Budowa atomu 3: liczby kwantowe, spin

Wykład 14. 12 .2016

Budowa atomu 3

Równanie Schrödingera dla atomu wodoru i jego rozwiązania Liczby kwantowe n, l, m

:

- Kwantowanie energii i liczba kwantowa n – poziomy energetyczne, - Kwantowanie orbitalnego momentu pędu i liczby kwantowe l, m

. Degeneracja – jednej wartości energii odpowiada więcej stanów

Powłoki, podpowłoki i orbitale elektronowe; notacja spektroskopowa Atom w zewnętrznym polu magnetycznym

Spin elektronu Zakaz Pauliego

Model atomu według

mechaniki kwantowej

Równanie Schrödingera – równanie własne dla hamiltonianu H

HΨ = E Ψ

H = T + V(x,y,z) , Ψ = Ψ(x,y,z)

E to wartości własne - możliwe (dozwolone) wartości energii elektronu w atomie,

Ψ to funkcje własne opisujące stany (dozwolone) elektronu w atomie.

  m mv p

m m

mv mv mv

T 2 2

1 2

1 2

1

 





  r

r e U

2

4

1

 



H to hamiltonian opisujący całkowitą energię elektronu (kinetyczną T + potencjalną U)

Równanie Schrödingera dla atomu H rozwiązuje się we współrzędnych sferycznych

Niełatwe, ale rozwiązywalne!!!

Ψ(r,θ,φ) = R(r) Θ(θ) Φ(φ)

Nieruchome jądro w początku układu współrzędnych, położenie elektronu w ruchu wokół jądra opisuje punkt P o współrzędnych r,θ,φ.

Co mówi rozwiązanie?

Nowe liczby kwantowe

Kwantowanie energii i orbitalnego momentu pędu

Degeneracja

Liczby kwantowe

Rozwiązanie równania S. prowadzi do pojawienia się 3 liczb kwantowych:

HΨ

= E

Ψ

Możliwe (dozwolone) wartości wszystkich liczb kwantowych:

n = 1, 2, 3, … kwantowanie energii elektronu

l = 0, 1, 2,…., n-1 kwantowanie wartości orbitalnego momentu pędu elektronu

m

= -l, -l+1,…, l-1, l kwantowanie składowej momentu pędu

(Uwaga: liczbę kwantową składowej momentu pędu oznaczamy symbolem m_l ; w powyższym RS nie ma indeksu l przy symbolu m z powodów

typograficznych)

Energia elektronu zależy tylko od jednej (głównej) liczby

kwantowej n

Gdzie jest elektron? Interpretacja funkcji falowej.

Prawdopodobieństwo znalezienia elektronu jest dane kwadratem modułu jego Funkcji falowej, a więc jest różne od zera tam, gdzie funkcja falowa jest różna od zera.

W miejscach, gdzie kwadrat modułu ma wartość większą, prawdopodobieństwo znalezienia elektronu jest większe, tam gdzie mniejszą – mniejsze.

Wartości funkcji radialnych R²_nl(r) wskazują więc, jakie jest prawdopodobieństwo

znalezienia elektronu w odległości r od jądra dla . Wartości r, dla których każda z tych funkcji ma wartość maksymalną, oznaczają odległości od jądra, dla których

prawdopodobieństwo znalezienia elektronu jest duże..

Zauważ, że inaczej niż w modelu Bohra, elektrony nie poruszają się po orbitach o ściśle określonych promieniach. Interpretacja kwantowomechaniczna pozwala mówić tylko o obszarach większego i mniejszego prawdopodobieństwa pojawienia się elektronu.

Interpretacja fizyczna rozwiązań

równania Schrödingera

Kwantowanie energii

2 2

1 6

. 13

n n

eV

E n    

Wartość energii elektronu zależy jedynie od głównej liczby

kwantowej n (tak, jak w modelu Bohra)

Kwantowanie orbitalnego momentu pędu elektronu

Kątowa, czyli zależna tylko od dwóch

współrzędnych sferycznych θ, φ część funkcji

falowej Ψ(r,θ,φ) = R(r) Θ(θ) Φ(φ)

Dwa słowa o momencie pędu cząstki

Moment pędu L cząstki jest wektorem !

Jeżeli cząstka o masie m porusza się po okręgu z prędkością v, to jej moment pędu jest wektorem o wartości (długości) równej mvr prostopadłym do płaszczyzny okręgu.

Każdy wektor ma 3 składowe: L_x, L_y, L_z

Przypomnij sobie warunek kwantowania w modelu Bohra:

Dozwolone są jedynie orbity o takim promieniu r, że mvr = nh/2π, n = 1, 2, 3,…

(warunek kwantowania momentu pędu)

Liczba n to „liczba kwantowa” (główna)

Kwantowanie wartości i rzutu orbitalnego momentu pędu

2 2  l ( l  1 )  L

l 

z m

L 

l = 0, 1, 2, …., n-1

orbitalna liczba kwantowa

m

= - l, -l+1, -l+2,…l-2, l-1, l orbitalna magnetyczna

liczba kwantowa

Kwadrat momentu pędu:

Składowa L

momentu pędu:

Kwantowanie momentu pędu dla l=2 m

= -2, -1, 0, +1, +2

W przypadku l=2 moment pędu może mieć pięć składowych odpowiadających pięciu możliwym wartościom liczby kwantowej m_l .

Degeneracja – jednej wartości energii (wartości własnej hamiltonianu) odpowiada więcej niż jedna funkcja falowa

n = 1 l = 0 m_l = 0 liczba stanów: 1

n = 2 l = 0 m_l = 0

l = 1 m_l = - 1, 0, 1 liczba stanów: 1+3 = 4

n = 3 l = 0 m_l = 0

l = 1 m_l = -1, 0, 1

l = 2 m_l = -2, -1, 0, 1, 2 liczba stanów 1+3+5 = 9

Wartości energii zależą jedynie od liczby kwantowej n.

Każdej z nich (czyli jednej wartości n) odpowiada wiele funkcji falowych – stanów -numerowanych liczbami kwantowymi l (a więc odpowiadających stanom o różnych wartościach momentu pędu) oraz m_l (a więc o

różnych wartościach składowej z momentu pędu). Krotność degeneracji wzrasta z wartością n.

Orbital elektronowy to stan elektronu charakteryzowany liczbami n, l, m_l

Powłoki i podpowłoki elektronowe

Wszystkie stany mające tę samą główną liczbę

kwantową n tworzą powłokę. Oznacza się je literami K (dla n=1), L (dla n=2), M (dla n=3) itd..

Wszystkie stany mające te same wartości liczb n i l tworzą podpowłokę. Podpowłoki, dla których wartość l = 0, 1, 2,…

oznacza się literami s, p, d, …

Na przykład stan oznaczony symbolem 3p oznacza stan

z n=3 i l=0.

Notacja spektroskopowa

Tradycyjnie stany o różnych wartościach liczby kwantowej l są oznaczane symbolami literowymi jak w poniższej

tabelce. Łącznie z główną liczbą kwantową n=1,2,3,…

mamy ogólnie przyjęte oznaczenia (powłoki K, L, M);

1s; 2s,2p; 3s,3p,3d; ….

symbol: s p d f ……

wartość l : 0 1 2 3……

Powłoki i podpowłoki - notacja

n powłoka l podpowłoka

1 K 0 s 2 L 1 p 3 M 2 d 4 N 3 f

………..

Atom w zewnętrznym polu magnetycznym

Poruszający się wokół jądra elektron ma

moment magnetyczny μ proporcjonalny do orbitalnego momentu pędu L.

Ten moment magnetyczny oddziałuje z zewnętrznym polem magnetycznym, co prowadzi do rozszczepienia

zdegenerowanych poziomów energetycznych (efekt Zeemana).

Zauważ, że jeżeli l = 0 (moment pędu równy zeru), to również moment magnetyczny jest równy zeru. Oznacza to, że poziom

charakteryzowany liczbą orbitalnego

momentu pędu l=0 nie rozszczepia się w polu

magnetycznym.

Rozszczepienie poziomów energetycznych (usunięcie degeneracji) dla podstawowego i pierwszego wzbudzonego

stanu atomu H w polu magnetycznym – efekt Zeemana

Gdy nie ma pola magnetycznego to przejściu między stanami (n=2, l=1) i (n=1, l=0) odpowiada jedna linia widmowa o częstości f odpowiadającej energii przejścia E₂ - E₁ = hf.

W stałym zewnętrznym polu magnetycznym poziom górny z l=1 rozszczepia się na trzy poziomy: poziom o niezmienionej energii E₂ oraz dwa poziomy o energiach przesuniętych względem energii pierwotnej o wartości + Δ i –Δ.

W efekcie zamiast pierwotnej linii widmowej o częstości f powstają trzy linie odpowiadające przejściom z każdego z trzech poziomów górnych powstałych z rozszczepionego przez pole magnetyczne poziomu górnego na

nierozszczepiony poziom dolny (który nie rozszczepia się w polu, bo tu l = 0)

Spin elektronu

Własny (niezwiązany z ruchem orbitalnym

wokół jądra) moment pędu elektronu

Doświadczenie Sterna-Gerlacha 1922 –

kwantowanie przestrzenne (opis doświadczenia HRW 41.5)

W doświadczeniu SG wiązka atomów srebra była odchylane w

niejednorodnym polu magnetycznym B przez działanie siły F_z= μ_z (dB/dz) . Moment magnetyczny jest proporcjonalny do momentu pędu. Moment

orbitalny elektronu w tym doświadczeniu był równy zeru, a mimo to na

ekranie zarejestrowano dwie plamki. Oznacza to, że moment magnetyczny odpowiedzialny za odchylenie nie mógł być związany z momentem pędu orbitalnym – stąd wniosek, że elektron ma swój własny, wewnętrzny

moment pędu – spin S -, którego składowa w kierunku osi z może przyjmować tylko dwie wartości:

S

= m

(h/2π) , m

= +1/2, -1/2

m

spinowa magnetyczna liczba kwantowa

Liczby kwantowe elektronu w atomie wodoru i zakaz Pauliego

Do wprowadzonych uprzednio trzech liczb kwantowych n, l, m

należy dodać czwartą liczbę kwantową m

związaną z rzutem spinowego momentu pędu na oś z. Te cztery liczby kwantowe charakteryzują STAN KWANTOWY elektronu:

n, l, m

, m

Uwaga: Nie trzeba mówić o liczbie kwantowej spinu s (analogia do liczby kwantowej orbitalnego momentu pędu l), bo jej

wartość jest zawsze równa ½, natomiast możliwe są tu dwie wartości rzutu spinu: m

=+½ oraz m

= -½

Zakaz (reguła) Pauliego: Żadne dwa elektrony w tym

samym atomie nie mogą posiadać identycznego zbioru

wszystkich czterech liczb kwantowych, tzn. nie mogą być

w tym samym stanie kwantowym.

Przykład: dozwolone stany elektronowe dla n=3

n = 1 l = 0 m_l = 0 liczba stanów: 1

n = 2 l = 0 m_l = 0

l = 1 m_l = - 1, 0, 1 liczba stanów: 1+3 = 4

n = 3 l = 0 m_l = 0

l = 1 m_l = -1, 0, 1

l = 2 m_l = -2, -1, 0, 1, 2 liczba stanów 1+3+5 = 9 Dla każdego orbitalu opisanego trójką liczb (n, l, m_l ) możliwe są dwa stany spinowe odpowiadające

m

= +½ („spin w górę ↑”) oraz m

=-½ („spin w dół ↓”)

Dotąd było o atomie wodoru, który ma tylko jeden elektron

A co dzieje się w atomie

wieloelektronowym?

Obsadzanie kolejnych stanów - przykłady

Atom H (Z=1, 1 elektron):

W stanie podstawowym możliwy jeden z dwóch stanów 1 0 0 +1/2 lub 1 0 0 -1/2

Tę konfigurację elektronową zapisujemy jako 1s

Atom He (Z=2, 2 elektrony):

W stanie podstawowym ich liczby kwantowe to:

1 0 0 +1/2 oraz 1 0 0 -1/2

Mówimy, że powłoka K (n=1) jest zapełniona i konfiguracja

elektronowa jest 1s

Obsadzanie kolejnych stanów - przykłady

Atom Li (Z=3, 3 elektrony):

W stanie podstawowym dwa elektrony są na podpowłoce 1s, a trzeci na podpowłoce 2s → konfiguracja 1s

2s

Atom Be (Z=4, 4 elektrony):

W stanie postawowym dwa elektrony są na podpowłoce 1s, nastepne dwa na podpowłoce 2s → konfiguracja 1s

2s

Atom C (Z=6, 6 elektronów)

W stanie postawowym dwa elektrony są na podpowłoce 1s

,

kolejne dwa na podpowłoce 2s, a kolejne dwa na podpowłoce 2p, ale na różnych orbitalach (tzn. o różnych m

) z

niesparowanymi spinami → konfiguracja 1s

2s

2p

Obsadzanie kolejnych stanów - przykłady

Atom Ne (Z=10, 10 elektronów): Gaz szlachetny Konfiguracja 1s

2s

2p

Mówimy, że powłoka L (n=2) jest zapełniona

Pytania do wykładu 3

1.Energia elektronu w atomie wodoru ze wzrostem liczby kwantowej n:

a) rośnie, b) maleje

2. Jaką wielkość fizyczną opisują liczby kwantowe l oraz m_l ?

3. Co to jest spin elektronu?

4. Na czym polega zjawisko zwane degeneracją stanów elektronowych?

5. O czym mówi zasada Pauliego?

Koniec wykładu 3