Seria: AUTOMATYKA z. 129 Nr kol. 1474
K rzysztof GIARO, Dariusz SZYFELBEIN Politechnika Gdańska
Z W A R T E S Z E R E G O W A N IE ZADAŃ
W R O Z R Z E D Z O N Y M SY STEM IE OTW A RTY M
Streszczenie. W pracy rozważamy szeregowanie zadań w rozrzedzonym systemie otwartym bez obustronnych przestojów o jednostkowym czasie wykonania operacji.
Problem ten modelujemy za pomocą zwartego kolorowania krawędziowego grafów dwudzielnych. Stopień rozrzedzenia systemu otwartego mierzymy za pom ocą liczby cyklomatycznej odpowiadającego mu grafu. Praca opisuje w skrócie przebieg eksperymentu komputerowego weryfikującego hipotezę dotyczącą zwartego kolorowania grafów o liczbie cyklomatycznej nie większej niż 8.
C O M P A C T SC H ED U LIN G O F TASKS IN SPARSE OPEN SH O P
S um m ary. In the paper we consider compact scheduling o f tasks in sparse open shop with zero-one execution time o f operations. We model this problem with consecutive edge coloring o f bipartite graphs. Sparse factor o f open shop is measured as cyclomatic n u m b e r'o f corresponding graph. We shortly describe computer experiments which verify hypotheses that concern consecutive coloring o f graphs with cyclomatic number not greater than 8.
1. W prow adzenie
O szeregowaniu zadań bez przestojów mówimy wtedy, gdy układamy harmonogram dla pewnego systemu, w którym z pewnych względów konieczne jest zapewnienie warunków ciągłej pracy (brak przerw) poszczególnym jego podmiotom. Rozważmy skończony zbiór zadań oraz maszyn ■ Każde zadanie Jt zbudowane jest z m operacji 0 \j,...,0 mj, przy czym operacja 0,s ma się wykonywać na maszynie M , przez czas pij.
Celem naszym jest znalezienie harmonogramu, tj. takiego przyporządkowania wszystkim operacjom przedziałów czasowych (lewostronnie domkniętych i prawostronnie otwartych) o długościach p v, by:
• żadne dwie operacje z tego samego zadania nie wykonywały się w tej samej chwili czasu, oraz
• żadna maszyna nie pracowała równocześnie nad dwiema różnymi operacjami.
74 K. Giaro. D. Szyfelbein M ożna zauważyć, że definicje te nie narzucają na zadania konieczności posiadania operacji na wszystkich maszynach, brakujące operacje możemy bowiem uzupełnić operacjami pustym i o zerowym czasie wykonania. Badamy przy tym model systemu otwartego, kiedy to kolejność wykonywania operacji w obrębie zadania jest dowolna. Wówczas warunek pracy ciągłej mówi nam, że:
• operacje w obrębie każdego zadania muszą wykonywać się jedno po drugim bez przerw czasowych.
• maszyny muszą pracować w ciągłym przedziale czasu, bez przerw między operacjami.
Często spotykanym i nie pozbawionym znaczenia praktycznego założeniem upraszczającym jest przyjęcie jednakowych czasów wykonywania operacji (p,y£ {0,1}).
Wówczas nasz problem można w wygodny sposób zamodelować za pom ocą kolorowania grafów. Tworzymy bowiem graf dwudzielny, którego wierzchołki jednej partycji stanowią maszyny, a drugiej - zadania, zaś krawędzie między nimi symbolizują istnienie pewnej operacji w danym zadaniu, wykonującej się na konkretnej maszynie. Wówczas harmonogram to nic innego jak pokolorowanie krawędziowe tak powstałego grafu liczbami naturalnymi oznaczającymi kolejne jednostki czasu. Warunek szeregowania bez przestojów oznacza teraz, że numery kolorów użytych na krawędziach incydentnych do każdego wierzchołka naszego grafu muszą tworzyć „zwarte” przedziały kolejnych liczb naturalnych. Kolorowanie spełniające powyższe założenie nosi nazwę zwartego kolorowania krawędziowego - pojęcie to stanowi teoriografowy odpowiednik szeregowania zadań bez przestojów i jest od pewnego czasu badane w teorii grafów.
Znany jest fakt, iż problem istnienia kolorowania zwartego jest NP-zupełny nawet dla grafów dwudzielnych. Z drugiej strony dla wielu klasycznych rodzin takich grafów istnieją wielomianowe algorytmy kolorujące (są to np. regularne, drzewa, jedno- i dwucykliczne, pełne dwudzielne, podkubiczne, konstrukcje 3-procesorowe, kaktusy, zewnętrznie planarne i inne). Nie jest jak dotąd znany najmniejszy graf dwudzielny nie dający się kolorować w sposób zwarty (choć badania komputerowe wykluczyły istnienie takiego grafu opartego na mniej niż 15 wierzchołkach), a najmniejsze znane przykłady to grafy duże. Przykładowo, tzw.
rozeta M ałafiejskiego ma aż 19 wierzchołków i 45 krawędzi [4], Te i inne wyniki sugerują, że istnienie zwartego kolorowania jest cechą powszechną wśród małych lub rzadkich grafów dwudzielnych, tj. o niewielkiej liczbie krawędzi. Parametrami skutecznie mierzącymi stopień rozrzedzenia grafu są, jak wiadomo: jego maksymalny stopień oraz liczba cyklomatyczna.
Odnośnie do pierwszego z nich wykazano, iż grafy dwudzielne o maksymalnym stopniu 3 są zwarcie kolorowalne, zaś już dla stopnia 4 zagadnienie to od dawna stanowi problem otwarty.
W pracy niniejszej skupimy się więc na drugim parametrze. Dotąd wiadomo było, iż wszystkie grafy dwudzielne o liczbie cyklomatycznej nie przekraczającej 2 dają się pokolorować w sposób zwarty. Autorzy tego artykułu znaleźli metodę komputerowej weryfikacji podobnych stwierdzeń dla liczb cyklomatycznych większych od 2. Okazuje się, że znalezienie zwartego pokolorowania dla pewnego skończonego zbioru grafów dwudzielnych o cykliczności nie przekraczającej k implikuje istnienie takiego pokolorowania dla wszystkich nieskończenie wielu takich grafów. W kontekście szeregowania zadań oznacza to, iż dla rozrzedzonego systemu otwartego zawsze istnieje uszeregowanie bez postojów, przy czym za miarę owego rozrzedzenia przyjmujemy liczbę cyklomatyczną odpowiadającego mu grafu dwudzielnego.
Przebieg eksperymentu jest następujący. Dowodzimy, iż w celu wykazania istnienia zwartego kolorowania dla wszystkich grafów dwudzielnych o liczbie cyklomatycznej nie przekraczającej k wystarczy rozważyć takie grafy o pewnej specyficznej postaci. Są to mianowicie grafy spójne, bez wierzchołków stopnia 1, dla których każda ścieżka złożona z wierzchołków stopnia 2 i łącząca wierzchołki stopnia większego od 2 ma długość nie przekraczającą 3. Jest to skończona rodzina grafów i istnienie kolorowania zw artego sprawdzamy dla nich komputerowo. To jednak wymaga ich wcześniejszego skatalogowania.
W tym celu katalogujemy wszystkie spójne i niehomeomorficzne multigrafy bez wierzchołków stopnia 1 o danej liczbie cyklomatycznej, następnie zaś zamieniamy na wszelkie możliwe sposoby odpowiednie krawędzie multigrafów krótkimi ścieżkami złożonymi z wierzchołków stopnia 2, tak by otrzymany graf był dwudzielny. Zatem jako produkt pośredni eksperymentu uzyskujemy katalog opisujący wszystkie topologiczne struktury rdzeni grafów o danej liczbie cyklomatycznej. W trakcie doświadczenia uniknięto wielokrotnych wystąpień struktur homeomorficznych, stosując specjalny format kodowania multigrafu za pomocą grafu prostego i sprowadzając zagadnienie homeomorfizmu do izomorfizmu grafu. Ze względu na kombinatoryczny wzrost liczby rozwiązań w funkcji parametru cykliczności byliśmy zmuszeni do zakończenia eksperymentu przy liczbie cyklomatycznej 8, tym niemniej opisana metoda jest ogólna i może być kontynuowana dla większych wartości. Sądzimy, iż opisany katalog może okazać się przydatny do komputerowego dowodzenia innych niż istnienie zwartego kolorowania własności grafów o niewielkiej cykliczności.
76 K. Giaro. D. Szyfelbein
2. Z w a rte kolorow anie grafów
Dany jest graf spójny G = (V, £), w którym V = v„} jest zbiorem wierzchołków a E = {ei,..., em} zbiorem krawędzi. Dla każdego wierzchołka v tfc(v) jest jego stopniem, a A = max i/G(v ) to maksymalny stopień w grafie. Liczba cyklomatyczna k grafu G jest to liczba cykli podstawowych w grafie i można ją opisać wzorem k = m - n + 1.
D efinicja 2.1. Niech G = (V, E) będzie dowolnym grafem. Przyporządkowanie liczb naturalnych do krawędzi w grafie G nazywać będziemy pokolorowaniem krawędziowym grafu G wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego wierzchołka v krawędzie do niego incydentne otrzymują różne kolory. Ponadto pokolorowanie takie nazywamy pokolorowaniem zwartym wtedy, gdy dla każdego wierzchołka v zbiór kolorów krawędzi do niego incydentnych stanowi zwarty przedział złożony z kolejnych liczb naturalnych.
Oczywiście nie wszystkie grafy można pokolorować w sposób zwarty, a problem polegający na sprawdzeniu, czy dany graf można pokolorować w sposób zwarty, jest NP- zupełny. Dotyczy to również grafów dwudzielnych, które są przedmiotem zainteresowania niniejszej pracy [5].
Powrócimy teraz na chwilę do zwykłego kolorowania krawędziowego grafu, w którym pominięty jest warunek zwartości, i spróbujmy oszacować minimalną liczbę kolorów potrzebnych do pokolorowania grafu. Jak łatwo zauważyć, nie może ona być mniejsza niż A.
Natomiast górne oszacowanie podaje twierdzenie Vizinga [6]. Mamy zatem:
T w ierdzenie 2.2. Dowolny g r a f można pokolorować używając co najwyżej A + 1 kolorów. □ Fakt ten pozwala nam podzielić grafy proste na dwie klasy:
Klasa 1 - grafy, które można pokolorować A kolorami.
Klasa 2 - grafy, które można pokolorować A +1 kolorami.
Rozpatrując zwarte kolorowanie grafów w pracy [1] podano następujące twierdzenie:
T w ierdzenie 2.3. [ 1 ] Każdy g r a f dający się pokolorować w sposób zwarty je s t klasy 1. a Powyższe twierdzenie pozwala nam określić grafy posiadające zwarte pokolorowanie mianem grafów klasy 0.
Z punktu widzenia szeregowania zadań w systemie otwartym ciekawe jest jedynie zwarte kolorowanie grafów dwudzielnych. Jednak pomimo tego, że na mocy twierdzenia Kóniga [2] wszystkie grafy dwudzielne są klasy 1, to nie wszystkie należą do klasy 0.
Najmniejsze znane grafy dwudzielne, które nie są zwarcie kolorowalne, są stosunkowo duże.
Fakt ten skupił uwagę autorów na grafach małych i rzadkich. Jak już wspomniano, istnieją dwa parametry skutecznie mierzące stopień rozrzedzenia grafu: jego maksymalny stopień lub liczba cyklomatyczna, W pracy niniejszej zajmiemy się drugim parametrem. Naszym celem będzie komputerowa weryfikacja odpowiedzi na pytanie: dla jakiej liczby cyklomatycznej k grafy dwudzielne są zwarcie kolorowalne. W następnym rozdziale omówimy pewne podstawy teoretyczne pozwalające nam na ograniczenie przestrzeni poszukiwań do pewnego skończonego podzbioru nieskończonego zbioru grafów dwudzielnych o cykliczności k.
3. Z w arte kolorow anie grafów k cyklicznych
Grafem k cyklicznym nazywamy taki graf G, dla którego spełniony jest warunek k = m - n + 1. Znany jest następujący fakt:
T w ierdzenie 3.1. [3] Wszystkie grafy dwudzielne o liczbie cyklomatycznej równej 2 można pokolorować w sposób zwarty. □
Jak dotąd nie są znane żadne matematyczne dowody twierdzeń dla większych liczb cyklomatycznych. Powstaje zatem pytanie, czy można zrobić to za pom ocą metod komputerowych. Wiadomo doskonale, że dla danej liczby cyklomatycznej nie można zbadać wszystkich takich grafów, ponieważ jest ich nieskończona liczba. Jednak, jak się okazuje, wystarczy sprawdzić ich pewien skończony podzbiór. Kolejne twierdzenia określają pewne własności hipotetycznego grafu dwudzielnego, który nie należy do klasy 0 i pozw alają istotnie zredukować przestrzeń poszukiwań. Zacznijmy od następującego twierdzenia:
T w ierdzenie 3.2. Jeżeli wszystkie składowe spójności grafu dwudzielnego G są zwarcie kolorowalne, to G je s t także zwarcie kolorowalny. □
Stwierdzenie to pozwala nam ograniczyć się tylko do grafów spójnych.
T w ierdzenie 3.3. Jeżeli g r a f dwudzielny G je s t zwarcie kolorowalny, to g r a f G ’ pow stały poprzez dodanie tzw. „ wiszącej " krawędzi je st również zwarcie kolorowalny. □
To z kolei pozwala nam na ograniczenie do grafów bez wierzchołków stopnia 1. Oznacza to również, że w naszych grafach nie będzie „wiszących” drzew. Każdy wierzchołek zatem będzie należał do jakiegoś cyklu.
Tw ierdzenie 3.4. Jeżeli grafy dwudzielne G i G ’ są zwarcie kolorowalne, to g r a f dwudzielny G "pow stały z tych dwóch grafów sklejonych ze sobą dwoma dowolnymi wierzchołkami v z G i w z G 'je st także zwarcie kolorowalny. □
78 K. Giaro. D. Szyfelbein
G raf G” jest grafem 1 -spójnym wierzchołkowo. Nas natomiast będą interesować grafy 2-spójne wierzchołkowo. Jak na razie ciągle zbiór grafów do zbadania jest nieskończony. Z pomocą przychodzi nam następne twierdzenie.
T w ierdzenie 3.5. Jeżeli g r a f dwudzielny G, w którym wszystkie ścieżki z wierzchołkami stopnia 2 mają długość co najwyżej 3, je s t zwarcie kolorowalny, to g r a f dwudzielny G ' pow stały z G, w którym ścieżki z wierzchołkami stopnia 2 są wydłużone o dowolną parzystą
liczbą wierzchołków, je s t także zwarcie kolorowalny. □
Jak wiadomo, wierzchołki stopnia 2 nie mają wpływu na liczbę cyklom atyczną naszego minimalnego grafu. Zastąpmy każdą ścieżkę o wierzchołkach stopnia 2 pojedynczą krawędzią. Spowoduje to powstanie multigrafu schematycznie przedstawiającego strukturę poszukiwanego grafu. Wszystkie wierzchołki w nim są stopnia co najmniej 3, m ogą natomiast pojawić się krawędzie wielokrotne W grafie tym nie występują jednak pętle na mocy twierdzenia 3.4. Niech n ' będzie liczbą wierzchołków, a m ’ liczbą krawędzi. Możemy zapisać m ’ = n ’ + k - 1 oraz 2m ’ = Z d{v) > 3n \ Z równań tych po odpowiednich przekształceniach wynika, że n ’ < 2 k - 2 oraz m ' < 3k - 3.
Wróćmy teraz do grafu z wierzchołkami stopnia 2 (ich liczbę oznaczymy jako w”).
Każda z m ' krawędzi może być zastąpiona ścieżką o co najwyżej dwóch wierzchołkach, co daje nam nierówność n” < 2m ' = 6k - 6. Zatem n = n ’ + n” < Sk - 8. Oznacza to, że zbiór interesujących nas grafów ograniczył się do grafów dwudzielnych o rzędzie nie większym niż 8 A-8 .
To ostatnie stwierdzenie ogranicza nam zbiór grafów do przebadania do zbioru skończonego. Rozumowanie powyższe zostało zastosowane w eksperymencie komputerowym, który będzie opisany w następnym punkcie.
4. O pis eksperym entu kom puterow ego
W punkcie tym opiszemy algorytm generujący grafy, korzystając z własności opisanych twierdzeniami 3.2, 3.3, 3.4 oraz 3.5.
1. Generujemy wszystkie grafy, które mają nie więcej niż n ’ wierzchołków.
2. Odrzucamy grafy, które nie są 2-spójne wierzchołkowo.
3. Na wszystkie możliwe sposoby przekształcamy krawędzie na multikrawędzie tak, aby ich liczba była ró w n a n ’ + k - 1.
4. Odrzucamy grafy, które mają wierzchołki stopnia mniejszego niż 3.
5. K ażdą multikrawędź o zwielokrotnieniu / zastępujemy / ścieżkami o długości 2.
6. Usuwamy izomorficzne kopie grafów.
7. Dokonujemy operacji odwrotnej do 5.
8. Dla każdego grało znajdujemy jego drzewo spinające metodą pogłębiania (DFS).
9. Na wszystkie możliwe sposoby multikrawędzie w drzewie spinającym zastępujemy konstrukcjami pokazanymi na rysunku 1.
10. Pozostałe krawędzie zastępujemy konstrukcjami jak na rysunku 1 tak, aby w każdym cyklu tworzonym z krawędzi z drzewa DFS i zastępowanej krawędzi liczba konstrukcji typu odd była parzysta.
11. Usuwamy izomorficzne kopie grafów.
R ys.l. Dwie możliwe konstrukcje, którymi można zastąpić multikrawędź o zwielokrotnieniu l F ig .l. Two possible constructions which can be placed instead o f multiedge o f multiplicity /
W punkcie 5 przekształcamy multigraf w graf, ponieważ w punkcie 6 usuwanie izomorfizmów przeprowadzane jest na grafach prostych. Drzewo spinające grafu ma tę własność, że dodanie do niego krawędzi z grafu G powoduje powstanie cyklu. G raf G jest wtedy dwudzielny, jeśli liczba konstrukcji typu odd w każdym cyklu fundamentalnym jest parzysta. Wystarczy zatem na wszystkie możliwe sposoby zastąpić multikrawędzie konstrukcjami pokazanym na rysunku 1 w drzewie DFS. Pozostałe multikrawędzie m uszą być tak zastąpione, aby graf spełniał warunek dwudzielności. Zmniejszy to liczbę różnych kombinacji z 2'" do 2” ~ '.
Konstrukcje pokazane na rysunku 1 na mocy twierdzeń 3.2, 3.3, 3.4, 3.5 są jedynymi konstrukcjami, którymi można zastąpić multikrawędź. W ten sposób powstały katalog poddajemy algorytmowi zwartego kolorowania grafu.
Na rysunku 2 pokazano działanie algorytmu dla liczby cyklomatycznej 3. Jest to jeden z grafów wygenerowanych w krokach 1 i 2. Na rysunku nie pokazano kroków 6 oraz 11.
Multikrawędzie w drzewie DFS (krok 8) w tym przykładzie możemy zamienić konstrukcjami typu even oraz odd na 22 = 4 sposoby (krok 9). U dołu rysunku 2 pokazano wszystkie powstałe w ten sposób kombinacje.
even odd
80 K. Giaro. D. Szvfelbein
Rys.2. Przykład działania algorytmu generującego grafy. W nawiasach podano krok algorytmu. Etykiety krawędzi oznaczają istnienie multikrawędzi o danym zwielokrotnieniu
Fig.2. Example o f performance o f the algorithm. Numbers in brackets mean step o f algorithm.
Labels on the edges mean the multiplicity o f multiedges 5. W yniki
W doświadczeniu naszym korzystaliśmy z pakietu NAUTY, za pom ocą którego zostały zrealizowane kroki 1, 2, 6, 11 algorytmu, natomiast pozostałe kroki zaimplementowano w języku C++. Testy przeprowadzono na komputerze PC z procesorem Intel Celeron 300M Hz z systemem operacyjnym Linux. Wyniki testów dla liczb cyklomatycznych od 1 do 8 przedstawia tablica 1.
Najdłuższym etapem naszego eksperymentu jest oczywiście zw arte kolorowanie wygenerowanych grafów (jest to 99% czasu obliczeń). Czas obliczeń dla liczby cyklomatycznej 8 wynosi już około 2 tygodnie. Autorzy szacują, że dla liczby cyklomatycznej 9 czas ten będzie wynosił około 200 dni. Najmniejszy ze względu na liczbę cyklomatyczną znany graf, który nie jest zwarcie kolorowalny, ma liczbę cyklom atyczną
równą 13 [4], Sprawdzenie, czy jest on rzeczywiście najmniejszy, wymagałoby zapewne zrównoleglenia obliczeń oraz wykorzystania komputerów o większej mocy obliczeniowej.
Dodatkowym problemem jest przechowywanie tak dużej liczby grafów (przykładowo dla liczby cyklomatycznej równej 8 potrzeba już około 2GB wolnej przestrzeni dyskowej).
Eksperyment przeprowadzono pod systemem operacyjnym Linux, ponieważ w przeciwieństwie do systemu Windows podczas przetwarzania potokowego wykorzystanego w naszej implementacji nie zapisuje on wyników pośrednich na dysku, co zmniejsza ilość potrzebnego miejsca na dane.
Tablica 1 Liczba grafów dla poszczególnych liczb cyklomatycznych _________________ oraz czasy obliczeń __________________
Liczba cyklomatyczna Liczba grafów Czas obliczeń
1 1 < ls
2 2 < ls
3 28 < ls
4 305 2s
5 5364 30s
6 145952 10 min.
7 5754464 12 godz.
8 44670675 2tyg.
6. P odsum ow anie
Wyniki obliczeń komputerowych pozwalają nam sformułować następujące twierdzenie:
T w ierdzenie 6.1. Wszystkie grafy o liczbie cyklomatycznej nie większej niż 8 są zwarcie kolorowalne. □
Rodzina grafów, którą opisuje twierdzenie 6.1, jest nieskończona. Ponadto ta sama metoda może posłużyć do dowodzenia twierdzeń dla wyższych liczb cyklomatycznych.
Pomimo kombinatorycznego wzrostu liczby rozwiązań zweryfikowanie hipotezy mówiącej, że najmniejszy graf, który nie jest zwarcie kolorowalny, ma liczbę cyklomatyczną rów ną 13, staje się coraz bardziej realne. W trakcie doświadczenia zastosowano nietrywialny algorytm generujący grafy istotne z punktu widzenia problemu zwartego kolorowania grafów k cyklicznych. Podejście to może służyć jako inspiracja do tworzenia innych algorytm ów teoriografowych. Ponadto uważamy, że opisany katalog może okazać się przydatny do komputerowego dowodzenia innych niż istnienie zwartego kolorowania własności grafów o niewielkiej cykliczności.
82 K. Giaro. D. Szvfelbein
LITERATURA
1. Asratian A., Kamalian R.: Investigation on interval edge-colorings o f graphs, J. Cómbin.
Theory, Ser. B 62 (1994) 34-43.
2. Cole R., Hopcroft J.: On edge coloring bipartite graphs, SIAM J. Comput. 11 (1982) 540- 546.
3. Giaro K.: Szeregowanie zadań na procesorach dedykowanych bez obustronnych przestojów (rozprawa doktorska), Politechnika Gdańska, Wydział ETI (1999).
4. Giaro K., Kubale M., Małafiejski M.: On the deficiency o f bipartite graphs, Disc. Appl.
Math., 94(1999) 193-203.
5. Sevastjanov S.: On interval colorability o f a bipartite graph (w jęz. rosyjskim) Met.
Diskret. Analiz. 50 (1990) 61-72.
6. Vizing V.: On an estimate o f the chromatic class o f a p -graph (w jęz. rosyjskim), Met.
Diskret. Analiz. 3 (1964) 25-30.
Recenzent: Prof.dr hab.inż. J.Klamka A b stract
In the paper we consider compact scheduling o f tasks in sparse open shop with zero- one execution time o f operations. We model this problem with consecutive edge coloring o f bipartite graphs. Sparse factor of open shop is measured as cyclomatic number o f corresponding graph.
First we give some short description o f consecutive coloring o f bipartite graph. Then we discuss some properties of graphs with given cyclomatic number. It is well known that, there exists infinite set o f graphs with given cyclomatic number. It is impossible to check all these graphs, but we can reduce significantly this set to check if there exists graph, which is not consecutively colored.
This article briefly describes computer experiments which verify hypotheses that concern consecutive coloring o f graphs with cyclomatic number not greater than 8. W e show that all these graphs are consecutively colored. In the worst case we had to verify about 45 millions o f graphs. Duration o f the longest test was about two weeks. We claim that our method can be used for verification o f other graph theory problems.
