BADANIE DRGAŃ SWOBODNYCH I DRGAŃ WYMUSZONYCH

(1)

BADANIE DRGAŃ SWOBODNYCH I DRGAŃ WYMUSZONYCH

I. Cel ćwiczenia: wyznaczanie współczynnika spręŜystości drgającej spręŜyny; wyznaczenie krzywej rezonansowej natęŜenia prądu w obwodzie RLC; zapoznanie się z za- gadnieniami drgań swobodnych, drgań wymuszonych i rezonansu.

II. Przyrządy: spręŜyna, zestaw cięŜarków, sekundomierz, opornik dekadowy, indukcyjność dekadowa, kondensator dekadowy, generator o małej impedancji wyjściowej, woltomierz cyfrowy.

III. Literatura: C.Kittel , W.D. Knight, M.A. Ruderman Mechanika., PWN Warszawa 1969

IV. Wprowadzenie.

IV.1 Terminologia.

Drganiami swobodnymi nazywamy drgania układu fizycznego, wychylonego z połoŜenia rów- nowagi trwałej, o ile nie działają nań Ŝadne inne siły, poza tymi, które określają połoŜenie równo- wagi. JeŜeli ponadto wypadkowa tych sił jest proporcjonalna do wielkości wychylenia, to drgania tych takie nazywamy drganiami harmonicznymi. Wiele róŜnorodnych układów fizycznych moŜna uwaŜać za oscylatory harmoniczne, jeŜeli wychylenia z połoŜenia równowagi są bardzo małe, a siła oporu stawiana drganiom jest równieŜ bardzo mała.

Drganiami tłumionymi nazywamy drgania zachodzące w układzie, w którym występują siły oporu, a tym samym i straty energii drgań. Szczególnym przypadkiem drgań tłumionych są drgania harmoniczne o eksponencjalnie malejącej wraz z upływem czasu amplitudzie - noszą one nazwę drgań harmonicznych tłumionych.

Drgania wymuszone to drgania zachodzące pod wpływem zmiennej w czasie siły zewnętrznej.

Zjawisko pobudzania układu fizycznego do drgań, których amplituda i energia mogą być nie- współmiernie wielkie w stosunku do mocy czynnika wymuszającego nosi nazwę rezonansu. Czę- stość drgań, dla której amplituda i energia osiągają maksimum, nazywamy częstością rezonansową.

Częstość rezonansowa jest bliska bądź równa częstości drgań swobodnych czyli częstości własnej układu.

IV.2 Drgania swobodne.

Najprostszym przypadkiem mechanicznych drgań swobodnych są drgania masy m, zawieszonej na spręŜynie i wprawionej w ruch w warunkach, w których siły oporu ośrodka są znikomo małe.

JeŜeli maksymalne wychylenie z połoŜenia równowagi x_max = x_o mieści się w granicach odkształ- cenia spręŜystego, to siła wymuszająca ruch w kierunku połoŜenia równowagi jest proporcjonalna do wielkości wychylenia

F = − ⋅k x ( 1 )

gdzie stałą k nazywamy współczynnikiem spręŜystości. Na mocy II zasady dynamiki równanie ru- chu masy m ma wówczas postać

(2)

d x

dt _o x

2

2 0

+ω ⋅ = ( 2 )

w którym wielkość

ωo

k m

2 = ( 3 )

jest stałą niezaleŜną od wielkości wychylenia. Rozwiązaniem szczególnym równania ( 1) jest funkcja

( )

x t( ) = x_o⋅sin ω_ot+ϕ ^{( 4 )}

Z postaci tej funkcji wynika, iŜ masa m wykonuje ruch drgający o stałych, niezaleŜnych od amplitudy x_o wartościach częstości kątowej (kołowej)

ωo

k

= m, ( 5 )

częstości f_o = ω^o π

2 i okresu T

o f

o

= 1 .

Rys. 1

Wychyleniem z połoŜenia równowagi inicjującym drgania w obwodzie LC (rys.1) jest wprowadzenie ładunku Qo na okładki kondensatora o pojemności C, co powoduje powstanie róŜnicy poten- cjałów UoC = Qo /C. Pod wpływem napięcia UC w obwodzie zaczyna płynąć prąd o natęŜeniu I i na indukcyjności L pojawia się napięcie U_L = L ⋅dI/dt. PoniewaŜ algebraiczna suma spadków poten- cjału w obwodzie zamkniętym jest równa zeru, to

LdI dt

Q

+C =0 . ( 6 )

Po zróŜniczkowaniu tego równania względem czasu, uwzględnieniu definicji natęŜenia prądu I = dQ/dt i wprowadzeniu nowej stałej

ωo

LC

2 = 1 ( 7 )

otrzymujemy równanie o identycznej postaci matematycznej, jak równanie (2):

(3)

d Q

dt _o Q

2 2

2 0

+ω ⋅ = . ( 8 )

Porównując odpowiednie równania stwierdzamy, iŜ odpowiednikiem współrzędnej połoŜenia x masy m jest ładunek Q zgromadzony na okładkach kondensatora, stałej spręŜystości k odpowiada odwrotność pojemności kondensatora 1/C, a masie (bezwładności) m - współczynnik samoindukcji (indukcyjność) L. NatęŜenie prądu I = dQ/dt jest odpowiednikiem prędkości przemieszczania się masy v = dx/dt. Równanie opisujące zmianę natęŜenia prądu w czasie ma postać

d I t

dt _o I t

2 2

2 0

( ) +ω ⋅ ( )= ^{( 8a )}

Częstość drgań swobodnych ładunku i natęŜenia prądu opisane są wzorem:

f

o = 1LC

2π ^. ^{( 9 )}

IV.3 Drgania tłumione.

JeŜeli drganiom mechanicznym towarzyszy siła oporu ośrodka proporcjonalna do prędkości

F c v c dx

t = − ⋅ = − ⋅dt , ( 10 )

to równanie drgań przybiera postać d x

dt

dx

dt _o x

2 2

2 2 0

+ δ +ω ⋅ = , ( 11 )

w którym δ = c/m jest współczynnikiem tłumienia (oporu), a ωo - kątową (kołową) częstością drgań swobodnych. Oporowi mechanicznemu odpowiada w obwodzie elektrycznym opór elektrycz- ny (oporność rzeczywista) R. Równanie drgań swobodnych np. natęŜenia prądu ma postać

d I dt

dI

dt _o I

2 2

2 2 0

+ δ +ω ⋅ = ^{( 12 )}

gdzie δ = R

L

2 . ( 12a )

Dla R L

<2 C rozwiązaniem szczególnym równania (12) jest funkcja

I t( )= I t_o( ) cos(⋅ ω1⋅ =t) I e_o ⁻^δ^tcos(ω1⋅t) ( 13 ) Funkcja ta opisuje drgania harmoniczne tłumione o malejącej w miarę upływu czasu amplitu- dzie I_oexp(− ⋅δ t) i częstości kątowej

ω1 ω δ

2 2

= _o − ( 13a )

tym mniejszej od częstości drgań swobodnych, im większą wartość posiada współczynnik tłumie- nia.

IV.4 Współczynnik dobroci układu.

Energia drgań harmonicznych jest proporcjonalna do kwadratu ich amplitudy. Skoro zaś amplituda harmonicznych drgań tłumionych jest proporcjonalna do czynnika exp( -2δt), to energia

(4)

zmniejsza się e - krotnie po czasie te = 1/(2δ). Współczynnikiem dobroci Qd albo dobrocią układu drgającego nazywamy wartość takiego kąta ωot_e , gdzie ωo jest częstością kątową drgań swobodnych, który odpowiada e - krotnemu zmniejszeniu się energii drgań:

Q t

R L

d o e C

=ω ⋅ =ωo = δ 2

1 ( 14 )

IV.5 Drgania wymuszone i rezonans.

Rys. 2

JeŜeli w obwód RLC (rys.2) włączymy źródło zmiennej w czasie siły elektromotorycznej (SEM)

E = E_osin(ω⋅t), ^Eo = const. ( 15 ) to suma chwilowych wartości spadków potencjału w obwodzie jest w kaŜdej chwili równa chwilo- wej wartości SEM

L dI

dt R I Q

C E_o t

+ ⋅ + = sin(ω ) ^{( 16 )}

skąd moŜemy ( por. z (8a) i (12) ) otrzymać równanie drgań wymuszonych natęŜenia prądu d I

dt

dI

dt I E

L t

o

o 2

2

2 2

+ δ +ω ⋅ = ω cos(ω⋅ ) ( 17 )

którego rozwiązaniem jest funkcja

I t( ) = I_o( ) cos(ω ω ϕt+ ) ^{( 18 )} złoŜona z dwu czynników. Pierwszy z nich, niezaleŜny od czasu, opisuje zaleŜność amplitudy od częstości kątowej zmian SEM

I E

L

A

B Z

o

o o

( )

( ) ( )

ω ω

ω ω δ ω

ω

ω ω

= ⋅

− + = ⋅

− +

2 2 2 2 2 2 2 2

4

( 19 )

gdzie A = Eo /L ( 19a )

B = ωo2

( 19b )

Z = (R/L)² ( 19c )

Jak stąd wynika amplituda natęŜenia prądu jest trójparametrową ( A, B, Z ) funkcją jednej zmiennej ω, osiągającą maksimum Ior = E_o /R (stan rezonansu !) dla częstości kątowej równej czę-

(5)

stości kątowej drgań swobodnych .MoŜna wykazać, iŜ amplituda zmian ładunku na kondensatorze, a tym samym i wartość napięcia osiąga wartość maksymalną dla częstości kątowej

ωoq = ωo² −δ² 2 ,

mniejszej od częstości drgań swobodnych. Amplituda napięcia na indukcyjności L staje się z kolei maksymalną, gdy częstość kątowa ma wartość ωoL =ω ω ωo o² ( o² −2δ²) >ωo

IV.6 Szerokość krzywej rezonansowej, a wartość współczynnika dobroci.

Zmniejszeniu amplitudy drgań od wartości maksymalnej w stanie rezonansu I_o(ωo) = Ior = Eo /R do wartości Ior / 2 odpowiada spadek energii drgań do połowy wartości maksymalnej. MoŜna udowodnić, iŜ częstości kątowe ω1, ω2 takie, iŜ ( rys. 3 )

I I I

o o

(ω1) (ω2) or

= = 2 ( 20 )

Rys. 3 Krzywa rezonansowa natęŜenia prądu.

spełniają w przybliŜeniu związek

ω ω ω

δ ω

2 − 1 = 2 = 1

o o Qd ( 20a )

Wzór ten daje „dobrą” wartość współczynnika dobroci Q_d , o ile częstości ω1 i ω2 niewiele się róŜnią od ωo.

Dla obwodu o duŜej wartości współczynnika Qd amplitudy spadku potencjału na indukcyjności U_oL i na pojemności U_oC spełniają następujące wzory przybliŜone:

U_oL≈ Q_d⋅ E_o i U_oC≈ Q_d⋅ E_o , gdzie Eo jest amplitudą siły elektromotorycznej.

V. Pomiary.

V.1 Drgania quasi-swobodne.

Wyznaczyć zaleŜność okresu drgań cięŜarka zawieszonego na spręŜynie od jego masy.

V.2 Drgania wymuszone.

1. Połączyć przyrządy wg. schematu przedstawionego na rys.4.

(6)

2. Nastawić opornik dekadowy na wartość Rv = 100Ω, indukcyjność dekadową na L = 1H, kondensator dekadowy na C = 40 ÷ 60 nF.

3. Wyznaczyć zaleŜność napięcia na oporniku dekadowym od częstości w takim przedziale często- ści, aby moŜliwe było odtworzenie krzywej rezonansowej i wyznaczenie współczynnika dobroci Q_d z szerokości krzywej rezonansowej.

4. Rozłączyć obwód nie wyłączając generatora ani nie zmieniając jego napięcia wyjściowego.

Zmierzyć napięcie na wyjściu generatora w celu oszacowania jego siły elektromotorycznej E_sk (woltomierz cyfrowy wyświetla wartość skuteczną mierzonego napięcia !).

5. Zmierzyć omomierzem cyfrowym oporność rzeczywistą R_L indukcyjności dekadowej.

Rys. 4

VI. Opracowanie wyników pomiarów.

1. Wyniki pomiarów zaleŜności okresu T drgań cięŜarka od jego masy m przedstawić na wykresie w postaci zaleŜności kwadratu okresu T² od masy m. Ocenić, czy zaleŜność doświadczalna jest zgodna z przewidywaniami teoretycznymi.

2. Wyznaczyć współczynnik(stałą) spręŜystości k metodą najmniejszych kwadratów, a prostą dopa- sowaną do punktów doświadczalnych wykreślić na rysunku wspomnianym w punkcie VI.1.

3. Na podstawie wybranych wartości L i C obliczyć oczekiwane wartości kątowej częstości rezo- nansowej ωor =1 LC i częstości rezonansowej f_or = ωo /2π. Oblicz oczekiwaną wartość całko- witej oporności rzeczywistej R obwodu równą sumie oporności opornika dekadowego, indukcyj- ności dekadowej i generatora. Oszacować oczekiwaną wartość współczynnika dobroci Q=1 R⋅ L C oraz oczekiwane wartości parametrów krzywej rezonansowej A = E_sk /L, B = ωor2

i Z = (R/L)². Oszacować błędy względne parametrów A, B, Z przyjmując, iŜ dokład- ność oceny wartości L i C jest rzędu 1%, R i E_sk - rzędu 5%.

4. Dopasować teoretyczną krzywą rezonansową natęŜenia prądu do danych doświadczalnych za pomocą programu REZONANS.EXE, napisanego na komputer osobisty IBM.

Danymi wejściowymi tego programu są oceny wartości parametrów A, B, Z oraz podwojonej wartości błędów względnych tych wartości. Ponadto do pamięci komputera naleŜy wprowadzić wyniki pomiarów wartości skutecznych napięcia na oporniku dekadowym, wartość częstości i wartość oporności opornika dekadowego. Początkowa liczba iteracji (kroków dopasowania) po- winna być rzędu 50.

(7)

5. Wykreślić na jednym rysunku zaleŜności:

- wartości skutecznej natęŜenia prądu I_d[mA] od częstości f[Hz], otrzymaną doświadczalnie;

- wartości skutecznej natęŜenia prądu It[mA] od częstości f[Hz], oczekiwaną na podstawie osza- cowań parametrów A, B, Z;

- wartości skutecznej natęŜenia prądu od częstości, uzyskaną w wyniku dopasowania krzywej rezonansowej do danych doświadczalnych.

6. Z szerokości doświadczalnej krzywej rezonansowej obliczyć wartość współczynnika dobroci Q_d, a uzyskaną wartość porównać z wartością obliczoną bezpośrednio ze wzoru Q_d =1 R⋅ L C. 7. Oszacować wartość częstości rezonansowej for z przebiegu doświadczalnej krzywej rezonanso-

wej i porównać ją z wartościami, obliczonymi ze wzorów: f_or = 1 2π ^{L C i f}or = ^B 2π^, gdzie B jest parametrem uzyskanym w wyniku minimalizacji chi-kwadrat.

VII.Program REZONANS.

Program poszukuje takich wartości A_min, Bmin, Zmin, aby wartość sumy chi-kwadrat była jak najmniejsza

chi-kwadrat =

[

Î Â ^B ^Z Î

]

I A B Z

ti i di

ti i

i

n ( , , , )

( , , , )

min min min min min min

ω ω

−

∑

= ²

1

W powyŜszym wzorze I_di jest wynikiem pomiaru natęŜenia prądu dla częstości kątowej ωi, a Iti

jest wartością obliczoną ze wzoru krzywej rezonansowej dla aktualnych wartości parametrów A, B, Z. Metoda ta nosi nazwę metody minimalizacji chi-kwadrat

Na początku programu za A_min, B_min, Z_min przyjmowane są wartości oszacowane ze wzorów A = Esk /L, B = ωo2

, Z = (R/L)². Następnie obliczane są wartości elementów tijk macierzy T o wy- miarze 3x3x3 :

[ ]

t I A i dA B j dB Z k dZ I

ijk I

tl l dl

l tl i j k

= n + × + × + × −

= =− +

∑

⁽ ^min ^, ^min ^, ^min ^, ⁾

, , ,

ω ²

1 1 0 1

gdzie dA, dB, dZ są krokami zmian wartości parametrów A, B, Z, wynoszącymi na początku przebiegu programu;

( )

dA= ×2 ∆A A ×A, ^dB^{= ×}²

(

^∆^{B B}

)

^×^B^, ^dZ ^{= ×}²

(

^∆^{Z Z}

)

^×^Z, przy czym ∆A/A, ∆B/B,

∆Z/Z są błędami względnymi A, B, Z.

Spośród elementów t_ijk wybierany jest element o najmniejszej wartości timin, jmin, kmin.

Jeśli imin = jmin = kmin = 0, to kroki zmian wartości parametrów krzywej rezonansowej It

zostają zmniejszone o połowę ( dA: = dA/2, dB: = dB/2, dZ: = dZ/2 ) i obliczenia nowych elemen- tów macierzy T są wykonywane dla tych samych wartości A_min, B_min, Z_min. Jeśli warunek ten nie jest spełniony, to parametry A, B, Z ulegają zmianie:

A_min:= A_min+imin×dA, B_min:= B_min + jmin×dB, Z_min:= Z_min +kmin×dZ i ponownie poszuki- wany jest element macierzy T o minimalnej wartości.

Po wykonaniu określonej przez uŜytkownika programu liczbie takich cykli (iteracji) na ekran monitora wyprowadzane są wyniki dopasowania. Jeśli jakość dopasowania nie jest zadawalająca, to obliczenia mogą być kontynuowane dla aktualnych lub zmienionych wartości A, B, Z, dA, dB, dZ.