % 0.71 % 1.2% 2.0% 3.0% 4 . 3 % 5.9% 7.8% 10% 1 3 % 16% 2 0 % 2 4 % 3 0 % 3 6 % 4 3 %

Wil de afwijking in de eigenperiode kleiner zijn dan 5 procent, dan dient men 5 a 6 transversale vrijheidsgraden per halve golflengte aan te brengen.

In tabel 4.3 is aangegeven hoe, voor een driehoeksbelasting op een één-massa-veersysteem, de DLF afhangt van de positieve faseduur van de belasting, gerelateerd aan de eigenperiode. Dit geldt bij een ligger voor elke eigentrilling afzonderlijk. Uit de tabel kan de conclusie worden getrokken dat, bij een relatieve positieve faseduur van 0.1 of minder, de belasting het effect heeft van een impulsbelasting en, bij een relatieve positieve faseduur van 10 of meer, werkt als een sprongbelasting. Bij een impulsbelasting geldt immers DLF = 7rrj en bij een sprongbelasting DLF = 2.

Tabel 4.3: Het verband tussen de relatieve positieve faaeduur en de Dynamic Load

Factor voor een driehoeksbelasting.

*"d 0.01 0.10 0.20 0.50 1.0 2.0 5.0 10.0 DLF 0.03141 0.3107 0.6012 1.196 1.550 1.763 1.902 1.951

Een gevolg hiervan is dat, bij een gelijkmatig verdeelde belasting op een tweezijdig vrij opgelegde ligger met een positieve faseduur gelijk aan 0.1 maal de grondperiode van die ligger, de derde eigentrilling wordt aangeslagen met een ongeveer vijf maal zo grote DLF als de eerste eigentrilling (zie tabel 4.4). Bij een gelijkmatig verdeelde belasting is de amplitude van de eerste harmonische drie keer zo groot als die van de derde. De derde eigentrilling wordt derhalve circa 54 procent sterker aangeslagen dan de grondeigentrilling bij de bovengenoemde positieve faseduur. De vijfde eigentrilling wordt ongeveer 11 procent sterker aangeslagen dan de eerste.

Bij een relatieve positieve faseduur gelijk aan 0.01 wordt de derde eigentrilling ongeveer 2.9 maal zo sterk aangeslagen als de eerste bij een gelijkmatig verdeelde belasting. De vijfde eigentrilling wordt aangeslagen met een factor 4.3 maal de eerste en de zevende al met een factor 5. Bij de hogere eigentrillingen neemt de factor weer af.

De conclusie luidt dus dat bij een een gelijkmatig verdeelde belasting met een relatieve positieve faseduur van 0.1 op een aan twee uiteinden vrij opgelegde ligger de derde eigentrilling en bij een relatieve positieve faseduur van 0.01 de zevende eigentrilling het sterkst wordt aangeslagen.

Indien de belasting niet gelijkmatig is verdeeld over de ligger, maar geconcen­ treerd is ter plaatse van het midden van de overspanning over 1/20 van de lengte

Tabel 4.4: Het verband tussen de relatieve positieve faseduur en de DLF van de

laagste vier eigentrillingen en de daarbij horende verhoudingen van de amplituden van de harmonisehen voor een gelijkmatig verdeelde en een geconcentreerde driehoeksbelasting. n 1 3 5 7

Dynamic Load Factors rd = 1.0 1.56 1.94 1.98 2.00 rd = 0.5 1.20 1.88 1.96 1.99 Ti = 0.1 0.310 1.491 1.791 1.883 rd = 0.01 0.0314 0.271 0.678 1.081 Amplit. harmonisehen gelijkm. 1.000 0.333 0.200 0.143 geconc. 1.000 0.992 0.976 0.951

Tabel 4.5: De amplitudeverhoudingen van de symmetrische harmonisehen 1 tot en

met 89 en de daarbij voor relatieve positieve faseduren van de belasting 0.1 en 0.01 behorende DLF-waarden bij een driehoeksbelasting voor de dwarskracht ter plaatse van de oplegging. n 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 DLF verloop rd = 0.1 0.310 1.491 1.791 1.883 1.923 1.944 1.956 1.965 1.970 1.974 1.978 1.980 1.982 1.984 1.985 1.986 1.987 1.988 1.989 1.989 Td = 0.01 0.031 0.271 0.678 1.081 1.340 1.498 1.600 1.669 1.719 1.756 1.785 1.808 1.826 1.841 1.854 1.865 1.874 1.882 1.889 1.896 Amplit. harmonisehen gelijkm. 1.000 1.111-UT1 4.000 • 10"2 2.041 1 0- 2 1.235 • 10~2 8.264 • 10~3 5.917 ■ 1 0 -3 4.444 ■ 1 0- 3 3.460 ■ 1 0- 3 2.770 • 10"3 2.268 ■ 10~3 1.890 ■ 10~3 1.600 1 0- 3 1.372 • 10~3 1.189 10"3 1.041 10"3 9.183 1 0 -4 8.163 1 0 -4 7.305 • 10~4 6.575 10~4 geconc. 1.000 9.837-10"l 9.516 9.051 8.459 7.763 6.988 6.163 5.315 4.472 3.661 2.903 2.219 1.620 1.117 7.130 4.072 1.942 6.467 6.575 ï o -l ï o -l i o -1 ÏO"1 ïo-l ïo-1 ïo-l ïo-1 ÏO"1 ÏO"1 i o -1 ïo-1 ïo-1 i o -2 ÏO"2 ÏO"2 i o -s ÏO"4