Seria: TR A N SPO R T z. 48 N r kol. 1604
Piotr FO LĘG A, A ndrzej W ILK
ZASTOSOWANIE MEB W KOMPUTEROWYM WSPOMAGANIU KONSTRUOWANIA PRZEKŁADNI ZĘBATYCH
Streszczenie. W pracy przedstaw iono zastosow anie M etody E lem entów B rzegow ych (M EB) w kom puterow ym w spom aganiu konstruow ania przekładni zębatych.
THE APPLICATION BEM IN THE COMPUTER AIDED ENGINEERING OF DRIVING GEARS
Sum m ary. A pplication o f the B oundary E lem ents M ethod (B EM ) in the com puter aided engineering o f driving gears has been presented in the paper.
1. W PR O W A D ZEN IE
D ążenie do zm niejszenia w ym iarów przekładni zębatych, a także w zrost obciążeń roboczych przenoszonych przez przekładnie w pływ ają na zw iększenie sił m iędzyzębnych.
Potrzeba spełnienia w ysokich w ym agań stawianych przekładniom zębatym pow oduje, że prow adzi się ciągłe badania w celu zw iększenia w ytrzym ałości zębów kół zębatych.
Jedną z najprostszych m etod obliczeniow ych pozw alających n a określenie naprężeń w podstaw ie zęba k o ła zębatego je s t m etoda łam anych przekrojów . M etoda ta za pom ocą elem entarnych sposobów znanych z w ytrzym ałości m ateriałów daje ja k o ścio w o dobry obraz stanu naprężenia w podstaw ie zęba, uw zględniając naprężenia w yw ołane m om entem gnącym, siłą ścinającą oraz siłą ściskającą. Jednakże w yniki obliczeń tą m e to d ą nie są w ystarczająco dokładne z uw agi na zbyt u proszczony m odel obliczeniow y zęba. In n ą z m etod służącą do określania naprężeń w p odstaw ie zęba je st m etoda odw zorow ań w iem okątnych (M O W ).
Oparta je st ona na odw zorow aniach w iem okątnych pozw alających w ykorzystać znane rozw iązania dla półprzestrzeni sprężystej. M etoda ta została rozw inięta i przystosow ana do obliczeń num erycznych przez prof. L. M ullera. Jed n ą z głów nych zalet M O W je s t fakt, że otrzym uje się zadow alające w artości naprężeń w podstaw ie zęba przy założeniu kilku punktów na zarysie stopy zęba. Z aleta ta okupiona je s t jed n ak k o n ieczn o ścią rozw iązyw ania układu nieliniow ych rów nań algebraicznych, co stw arza problem y natury num erycznej. Do głównych w ad M O W należy je d n a k przede w szystkim brak uniw ersalności. Zastosow anie M O W do obliczeń n aprężeń w kołach w ew nętrznie uzębionych napotyka na znaczne trudności. O becnie w praktyce konstrukcyjnej najczęściej do w yznaczania naprężeń w podstaw ie zęba napędów zębatych stosuje się m etody zalecane przez norm y ISO lub D IN (rys.
1). M etody te u w zg lęd n ia ją jed n a k w yłącznie naprężenia gnące w podstaw ie zęba. D la
16 P. Folęga, A. W ilk
uściślenia obliczeń w ytrzym ałościow ych i optym alizacji cech konstrukcyjnych przekładni celow e je st stosow anie dokładnych m etod w yznaczania naprężeń. M etodam i zapew niającym i obecnie n ajw iększą dokładność uzyskanych w yników naprężeń w podstaw ie zęba oraz uniw ersalność zasto so w an ia w zębach o dow olnej geom etrii kół w ew nętrznie i zew nętrznie uzębionych są num eryczne m etody analizy stanu naprężenia. N ależą do nich M etoda Elem entów B rzegow ych (M EB ) oraz M etoda Elem entów Skończonych (M ES).
A n a liz a s ta n u n a p r ę ż e n ia w p o d s t a w ie z ę b a
M e t o d y M e t o d y a n a lit y c z n e n u m e r y c z n e
IS O , D IN M E S , M E B
Rys. 1. M etody stosow ane obecnie do w yznaczania naprężeń w stopie zęba Fig. 1. The m ethods o f calculation on the values o f stresses in the base o f a tooth
W niniejszym opracow aniu przedstaw iono zastosow anie M EB w obliczeniach w ytrzym ałościow ych zębów napędów zębatych. W tym celu opracow ano program y kom puterow e służące do analizy stanu naprężenia i przem ieszczeń zębów kół zębatych [ 1,2 ].
O bliczenia w ykonyw ane są przy w ykorzystaniu trzech program ów kom puterow ych. Pierw szy program pozw ala w yznaczyć dokładne zarysy zębów kół zew nętrznie lub w ew nętrznie uzębionych w zależności od przyjętych cech geom etrycznych kół zębatych i param etrów zarysu odniesienia. K o lejn y program na podstaw ie w czytanych danych geom etrycznych um ożliw ia zadanie w arunków brzegow ych (obciążeń i p odpór w dow olnie przyjętych w ęzłach) oraz dow olne zobrazow anie przyjętego m odelu num erycznego. Po w czytaniu tak przygotowanych danych w ejściow ych w ykonyw ane są obliczenia num eryczne, przy pom ocy program u do analizy płaskiego stanu naprężenia i przem ieszczenia z w ykorzystaniem M EB.
R ozpatryw ane przez autorów w dotychczasow ych opracow aniach obliczenia dotyczyły w szczególności następujących zagadnień:
- analizy stanu naprężenia w podstaw ie zęba koła zew nętrznie lub w ew nętrznie uzębionego w zależności od przyjętych cech geom etrycznych kół zębatych i param etrów zarysu odniesienia [1,2,3,5],
- analizy stanu naprężenia w p odstaw ie zęba koła zew nętrznie uzębionego z uw zględnieniem naturalnego procesu zużyw ania się zębów w w yniku ich w spółpracy oraz param etrów protuberancji narzędzia [5,6],
- analizy stanu naprężenia w dnach w rębów m iędzyzębnych w ieńca zębatego tulei podatnej przekładni falowej [4,9],
- badania w arunków w y stąp ien ia poślizgu sprężystego w połączeniach skurczow ych w ieńców kół zębatych z piastam i [7].
2. W Y ZN A C ZA N IE N A P R Ę Ż E Ń W STO PIE ZĘB A PR ZY PO M O C Y M EB
Głównym pow odem w yboru przez autorów M EB do analizy stanu naprężenia w podstaw ie zęba było to, że w m eto d zie tej naprężenia w yznaczane są bezpośrednio n a brzeg u elem entu (na zarysie zęba). Z b adań dośw iadczalnych w ynika, że w przypadku zębów m aksym alne naprężenia w ystępują w łaśnie bezpośrednio na ich zarysie. M etoda ta ponadto w ym aga zwykle dyskretyzacji brzeg u ciała, a nie jeg o w nętrza, ja k to je s t w innych m etodach
numerycznych, np. w M ES (rys. 2). T a redukcja w ym iaru zadania o je d e n rząd ułatw ia przygotow yw anie danych w ejściow ych i prow adzi do układu rów nań algebraicznych znacznie m niejszego rzędu niż w M ES. M E B m oże być rów nież przydatna w analizie w rażliw ości i optym alizacji kształtu zarysu podstaw y zęba. D aje m ożliw ość p rzeprow adzenia analizy w ytrzym ałościow ej zębów o dow olnej geom etrii kół w ew nętrznie i zew nętrznie uzębionych oraz um ożliw ia optym alny dobór cech konstrukcyjnych kół zębatych i zarysu odniesienia.
Rys. 2. Podział zęba na elem enty w m etodzie M ES i M EB Fig. 2. The tooth division o f an elem ents in the FEM and BEM
M etoda E lem entów B rzegow ych je s t m etodą przybliżoną, m ającą z a podstaw ę analitycznie sform ułow ane zadanie brzegow e w postaci układu rów nań całkow ych. M etoda ta um ożliw ia ich przybliżone rozw iązanie przez dyskretyzację brzegu ciała elem entam i brzegow ym i oraz aproksym ację funkcji brzegow ych za p om ocą funkcji interpolacyjnych. W w yniku takiej procedury otrzym uje się układ rów nań algebraicznych, w którym niew iadom e w y stęp u ją tylko na brzegu ciała.
Z astosow anie M EB do efektyw nych i dokładnych obliczeń w ytrzym ałościow ych zębów w ym aga w cześniejszego przyjęcia m odelu fizycznego i m atem atycznego zęba. M odel fizyczny obejm uje nie tylko w łasności fizyczne tw orzyw a, z którego w ykonany je st ząb, ale także sposób obciążenia i podparcia. Te ostatnie czynniki decydują ostatecznie o praw idłowym sform ułow aniu zadania brzegow ego, które należy rozw iązać za p o m o cą MEB.
W ykonane o bliczenia kół w ew nętrznie i zew nętrznie uzębionych dotyczyły zębów stalowych obciążonych je d n o stk o w ą siłą skupioną w górnej części zarysu oraz podpartych w sposób przedstaw iony na rys. 3a. W obliczeniach rozpatryw ano w yodrębniony z koła zębatego pojedynczy ząb pom ijając w pływ sąsiednich zębów. Założenie to upraszcza obliczenia numeryczne, nie w prow adzając do w yników obliczeń znacznych błędów [ 1,2 ].
R ozw ażono także n ap rężen ia w w ieńcu zębatym tulei podatnej przekładni falow ej, której m odel num eryczny przedstaw iono n a rys. 3b. W m odelu tym obciążenie tulei pochodzące od generatora przekładni falow ej zostało zadane w postaci uprzednio w yznaczonych przem ieszczeń. N atom iast obciążenie w yw ołane przenoszonym przez przekładnię m om entem obrotowym zostało zadane w postaci sil m iędzyzębnych. W obliczeniach rozpatryw ano w yodrębnione z w ieńca zębatego trzy zęby pom ijając w pływ pozostałych. Ze w zględu na trudności num eryczne przyjęto uproszczony m odel w ieńca zębatego w zakresie analizy stanu naprężenia przy asym etrii stre f obciążenia: m iędzyzębnej i opierania n a generatorze.
N a rys. 3c przedstaw iono natom iast stosow any w obliczeniach [7] opracow any m odel num eryczny połączenia skurczow ego w ieńca zębatego.
18 P. Folęga, A. W ilk
a) c)
F,
b) A
V
7
Rys. 3. O pracow ane m odele num eryczne M EB stosow ane w obliczeniach:
a) w ytrzym ałości zębów kół zębatych, b) w ieńca zębatego tulei podatnej przekładni falowej, c) p o łączen ia skurczow ego w ieńca zębatego
.Fig. 3. The B EM num erical m odels in the analysis:
a) the toothed w heel, b) the flexspline, c) the force-fitted fastening
W program ie kom puterow ym do obliczeń w spółrzędnych punktów zarysu zębów w ykorzystano algorytm prof. L. M ullera. W szystkie w ym iary zębów zostały odniesione do m odułu, co pozw oliło uzyskać param etry geom etryczne zarysu zęba oraz w yniki obliczeń w w ielkościach bezw ym iarow ych.
3. ZA STO SO W A N IE M EB W A N A LIZIE ST A N U N A PR ĘŻEN IA W P O D ST A W IE ZĘB A
O kształcie zęba, a zw łaszcza jeg o stopy, decydują param etry nacinanego k o ła (liczba zębów, w spółczynnik przesu n ięcia zarysu) oraz param etry zarysu odniesienia (w ysokość głow y narzędzia, kąt zarysu, prom ień zaokrąglenia głow y narzędzia). W szystkie te param etry m ają bardzo istotny w pływ na kształt stopy zęba, a tym sam ym na w artości naprężeń tam występujących. W pracach [3, 5] przeanalizow ano w pływ cech geom etrycznych k o ła i zarysu odniesienia (frezu zębatkow ego oraz dłutaka) na w artości naprężeń w stopie zęba. W yniki obliczeń przedstaw iono w postaci krzyw ych ukazujących zależność naprężeń w stopie zęba w funkcji liczby zębów k o ła przy stałych w artościach w spółczynnika przesunięcia zarysu koła.
N aprężenia podano w jed n o stk ach bezw ym iarow ych:
gdzie: a™* - m aksym alna w artość naprężenia na brzegu zęba, b - szerokość k o ła zębatego, m - m oduł zęba, Fbn - w artość siły m iędzyzębnej.
O trzym ane w yniki obliczeń porów nano z rezultatam i uzyskanym i za p o m o cą m etod zalecanych przez no rm y ISO /D IN uzyskując zgodność jak o ścio w ą i ilościow ą. P rzykładow e
(1)
wyniki w ykonanych w pracach [3,5] obliczeń num erycznych przedstaw iono na rys. 4.
W pracy [5] rozw ażono przypadek naturalnego procesu zużyw ania się zębów w w yniku ich współpracy, a w szczególności w pływ u tego zużycia na w artości naprężeń w ystępujących w stopie zęba. N a podstaw ie dośw iadczeń eksploatacyjnych m ożna stw ierdzić, że zużycie pow ierzchni roboczej zębów prow adzi do w ystąpienia karbu w skrajnym p unkcie przyporu położonym na stopie zęba. W zrost w artości naprężeń w karbie w w yniku zachodzącego tam zużycia w znacznym stopniu odciąża stopę zęba, pow odując w niej stopniow y spadek naprężeń ze w zrostem w artości zużycia. Ze w zrostem głębokości zużycia w artości naprężeń w stopie zęba ulegają znacznem u zm niejszeniu przy jednoczesnym ich w zroście w karbie.
W określonych przypadkach karb spow odow any zużyciem zęba m oże spełniać rolę karbu odciążającego, zw iększając w ytrzym ałość podstaw y zęba na złam anie.
Rys. 4. N aprężenia w kole zębatym :
a) w ew nętrznie uzębionym , b) zew nętrznie uzębionym Fig. 4. Stresses in the: a) internal gear, b) external gear
W opracow aniu [6 ] p rzeprow adzono analizę w pływ u param etrów protuberancji narzędzia na wartości m aksym alnych naprężeń w podstaw ie zęba koła zew nętrznie uzębionego.
W przypadku kół szlifow anych opró cz karbu zm ęczeniow ego w stopie zęba m oże pow stać dodatkow y ostry karb spow odow any w spółpracą kraw ędzi tarczy szlifierskiej, który m oże znacznie zm niejszyć w ytrzym ałość zm ęczeniow ą zęba. A by uniknąć tego szkodliw ego zjawiska, stosuje się zarysy odniesienia z protuberancją. N a podstaw ie przeprow adzonych obliczeń num erycznych stw ierdzono, że w pływ param etrów protuberancji na zm iany naprężeń w podstaw ie zęba je s t nieznaczny.
W ażnym elem entem obliczeń w ytrzym ałościow ych przekładni falow ych je s t ocena wartości naprężeń w dnach w rębów m iędzyzębnych w ieńca zębatego jej tulei podatnej.
Częstym zjaw iskiem poprzedzającym zniszczenie tulei je s t jej pękanie w m iejscach lokalnego w zrostu naprężeń w w ieńcu zębatym . W pracach [4,9] przeprow adzono analizę w pływ u podstawow ych cech konstrukcyjnych tulei podatnej, takich ja k w zględna deform acja prom ieniow a i w zględna grubość pow łoki na w artości naprężeń w dnach w rębów m iędzyzębnych w ieńca zębatego. O trzym ane wyniki obliczeń num erycznych odpow iadały jakościow o w ynikom zam ieszczonym w literaturze uzyskanym i innym i m etodam i obliczeń.
W pracy [7] przedstaw iono zastosow anie M EB do w yznaczania rozkładów naprężeń na pow ierzchni p o łączen ia skurczow ego w ieńca ząbatego z piastą. R ozkłady te pozw oliły na ocenę nośności połączenia.
T r r r n
i n i L U J M I I I H— h f- H- — I
> I I I I 11 I
r r T r n u
-T=H M I II -IM
14 1« 18 20 25 30 40 50 75100 50C Liczba zębów kola z
20 P. Folęga, A. W ilk
4. PO D SU M O W A N IE
W pracy przedstaw iono zastosow anie M EB w kom puterow ym w spom aganiu konstruow ania przekładni zębatych [1,2,3,4,5,6,7,8,91. O trzym ane w yniki dotyczące naprężeń w stopach zębów staw iają tę m etodę na rów ni z innym i, w ykorzystyw anym i obecnie m etodam i analizy stanu naprężenia [8], Zastosow anie M EB w obliczeniach w ytrzym ałościow ych zębów kół zębatych um ożliw ia nie tylko ich num eryczną analizę w ytrzym ałości, ale także analizę w rażliw ości oraz optym alizację kształtu zarysu podstaw y zęba.
Literatura
1. W ilk A., M atyja T.: Z astosow anie M EB do w yznaczania naprężeń w p odstaw ie zębów kół w ew nętrznych uzębionych. XVII Sym pozjum PK M , L ublin-N ałęczów 1995.
2. W ilk A., M atyja T.: Z astosow anie M EB w obliczeniach w ytrzym ałościow ych kół zębatych. M at. Konf. „M etody i środki projektow ania w spom aganego k om puterow o” , Pol.
W arszaw ska 1995.
3. W ilk A., M atyja T., F olęga P.: A naliza w pływ u cech konstrukcyjnych koła w ew nętrznie uzębionego i n arzędzia na naprężenia w podstaw ie zęba, ZN Pol. SI., s. T ransport, Z. 28, G liw ice 1996.
4. Folęga P., W ilk A.: A naliza stanu naprężeń w ieńca zębatego tulei podatnej przekładni falowej z w ykorzystaniem M EB, M ateriały XIII K onferencji „M etody i środki projektow ania w spom aganego kom puterow o” , Politechnika W arszaw ska, 2001.
5. W ilk A., Folęga P.: W yznaczanie w ytrzym ałości podstaw y zębów kół napędów zębatych, ZN Pol. Śl., s. T ransport, Z. 29, G liw ice 1997.
6 . Folęga P., W ilk A.: W pływ protuberancji na stan naprężeń w stopie zęba koła zew nętrznie uzębionego, ZN Pol. Śl., s. T ransport, Z. 38, G liw ice 1999.
7. M atyja T., W ilk A.: P ropozycja m odyfikacji m etody konstruow ania kół z nasadzanym i w ieńcam i w napędach zęnatych, ZN Pol. Śl., s. Transport, Z. 29, G liw ice 1997.
8. Folęga P., W ilk A.: A naliza stanu naprężenia w podstaw ie zęba z w ykorzystaniem M EB.
M ateriały X X I S ym pozjonu PK M , B ielsko-B iała-U stroń, T om I, W N T 2003.
9. Folęga P., W ilk A.: N um eryczna analiza stanu naprężenia w ieńca zębatego tulei podatnej za pom ocą M EB , ZN Pol. Śl., s. Transport, Z. 42, G liw ice 2001.
Recenzent: Prof, dr hab. inż. Z bigniew D ąbrow ski
A b stra c t
A pplication o f the B oundary E lem ents M ethod (BEM ) in the num erical analysis o f the strength o f the driving gears has been presented in the paper. There has b een p resented the influence o f the construction features o f gear w heel and construction features o f the tool on the values o f stresses in the base o f an internal and external gear tooth. A nalysis o f the influence o f w ear o f active faces o f teeth and influence o f the construction features o f protuberation on the values o f stresses in their bases has also been m ade. A pplication o f the BEM in the num erical analysis o f the harm onic gear drive flexspline has been p resented in the paper too.
Praca wykonana w ramach BK-222/RT2/2003
