Sammlung* Göschen
Elektrische Schwingungen
Von
Dr. Hermann Rohmann
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Mit 68 Abbildungen
K r i e g s e i n b a n d
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Sammlung Göschen
E l e k t r i s c h e S c h w i n g u n g e n
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Dr. Hermann Rohmann
P r iv a td o z e n t an d er U n iv e r sitä t Straßburg
II
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Mit 68 Abbildungen
B e r li n u n d L e ip z i g
G. J. G ö s c h e n ’s c h e V e r la g s h a n d l u n g G. m. b. H.
1 9 1 4
A lle R e c h te , n a m en tlic h d a s Ü b e rsetzu n g sr ech t v o n d e r V erlag sh an d lu n g V orbehalten.
a h a
D ru ck d er S pam ersch en B u ch d ru ck erei in L eipzig.
Inhalt.
S eite I . S c h w i n g u n g s f ä h i g e S y s t e m e m i t v e r t e i l t e r K a p a z i t ä t
u n d S e l b s t i n d u k t i o n .
1. N ich tq u a sista tio n ä re K on d en satorkreise.
A . E in le itu n g : S ch em a tisch e D a rstellu n g n ich tq u a sista tio n ä rer
K r e i s e ... 5
B . M ech anische M o d e l l e ... 9
2 . S y ste m e m it g le ich m ä ß ig v erteilter K a p a zitä t u n d S elb stin d u k tio n A . D ifferen tia lg leich u n g für das P a r a lle ld r a h tsy s te m ...11
B . S elb stin d u k tio n u nd K a p a zitä t pro L än gen ein h eit: a) beim P a r a lle ld r a h t s y s t e m ...15
b) b eim K a b e l ... 3 7 c) b eim einfachen D r a h t ...18
C. S p u l e n ...19
3. S teh en d e W ellen auf D rä h ten . (E in fach er D rah t). A . E rste F orm d er L ösun g der D ifferen tia lg leich u n g . a) S ch w ingu n gen auf d em freien geraden D r a h t ...19
b) E in seitig g eerd eter D r a h t ...24
4. E rregung der steh en d e n S c h w in g u n g e n ...26
A . E rregung durch F u n k e n ...26
B . E rregung durch p eriodische äußere K räfte. a) K op p elu n g m it einem K o n d e n s a to r k r e is e ... 30
b) O szillator im W echselfeld ( R e s o n a t o r ) ... 32
e) H ertzsch er (kreisförm iger) R e s o n a t o r ... 33
d) S eib tsch e Spule, T e s la t r a n s f o r m a t o r ... 35
5. F o r tsch reiten d e W ellen län gs D rä h ten . (Paralleldrähte). A. Z w eite F orm der L ösun g der D ifferen tia lg leich u n g . . . . 36
B . D ie E in w irk u n g äußerer K räfte. Q uelle. F ortsch reiten d e S in u s w e l l e n ...39
C. V erteilu n g v o n elek trisch er und m a g n etisch er F eld stä r k e um d ie D räh te ...43
D . E in flu ß der D ielek trizitä tsk o n sta n te d es d ie D rä h te um g eb en den M e d i u m s ...44
E . A bsorp tion der W e l l e n ... 44
6. W ellen au f b eg ren zten D r ä h t e n ...45
A . B rücke (W iderstands- u n d s e lb s t in d u k t io n s lo s ) ... 46
B . E igensch w in gu ngen v o n D r a h t r e c h t e c k e n ...50
C. D rah trech teck, erregt d urch Q uellen. A b h ä n g ig k eit der E r regun g v o n der L age der Q u e l le n ... 51
1*
4 In h alt.
S eite
D . F reie D r a h t e n d e n ... 53
E . K o n d en sa to r an d e n D ra h ten d e n . ... 55
F . E ig en sch w in g u n g e n n ich tq u a sista tio n ä r er K o n d en sa to r k reise 58 G. B rü ck e m it S e l b s t i n d u k t i o n ... 60
H . E in fü h ren der D rä h te in ein zw eite s D ielek trik u m . . . . 65
7. E x p erim en te lles über d ie E rzeu g u n g u n d U n tersu ch u n g voft D r a h t w e l l e n ...68
A . L echersch e A n o r d n u n g ... 68
B . B lo n d lo tsch e A n o r d n u n g ... 70
C. E rregu ng der O szillatoren h oher F req u en z durch F u n k en . . 72
D . M essung d er W e l l e n l ä n g e ... 75
E . D ie H ilfs m itte l zur B e o b a ch tu n g d er steh e n d e n W ellen. a) G e iß le r r o h r ... 78
b) R u b en ssch e F lä sc h c h e n in V erb in d un g m it B o lo m e ter oder T h e r m o e l e m e n t ... 79
c) H e rtzsch e A p p arate zum N a ch w e is d es e lek trisch en u n d m a g n etisc h en F e l d e s ...80
8. M essung v o n D iele k tr iz itä tsk o n sta n te n m it D ra h tw e llen . . . 81
I I . E l e k t r o m a g n e t i s c h e W e l l e n im f r e i e n R a u m . 1. S tra h lu n g ein e s S t r o m e le m e n t e s ... 84
2. S tra h lu n g v o n O s z i lla t o r e n ...89
3. E in w irk u n g der W ellen a u f e in e n R e s o n a t o r ... 90
4. S teh en d e W ellen in L u f t ... 91
5. E x p er im e n telles über d ie E rzeu g u n g u n d U n te rsu c h u n g v o n W ellen im freien R aum . A . O s z i l l a t o r e n ... 92
B . R e s o n a t o r e n ... . 94
C. H e rtzsch e V e r s u c h e ... 95
S a c h r e g i s t e r ...97
Literatur.
J. Z e n n e c k , E le k tr o m a g n e tisch e S ch w in g u n g en u n d d rah tlose T elegraphie.
1905.
— L ehrbuch d er d ra h tlo sen T elegrap h ie. 2. A ufl. 1913.
V gl. au ch d ie L ehrbücher der allg em ein en E lek trizitä tsleh re:
M. A b r a h a m , T heorie der E le k tr izitä t. I. B d . 4. A u fl. 1912.
E . C o h n , D as elek tro m a g n etisch e F e ld . 1900.
P . D r u d e , P h y s ik d es Ä thers. 2. A u fl. v o n W . K ön ig. 1912.
I. Schwingungsfähige Systeme mit verteilter Kapazität und Selbstinduktion.
1. Nichtquasistationäre Kondensatorkreise.
A . E in leitu n g: Schem atische D arstellung nichtquasi
stationärer Kreise.
Die im ersten Bändchen beschriebenen Erscheinungen und die aufgestellten Gesetze gelten nur für solche schwin
gungsfähige Gebilde und Schwingungen, die bestimmten Voraussetzungen genügen, quasistationär sind.
Bei der Ableitung der T h o m so n -F o rm e l usw. haben wir nämlich vorausgesetzt, daß der Strom in der den K on
densator schließenden D rahtleitung in jedem Augenblick an allen Stellen des D rahtes die gleiche Stärke hat, also, abgesehen vom Skineffekt, verteilt ist wie ein stationärer Strom ; ferner sollte die dam it zusammenhängende Vor
aussetzung gelten, daß elektrostatische Ladungen nur auf dem K ondensator Vorkommen.
U nter diesen Voraussetzungen ließ sich die Energie eines Kreises darstellen als Summe aus zwei Ausdrücken, von denen der erste die gewissermaßen im Kondensator lokalisierte e l e k t r o s t a t i s c h e Energie , C V 2 bedeutete und der zweite die m a g n e t i s c h e Energie der von einem bestim m ten Strome / durchflossenen Spule: I L P . D ar
aus ergaben sich dann sehr einfach die Schwingungs
gleichung und die übrigen Folgerungen.
6 Schw ingungsfähige System e u n d Selbstinduktion.
Kondensatorkreiso, die diesen Bedingungen praktisch Genüge leisten, lassen sich hersteilen und finden vielfache Anwendung. W ir haben aber schon früher angedeutet, daß es sich dabei n u r um eine Annäherung handeln kann.
Bei jedem wirklichen Kreise müssen m ehr oder weniger große Abweichungen von der quasistationären Strom ver
teilung vorhanden sein, weil auch auf den D rahtleitungen selber elektrostatische Ladungen auftreten.
Jedes kleinste Stück des D rahtes besitzt offenbar gegen andere Stücke (oder gegen die Erde) eine bestim m te K apazität, d. h. wenn die Stücke Potentialdifferenzen gegeneinander haben, müssen auf ihnen entsprechende E lek trizitäts
mengen angesammelt sein.
W enn nun durch die Leitungen Schwingungen oder Wechselströme Fig. i. fließen, die eine wechselnde P oten
tialdifferenz der einzelnen Stücke gegeneinander1) bewirk<||p«o ändern sich die Elektrizi
tätsm engen, die sich auf einem Stück befinden, fort
w ährend. Der zu einem solchen Stück hinfließende Strom wird also teilweise zur Aufladung verw andt und der abfließende Strom ist ihm nicht m ehr gleich; die Strom stärke v ariiert längs des Schließungsdrahtes.
Fig. 1 stellt schematisch ein System dar, dessen Ver
halten dem des wirklichen Kondensatorkreises nahe
kom m t. Zwischen den einzelnen Stellen der D rahtleitung sind kleine K ondensatoren eingefügt. Genauer wären sie in geeigneter Größe zwischen all denjenigen Stellen zu zeichnen, zwischen denen elektrische K raftlinien ver
laufen, also im allgemeinen unendlich klein, dafür aber
*) B eim K o n d en sa to rk reise m uß das P o te n tia l lä n g s d es D ra h tes sin k en v o n d em W ert, d en e s an d er K lem m e der p o sitiv en K o n d en satorbelegu n g h a t, b is zu d em an d er n eg a tiv e n B elegu ng.
N iehtquasistationäre K ondensatorkreise. 7 kontinuierlich verteilt. Ih r Verlauf im einzelnen ist n a tü r
lich ganz abhängig von der G estalt der D rahtleitung und von ihrer Lage gegen andere Leiter bzw. gegen die Erde.
Man bem erkt, daß m an ein solches Gebilde auffassen kann als bestehend aus einer großen, im Grenzfall unend
lich großen Anzahl von einzelnen Kondensatorkreisen, die untereinander gekoppelt sind.
I*
F ü r eine beliebige Form der D rahtleitung sind die ein
zelnen Kreise und ihre Beziehungen kaum zu übersehen.
F ü r gewisse Form en der Leitung vereinfacht sich dagegen das Schema bedeutend.
Bei einer D rahtleitung z. B., die aus einem langen schmalen Rechteck besteht (bzw. aus eng beieinander ge
führten Paralleldrähten) das von anderen Leitern und von der E rde sehr weit entfernt ist, werden elektrische K raftlinien von einem Stück des D rahtes im wesentlichen nur nach dem gerade gegenüberliegenden Stück verlaufen
8 Schw ingungsfähige System e u n d S elbstinduktion.
(wenn wir von den End teilen absehen). Diese K raftlinien verlaufen in Ebenen, die senkrecht stehen auf den D räh
ten ; desgleichen auch die magnetischen K raftlinien.
Fig. 2 g ib t ein ungefähres -Bild von der Verteilung der K raftlinien im senkrechten Q uerschnitt.
Schematisch lä ß t sich daher ein Kondensatorkreis, dessen Selbstinduktion aus einem langen schmalen R echt
eck besteht, durch Fig. 3 darstellen: die einzelnen Kreise (deren Zahl auch hier als unendlich groß anzusehen ist) sind m it Ausnahme der an den E nden befindlichen alle gleich groß und je m it dem vorhergehenden und dem fol
genden durch K ap a zität gekoppelt, nicht induktiv. Auf der D rahtleitung ist, wie m an sagt, „ S e l b s t i n d u k t i o n
Schwingungen m it zwei voneinander verschiedenen F re
quenzen möglich waren, werden die Eigenschwingungen der vorliegenden S y stem i aus so viel Frequenzen bestehen, als K ondensatorkreise TOrhanden sind, also streng ge
nommen aus unendlich vielen. Allerdings lä ß t sich voraus
sehen, daß davon bei geeigneter Anordnung und Erregung die nach T h o m s o n berechnete so große In ten sität gegen die übrigen besitzen kann, daß die anderen zu vernach
lässigen sind und die Schwingungen als quasistationär be
tra c h te t werden dürfen. Das wird nam entlich dann der Fall sein, wenn der eingeschaltete K ondensator eine viel größere K ap azität hat, als alle kleineren K ondensatoren zusa m mengenommen.
Man bem erkt aber weiter, daß auch die D rahtleitung an und für sich, ohne daß überhaupt ein eigentlicher K on
densator eingeschaltet wäre, schon ein schwingungs
(— nr | jn rr n ~ y T rjT r~ rrr~ | 1 » fT u T <j . T n T st T s i 1
u n d K a p a z i t ä t g l e i c h m ä ß i g v e r t e i l t “ .
F ig . s . Ähnlich, wie bei zwei ge
koppelten Kreisen Eigen-
N ichtquasistationäre K ondensatorkreise. 9 fälliges System darstellt, da sie ja als aus lauter einzelnen Kondensatorkreisen bestehend betrachtet werden kann.
Die Schwingungen eines solchen Systems werden n a
türlich ganz andere als die quasistationären sein und be
dürfen einer besonderen B etrachtung. Speziell die Vor
gänge bei Leitungen m it gleichmäßig verteilter K apazität und Selbstinduktion werden wir genauer untersuchen, da sie die relativ einfachsten sind und vielfache Anwendung finden.
Ehe wir diese genauere Betrachtung beginnen, können wir die bei den nicht quasistationären Systemen auftreten
den Erscheinungen an einem mechanischen Modell illu
strieren, ähnlich wie es früher für den quasistationären Kreis am Pendel geschah.
Denken wir uns als schwingungsfähiges System etwa das folgende (Fig. 4): Ein starrer Stab
der Stab um eine Strecke x parallel j ________
zu sich aus seiner Ruhelage gezogen ‘ j "
und dann plötzlich losgelassen wird. F ig . 4.
(D am it der Stab nicht aus der paral
lelen Lage herausgerät, möge er durch an ihm ange
brachte Leisten in der angedeuteten Weise geführt sein.) Wenn wir die Masse des Stabes m it m, die elastische K ra ft der beiden Federn zusammen m it a bezeichnen, dann gehen die Schwingungen (bei fehlender Dämpfung) bekanntlich nach der Gleichung
B . M echanische M odelle.
ist an seinen Enden durch Spiralfed befestigt. Dieses System werde durch in Schwingungen versetzt, daß
1 0 Schwingungsfähjge System e u n d Selbstinduktion.
vor sich: die kinetische Energie in einem bestim m ten 1 ( d x \ 2
Augenblick ist % m \({tJ ’ (^ e potentielle Energie ^ a x 2 und die Summe dieser beiden Ausdrücke ist die gesamte Energie des Systems. Die Schwingungen sind ganz analog denen eines quasistationären Systems.
Ersetzen wir nun aber den starren Stab durch einen elastischen, so wird der Stab sich im allgemeinen bei den Schwingungen deformieren, verbiegen (Fig 5). Seine ein
zelnen Teile haben also in einem bestim m ten Augenblick verschiedene W erte von x und ~ ;
dt
^ % c ’ kinetische und potentielle Energie -S k t* lassen sich nicht mehr in der einfachen
Weise wie oben angeben,
i | Analog wie beim nichtquasista- ' Fig. 5. ' tionären Kreise elektrostatische Ener-r^st gie auch auf der D ra ltle itu n g selber vorhanden ist, befindet sich hier im Stabe selber poten
tielle Energie als Energie der Deformationen.
Den Stab selber kann m an auffassen als bestehend aus kleinen schwingungsfähigen Gebilden: seinen einzelnen M assenpunkten, die durch elastische K räfte m iteinander verbunden sind.
Man bem erkt, daß als Eigenschwingung nicht nur eine bestim m te Frequenz a u ftritt, sondern daß sehr viele bzw. unendlich viele Frequenzen vertreten sein können.
Von der Beschaffenheit des Stabes und von der der Federn h än g t es ab, wie weit die Bewegung der bei starrem Stabe ähnlich bleibt.
N im m t m an sehr starke Federn, also a sehr groß (was im elektrischen Problem sehr kleiner Kapazi-
ta t des an die Leitung angelegten Kondensators ent
spricht), so treten nur die Schwingungen des Stabes selber auf.
H a t der Stab an allen Stellen gleichen Q uerschnitt (und besteht er aus einheitlichem Material), entsprechend einer Leitung m it gleichmäßig ver
teilter Selbstinduktion und K apa
z itä t, so werden seine Schwin
gungen ähnlich den bekannten Schwingungen einer Saite (Fig. 6),
Man sieht, daß die Geschwindigkeit seiner einzelnen Teile, entsprechend der Strom stärke an verschiedenen Stellen der Leitung, ganz verschieden sein wird. Die Geschwindigkeiten an den einzelnen Stellen können ein
ander sogar entgegengesetzt gerichtet sein; analog kann längs einer elektrischen Leitung die Strom richtung sich umkehren.
2. Systeme mit gleichmäßig verteilter Kapazität und Selbstinduktion.
A . D ie D ifferentialgleichung für das Paralleldrahtsystem . Um die Schwingungen eines Systems m it gleichmäßig verteilter K ap azität und Selbstinduktion genauer u n ter
suchen zu können, wollen wir die Differentialgleichung aufstellen.
Dabei wollen wir nu r solche Gebilde betrachten, die sich, wie das früher erw ähnte lange, schmale D rah t
rechteck (Fig. 3) schematisch darstellen lassen durch eine Reihe von untereinander gleichen kleinen Konden
satorkreisen, von denen jeder m it dem vorangehenden und dem folgenden durch K a p azität (und auf keine andere Weise) gekoppelt ist. Diese einzelnen Kreise System e m it gleichm äßiger K a p a z itä t u. Selbstinduktion. 11
F ig . 6.
12 Schw ingungsfähige System e u n d Selbstinduktion.
sollen als quasistationär b etrach tet werden d ü rfe n 1) (Fig. 7).
Die Selbstinduktion jedes Kreises sei L , jeder einzelne K ondensator habe die K ap az itä t C .
B etrachten wir d ann irgendeinen K reis, etwa den v-ten, und bezeichnen den Strom in ihm m it , den in den benachbarten Kreisen m it I,,+\ bzw. I v- i , dann gilt nach Bd. I, S. 74, falls die Kreise als w iderstands
los b etrach tet w erden:
m T - - - 4 - ^ v l ^ v + 1 _ n
(1) l i ä + ~c - ~ ~ö— t r - ° -
F ü r die Endkreise gelten andere Gleichungen, die ver- T r , T t t t schieden sind, je nach-
Z Z L Z____Z z z » ■> .
—nrT ^ T T ^ 7 T 7 aT _^ n - ^ !rT !' “ D rahte frei en-
= i den oder m iteinander
^1 c ' •— -£l £!— ■ verbunden sind. Wir Fig. 7. brauchen hier nicht da
bei zu verweilen, da uns n ur der Grenzfall unendlich kleiner Kreise interessiert und für sie die Schwierigkeit in anderer Form, als Grenz
bedingung, au ftritt.
F ü r die Potentialdifferenz Vv an den E nden des K on
densators zwischen dem r-ten und dem v -f- 1-ten Kreis erhält man, indem m an beachtet, daß derselbe von zwei einander entgegengesetzt g erich teten . Strömen I v+l und
J) W ir w erden s p ä te r seh en , daß n ic h t nur ein sch m a les R ech teck b zw . zw ei nahe, an ein an d er g efü h rte p arallele D rä h te u n ter d ieses Sch em a fallen, sond ern d aß d ie am h ä u fig ste n v erw a n d ten A rten v o n L eitu n g en und G ebilden sich eb en fa lls d a n a ch b eh a n d eln la ssen . V orläu fig könn en w ir der A n sch a u lich k e it w egen d ie V o rstellu n g einer P a ra lleld ra h tleitu n g b ei
b eh a lten .
System e m it gleichm äßiger K a p a z itä t u. Selbstinduktion. 13 I v durchflossen w ird, m it Hilfe der oft benutzten Be
ziehung
(2) Vr = - ± f ( I r + l - I , ) d t ' ) .
Lassen wir nun in den einzelnen Kondensatorkreisen Selbstinduktion und K ap azität immer kleiner werden und vermehren wir gleichzeitig die Zahl der Kreise ent
sprechend, so nähern wir uns dem Grenzfall eines Systems m it gleichmäßig verteilter K a p azität und Selbstinduktion, bei dem wir jedem kleinsten Teil der Leitung bestimmte, der Länge proportionale Wer- a djc te dieser Größen zuschreiben * * 1
Die Paralleldrahtleitung Fig 8 (Fig. 8) denken wir uns dann
zusammengesetzt aus kleinenElem entarkreisen, von denen jeder eine Strecke dx einnim m t und in denen die Selbst
induktion L d x , die K apazität jedes K ondensators Cd » ist.
L und G werden als S e l b s t i n d u k t i o n und K a p a z i t ä t p r o L ä n g e n e i n h e i t bezeichnet. (Über ihre Be
rechnung siehe unten.)
Der Strom in dem an der Stelle x (die KoordijfÄen x mögen von einem willkürlich auf den D rähten gewählten N ullpunkt aus gerechnet sein) liegenden Elem entarkreis sei m it I x bezeichnet, der in den benachbarten Kreisen entsprechend m it I x+gx bzw. I x . dx .
*) Ü ber d as V orzeichen is t zu b em erken: W en n d ie Ström e, w ie in der Figur a n ged eu tet, p o sitiv g erech n et w erden im Sinne d es U hrzeigers, so b e
d eu tet p o sitiv es V v , daß d ie in der I'igur u n t e r e K lem m e des K o n d en sators d as höhere P o te n tia l ist.
D ann gilt nach (1)
(3) L d x ^ + - Ix- dx - = 0 . d u C , Cd x C • dx
i r ’ dx 2
D arin können wir nun se tzen :
indem wir I als eine F u nktion von xauffassen und nach T a y l o r bis zur zweiten Ordnung entwickeln. (Da I zu
gleich F unktion von t ist, schreiben wir die Differentlai
quotienten als partielle m it rundem d) . Das e rg ib t:
— d2/ 1 d 2/
L d x ^ ~ - = ^ -2dx* = 0 . d t2 C - d x d x2
oder:
d 2I 1 d 2J „
( * d i 2 ~ d z 2 '
F ü r die Potentialdifferenz zweier gegenüberbegender Stellen des D rahtsystem s erhält m an aus (2), indem m an 1 4 Schw ingungsfähige System e u n d Selbstinduktion.
für I r setzt: I und für I v+\\ I + \ ^ - ] d x
\ c x !
... -pzöV dl 1 f d l
(5) = — ^ z w- V = — = ^ d t .
c t e x c o x
F ür V ergibt sich dieselbe Gleichung wie für I : 6 2V 1 d2 V
(4 a) --- — --- = 0 1).
S t 2 L G ß x 2
Diese partiellen Differentialgleichungen sind formell identisch m it derjenigen der schwingenden Saite; es be
steh t also auch q u an titativ eine weitgehende Analogie m it den mechanischen Modellen.
Bei der Ableitung haben wir die Kondensatorkreise bzw. die D rähte als widerstandslos vorausgesetzt, w;e wir das auch bei den folgenden Rechnungen weiter tu n wollen, da alle Form eln einfacher bleiben und die wesentlichsten Züge der Vorgänge doch ganz g u t dargestellt werden.
Wäre der W iderstand der D rähte, der für die Längen- einheit — sei, nicht zu vernachlässigen, so erhielte man R
z
die sog. T e l e g r a p h e n g l e i c h u n g : d2I R d l 1 d 2I _ o
d t 2 Tj dt L G d x 2 ~
Ihre Lösungen können /Wir nicht ausführlich behandeln, bei Gelegenheit führen wir die Unterschiede zwischen ihnen und denen der Gl. (4) an.
B . Selbstinduktion und K apazität pro L ängeneinheit.
a) P a r a l l e l d r a h t s y s t e m . Was die in die Differen
tialgleichung eintretenden Größen L und C betrifft, so stößt ihre genauere Definition und dam it ihre Berechnung auf manche Schwierigkeiten. Sie lä ß t sich eigentlich streng System e m it gleichm äßiger K a p a z itä t u. Selbstinduktion. 15
*) E s b esteh t n ä m lich , w ie m an le ich t a b leitet, n eb en (5) d ie B ezieh u ng:
nur auf Grund einer von ganz anderen Gesichtspunkten ausgehenden Untersuchung der Schwingungen von D räh
ten geben, die wir hier nicht behandeln können.
Zu der angenäherten Bestimmung für das Parallel
drahtsystem kann m an etwa folgende Überlegungen be
nutzen :
Die S e l b s t i n d u k t i o n eines Rechtecks, das aus einem D rahte von kreisförmigem Q uerschnitt (Radius r) besteht, berechnet sich u nter der Voraussetzung, daß seine Länge l sehr groß gegen seine Breite d ist, und daß d wieder groß gegen r ist, angenähert zu:
¿ ^ . i - M o g ^ 1).
L ergibt sich proportional der Länge l des Rechtecks, und wir können daher als Selbstinduktion der Längen
einheit setzen:
(6) T = i = S - 4 - l o g f
Die K a p a z i t ä t zweier D rähte (in Luft) von den
selben Dimensionen wie oben, die als Belegungen eines K ondensators ben u tzt werden, ergibt sich angenähert z u :
G = » ? — l— r ; 4 1 o g -
16 Schw ingungsfähige System e u n d Selbstinduktion.
•) /i u n d c sin d , eb en so w ie d as sp ä ter a u ftreten d e »/, d ie sch on früher — b en u tz ten , v o m M a ß sy stem ab hän gigen K o n sta n te n . Im C O S-System i s t r
c — 1; ft — 1;
w o v d ie L ic h tg e sc h w in d ig k eit = 3 • 10M cm /sec b ed eu tet. I m elek tro
sta tisch en S y ste m is t :
System e m it gleichm äßiger K a p a z itä t u. S elbstinduktion. 17 also ebenfalls der Länge proportional, daher
(7) ~ C ^ i j - 1
4 log — r
Befinden sich die D rähte s ta tt in L u ft in einem Me
dium m it der D ielektrizitätskonstante e, so erhält C den e-fachen W ert, L bleibt unverändert.
In der Gl. (4) kommen die beiden Größen L und C nur als P rodukt L • C vor. Dasselbe h a t den W ert:
<8>
bzw. für ein Medium von der D ielektrizitätskonstante e : L C = e ^ = \ .
c2 v2
Gleichviel, welches Maßsystem für die elektromagne
tischen Größen benutzt wird, ergibt sich für das P rodukt i m m e r als D i m e n s i o n d a s r e z i p r o k e Q u a d r a t e i n e r G e s c h w i n d i g k e i t , und diese Geschwindigkeit ist (für L uft bzw.—Vakuum als umgebendes Medium) identisch m it der Lichtgeschwindigkeit.
b) K a b e l . Dem Schema Fig. 7, aus dem wir die Schwingungsgleichung (4) ableiteten, entsprechen außer dem Paralleldrahtsystem noch einige andere Formen von Leitern, deren Schwingungen daher nach den gleichen Ge
setzen vor sich gehen.
Ein Beispiel liefert das Kabel, bei dem der Strom durch einen D rah t in der einen Richtung fließt und durch einen konzentrischen Hohlzylinder zurückgeleitet wird
B o h m a n n , E le k tr isch e S ch w ingungen. I I. 2
18 Schw ingungsfähige System e u n d Selbstinduktion.
(Fig. 9). Auch für das K abel lassen sich L und C ähnlich wie oben bestimmen, es ergibt sich:
wo v wieder die Lichtgeschwindigkeit ist (für L u ft als Isolator).
c) E i n f a c h e r D r a h t . Als ungefähr u n ter das obige Schema fallend, lä ß t sich auch der F all eines einfachen geraden D rahtes behandeln, der aus dem K abel hervor
geht, wenn der äußere Hohlzylinder einen sehr großen Durchmesser annim m t.
Auch hier kann m an sich vorstellen, daß der Längeneinheit des D rahtes eine bestim m te K a p azität zukom m t.
(Die zweiten Belegungen der nach dem
F ig . 9. Schema am D rah t anzubringenden
K ondensatoren wären etwa nach der sehr weit entfernten E rde bzw. ins „U nendliche“ geführt zu denken, wo dann die Rückleitung des Stromes stattfinden würde.) Ebenso wird m an der Längeneinheit des D rahtes eine bestim m te Selbstinduktion zuschreiben. Allerdings werden diese Begriffe sowohl als auch die Vorstellung von der Aufteilung in Elem entarkondensatorkreise etwas u n b estim m t; wir können uns hier m it der Angabe begnügen, daß die Erscheinungen sehr nahezu so verlaufen, als ob das P ro d u k t L ■ C für lange in L uft befindliche D rähte den W ert -- h ä tte , wo v wieder die Lichtgeschwindig
keit ist. v
W ir beachten, daß beim einfachen D ra h t die Potential
differenz V zu messen ist gegen die E rd e bzw. gegen das Unendliche, und also je tz t V einfach das Potential einer
Stellende W ellen auf D rähten. 19 Stelle des D rahtes bedeutet (eventuell m it negativem Vor
zeichen, je nach der Dichtung, in der der Strom positiv gerechnet wird).
C. Spulen.
Auf beliebige Form en von D rahtleitungen lä ß t sich das frühere Schema nicht anwenden, aber m an kann auch sie immer aufgelöst denken in eine Anzahl von kleineren quasistationären und m iteinander gekoppelten Konden
satorkreisen, die u n ter U m ständen alle einander gleich sind.
Eine lange, in einer Lage enggewickelte Spule z. B.
kann aufgefaßt werden als bestehend aus den einzelnen Windungen, welche Kapa z itä t besitzen und untereinander sowohl induktiv als auch durch K ap azität gekoppelt sind.
Wir haben schon bei der Behandlung zweier gekoppel
ter Kreise hervorgehoben, daß die Erscheinungen bei in
duktiver und bei K apazitätskoppelung nicht sehr ver
schieden voneinander sin d ; im großen ganzen ergeben sich daher auch für die Schwingungen auf den Spulen ähnliche Gesetzmäßigkeiten wie für die auf den vorigen D rah t
systemen.
3. Stehende Wellen auf Drähten.
A . . Erste Form der Lösung der D ifferentialgleichung.
a) S c h w i n g u n g e n a u f d e m f r e i e n g e r a d e n D r a h t . Wir betrachten nun Lösungen der Gleichung (4), die uns die auf den besprochenen Systemen möglichen Schwingungen darstellen.
Um eine bequeme Ausdrucksweise zu haben, wollen wir ein bestim m tes System herausgreifen, und zwar den einfachen geraden D raht, und an ihm die Formeln inter
pretieren. Die sinngemäße Übertragung auf die anderen 2*
2 0 Schw ingungsfähige System e u n d Selbstinduktion.
Systeme m acht keine Schwierigkeiten, außerdem werden wir das Paralleldrahtsystem später noch ausführlicher be
sprechen.
Der D ra h t soll die Länge l haben, seine einzelnen Stellen seien charakterisiert durch K oordinaten x, deren N ullpunkt sich an einem E nde des D rahtes befindet (Fig. 10).
An den E nden des D rahtes m uß offenbar der Strom im m er Null sein, da ein endlicher Strom, der zu den E n d stücken hin oder von ihnen wegfließt, zu einer Aufladung auf unendlich hohes P otential führen würde.
a / E s gelten also die Grenzbedin- h--- f — i--- * gungen:
7 = 0 bei x = 0 und bei x — l für alle Z eiten;
. i i
rig. io.
und nur solche Lösungen der Gl. (4) stellen mögliche Schwingungen unseres D rahtes vor, welche diese W erte von I an den E nden liefern.
Eine Lösung von (4) lä ß t sich nun, wie m an durch Einsetzen verifiziert, schreiben in der F o rm :
(9) I — A sinwa: • sin[wi« • t -f- <p\ ,
wo A, rp und m noch zu bestimmende K onstanten sind, und v = — -— ist.1
}'l c
Soll I für x = 0 und für x = l immer Null bleiben, so m uß m so bestim m t werden, daß sin m l = 0 ist.
A lso:
ml = ji oder — 2n oder allgemein = k n , wenn k irgendeine ganze Zahl bedeutet.
Stehende W ellen auf D rähten. 21 Auf dem D rah t sind also alle Schwingungen möglich, welche die Form haben:
und die allgemeinste Schwingung stellt sich als eine Summe aus beliebig vielen Ausdrücken dieser Form dar.
Man sieht, jeder einzelne dieser Ausdrücke stellt für eine bestim m te Stelle x des D rahtes einen Wechselstrom
Die Anzahl der möglichen Eigenfrequenzen des D rah
tes ist also unendlich groß, da k jeden ganzzahligen W ert haben kann.
Von den Anfangsbedingungen bzw. von der A rt der Erregung des D rahtes hängt es ab, wieviele und welche von diesen Eigenschwingungen m it merklicher Amplitude A k auftreten, und es bestimmen sich daraus auch die Phasen <pk.
Der einfachste F all liegt dann vor, wenn nur eine ein
zige dieser Schwingungen auf tritt.
Diejenige, für die k den kleinsten möglichen W ert hat, k = 1, bezeichnet m an als die G r u n d s c h w i n g u n g des Systems
(die Phase ist der Einfachheit halber gleich Null gesetzt);
die übrigen als e r s t e , z w e i t e uswr. O b e r s c h w i n g u n g . Die Frequenz der Grundschwingung ist:
(9a) I = A k s in i — x • sin
dar von der Frequenz k — v .
(10)
c o - j - v ;71
22 Sehw ingungsfähige System e u n d Selbstinduktion.
die Frequenzen der Oberseh,wingungen sind g a n z z a h l i g e Vielfache von derjenigen der Grundschwingung.
F ü r jede einfache Schwingung h a t der Strom an allen Stellen des D rahtes dieselbe Frequenz und auch dieselbe Phase, aber seine Amplitude variiert längs der Drähte,
D rahtes N u ll; nach einer viertel Periode h a t er die durch
Periode ist er Null, usf.
Fig. 12 und 13 geben ähnliche D arstellungen der ersten und der zweiten Oberschwingung.
Bei den Oberschwingungen bleibt der Strom nicht nur an den E nden des D rahtes, sondern auch an bestim m ten anderen P u n k ten d a u e r n d Null.
Diese P unkte bezeichnet m an als S t r o m k n o t e n ; die in der M itte zwischen zwei K notenpunkten liegenden Stellen, an denen maxim ale Am plituden des Stromes auf- treten, n en n t m an S t r o m b a u che.
Die K notenpunkte einer Oberschwingung teilen den D ra h t in eine entsprechende Anzahl gleicher Teile, von
und zwar ebenfalls nach einem Sinusgesetz.
F ig . 1 1.
F ü r die Grundschwingung stellt Fig. 11 die Verteilung der W erte von I zu verschiedenen Zeiten dar. Zur Zeit t = 0 ist der Strom längs des ganzen
die K u r v e — dargestellten W erte, nach einer halben
F ig . 12. F ig . 13.
S tehende W ellen auf D rähten. 23 d enen jed er so schw ingt, als ob er fü r sich allein seine Grund Schwingung au sfü h rte.
Die Schwingungen der behandelten A rt bezeichnet m an als s t e h e n d e W e l l e n oder stehende Schwingungen.
Den doppelten Abstand zweier benachbarter K noten
punkte nennt m an die W e l l e n l ä n g e 2.
Bei der Grundschwingung von der Frequenz co = — -v71 v
ist die Wellenlänge 2 = 2 -l, also gleich dem doppelten der Drahtlänge.
Zwischen der (zyklischen) Frequenz einer Schwingung und ihrer Wellenlänge besteht die Beziehung:
(11) 0 ) 2 = 2 jt • v ,
2 71
oder wenn die Schwingungszahl n = — eingeführt wird:
Die Verteilung des P o t e n t i a l s V auf dem geraden D rahte bei einer einfachen Schwingung, für die der Strom
[Die bei der Integration zu V hinzukommende und von der Zeit unabhängige K on stan te1) setzen wir gleich Null.
Sie würde bedeuten, daß auf dem D raht, neben den Schwingungen, noch eine zeitlich konstante Potential-
') d ie , w ie au s der A nm . S. 15 e r h e llt, au ch v o n x s u n ab h än gig ist.
CD
V .
ist, ergibt sich aus der Relation (5) zu :
x • cos £ -- • -¡m .
2 4 Schwingungsfähige System e u n d S elbstinduktion.
Verteilung besteht, wie das der Fall ist, wenn der ganze D rah t aufgeladen ist. W ir setzen also voraus, daß die im ganzen auf dem D ra h t vorhandene E lektrizitäts
menge Null ist, und daß nu r seine Teile einander e n t
gegengesetzt aufgeladen sind. /
Fig. 14 stellt die Verteilung des Potentials bei der Grund Schwingung dar. Zur Zeit t = 0 gilt die m it 0 be- zeichnete ausgezogene K urve (während der Strom zur selben Zeit an allen Stellen Null ist). Nach einer viertel
Periode ist das P otential überall Null, während der Strom in seinem Maximum ist, und so fort.
Strom und Spannung sind also an jeder Stelle um 90 ° phasenverschoben.
Dasselbe gilt auch für die Oberschwingungen. Fig. 15 stellt die erste dar.
Die Potential- oder Spannungsknoten fallen m it den Strom bäuchen zusammen und um gekehrt. Insbesondere sind die freien E nden des D rahtes Potentialbäuche (Strom
knoten).
b) E i n s e i t i g g e e r d e t e r D r a h t . V erbindet m an ein Ende des D rahtes (bei x — 0) m it der E rde (oder m it einer großen M etallplatte oder ähnlichem), so muß an dieser Stelle das Potential V dauernd das der E rde sein, das wir gleich Null setzen wollen (vgl. Bd. I, S. 6).
Stehende W ellen auf D rähten. 25 [Dabei wollen wir voraussetzen, daß unsere Gleichun
gen (4) ihre Gültigkeit behalten, trotzdem wir Leiter in die Nähe des D rahtes bringen; das wird nam entlich dann erlaubt sein, wenn der D rah t senkrecht auf die E rd- oder Leiteroberfläche aufgestellt ist.]
D ann gelten die folgenden Grenzbedingungen:
V = 0 an der Stelle s = 0 und I = 0 an der Stelle x = 1.
Ihnen genügen folgende Lösungen:
und
I = A cos (k ) x sin [k ^ • v
- = — A sin (k ~ ) x cos (Je % • v ) t ,
C-v V l) \ l 1
7 • 2 —I— X
wenn Je = — oder = — allgemein = — , also ein un-
A 2 2
geradzahliges Vielfaches von -|- ist.
Diese Lösungen stellen wieder stehende Schwin
gungen auf dem D rah t dar, ähnlich denen des freien Drahtes.
,Bei der Grundschwingung, für die Fig. 16 die Vertei
lung von Strom und Potential darstellt, ist die Wellen
länge der stehenden Schwingungen gleich dem Vierfachen d er D rahtlänge.
Die Frequenzen der Oberschwingungen sind die u n geradzahligen Vielfachen der Grund Schwingung.
Fig. 17 gilt für die erste Oberschwingung.
Wie m an aus den Figuren und dem analytischen Aus
druck sieht, schwingt der einseitig geerdete D ra h t so, wie es die eine H älfte eines freien D rahtes von doppelter Länge für die gleiche Frequenz tu n würde. Man kann sich zu dem geerdeten D rah t hinzugefügt denken das Spiegelbild, das an der zu ihm senkrechten Erdoberfläche entsteht, ohne daß an seinen Schwingungen etwas geändert würde.
4. Erregung der stehenden Schwingungen.
W as die Erzeugung der Schwingungen auf geraden D rähten betrifft, so stehen uns dazu ähnliche M ittel zu Gebote, wie wir sie früher beim K ondensatorkreis kennen gelernt haben.
W ir können den D rah t in einen bestim m ten Anfangs
zustand versetzen, d . h . eine geeignete Verteilung von Strom und Spannung auf ihm hervorrufen und ihn dann sich selbst überlassen: analog der Erregung eines K on
densatorkreises durch Funken. Oder wir können dauernd den D ra h t der W irkung geeigneter äußerer K räfte aus
setzen, d. h. Schwingungen geeigneter Frequenz auf ihn einwirken lassen und das System also als R esonator be
nutzen.
A . Erregung durch F unken.
Nach den oben aufgestellten Form eln (10) und (12), entsprechend den graphischen Darstellungen Fig. 11 und 14, ist für die G r u n d s c h w i n g u n g eines freien D rahtes zur Zeit t = 0:
2 6 Schwingungsfähige System e un d Selbstinduktion.
E rregung der stehenden Schwingungen. 27 der Strom längs des ganzen D rahtes Null und die Spannung auf ihm verteilt nach dem Gesetz
Stellt m an daher zur Zeit t = 0 auf irgendeine Weise diesen Zustand her, so en tsteh t die Grundschwingung, und nur diese.
A ngenähert kann m an das nun in folgender Weise er
reichen :
Man teilt den D rah t in der M itte durch eine Funken
strecke und lä d t die beiden H älften auf entgegengesetzt gleiche Potentiale auf, bis der Funke
durch Fig. 18 dargestellte. Längs
jeder D rahthälfte ist das Potential konstant; das ent
spricht natürlich nur ganz roh dem für die Grundschwin
gung geforderten Anfangszustand. Genauer entspricht es dem Fall, daß neben der Grundschwingung noch eine große Anzahl von Oberschwingungen m it entsprechen
den Am plituden auf dem D rah t vorhanden ist. (Nach F o u r i e r lä ß t sich bekanntlich eine willkürliche P o tentialverteilung, wie die in Fig. 18 dargestellte, er
setzen durch eine Superposition von sinusförmigen Ver
teilungen.)
In W irklichkeit entstehen also auch bei dem durch Funken erregten geraden D raht (dem geraden oder stab förmigen O s z i l l a t o r , wie wir ihn nennen wollen) nicht nur die Grundschwingung, sondern daneben auch eine
In dem Augenblick, wo der Funke die leitende Verbindung der beiden H älften herstellt, ist dann die anfäng
liche Potentialverteilung etwa die durchbricht.
— 6 b : F ig . 18.
2 8 Schw ingungsfähige System e u n d Selbstinduktion.
Reihe von Oberschwingungen. Allerdings überwiegt die Am plitude der ersteren m eist stark.
Die F req u en z der Grund Schw ingung ist nach unseren Form eln (die aber nur näherungsweise gelten) nur a b hängig von der Länge l des Oszillators, unabhängig von der D rahtdicke, solange diese klein bleibt gegen l.
Diese Frequenz i s t :
71 (O — — - • V .
i
Die Schwingungszahl a lso : v
n = 21 ’ ^
und die Schwingungsdauer:
_ 2 l _ , 2 l y *■ t
T _ V — 3 IO1 5 '
(Die Länge l ist natürlich in Zentim etern zu messen, dann ergibt sich x in Sekunden.)
Je nach der Länge des Oszillators erhält m an sehr hohe Frequenzen (wie sie zu den H e rtz s c h e n Versuchen gebraucht werden, für 1 = 1 cm : r — 0,67 10“ 10 sec), und tatsächlich sind m it Oszillatoren dieser A rt die höchsten bis je tz t hergestellten Frequenzen erzeugt worden (vgl. unten).
Auch die von M a r c o n i zuerst für die
F ig . 19. drahtlose Telegraphie benutzte „A ntenne“
w ar ein solcher geradliniger Erreger, der ein
seitig geerdet war und senkrecht stand. Hier ist die Funkenstrecke natürlich an der Erdungsstellc eingesetzt, da sich d o rt der P otentialknoten befindet (Fig. 19).
E rregung der stellenden Schwingungen. 29 Die E n e r g i e der Schwingungen auf diesen Systemen ist relativ klein gegen diejenige auf einem quasistatio
nären Kreis gleicher Frequenz. Die ursprünglich auf dem freien D rah t angesammelte elektrostatische Energie kann etwa gesetzt werden £ C • l • Fjj, wenn 7 0 das Funken
potential, d. h. die Spannung, bei der der Funke durch- bricht, bezeichnet. Beim Kondensatorkreis wäre die E ner
gie 4- C F 2. Praktisch bleibt C - 1 immer klein gegen die K ap azität C &ines Kreises gleicher Frequenz. Außerdem ist ein Teil der Energie beim D raht in* Form von Schwin
gungen höherer Frequenz vorhanden.
Man vergrößert die Schwingungsenergie, indem man
* entweder die D rähte möglichst dick nim m t, wo 0 zu
nim m t, oder indem m an an den E nden der D rähte noch K apazitäten anbringt; etwa d o rt Kugeln oder Metall
platten befestigt (H e rtz sc h e r Erreger, siehe unten Fig. 46 und 61). Die Strom- und Potentialverteilung wird dann eine'etwas andere, als wir sie oben gefunden haben, nähert sich m ehr der quasistationären und die Frequenz wird natürlich kleiner. Neben der Vergrößerung der Energie er
zielt m an andere Vorteile: erstens treten die Oberschwin
gungen viel schwächer auf, m an erhält also reinere Schwin
gungen, und außerdem wird die Dämpfung des Oszillators kleiner.
E in geradliniger Oszillator gibt nämlich, wie wir später noch betrachten werden, Energie in Form von elektrischen Wellen ab, er „ stra h lt“ . Die in ihm vorhandene Energie nim m t also ab und seine Schwingungen sind gedämpft, auch dann, wenn überhaupt kein W iderstand vorhanden ist. Praktisch ist diese Strahlungsdämpfung beim stab- förmigen Oszillator immer viel größer als die durch den W iderstand bewirkte, und also viel größer als bei einem aus gleichem M aterial hergestellten Kondensatorkreis (der
3 0 Schw ingungsfähige System e u n d Selbstinduktion.
nickt die Eigenschaft hat, zu strahlen). D urch das An
bringen von .K apazitäten wird die Strahlung und dam it die Däm pfung verm indert. .
B . Erregung durch periodische äußere K räfte.
a) K o p p e l u n g m i t e i n e m K o n d e n s a t o r k r e i s e . Äußere K räfte kann m an auf den Oszillator in ver
schiedener Weise einwirken lassen.
Soll er relativ stark erregt werden, so koppelt man den geraden D ra h t m it einem quasistationären K ondensator
kreis, der selber durch Funken usw. erregt ist und der auf eine der Eigenschwingungen, etwa die Grundschwin
gung, abgestim m t ist. D as kann geschehen in der Art,
— wie Fig. 20 an-
¥
gibt, indem ein„ „„ „„ Teil des geraden
F ig. 20. F lg . 21. 6 -
D rahtes oder eine in ihn eingefügte Spule als LeituVgsbahn des Kreises b en u tzt wird (direkte Koppelung). Oder, wie Fig. 21 zeigt, indem m an den Eireis einer in den D rah t eingesetzten kleinen Selbstinduktion nähert (induktive Koppelung). W enn die eingesetzte Selbstinduktion rela
tiv klein ist, so bleiben die Schwingungen des D ra h t
systems wesentlich dieselben, wie beim geraden D rah t;
bei größerer Selbstinduktion än d ert sich die Strom ver
teilung auf den D rähten, und die Frequenz der Grund
schwingung wird kleiner.
Das V erhalten dieser Anordnungen ist ein ganz ähn
liches, wie wir es früher bei gekoppelten Kreisen gesehen haben. W enn die Frequenz des Kreises m it einer Eigen
frequenz des geraden Oszillators übereinstim m t, so treten diese Schwingungen m it großen Am plituden auf; ändert sich die Frequenz des Kreises um kleinere Beträge, so wird die Erregung schwächer. W enn wir den Stromeffekt
E rregung der stehenden Schwingungen. 31 an einer Stelle des D rahtes messen, etwa im Strombauch, und als F unktion der Frequenz auftragen, so erhalten wir eine m it den früheren ziemlich übereinstimmende Resonanzkurve.
Bei engerer Koppelung treten auch bei abgestim m ten Systemen zwei Frequenzen auf, die „Koppelschwingun
gen“ .
Die Stelle des Drahtes, an der der K ondensatorkreis angebracht wird, ist für die Stärke der Erregung nicht gleichgültig. Die Erregung ist vielmehr dann ein Maxi
mum, wenn der erregende Kreis im Strom bauch gekoppelt w ird ; also beim freien D rah t in der Mitte, beim einseitig geerdeten an der Erdungsstelle. Die näheren Gründe d a
für werden wir unten bei der Behandlung des Parallel
drahtsystem s betrachten; die d o rt angeführten Ü ber
legungen übertragen sich ohne weiteres auf den einfachen
D raht. 4
Bei der Koppelung des geraden Oszillators m it einem Kondensatorkreis erzielt m an gegenüber dem durch F u n ken direkt erregten D raht folgende Vorteile:
E r s t e n s wird die zur Verfügung stehende Energie größer, weil sie ursprünglich im Kondensatorkreis an
gesammelt wird und dieser größere Beträge aufzunehmen vermag.
Z w e i t e n s wird die Dämpfung der Schwingungen auf dem D rah t und dam it diejenige der von ihm ausgesandten Wellen eine kleinere; nämlich bei loser Koppelung u n gefähr die des Kondensatorkreises, da die stark gedämpfte Eigenschwingung des D rahtes schnell abklingt und nur die erzwungene übrigbleibt.
A u ß e r d e m treten keine Oberschwingungen auf; die ausgesandten Wellen haben n u r eine Frequenz, sind
„reiner“ .
3 2 Schw ingungsfähige System e u n d Selbstinduktion.
Bei festerer Koppelung wird allerdings durch das Auf
treten von Koppelschwingungen dieser Vorteil illusorisch gem acht.
Praktische V erwendung,finden die beschriebenen An
ordnungen in der drahtlosen Telegraphie, wo ihre Einfüh
rung erst eine Telegraphie auf weitere Entfernungen er
möglichte und die eigentliche Entwicklung des Gebietes begründete. Sie wurden von B r a u n erfunden.
Auf die technischen Einzelheiten und Schwierigkeiten können wir hier nicht eingehen und müssen dafür auf die zitierte L iteratu r verweisen, bzw. auf zwei dem nächst er
scheinende Bändchen der Sammlung Göschen über d r ah t lose Telegraphie.
b) G e r a d e r O s z i l l a t o r i n e l e k t r i s c h e n W e c h s e l - f e l d e r n ( R e s o n a t o r e n ) .
t Wenn man den stabförm igen Oszillator in ein e l e k t r i s c h e s Wechselfeld geeigneter Frequenz bringt, so
11 i wird er offenbar ebenfalls zu Schwing»*gen , veranlaßt werden, und zwar am stärksten t " T &
dann, wenn seine Richtung m it der der K ra ft
linien zusam m enfällt (Fig. 22).
+ Im zeitlich konstanten Felde würde die eine H älfte des D rahtes auf positives, die an- Fig 22 dere auf negatives P otential aufgeladen wer
den. W enn das Feld seine R ichtung ändert, kehren sich die Potentiale um, es kom m t ein Strom zustan
de, und falls die Frequenz des Feldes m it derjenigen einer Eigenschwingung übereinstim m t, bilden sich die betreffen
d en stehenden Schwingungen m it großer Amplitude aus.
Die stärksten Schwingungen entstehen dann, wenn die Grundschwingung erregt w ird ; diesen Fall wollen wir im folgenden im m er voraussetzen.
Ä ndert sich die erregende Frequenz um Heinere Be
träge, so nim m t der (etwa im Strom hauch gemessene) Strom effekt nach A rt einer Resonanzkurve ah.
! W enn m an den Oszillator aus der Feldrichtung heraus
dreht, wird die Erregung schwächer und in der zu den K raftlinien senkrechten R ichtung ist sie offenbar Null.
Der als Resonator benutzte gerade D raht, dessen E r
regung m an auf irgendeine Weise beobachtet, liefert also ein M ittel zur U ntersuchung von elektrischen Wechsel
feldern. Man kann m it ihm Frequenz, Dämpfung und Amplitude des Feldes und zugleich die R ichtung der K raftlinien feststellen.
Elektrische Felder von der vorausgesetzten A rt ent
stehen beim Schwingen eines Oszillators, wie wir später betrachten werden; sie bilden einen Bestandteil der von ihm ausgehenden Wellen. Der R esonator wird daher be
n u tzt, um diese Wellen nachzuweisen bzw. „aufzufangen“ . Bei der drahtlosen Telegraphie ist der Em pfänger im einfachsten Falle ein solcher geerdeter gerader D ra h t von geeigneter Länge, dessen Erregung durch die (im ersten Bändchen beschriebenen) D etektoren beobachtet wird.
c) H e r t z s c h e r ( k r e i s f ö r m i g e r ) R e s o n a t o r . Zur Untersuchung des magnetischen Wechselfeldes eig
net sich der geradlinige Resonator offenbar nicht. Durch eine Heine Modifikation kann man aber erreichen, daß der Resonator auch die R ichtung eines solchen Feldes angibt.
Denken wir uns nämlich den geraden D rah t zu einem offenen Kreis von ent
sprechendem Radius zusammengebogen (Fig. 23), so werden dadurch offenbar die W erte von Selbstinduktion und K a p azität pro Längeneinheit kaum beeinflußt. Die
H o h m a n n , E le k tr isch e S ch w ingu n gen . I I .
E rregung der stehenden Schwingungen. 33
• O
1 tT*
F ig . 23.
3
Verteilung von Strom und P otential längs des D rahtes hei einer gegebenen Schwingungsfrequenz wird also wenig geändert, d. h. seine Eigenschwingungen bleiben im wesentlichen dieselben wie vorher.
Dieser von H e r t z benutzte kreisförmige Resonator wird aber durch ein magnetisches Wechselfeld, dessen K raftlinien senkrecht zu seiner Ebene stehen, stark er
regt, da dasselbe in ihm elektromotorische K räfte in
duziert. Gar nicht wird er beeinflußt, wenn seine Ebene in den K raftlinien liegt. E r kann also zur U nter
suchung des m agnetischen s ta tt des elektrischen Feldes in ähnlicher Weise wie der gerade R esonator dienen.
Vor diesem h a t er den Vorteil geringerer Dämpfung voraus.
Übrigens wird auch er durch ein elektrisches homo
genes Feld geeigneter R ichtung erregt (allerdings schwä
cher als der gerade D raht), und zwar relativ am stärksten dann, wenn die elektrischen K raftlinien in seiner Ebene liegen und die in der Fig. 23 durch 1 angedeutete Rich
tung haben. W enn die elektrischen K ra ftlii/e n dagegen die R ichtung 2 haben, so heben sich die in den beiden H älften des Kreises hervorgerufenen elektrischen K räfte gerade auf und es t r i t t keine Erregung ein; ebenso natürlich auch dann nicht, wenn das Feld senkrecht zur Ebene des Resonators liegt.
H e r t z h a t das Ansprechen des Resonators in sehr einfacher Weise dadurch beobachtbar gemacht, daß er die beiden einander zugekehrten Enden (an denen m axi
male Potentialdiflerenzen auftreten) mit, einer feinen Funkenstrecke versah. Die Länge der Funkenstrecke, die eben noch durchbrochen wird, gibt ein Maß für die höchste auftretende Potentialdifierenz und dam it für die Erregung des Resonators.
3 4 Schwingungsfähige System e u n d Selbstinduktion.
d) S e i b t s c h e S p u l e , T e s l a t r a n s f o r m a t o r . Zur D em onstration der oben besprochenen Schwin
gungen auf nicht quasistationären Systemen ist der ein
fache D raht nicht brauchbar, da entweder bei kleinen Frequenzen unbequem große Dimensionen erforderlich werden, oder bei genügend hoher Frequenz die zur Ver
fügung stehende Energie so klein ist, daß die Beobachtung feinere Hilfsm ittel erfordert.
Man benutzt daher für den obigen Zweck als nicht
quasistationäres System eine enggewickelte Spule, deren Schwingungen nach ganz ähn
lichen Gesetzen vor sich gehen. Bei ihr ist aber der A bstand zweier K notenpunkte, gemessen längs der Achse der Spule, für eine gegebene Frequenz viel kleiner als bei den einfachen Systemen. Man kom m t d a her bei mäßigen Dimensionen m it relativ niedrigen Frequenzen aus.
Die Anordnung zeigt Fig. 24. Das eine
Ende der Spule ist geerdet und m it einem Fig. 24. Kondensatorkreis gekoppelt, der durch
Funken erregt wird und so abgestim m t werden kann, daß entweder die Grund Schwingung entsteht (vgl. Fig. 16) oder irgend eine Oberschwingung.
Die Verteilung des P o t e n t i a l s längs der Spule wird dadurch sichtbar gemacht, daß ein geerdeter D rah t an ihr entlang geführt ist; nach ihm gehen Büschelentladungen von allen denjenigen Stellen, an denen hohes Potential herrscht. Die Verteilung des S t r o m e s wird angezeigt durch eine Glühlampe, die in einen über der Spule ver
schiebbaren D rahtkreis eingeschaltet ist. Sie leuchtet am stärksten im Strom bauch auf.
E rregung der stehenden Schwingungen. 35
3*
3 6 Schwingungsfähige S ystem e u n d Selbstinduktion.
Auf dem gleichen Prinzip wie der obige A pparat be- r u h td e r T e s l a t r a n s f o r m a t o r (Fig. 25). B ineS puleaus dünnem D ra h t und m it sehr vielen W indungen wird durch einen in d u k tiv gekoppelten Kreis, der auf /die G rund
schwingung der Spule abgestim m t ist, erregt. Da die Sy
steme in Resonanz sind, und die Spule viel kleinere K ap a
z itä t besitzt als der Kreis, werden die Spannungen an ihren Enden sehr hoch und liefern Funken von großer Länge, die im Tempo der prim ären Stromwechsel, also außerordentlich rasch aufeinan- derfolgen.
Auch die Spulen der gewöhn
lichen Induktoren sind schwingungsfähige Systeme, aller
dings von kom plizierter A rt, da sie aus m ehreren Lagen bestehen. E s erk lärt sich daraus zum Teil der Einfluß, den das Anbringen eines K ondensators von geeigneter Größe an der U nterbrechungsstelle der Prim ärspule auf die W irksam keit des Induktors h at.
5. Fortschreitende W ellen längs Drähten.
A . Z w eite F orm der Lösung der D ifferentialgleichung.
W ir wollen nun eine zweite Forrjf für die Lösung der Differentialgleichung (4) bzw. (4 a)
¿ 2 7 ¿2y
(4a)
betrachten, die uns die Erscheinungen auf den Systemen m it gleichmäßig verteilter Selbstinduktion und K ap azität von einem veränderten G esichtspunkt aus darstellt.
F ortschreitende W ellen längs D rä h te n . 37 W ir werden dabei zugleich die etwas komplizierteren Systeme betrachten, die durch Einschalten von Selbst
induktionen und K apazitäten usw. entstehen und die wir
oben übergangen haben. f'i •
Die Beziehungen sollen nun erläu tert werden am P a r a l l e l d r a h t s y s t e m 1), das eine wichtige Anwendung zu Meßzwecken findet; natürlich sind sie auf den geraden D rah t übertragbar.
Die a l l g e m e i n e L ö s u n g unserer Differentialglei
chung lä ß t sich nach D ’A l e m b e r t schreiben in der F o rm : (13) V = f ( x + vt) + q>(x — v t ) .
wenn / und cp b e l i e b i g e Funktionen der Argumente x + vt und x — v t sind. Auch jeder einzelne Summand ist eine Lösung; die früher angegebene Form (12) oder (9) lä ß t sich in (13) überführen.
Die F unktionen f und cp müssen so bestim m t werden, daß die Grenzbedingungen und der etwa für die Zeit t — 0 vorgeschriebene Anfangszustand erfüllt ist.
W ir wollen zunächst annehmen, daß die D rähte sich nach beiden Seiten unbegrenzt ins Unendliche erstrecken;
dann s in d keine Grenzbedingungen in B etracht zu ziehen.
Unsere Lösung ergibt den folgenden A nfangszustand:
Zur Zeit t = 0:
V = f { x ) + c p (x).
” 7 = v f (x) — v cp (x) 2).
dt
!) W ir bem erken, d aß n a ch unserer A b leitu n g der Gl. (4) nur solch e Z u stän d e a u f d en D rä h ten b eh a n d elt w erd en , b ei d en en d ie S trom stärk en an gegenü b erliegen d en S tellen der P aralleld räh te einan d er ^ entgegen gesetzt gleich sin d . D a cs auch m öglich is t, d ie D rä h te so zu erregen, daß d iese V or
au ssetzu n g n ic h t er fü llt is t, so sch ließ en w ir derartige E rregu ngsarten a u s
drü cklich aus.
2) / ' b e d e u te t d en D ifferen tia lq u o tien ten v o n f n a ch sein em A rgum ent, n ic h t — .
c t
38 Schwingungsfällige System e un d Selbstinduktion.
I s t um gekehrt zu dieser Zeit der folgende Zustand gegeben:
V = F ( x ) .
(U)
so erh ält m an daraus die F unktionen / und cp in der F o rm :
X
/ ( * ) = ^ ■*'(*) + j & (x) d x . (15) cp{x) = - F ( x )
l l c /
$ { x ) d x ,und d am it die dem gegebenen Anfangszustand (14) ange
paßte Lösung: / {x + vt) -f- cp (x — v t ) .
y j Es sei z. B. der folgende An-
11-^ tmg fangszustand gegeben: In einem I__________ sehr kleinen Bereich A x um den __________ I P u n k t x — 0 habe V den W ert
- —— 2A. F ü r alle anderen W erte
„ ' d V
Fig. 26. - von x goj] y _ q ge’nj un(J dt soll überall Null sein (Fig. 26). D ann ist also <A> = 0 und F h a t nu r dann merkliche W erte =*= 2 A , wenn das A rgum ent sehr klein ist.
Aus (15) erhält m an f(x) = cp(x) = \ F ( x ) und als Lösung also:
(16) V = ^ F (x + vt) -f- \ F (x — vfr.
Diese Lösung ergibt zur Zeit t = t folgende Verteilung von F längs der D rä h te :
D a die F unktion F nu r dann endliche W erte hat, wenn ihr Argum ent sehr klein ist, so h a t zur Zeit t V nur d o rt
F ortschreitende W ellen längs D rähten. 39 von Null verschiedene W erte, wo entweder x + vt oder x — v t sehr nahe gleich Null ist, d. h. an den Stellen:
x = — vt und x = + vf.
Und zwar is t an diesen Stellen V = A . Fig. 27 stellt diese Verteilung dar.
(Dieselbe Lösung würden wir übrigens auch erhalten d V . ,
haben, wenn wir den Anfangswert von in dem kleinen Intervall um den N ullpunkt nicht als Null vorausgesetzt h ätten. W enn nur — d o rt endliche W erte hat, und d V
dt
im übrigen Null ist, bleibt unsere Lösung die gleiche.) folgt zusammenfassen: . n d t "t
W e n n i m N u l l p u n k t f — f--- a n f a n g s e i n e g e w i s s e P o - ' j ja>, t e n t i a l d i f f e r e n z V = 2 A Fjg 27 b e s t e h t , so p f l a n z e n s i c h
d i e H a l b w e r t e n a c h b e i d e n S e i t e n l ä n g s d e r D r ä h t e m i t d e r G e s c h w i n d i g k e i t v f o r t .
Diese Geschwindigkeit ist für in L uft befindliche D rähte die Lichtgeschwindigkeit.
Gleiches gilt natürlich auch, wenn m an im N ullpunkt anfangs bestim m te W erte des'S trom es I herstellt ; es breiten sich dann die Halbwerte des Stromes nach den
selben Gesetzen aus; da die Differentialgleichung für I dieselbe wie für V ist.
B. D ie E inw irkung äußerer K räfte. Quelle.
F o r t s c h r e i t e n d e S i n u s w e l l e n .
W erden im P u n k te x = 0 nicht nur zur Zeit Null, son
dern auch zu den späteren Zeiten bestim m te W erte von V Das R esultat lä ß t sich wie
4 0 Schw ingungsfähige System e u n d Selbstinduktion.
durch äußere K räfte aufrechterhalten, so pflanzen sich diese späteren W erte von F ebenfalls längs der D rähte nach beiden Seiten fort. In einem P u n k te x herrscht also d an n immer die H älfte desjenigen W ertes von, F, der zu einer um — früheren Z eit im N ullpunkt bestand.x
W enn der erzwungene Verlauf des P otentials im Null
p u n k t durch 2 xp (t) dargestellt ist, so ist er in einem
Äußere K räfte der geforderten A rt, die an einer be-
Diese Stelle der D rähte, von der die W erte F nach bei
den Seiten weglaufen, wollen wir als eine Q u e l l e be
zeichnen [und zwar speziell als S p a n n u n g s q u e l l e , da m an auch Anordnungen treffen kann, die an einer Stelle bestim m te W erte der Strom stärke aufrechterhalten, und die d ann als S tro m q u e lle n bezeichnet werden sollen].
W enn in der Quelle eine Sinusspannung:
P u n k te x , der auf der positiven Seite liegt, dargestellt P u n k t auf der negativen
F ig. 28.
stim m ten Stelle der D rähte ge
gebene W erte von F erzeugen, kann m an etwa dadurch her- stellen, daß m an die Belegungen eines Kondensatorkreises d o rt den D rähten nähert (Pig. 28).
F = 2 A sinrnf
au wird, so ist nach dem Obigen die Ver
teilung von F zu jeder Zeit t l durch:
(17) F + = A s m c o l t — - (17)
