STUDENCKI KONKURS MATEMATYCZNY

(1)

STUDENCKI KONKURS

(2)

(3)

Zbigniew Skoczylas

STUDENCKI KONKURS MATEMATYCZNY

Zadania z rozwiązaniami

Wydanie piąte powiększone

(4)

Zbigniew Skoczylas Wydział Matematyki Politechnika Wrocławska zbigniew.skoczylas@pwr.edu.pl

Copyright c 2016, 2017, 2018, 2019, 2020 by Oﬁcyna Wydawnicza GiS

Utwór w całości ani we fragmentach nie może być powielany ani rozpowszechniany za pomocą urządzeń elektronicznych, mechanicznych, kopiujących, nagrywających i innych. Ponadto utwór nie może być umieszczany ani rozpowszechniany w postaci cy- frowej zarówno w Internecie, jak i w sieciach lokalnych, bez pisemnej zgody posiadacza praw autorskich.

Skład wykonano w systemie L^ATEX.

ISBN 978-83–62780–73–0

Wydanie piąte powiększone, Wrocław 2020 Oﬁcyna Wydawnicza GiS, s.c., www.gis.wroc.pl Druk i oprawa: Drukarnia I-BiS, Sp. z o.o. Sp. kom.

4

(5)

Spis treści

Wstęp 7

Analiza matematyczna 1 9

Zadania konkursowe . . . 9 Odpowiedzi, rozwiązania, wskazówki . . . 22

Algebra i geometria analityczna 53

Algebra liniowa 153

Źródła zadań 173

(6)

(7)

Wstęp

Książka zawiera zadania ze studenckiego konkursu matematycznego pn. „Egza- min na ocenę celującą”, który od 1994 r. prowadzony jest w Politechnice Wrocławskiej.

Każdego roku akademickiego odbywają się cztery edycje konkursu. W semestrze zi- mowym obejmują one analizę matematyczną 1 i algebrę z geometrią analityczną, a semestrze letnim - analizę matematyczną 2 i algebrę liniową. Nagrodą dla zwycięz- ców jest ocena celująca z danego przedmiotu. Zadania konkursowe są nietypowe, a ich rozwiązanie wymaga dużej pomysłowości. W zbiorze umieszczono zadania ze 123 edycji konkursu z 27 lat. Książkę podzielono na cztery rozdziały poświęcone kolejno:

analizie matematycznej 1, algebrze z geometrią analityczną, analizie matematycznej 2 oraz algebrze liniowej. W pierwszej części rozdziałów zawarto zadania konkursowe, a w drugiej omówiono ich rozwiązania albo podano odpowiedzi ze wskazówkami. Zada- nia są w większości oryginalne. W wykazie na końcu książki wymieniono ich autorów lub wskazano źródła, skąd je zaczerpnięto. Rozwiązania zadań pochodzą od autorów albo z tego samego miejsca, co zadania.

Książka jest przeznaczona dla osób, które lubią rozwiązywać nietypowe zadania z matematyki na poziomie akademickim. Zbiór będzie pomocny studentom przygoto- wującym się do międzynarodowych zawodów matematycznych.

Do obecnego wydania dołączono zadania wraz z rozwiązaniami z konkursów, które odbyły się w 2020 r. Ponadto poprawiono zauważone błędy i usterki. Dwa początkowe wydania książki miały tytuł „Algebra i analiza. Egzaminy na ocenę celującą”.

Dziękuję Pani dr Teresie Jurlewicz za przygotowanie oryginalnych zadań konkur- sowych z algebry z geometrią analityczną i algebry liniowej oraz za pomoc w organi- zacji konkursu. Czytelników proszę o zgłaszanie uwag o zadaniach oraz o wskazanie błędów i usterek w zbiorze.

Zbigniew Skoczylas

(8)

(9)

Analiza matematyczna 1

Zadania konkursowe

Styczeń 1994 r. Rozwiązania str.

??

1.Funkcja f spełnia dla dowolnych x, y ∈ R warunek |f(x) − f(y)| ¬ |x − y|³. Uza- sadnić, że funkcja ta jest stała na R.

2.Wśród walców wpisanych w sześcian, o osiach pokrywających się z przekątną sze- ścianu, znaleźć ten, który ma największą objętość.

3.Funkcja g spełnia warunek lim

x→∞g(x) = 3 oraz jest ciągła na przedziale [1, ∞).

Wyznaczyć granicę lim

x→∞





 1 x

x

Z

1

g(t) dt





 . 4.Znaleźć kres dolny i górny zbioru {√ⁿ

n : n ∈ N \ {1}} .

??

A1.Funkcja f spełnia warunek lim

x→∞(f (x) + f^′(x)) = 0. Uzasadnić, że lim

x→∞f (x) = 0.

A2.Uzasadnić, że podany zbiór jest ograniczony (√2,

q 2 +√

2, r

2 + q

2 +√ 2, . . .

) .

A3.Narysować wykres funkcji y = cos(2 arccos x).

A4.Funkcja f jest ciągła na przedziale [0, 1]. Uzasadnić równość

π

Z

0

xf (sin x) dx = π 2

π

Z

0

f (sin x) dx.

??

B1.Uzasadnić, że istnieje funkcja f spełniająca wszystkie podane warunki:

(10)

10 Zadania konkursowe a) pochodne f^′(0), f^′′(0), . . ., f⁽⁹⁹⁾(0) istnieją i są właściwe;

b) nie istnieją pochodne f₋⁽¹⁰⁰⁾(0), f₊⁽¹⁰⁰⁾(0) właściwe ani niewłaściwe.

B2.Uzasadnić, że ciągi sn= sin n, cn= cos n są rozbieżne.

B3.Znaleźć wszystkie funkcje ciągłe f , które dla każdego x ∈ R spełniają równość f (x) = f (3x).

B4.Funkcja f : [0, 1] −→ [0, 1] jest różniczkowalna na przedziale [0, 1] oraz spełnia warunki f (0) = 0, f (1) = 1. Pokazać, że w przedziale (0, 1) istnieją liczby a 6= b, dla których f^′(a) · f^′(b) = 1.

??

1.Funkcja f jest ciągła na odcinku [0, 3] oraz spełnia warunek f (0) = f (3). Udowod- nić, że istnieją punkty x, y ∈ [0, 3] spełniające warunki: |x − y| = 1, f(x) = f(y).

2.Całkę

π/4

Z

−π/4

cos x dx

p1 + e^sin⁴^x obliczyć z dokładnością 0.005.

3.Sześcian ma krawędź o długości 1. Obliczyć objętość bryły zakreślonej przez sze- ścian podczas obrotu wokół jego przekątnej.

4.Przez punkt P = (−3, 2) poprowadzono wszystkie możliwe styczne do wykresu funkcji f (x) = x³− 4x + 1. Znaleźć równania tych stycznych.

??

1.Czy istnieje funkcja ciągła, której wykres ma punkty wspólne z każdą prostą na płaszczyźnie?

2.Dla n ∈ N niech an i bn oznaczają liczby naturalne spełniające warunek

2 +√ 3n

= an+ bn

√3.

Obliczyć granicę lim

n→∞

an

bn

.

3.Funkcja f jest całkowalna na dowolnym przedziale oraz spełnia warunki:

x→−∞lim f (x) = −1, lim

x→∞f (x) = 1.

Pokazać, że istnieje liczba a, dla której spełniona jest równość

a+π

Z

a

f (x) dx = e.

4.Dwaj kolarze minęli jednocześnie trzy kolejne lotne premie. Udowodnić, że w pewnej chwili przyspieszenia obu kolarzy były jednakowe.

??

1.Przekrój poprzeczny rynny ma kształt paraboli o równaniu y = x². Znaleźć promień największej kuli, która będzie mogła toczyć się po dnie rynny.

(11)

Analiza matematyczna 1 11 2.Funkcja f jest ciągła na R oraz dla każdego a ∈ R spełnia warunek

a+1

Z

a−1

f (x) dx = 2.

Udowodnić, że funkcja ta jest okresowa.

3.W dowolne puste ramki studenci A i B wpisują na przemian współczynniki rzeczywiste wielomianu

x¹⁰+

2

^x⁹⁺

2

^x⁸⁺

2

^x⁷⁺

2

^x⁶⁺

2

^x⁵⁺

2

^x⁴⁺

2

^x³⁺

2

^x²⁺

2

^{x + 1.}

Jeżeli otrzymany wielomian nie ma pierwiastków rzeczywistych, to wygrywa student A. W przeciwnym przypadku wygrywa student B. Wpisywanie współczynników roz- począł student A. Pokazać, że student B ma strategię wygrywającą.

4.Zbadać, czy istnieje granica lim

n→∞

hn sin 2πp

n²+ 1i .

??

A1.Dla liczby naturalnej n niech xn oznacza pierwiastek równania e^x= nx. Obliczyć granicę

n→∞lim [n (nxn− 1)] . A2.Funkcja f jest ciągła i ma okres T = 1.

Pokazać, że istnieje liczba x0, dla której zachodzi równość

f (x0+ π) = f (x0) .

A3.Znaleźć liczbę rzeczywistą c, dla której pola obszarów D1 i D2 (rysunek) są jednakowe.

O x

y

y=2x−3x³

y=c D1

D2

A4.Czy istnieją funkcje f i g wypukłe w dół takie, że f (x) − g(x) = sin x dla x ∈ R?

??

B1.Obliczyć granicę ciągu xn= 1

√n⁴+1+ 2

√n⁴+2+ 3

√n⁴+3+ . . . + n

√n⁴+ n. B2.Pokazać, że dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzi równość

2π

Z

0

sin (sin x + nx) dx = 0.

f (2x)

(12)

12 Zadania konkursowe B4.Z długiego prostokątnego kawałka blachy o szerokości d trzeba zrobić rynnę.

Rynna ma mieć kształt części powierzchni bocznej walca. Jaki powinien być promień walca, aby rynną mogło spływać najwięcej wody?

??

1.Zbadać, czy istnieją ciągi (xn), (yn) , których wyrazy są liczbami naturalnymi i takie, że

n→∞lim (√

xn−√yn) =√³ 2000.

2.Znaleźć wszystkie kąty α (0 < α < π), o jakie można obrócić (wokół początku układu współrzędnych) wykres funkcji:

a) y = e^x, gdzie x ∈ R, b) y = sin x, gdzie x ∈ R,

aby otrzymana krzywa była wykresem pewnej funkcji w tym samym układzie współ- rzędnych.

3.Niech pn będzie przybliżeniem dziesiętnym liczby π z dokładnością do n cyfr po przecinku. Pokazać, że liczba Pn= pn+ sin pn jest przybliżeniem π z dokładnością do 3n cyfr po przecinku. Na przykład dla p2= 3.14 mamy P2= 3.141593 . . .

4.Udowodnić nierówność 9 <

3

Z

0

p4

x⁴+ 1 dx +

3

Z

1

p4

x⁴− 1 dx < 9.0001.

Luty 2001 r. Rozwiązania str.

??

A1.Uzasadnić, że dla dowolnych liczb rzeczywistych ϕ, λ zachodzi równość

n→∞lim

cosϕ

n + λ sinϕ n

n

= e^λϕ. A2.Wskazać większą z liczb ²⁰⁰⁰√

2000, ²⁰⁰¹√ 2001.

A3.Wyznaczyć wszystkie dodatnie rozwiązania równania 2^x= x².

A4.Obliczyć objętość i pole powierzchni bryły obrotowej uzyskanej w wyniku obrotu wokół osi Oy koła o promieniu r i środku (R, 0), gdzie R > r.

??

B1.Obliczyć granicę lim

n→∞

"

eⁿ−

1 + 1

n

n²# .

B2.Podać przykład funkcji f określonej na R, której dziedziny naturalne D1, D2, D3, . . . pochodnych f^′, f^′′, f^′′′, . . . spełniają warunek

R⊃ D¹⊃ D²⊃ D³⊃ . . . , przy czym żadne z zawierań nie jest równością.

B3.Określić liczbę rozwiązań rzeczywistych równania 4^x= x⁴.

(13)

Analiza matematyczna 1 13 B4.W pierwszej ćwiartce okręgu jednostkowego wybrano łuk o długości l mniejszej niż π/2. Pokazać, że suma pola trapezu krzywoliniowego leżącego poniżej tego łuku oraz pola trapezu leżącego po jego lewej stronie nie zależy od położenia łuku (rysunek).

l

x y

O

??

1.Pokazać, że ciąg (xn) określony wzorem rekurencyjnym:

x1= 1, xn+1= 1 2 + xn

jest zbieżny i wyznaczyć jego granicę.

2.Dana jest krzywa gładka ograniczająca zbiór wypukły na płaszczyźnie. Udowodnić, że w tę krzywą można wpisać trójkąt równoboczny. Czy dowolny punkt krzywej może być wierzchołkiem tego trójkąta?

3.Zbadać, czy istnieje wielomian W taki, że W (n) = n! dla każdego n ∈ N.

4.Obliczyć całkę

π

Z

0

x sin x dx 1 + cos²x.

??

1.Obliczyć granicę lim

n→∞n √ⁿ

n − 1 .

2.Znaleźć funkcje f i g spełniające warunki: lim

x→0⁺f (x) = 1, lim

x→0⁺g(x) = ∞, dla których nie istnieje granica właściwa ani niewłaściwa lim

x→0⁺[f (x)]^g(x). 3.Pokazać, że istnieje liczba rzeczywista a, dla

której zachodzi równość

1

Z

0

e^ax²dx = 2003 2002.

(14)

14 Zadania konkursowe

??

1.Dla n = 10¹⁰obliczyć część całkowitą liczby 1

√n

e − 1. 2.Pokazać, że rozwiązaniem nierówności

1

x − 1 + 2

x − 2+ 3

x − 3+ . . . + 500

x − 500 125 2 jest suma rozłącznych przedziałów o całkowitej długości 2004.

3.Niech n będzie liczbą naturalną. Udowodnić, że dla dowolnych liczb x1, x2, . . . , xn

z przedziału [0, 1] istnieje liczba x0 ∈ [0, 1], której średnia odległość od pozostałych jest równa 1/2, tzn.

|x1− x0| + |x2− x0| + . . . + |xn− x0|

n =1

2. 4.Uzasadnić nierówność





4

Z

0

px²+ 9 dx



·





5

Z

3

px²− 9 dx



< 80.

??

1.Zbadać zbieżność ciągu (xn) określonego wzorem rekurencyjnym x1= 0, xn+1= 1 + xn

2 + xn dla n 1.

2.Wyznaczyć współrzędne środka i promień największego koła, które można wpisać w „soczewkę” ograniczoną łukami krzywych y = x², x = y².

3.Obliczyć całkę

3

Z

−3

arc ctg x 3 + x² dx.

4.Czy dla każdego ciągu funkcji fn : R+−→ R⁺ spełniających dla n ∈ N warunek

x→∞lim fn(x) = ∞ istnieje funkcja g : R⁺−→ R⁺, która „szybciej” dąży do ∞ niż każda z funkcji fn, tzn. dla każdego n ∈ N mamy

x→∞lim g(x) fn(x) = ∞?

??

n→∞

(n + 5)

√2

− (n + 1)

√2

(n + 3)

√2

− (n + 1)

√2 .

2.Parametry a, b zmieniają się w ten sposób, że parabole y = x²+ a, x = y²+ b są styczne. Znaleźć zbiór punktów styczności.

3.Funkcja f spełnia w przedziale [0, 1] warunki f (x) > 0, f^′′(x) < 0. W którym punkcie wykresu funkcji f należy poprowadzić styczną, aby pole trapezu ograniczo- nego tą styczną, prostymi x = 0, x = 1 oraz osią Ox było najmniejsze?

(15)

4.Obliczyć całkę

2

Z

0

(3x²− 3x + 1) cos(x³− 3x²+ 4x − 2)dx.

Uwaga. Wynik wystarczy podać jako wartość pewnej funkcji elementarnej, np. e^π−

√sin 3.

??

1.Pokazać, że ciąg xn = 1

√1+ 1

√2 + . . . + 1

√n− 2√

n jest zbieżny.

2.Zając siedzi na łące w odległości 120 m od lasu o prostoliniowym brzegu. W połowie drogi między nim i lasem czatuje wilk. Zając biega dwa razy szybciej od wilka. Znaleźć długość najkrótszej prostoliniowej drogi bezpiecznej ucieczki zająca do lasu.

3.Uzasadnić równość

2

Z

0

px³+ 1 +p³

x²+ 2x

dx = 6.

4.Niech n będzie dowolną liczbą naturalną. Liczby rzeczywiste a1, a2, . . . , an są tak dobrane, że dla każdego x ∈ R spełniony jest warunek

a1sin x + a2sin 2x + . . . + ansin nx ¬

sin x . Udowodnić nierówność |a¹+ 2a2+ . . . + nan| ¬ 1.

??

1.Ciąg (an) jest ograniczony oraz spełnia równość lim

n→∞(an+1− aⁿ) = 0. Czy te warunki gwarantują zbieżność ciągu (an)?

2.Zbadać, czy istnieje liczba rzeczywista a taka, że parabola y = ax²jest styczna do wykresu funkcji y = e^x.

3.Znaleźć wymiary prostokąta o największym polu, który można całkowicie przykryć dwoma kołami o promieniu 1.

4.Obliczyć całkę nieoznaczoną Z

x⁶+ x³p³

x³+ 2 dx.

??

A1.Wyrazy ciągu (xn) mają postać

xn = 55 . . . 5 777 . . . 7,

gdzie w liczniku jest n „piątek”, a w mianowniku n + 1 „siódemek”. Obliczyć granicę tego ciągu.

(16)

A3.Obliczyć całkę nieoznaczoną Z

x ln x²+ 1 arc tg x dx.

A4.Znaleźć wzór funkcji elementarnej, której wykres przedstawiono poniżej. Opisać rozumowanie prowadzące do celu.

x y

O 1

−1 1

−2

2

??

B1.Pokazać, że istnieją liczby rzeczywiste a, b takie, że dla każdego wielomianu W stopnia co najwyżej trzeciego zachodzi równość

1

Z

−1

W (x) dx = W (a) + W (b).

B2.Funkcja f jest ciągła na R oraz spełnia warunki f (0) = 0, f (1) = 1. Pokazać, że istnieje rosnący ciąg arytmetyczny x1, x2, x3, x4, którego wyrazy spełniają równość f (x1) + f (x2) + f (x3) + f (x4) = π.

B3.Obliczyć całkę nieoznaczoną Z

x ln x²+ 1 arc tg x dx.

B4.Obliczyć sumę szeregu X∞ k=1

2k + 1 k²(k + 1)².

??

n→∞

n

q

√n

2ⁿ+ 1 − 2 .

2.Na przedziale (0, α) (0 < α < π/2) dany jest wykres funkcji y = sin x. W jaki spo- sób, przy pomocy cyrkla i linijki, można skonstruować styczną w dowolnym punkcie wykresu? Uzasadnić poprawność konstrukcji. Na osiach układu są te same skale, ale nie zaznaczono jednostek.

y

y=sin x

(17)

Analiza matematyczna 1 17 3.Pokazać, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b zachodzi nierówność

a^a· b^b a + b 2

a+b

. 4.Obliczyć całkę nieoznaczoną

Z (x cos x − sin x) dx x²+ sin²x .

??

n→∞

√_n 2 + √ⁿ

3 − √ⁿ 5ⁿ

.

2.Pokazać, że logarytm naturalny nie jest funkcją wymierną, tzn. na przedziale (0, ∞) nie można go przedstawić w postaci

ln x = L(x) M (x), gdzie L oraz M są pewnymi wielomianami.

3.Okrąg o promieniu 1 jest zawarty w trójkącie o bokach 13, 14, 15. Niech M i N będą jedynymi punktami okręgu, których suma odległości od boków trójkąta jest odpowiednio najmniejsza i największa. Wyznaczyć długość odcinka M N.

4.Obliczyć całkę Z

tg¹⁰x dx.

??

A1.Z lewej strony przedziału [0, 1] odcięto 1/3 długości i otrzymano przedział P1= [1/3, 1]. Następnie z prawej strony przedziału P1 odcięto 1/3 długości i otrzymano przedział P2 = [1/3, 7/9]. Obie te czynności powtórzono nieskończenie wiele razy i otrzymano kolejno przedziały: P3, P4, . . . Wyznaczyć zbiór złożny z punktów, które należą do wszystkich przedziałów Pn (n ∈ N) .

A2.Czy istnieje funkcja ciągła i rosnąca na przedziale [0, 1] , która w punkcie 0 nie ma pochodnej prawostronnej właściwej ani niewłaściwej? Podać dowód albo wskazać kontrprzykład.

A3.Trójkąt ma boki o długościach a = 4, b = 5, c = 6. Znaleźć najkrótszy odcinek, który dzieli trójkąt na dwie części o jednakowych polach.

A4.Obliczyć całkę nieoznaczoną Z p

x⁴− 4x³+ 4x²− 1 dx (x > 3) .

??

B1.Dla liczby naturalnej n 2 niech aⁿ oznacza jedyne dodatnie rozwiązanie rów- nania

(18)

18 Zadania konkursowe B2.Znaleźć wszystkie funkcje f różniczkowalne w sposób ciągły na R, które dla do- wolnych x, y ∈ R spełniają warunek

f x³ − f y³ = x²+ xy + y² (f (x) − f(y)) .

B3.Przez punkt P = (2, 3) poprowadzić prostą w ten sposób, aby odcięła od elipsy

(x, y) ∈ R²: x² 25+y²

16 ¬ 1

soczewkę o najmniejszym polu.

B4.Obliczyć całkę nieoznaczoną Z

1 + 2x² e^x²dx.

??

1.Początkowym wyrazem ciągu jest dowolna liczba wymierna. Kolejny wyraz ciągu powstaje przez dopisanie na końcu licznika oraz mianownika poprzedniego wyrazu dowolnej cyfry (niekoniecznie tej samej). Pokazać, że ciąg otrzymany tym sposobem jest zbieżny.

2.Obliczyć granicę

x→0limctg x + 2x² ctg x + 7x² − ctg x + 4x² ctg x + 5x² .

3.Jak przez środek elipsy o półosiach a, b (a > b) poprowadzić dwie prostopadłe cięciwy, aby ich łączna długość była: a) najmniejsza; b) największa?

4.Obliczyć całkę nieoznaczoną Z

x tg⁴x dx

0 < x < π 2

.

??

n→∞

1 + 1

9n

−

1 + 1

7n

1 + 1

5n

−

1 + 1

3n

3n.

2.Jaką największą szerokość może mieć pas (podzbiór płaszczyzny ograniczony dwiema prostymi równoległymi), który można umieścić między wykresami funkcji y = e^x, y =

−e^−x+2 ?

3.Obliczyć całkę

1

Z

−1

x²⁰¹³ln (1 + e^x) dx.

4.Bryła jednorodna o masie M jest ograniczona powierzchnią powstałą z obrotu wykresu funkcji ciągłej i dodatniej y = f (x), a ¬ x ¬ b, wokół osi Ox oraz płasz- czyznami prostopadłymi do tej osi w punktach x = a, x = b. Korzystając z deﬁnicji całki oznaczonej funkcji jednej zmiennej wyprowadzić wzór na moment bezwładności bryły względem jej osi symetrii.

(19)

??

1.Zbadać zbieżność ciągu (an) określonego wzorem rekurencyjnym:

a1= 1, an+1= an+ 1

2an (n ∈ N) .

2.Niech f (x) = sin x²⁰ arc tg x³⁰ ln 1 + x⁵⁰ . Znaleźć najmniejszą liczbę natu- ralną n taką, że f⁽ⁿ⁾(0) 6= 0.

3.Wyznaczyć promień największego koła, które można wpisać w obszar ograniczony krzywą y = 1/x² oraz osią Ox.

4.Obliczyć całkę Z

cos 1

2arcsin x

dx (−1 < x < 1).

Wynik zapisać nie używając funkcji trygonometrycznych ani cyklometrycznych.

??

1.Pokazać, że dla pewnej liczby naturalnej n rozwinięcie dziesiętne √

n zaczyna się układem cyfr 2016, a bezpośrednio po przecinku ma 7 „siódemek”. Pozostałe cyfry rozwinięcia mogą być dowolne.

2.Jakie wartości może przyjąć granica

x→0lim⁺ f x²

f (x) ,

gdy f jest funkcją ciągłą na przedziale [0, 1) i dodatnią na (0, 1)?

3.Znaleźć wielomian, który tylko w −1 i 2 ma ekstrema lokalne właściwe (odpowiednio minimum i maksimum), a ponadto tylko w 0 ma punkt przegięcia.

4.Niech funkcja f będzie ciągła i nieujemna na przedziale [a, b] (a 0). Wyprowadzić wzór na objętość bryły powstałej z obrotu obszaru {(x, y) : a ¬ x ¬ b, 0 ¬ y ¬ f(x)}

wokół osi Oy. Korzystając z niego obliczyć objętość torusa, tj. bryły powstałej z

(20)

??

n→∞

√1 +√ 2 +√

3 + . . . +√ n²

√3

1 +√³ 2 +√³

3 + . . . +√³ n3. 2.Kostką n-wymiarową o krawędzi a > 0 nazywamy zbiór

{(x¹, x2, . . . , xn) ∈ Rⁿ: 0 ¬ x¹¬ a, 0 ¬ x²¬ a, . . . , 0 ¬ xⁿ¬ a} .

Ile wymiarowa kostka o sumie długości wszystkich krawędzi równej 2017 ma najwięk- szą objętość?

3.Obliczyć całkę Z p

1 − x²arcsin x dx.

4.Pojemnik z lakierem w sprayu ma kształt walca o średnicy D i wysokości H. Do pojemnika włożona jest stalowa kulka o średnicy d (d < D, d < H) , która służy do mieszania lakieru przed użyciem. Obliczyć objętość tej części pojemnika, do której dociera kulka.

??

1.Niech an= 20182018 . . . 2018 będzie liczbą w układzie dziesiętnym utworzoną z n ustawionych obok siebie czwórek cyfr 2, 0, 1, 8. Obliczyć granicę lim

n→∞

√n

an.

2.Pokazać, że na każdej płaskiej ograniczonej ﬁgurze wypukłej o niepustym wnętrzu i gładkim brzegu^∗ można opisać kwadrat.

3.Wyznaczyć wymiary prostokąta o największym polu, który mieści się w walcu o promieniu podstawy r i wysokości h. Sporządzić rysunek.

4.Uzasadnić równość

π 2

Z

0

cos³x dx 2 − sin 2x =1

2.

??

A1.Czy istnieją ciągi (xn) , (yn) liczb naturalnych takie, że

n→∞lim

1 + 1

xn

yn

=√ 2019?

A2.Pokazać, że brzeg dowolnego zbioru ściśle wypukłego^† na płaszczyźnie można podzielić dwiema prostymi równoległymi na cztery krzywe o jednakowych długościach.

∗Mówimy, że krzywa jest gładka, gdy w każdym punkcie ma styczną i styczna ta zmienia się w sposób ciągły wzdłuż krzywej.

†Mówimy, że zbiór jest ściśle wypukły, gdy jest wypukły a jego brzeg nie zawiera żadnego odcinka.

(21)

A3.Pewną substancję o objętości V chcemy przechować w kopcu w kształcie stożka.

Jaki powinien być kąt nachylenia tworzącej stożka do podstawy, aby powierzchnia parowania substancji, czyli powierzchnia boczna stożka, była najmniejsza?

A4.W którym miejscu należy umieścić pionowy pas o szerokości 1, aby przykrył fragment obszaru

(x, y) ∈ R²: 0 ¬ x, 0 ¬ y ¬ x² x⁴+ 4

o największym polu?

x y

l

??

B1.Obliczyć granicę lim

n→∞

" 2 + 1

n

log2n

−

3 + 1

n

log3n# .

B2.Przekrój poprzeczny rowu ma kształt krzywej y = ln 1 + x². Znaleźć największą średnicę rury, która dotyka najniżej położonego punktu rowu.

B3.Obliczyć całkę Z

e^xsin⁴x dx.

B4.Udowodnić twierdzenie Archimedesa: jeśli sferę i opisany na niej walec przetniemy

(22)

??

1.Wyznaczyć zbiór wartości, które przyjmuje granica

n→∞lim

⌊xⁿ⌋^xⁿ x_n^⌊xⁿ^⌋ ,

gdy ciąg (xn) przebiega rodzinę wszystkich ciągów rozbieżnych do ∞.

2.Rozważmy rodzinę deltoidów o kolejnych bokach: 4, 4, 3, 3. Znaleźć największy pro- mień koła, które można wpisać w deltoid z tej rodziny.

x→∞

p₃

x³+ 2019x²+ 1 −p⁵

x⁵+ 2020x⁴+ 1 .

4.Stożek o promieniu podstawy r i wysokości h przecięto płaszczyzną przechodzącą przez środek podstawy i nachyloną do niej pod takim samym kątem jak tworząca.

Obliczyć pole przekroju.