Podstawy mechaniki

(1)

Podstawy mechaniki

Zadania domowe – Seria 10 (22 stycznia 2020)

Zadanie 1

Kulka o masie m, przymocowana nieważką sprężyną do ściany, może po- ruszać się bez tarcia po poziomym pręcie. Kulkę tę połączono z ciężar- kiem o masie M za pomocą nieważkiej nici (rysunek obok). Długość nici i stała sprężystości sprężyny spełniają relację: g/l = k/m = ω₀² (gdzie oznacza g przyspieszenie ziemskie). Obie kulki poruszają się w jednej pionowej płaszczyźnie. Znaleźć postacie drgań normalnych dla przypad- ków: M m i M m.

Wskazówka: Uwzględnić tylko człony najniższego rzędu w zmiennej _M^m lub ^M_m. Odpowiedź:

ω_1,2² = ω²₀^h(1 + _2m^M ± ¹₂^q^M_m(^M_m + 4) ⁱ a) M m: ω₁² ' ω²₀^M_m, ω₂² → 0, x

lθ

!

' 1

−1

!

A cos(ω₁t + φ₁) b) M m: ω²_1,2 ' ω²₀^h1 ±^q^M_mⁱ, x

lθ

!

' 1

−^q_M^m

!

A₁cos(ω₁t + φ₁) + 1 +^q_M^m

!

A₂cos(ω₂t + φ₂)

Zadanie 2

Znaleźć w przybliżeniu harmonicznym częstości i postacie drgań normal- nych układu trzech wahadeł matematycznych o masach m, M i m oraz jednakowej długości l, połączonych nieważkimi sprężynami o stałej sprę- żystości k. Wahadła drgają w płaszczyźnie rysunku. W stanie spoczynku układu sprężyny miały swoją długość swobodną, a w chwili początko- wej lewemu wahadłu nadano prędkość ^dx_dt¹

t=0= v_◦. Porównać wynik z zadaniem rozwiązanym na ćwiczeniach dla układu trzech mas m, M i m połączonych dwiema jednakowymi sprężynami.

Odpowiedź:

ω₁² = ^g_l, ω₂² = _m^k + ^g_l, ω²₃ = _m^k +^g_l +^2k_M







x₁ x₂ x₃





'







1 1 1





A₁sin(ω₁t) +







1 0

−1





A₂sin(ω₂t) +







1

−2_M^m 1





A₃sin(ω₃t) A₁ = v_{2m/M +1}^m/M , A₂ = v/2, A₃ = ^v₂_{2m/M +1}¹ ,

(2)

Zadanie 3

Znaleźć w przybliżeniu harmonicznym częstości i postacie drgań normalnych układu trzech nieważkich sprężyn i dwóch koralikow o masach m. Koraliki poruszają się bez tarcia wzdłuż pionowych prętów. Sprężyny mają długość swobodną l◦ i stałą sprężystości k. Odległość między prętami oraz między prętem a ścianą wynosi a (a > l◦). Grawitację pominąć.

Odpowiedź:

ω₁² = α, ω₂² = 3α, α = ^k(a−l_ma⁰⁾ x₁

x₂

!

' 1 1

!

A₁sin(ω1t) + 1

−1

!

A₂sin(ω2t)

Zadanie 4

Na dwóch jednakowych, nieważkich sprężynach o współczyn- nikach sprężystości k zawieszony jest nieważki pręt o długo- ści L. Na obu końcach pręta umieszczono kulki o masie m.

Odległość między sprężynami wynosi D (D < L). Znaleźć ogólną postać drgań kulek zakładając, że układ drga jedynie w płasz- czyźnie rysunku a amplituda drgań jest mała. Grawitację pomi- nąć.

Odpowiedź:

ω₁² = _m^k, ω₂² = ^D_L^q_m^k

x(t) = A cos(ω₁t + ϕ₁), α(t) = B cos(ω₂t + ϕ₂),

Wahania (zmienna x) i wychylenia pręta (zmienna α) są niezależne.