KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM
Klucz odpowiedzi do ETAPU WOJEWÓDZKIEGO
Arkusz zawiera tylko zadania otwarte, które należy ocenić według zamieszczonego poniżej klucza odpowiedzi.
Jeżeli uczeń poprawnie rozwiązał zadanie inną metodą niż podana w kluczu, a żadna nie była wskazana w tekście zadania, otrzymuje za to zadanie maksymalną liczbę punktów.
Zad. Odpowiedzi Liczba pkt.
1
x – masa bezpłatnego bagażu przewożona przez 1 osobę
94 – 2x – nadbagaż 2 osób 94 – x – nadbagaż 1 osoby
analiza zadania 1
Cena 1kg nadbagażu jest stała, stąd równanie:
x x
94 135 2
94 20
15
zapisanie równania 1
40 2 20
47 : 47 94 20
54 94 7 94 27
94 7 2 94 27
5 : 94 35 2 94 135
x
x x
x x x
x x
rozwiązanie równania 1
20 · 0,5 = 10
Jedna paczka cebulek tulipanów kosztuje 10 zł.
odpowiedź końcowa 1
Razem: 4 pkt.
3 y = x + 3 A(0, 3), B(-2, 1)
wykonanie rysunku i oznaczenie niewiadomej
1
a to odległość prostej od początku układu współrzędnych i jednocześnie
przyprostokątna Δ prostokątnego
równoramiennego o przeciwprostokątnej równej 3, więc
3 2
a
ustalenie niewiadomej i
zapisanie równania 1
2 5 , 1 a
2 3 a 2
Odległość prostej od początku układu współrzędnych wynosi
1 , 5 2
rozwiązanie równania i
odpowiedź końcowa 1
Razem: 3 pkt.
4
2
3 1 l P
w
wykonanie rysunku z oznaczeniami i zapisanie warunku początkowego
1
2 6 3
6 3 2
1
l l
obliczenie tworzącej stożka 1
2 6
6 2
r
r
obliczenie promieniapodstawy stożka 1
2
2
r
l
H
zastosowanie tw. Pitagorasado obliczenia wysokości stożka 1
3 2
4 3 16 4
6 4
6 9
2 2
2
H H
obliczenie wysokości stożka 1
2 2
2
3 3 2 4
6 3 1 3 1
V
H r V
obliczenie objętości stożka 1
Razem: 6 pkt.
|BC| = R – r
|AC| = R + r oraz
R r 3 AC
zapisanie zależności 1
1 3
1 3
1 3 3
1
3
R r
R r
r R r R
wyznaczenie stosunku
promieni 1
2 2
2 2
1 3
1 3
R
r R
r P P
R r
wyznaczenie stosunku pól kół 1Razem: 6 pkt.
6
wykonanie rysunku z oznaczeniami
cm cm
II
cm cm
I
52 78
:
26 78
:
3 2 3 1
- wyznaczenie długości I i II częściobwodu uzyskanego z podziału dwusieczną kąta prostego cm
b
cm b
13 26 2
- obliczenie długości boku b
prostokąta ABCD
cm a
a
a b b a
26 52 2
52
obliczenie długości boku a prostokąta ABCD
Razem: 4 pkt.
7
a 3 H
rysunek z oznaczeniami obrazujący podstawę walca wpisaną w romb
1
4 3 a 2
3 a 2 h 1 2
r 1
obliczenie promienia podstawywalca 1
a 4 3
3 V a
H r V
2 2
zastosowanie poprawnejmetody na obliczenie objętości walca
1
16 a V 9
a 16 3
3 V a
3 2
uzyskanie wyniku końcowego 1
Razem: 4 pkt.
1 5 3 ( cm )
5 1 3 5
a 3
168 1 4 1
168 1 4 1
168 5 4 5
168 3 4
3
obliczenie długości boku a 1) cm 5 ( 4 10101 25
10101 20
252525 202020
b
obliczenie długości boku b 1) cm ( 1 1 6 1 1 1
c1
9
5 x x
x 5
3 5 4 4 3 5
% 4
75
koszt ogrzewania po drugimusprawnieniu 1
x
% 27 x 27 , 0 5 x 3 20 x 9 5
% 3
45
koszt ogrzewania po trzecimusprawnieniu 1
% 73 73
, 0 27 ,
0
x x x
x x
Odp. Wydatki na ogrzewanie domu zmniejszyły się łącznie o 73%.
odpowiedź końcowa 1
Razem: 4 pkt.
10
0 2
2 2 2
ab b
a
ab b
a b ab a
zapisanie nierówności
równoważnych 1
a b
2 0 zastosowanie wzoruskróconego mnożenia 1
Korzystając z założenia stwierdzamy, że dla a≥0 i b≥0 nierówność jest prawdziwa.
Równość zachodzi dla a=b.
odpowiedź końcowa 1
Razem: 3 pkt.
11
b c a b
b c a
b
b c a b
c b a
2 1
0 , 0 , 0
ustalenie warunków
początkowych 1
a ca b
c ca b
c a b
2 2
2
2 przekształcenie równań 1
c ca b
a b
a c
2
3 2
2 po odjęciu stronami dwóch
ostatnich równań z poprzedniego układu, uzyskujemy pierwsze równanie
1
1 3 b b 2 3 2 2 1 a a 2 a 2 a a 2 b
3 b a 2
a 2 c
2
wyznaczenie a i podstawienie
do trzeciego równania 1
1 3 b 2 3 b 4
1 3 b b 2 3 b
24
przekształcanie trzeciego
równania 1
16 c
12 b
8 a
12 3 9
b 4 3 b 4 9 1
3 b 4 9 b 8
wyznaczenie liczb a, b, c 1
36 c b a
Odp. Suma liczb a, b, c jest kwadratem liczby całkowitej.
odpowiedź końcowa 1
Razem: 7 pkt.
