Scheepsbewegingen en sturen II

mtSl 4 Scheepsbewegingen, sturen en manoeuvreren 2

Deel I: Sturen

Rapportnr. 487-K (herzien)

Juni 1987 Prof.ir. J. Gerritsma

TUDBLFT Faculteit der Werktuigbouwkunde en

Techn,.

Univ0

De].ft Maritieme Techniek Vakgroep Hydronautica

INHOUD.

De bewegïngsvergelijkingen.

1.1. De vergelijkingen van Euler.

1.1.1. De vergelijkingen van Euler voor het gavai dat G niet samenvalt met de oorsprong van het lichaams-vas te assenst'elsel.

1.2. Verband tussen ee:n richtingsvast assenstelsel en een assenstelsel dat roterende bewegingen uitvoert.

1.3. Bewegingensvergelijkingen voor het sturen en manoeuvreren. 1.4. Stabïliteitsonderzoek.

1.4.1, Stabiliteitscriteria.

1.5. Het opiossen van de bewegingsvergelij:kingen. 1.5.1. Laplace transformatie.

1.5.2. Oplossing van twee gekoppelde vergelijkingen; afleiding van de formules van Nomoto.

1.5.3. De beweg.ing bij harmonische excitatie.

Niet lineaire bewegingsvergelijkingen,. 2.].. Het niet-lineaire model vn Abkowitz.

2.2. Niet lineaire modellen ten behoeve van sirnulatie. 2.2.1. Het model van Nomoto.

2.2.2. Het model van Eda.

Bepaling van de cofficinten van de bewegingsvergelijkingen. 3.0. Inleiding.

3.1. Berekening van de hydro6ynamische afgeleiden voor het lineaire geval.

3.1.1. De invloed ván scheggen en roeren.

3.1.2. De hydrodynamische afgeleiden van een zeiljacht. 3.2. Experimentele bea1ing van de hydrodynamische afgeleiden.

3.2.1. Meettechniek in verband met ruisverschïjnsêlen. 3.2.2. Enkele aspecten van de bepaling van niet-lineaire

afgeleiden.

.4. Het gestuurde schip. 4.1. Inleiding.

Stoppen en versnelien van schepen. 5.1. Inleiding.

52. Berekening van de stopweg. 5.2.1. Eerste methode.

5.2.2. Bepal.ing van de stopweg met behuip van modeiproef-gegevens, Tweede methode.

5.2 .3. Enkele berekeningsresultaten.

De invloed van vaarwater beperkingen op de stuureigenschappen van schepen.

6.1. Inleiding.

6.2. Sturen in ondiep water en in kanalen.

6.3. Draaicapaciteit van schepen in ondep water. 6.4. Bepaling van kanaaldoorsneden.

6.4.1.. Inleiding.

6.4.2. Maximaál toeiaatbare scheepsgrootte in verband met kanaaiafmetinge.

6.5. Passeren in een kanaal.

Simulatie.

7.1. Inleiding. 7.2. Geschiedenis.

7.2.1. Vluch.tsimulator.

7.2.2. ScheepsmanoeuvreersimuIa'tor (SMS).

7.3. Algemene beschrljving van scheepsmanoeuvreersimulatoren. 7.3.1. Hoofdonderdeien.

7.4. Toepassing SMS. 7.4.1. Training.

7.4.2. Research met SMS. 7.5. Andere simulatoren.

7.6. Simulatie experiment op het gebied van het sturen van schepen.

i De bewe'g:ingsve'rgeiijkingen.

1.1. De vergeiikingen van Eulèr.

Schepen onderscheiden zich in 't aIgemeen van andere drijvende constr'ucti'es door de langgerekte, sIanke vOrm: breedte en diep-. gang zijn klein ten opzichte van de ien'gte van het schip... De

zogenaamde "sienderbody" theorie veronderstelt zeifs dat breedte en diepgang beide én orde kleiner zijn dan de lengte. Bij het opstellen van de bewegingsvergeiij;kingen voor een schip in

zee-gang of bu' het uitvoeren van manoeuvres in hat horizontale viak kunnen daardoor soms vereenvoudigingen toegepast worden, die niet voor aile drijivende cons;tructies geiden.

In het volgende worden daze vereenvoudigingen voorlopig niet toe-gepast, tenzij dat nadrukkeiij:k wordt verrneld.

Kortheidshaive wordt soms van een "schip" gesproken als ook andere drij'vende constructies bedoeld worden, ais tenminste geen verwr-ring mogelijk is.

Uitgegaan wordt van een rechtsdraaiend assensteisel x. y, z dat vast aan hat schip is verbonden en waarvan de oorsprong s'amen-valt met het gewichtszwaartepun't G: van de constructie,. zie Figuur

1.1.

Hét xz viak valt samen met het symmetrie viak (ais dat er is) en de y-as staat daar loodrecht. Op.

De componenten van d'e sneiheid U: van het zwa.artepunt, van de hoèk-snelheid , van de kracht' en van het moment M, die op het

schip werken, zijn h'ïeronder aangegeven:

.1i=Tp+Tq

+.ir

Tx + 3y + iz

1.2

-Figuur 1.1 AssensteIse G, xy,z.

OpIJ+

Figuur 1.2: Snelheid van een punt R

Figuur 1.3 :Afgeleide van

De bewegingsvergelijkingen voigen uit de 2e wet van Newton: Voor het krachten evenwicht geldt:

(mfl)

Hierin is mU de Impuls van het lichaam. Verondersteld wordt dat de massa m als constant aangenomen mag worden, omdat het verbruik van voorraden (011e, water e.d..) relatiefzeer gering is, in een tijdsbestek dt vergelijkbaar is met van belang zijnde perioden en tijdsconstanten van de bewegingen.

Analoog geldt dat het moment van de krachten die op een ilchaam werken gelijk is aan de fluxie van het impuls moment ¡ï.

Dus:

(1.3.)

waarin: H

=':

xUdm

(1.4.)

U, is de sneiheid van een punt P (massa element dm) van het schip, waarbij = , zie Figuur 1.2.

Blijkbaar geìdt:

(1.5.)

De afgeleiden (mU') en _(Th worden nu uitgedrukt in

groot-heden die behoren bij een roterend assenstelsel (hoeksnelheid

_Th.

In het algemeen geldt voor de vector ¡

di _{¡ (t + At)- ¡ (t)} -dt

- tt'

t

-Blij'kbaar

IS

de sneiheid van het uiteinde van de vector ¡, gericht volgens de raákiijn aan de hodograaf, zie Figuur 1.3.

Ín een met hoeksneiheid roterend assenstelsel wordt de afge-leide van ¡ naar t uitgedrukt in de tijdsafhankeiij;ke veranderingen van de comoonenten van ¡ langs de assen, dus:

Nu is, voigens het voorgaande:

=?ixT,

want datzijn de sneiheden van de ui.teinden van respectievelijk de vectoren

I,

3 en i bij een rotatie ? van het assenstelsel.

Er geldt dus:

da da da

+--Ì +

ix (tas + 3Ta i-

a)

da a

_+Ç2xa

-

-(1.6.)

Hierin is: de'tijdsafgeieide van in een ruimte vast assen-steisel en is de tijdsafgelelde ten opzichte van het, aan het bewegende lichaain verbonden assensteisel.

Uit (1.2.) voigt nú:

(mU) = (mU) + x (mU (1. 7.

Hierin is:

ixmU=rn

[i(qw-rv)

+3

(ru-pw) +

(pv-qu)]

zodat vergelijking (1.7.) in componenten uitgeschreven iuidt:

X = m(û + qw- rv)

y

m('r+ru-,w)

(1.8.)

Z

= m(i+pv-qu)

Analoog voigt uit de momenten vergeiij:king (1.3.): da

dt of:

De eerste term van

if

is geiijk aan nui, want de sneiheid

U is

constant, voor alle deeltjes dm en het moment van aile massa-deeltje's ten opzichte van de oorsprong van het assenstelsel G is hul,, omdat G het zwaarteount is vari het schip of de drijvende constructie.

De tweede term is een vector triple product. Hiervoor geldt het volgende:

a x (b x c) = (a.c)b - (a.b)c

Vergelijking (1.10.) kan daarinee als voigt geschreven worden: ir = J;: (P.)Ì:r dm - m dth _('fil.) (x2 ₊ y2 + z2)'dm _j(px + qy + rz)dm

if -

jp(x

+ y2 + z2) din -j px2dm

-J

gxy dm

-J

rxz din +

q(x2+

y2+z2)dm_j' pyxdm

-J

qy2dm

-

J

ryz din +

r(x2 + y2+z2)dm pzxdm -f qzydm

-

f

rz2dm

Hieruit volgen tenslotte de componenten van

(1.9.) met: of :

J;'

x (ii + x r) din

(xU)dm+

fx

x ) dm (1.10.) of: en:

f(y2 + z2)dm -

qf xydm

-

rf

xz din

-p

f

xydrn + qf (x2 + z2)dm -

rf

yzdm (1.12.)

= -p

f

xzdm qf yzdrn + rf (x2 + y2)drn

In deze uitdrukkingen komen de rnassatraagheidsmomenten en de centrifugaalmomenten van de constructie ten opzichte van de coördinaat assen x,y en z voor.'

(Engels: moment of inertia, product of inertia) Deze zijn als voigt gedefinieerd:

I

=f (y2 + z

2)dm, I

f

(x2

+ z2)

dm, XX _{m m} en: =frn (x2 + 'y2)dm (1. 13.) I =

-f

xydm=

xy m =

-f

=

IzX = -

xzdin =

N.B.: Voor het geval van de centrifugaaiztioznenten zijn in de definities min-tekens gentroduceerd.

De vergelijkingen(:1.12.) kunnen ook als voigt geschreven worden:

X

m zy

(1.14.)

Als het assensteisel zodanig gekozen wordt dat d centrifug:aal mornentennulzijn, dan zijn de drie coördinaat assen de zogenaamde hoofdtraagheidsassen. Als een lichaam roteert orneen hoofdtraag-heidsas, dan is de richting van de .tmpuismornentvector gelijk aan de richting van de hoeksnelheidsvector:

1.6 -I xx I yx

_zx

I xy I yy I zy I xz I yz I zz_ (1.15.)

dus:

ii = (1.16.)

waarin I een scalaire grootheid is. Met (1.15.) en (1.16.) vindt men dan:

o f: I p + I q + I r = Ip xx xy xz

i o+I q+I r

= Iq yx. _yy yz

I,q + I2r =

Ir (I

-I)p+I q+I r

xx xy xz

i p

+(I

-I)q+I r=

O yx yy yz

+ I2q +

_(i - I)r = O

De hoofdtraagheidsas'sen worden gevonden door de determinant van de coëfficinten van p,q en r nul te stellen:

Dit levert een derde graadsvergelijking in I waaruit 3 waarden

voor I resultaren: I, 12 en 13

Substitutie van bijvoorbeeld I in (1.17.,) geeft de verhoudingen o : q : r, waarult de richting van en d'e met I correspon-derende richting van de hoofd:traagheidsas voigt. Evenzo voor

12 en 13

Voor een liôhaam dat één symmetrie viak be±it, bijvoorbeeid hat xz viak bij een schip, geidt:

I

=1

=1

=1

= O. yx xy yz zy (1 .17.) I xx

-i

ixy Ixz i

i. -I

I = O (1.18.) yx _yy yz I zx I.zy Iz.z

-I

in verband met de langgerekte vorm van s.chepen en van sominiqe drij-vende offshore constructies, zoals pontons, is de horizontale as

door G, gelegen in het simnetrie viak met goede benadering als een hoofdtraagheidsas te beschouwen. De tweede hoofdtraagheidsas

staat loodrecht op bet symmetrieviak (y-as) en de derde hoofd-traagheidsas staat loodrecht op het xy viak (z-as).

Voor een lichaam waarvan .xz een symmetrie viak is, geldt:

H

H

a

I xz

Als bovendien de x-as en de z-as hoofdtraagheidsassen zijn dan is tevens: I = I = O en dus: xz zx o O I yy O i yy

K = IP - (I

i):qr

M _- (I

_{- .i)rp}

N = I± - (I

- i)pq

I xz o I zz r O O I r zz

Bij sommige drijvende constructies, zoals boorplatforms is geen symmetrie viak aanwezig en bovendien zijn lengte,breedte en hoogte vaak van dezeifde orde van grootte.

In derge1ijke gevallen kan men de hoofdtraagheidsassen bepalen met behuip van (1.17.) en (1.18.).

Tenzij anders vermeld wordt In het voigende verondersteld dat 1xx'

I, en I

de hoofdmassatraagheidsinomenten zijn. Uit: (1.9.) voigt nu met (1.20.): (1. 19.) (1.20.) (1.21.)

waarbij gebruik gemaakt is van de betrekking:

ÇxH

=

De vergelijkingen (.1.8.) en (1.21.) zijn de bewegingsvergelijkingen van Euler voor een lichaam inet6 graden van vrij:heid.

1.1.1. Devergeikigen van Euler voor het geval dat G niet

arnenva1t met de orsprong van het i±'chaamsvaste assen-s'telsel.

Het biedt soms voordelen orn de oorsprong van het iïchaamsvaste assenstelsel niet met G te laten samenvallen, maar een ander punt O tekiezen. Dat kan zich voordoen a1s bij:voorbeeld een aantal beladingstoestanden van én scheepsvorm beschouwd worden. De

ligging van het gewichtszwaartepunt kan dan variëren, waarbij de vorm van het schip dezeifde blijft, evenais de hydrodynamische krachten en momenten,, die op het schip werken.

Stel flu dat de pla'atsvector van het punt O geiijk is aan:

OG=

ring van rG

Er geidt dan:

De sneÏheid in het punt G is dan:

_U+rG_U+rG

rG = X r = i p q

Ip

I _q xx _yy

Hierin is de sneiheid van het punt O; omdat rG vast verbonden is aan het schip is de modulus van deze vector constant.

Verande-kan slechts ontstaan door de rotatie :

+ kZG (1. 22) r

Ir

_zz i :i k p q r XG ZG

De bewegingsvergelijklngen worden nu gevonden uit de volgende bet rekkingen:

P=m

_.(U+TixG)

(1.24.)

[t

+ X +

xr]

Nu is: 13 - +

x 13 = I (û + qw - rv) + 3

('ir + ru - pw) +

+ 1

(j+ pv - qu)

want ix=O

rG_

Ti x

= T

-

ryG)

+ 3

(rx - pzG) + -Verder is: en: 1.10

-XrG =

X r =

Met (1.24) kan men nu de drie componenten van

P

opschrijven:

X=m [ù + qw - rv - x(q2 + r2) y _{m [r + ru - p}

+ pv

-+ z(gr

- p) + xG(rp - i) -

+ ZG (pr +

4)] - YG(r +

p2)

+ 'G' +

P)] (1.2:5.) = U + fi X (1.23.)

i

k

p

XG i p q qz _{- rYG rxG -}

- qx

In vergelijking met de analoge uitdrukkingen (1.8.) vindt men additionele termen waarin de coördinaten _XGI en ZG, voorkomen. Als deze alle nul z'ijn' dan stemmen (1.25.) en (1.8.) geheel over-een.

De momentenvergelijking,' voor het geval dat G en O niet samenval-len,wordt op analóge wij.ze afgeie.id.

Uitgegaan wordt' van de vergeiijking:

(t.o.v. G)

= t (HG.) (t.o.v. G. (1.26..)

Het moment ten. opzichte van O is. gelijk aan het moment ten opzichte van G vermeerderd met het moment veroorzaakt door de kracht

in G, dus:

M ='MG + rG x F I. 26a.

Hieruit voigt:

MG_M

rGx.F

Het impulsmoment ten. opzichte van O is g,eiijk aan dat in G. ver-meerderd met .het impuismoment veroorzaakt door de beweging,. van G ten opzichte van O. Die, vermeerdering van het impuismoment is nu:

rGxrnrG=.rGx (mixG),

zodat de momentenvergeiijking wordt:

Nu Is:

- -

_-

_d

_-

_d

=M-rxF_

(HG) = -' mrG x ( X _rG)] (1.27.)

rGxmt (UG)=GxInE(TJ+ixG)

Subst'itutie van. deze uitdrukkïng en (1.27.) in (l.26a.) levert:

- d - d -

dG

-M = -. - mrG (Q x r) - m -- x (Q x rG) +

De derde term van deze verge1ijking Is nul, want: dr

- =?i

XrG

en (?1x)

x

(ciG) =0

Men vindt dan:.

-, dii - _dJ

M=

_+mrGx

Nü is (zie ook (1.8.)) : - dU rG

Xj

XG .û.+ q.w - rv

[Ip -

(i

- I)qr]

+ +

[i c-(i

_yy zz

-I

xx)rp] + + ) [Izzi - (Ixx - Iyy -.)TDq

Met (1.28.) voigt dan tenslotte voor de componenten van het moment: z G (1.28.)

'Cr+ru-pw

i-i-pv-qu

1.12 -K = - (I -M = _- (I

N = It - (I,

-(1.29.)

I)qr + m[ YG(W + pv - qu) - zG(v + ru - pw)]

I)rp + m [ zG(û + qw - rv) - xG(i + pv -qu)]

I)pq + m[ XG('CT + ru - pw)

_{- y(û}

+ qw - rv)]

en:

dH dt

1.2. Verband tussen een richtingsvast as'sen'stelsei en een assen-stelseldat roterende bewegingen uitvoert.

Bij het bestuderen van het gedrag van een schip in golven wordt over het alg.enieen een ruimte vast of een richting vast

assenstel-sel gebruikt. Bij stuur- en manoeuvreerprobIemen gebruikt men een assenstelsel dat vast aan het schip of aan de drijvende construc-tie is verbonden.

Het gebruik van twee systemen voor én probleem:

de béweging van een drijvende constructie in water, lijkt vreemd, maar Is te verkiaren doordat bij de analyse van de bewegingen in goiven de zwaartekracht een grote rol speelt (stabiliteit, gemiddelde oriëntatie van de drijvende constructie, golfvorrning) terwiji bij bewegingen in het horizontale vlak (sturen,

manoeuvre-ren, dynamisch positioneren) de hydrodynamische krachten vaak niet sterk afhangen van de oriëntatie ten opzichte van de richting van de zwaartekracht of van én richting.

Het verband tussen assenstelsels die vast aan drijvende construc-ties zijn verbonden en ruimtevaste- of richtingsvaste assenstelsels is van belang voor die gevallen waarbij 6 graden van vrijheid

op-tre den..

Gebruikt wordt eenassentraflsfOrrnatie volgens Euler, waarbij

eenvoudigheidshalve verondersteld wordt dat de oorsprong O van het lichaamsvaste assenstelsel en van het richtingsvaste assenstelsel samenvalt met. het gewichtszwaartepUflt G.

De hoekverdraaiiflg wordt nü als volgt gedefinieerd, zie Figuur 1.4.:

De volgorde waarin de rotaties worden aangebracht is van belang: bij wijziging daarvan ontstaat bij dezelfde grootte van de

draaiingen een andere stand van het beschouwde object. De ver-draaiingen vinden niet plaats orn onderling loodrechte assen. Uit Figuur 1.5. volgt voàr de verdraaiing orn de z-as:

(i.i1)11 +

(T)3 + (T.i)i

= i1cosip _-

3

sïnip = (j.i1)i (J...j1)J1 + (3.k1)k1 = T1sinp i. cosq

k1:

X2 X3

Figuur 1.4: Rotatie assenkruis.

draaiing i orn z1...as:

stand assenkruis x,y1z1

draaiing e orn y1_as: stand assenkruis x2 y2z

draaiing orn x2_as: stand assenkruis xyz3

Evenzo 'voor de draaiing orn de y-as:

1.16

-Uit (1.30.) voigt:

.12)i2 + (i.1..j2)j2 +

+ (k1.j2)32 + (k1.k2),k2 = -isinO + k2 cosO

en voor dra'aiing orn de x-as:

12_

(I

+ = )J3 + (j2.k3)k3 J3

COS4 -

k3 sinq k2.i3) 13 + cos4i sinq O k.3) k2.j3)j3 + (k2.k3)k3

=. IcosO

+ k2 sinO

sin +k

cos4

(1 .30.) 0 0

cos4

-s'in. sincJ

cos4

(1.3.2.)

De transformatie matrix

in de

vergelijking (1.32) is het verband tussen een richtingsvast en een iichaamsvast 'assens.telse.i. Bij de afleiding van (1.32.)' is verondersteld dat xyz het richtingsvaste

-s±n cosO 0'

sinO

1

cos,

0 1 0 0 ccsO .,

'O

O of: (1.31.)

i cosìpcosO -sin,cos4+cos,bsinOEsinc1 sin psin4+cosisinOcos 13 J sin1,cosO co,cos4,+s:iPiisinOsin -cossin4+sinijsinOcos$ i3

(.

.L)I

+ .k.,) k

2

assenstelsel is terwiji x1y1z1, x2y2z2 en x3y3z3 aan het lichaam verbonden assensteisels zijn.

De componenten van de hoeksnelheid langs de assen van het

lichaamsvaste cöôrdinaten steisèl zijn p, q en r en de componenten

,, ê en zijn gericht voigens respectieveiijk de z1-as, de

as en de x3-as. Er geldt biijkbaar:

Nu is:

dus:

j3q + k + j2Ó +

k1 = Si11O + j3cosOsin4 + k3cosOcos

Uit (1.33.), (1.34.) en (1.35.) voigt dan:

(1.33.) (1. 35.) of: il k1 i1 'J I cosO O sinO o i o -sinO cosO cosO sinOsin O cos4 -sinO cosOsin i 'O O cos4 O sin'4 sinOcos4 -sin4 cosO'cos O S1fl4 COS J 3 :13 i3 o o i 3 C0s4 -sin sin cosq - k3sin dus: - 93cos4 en: i2 o k3 (1.34.)

In (1.36) zijn dehoeksnelheidscomponenten p,q en r uitgedr.ukt in functies van de Eulerse hoeken q),0 en 4, en hun afgeleiden.

in bovenstaande afleiding zijn de tussenstapiDen x1y1z1, x2y2z2 x3y3z3 gebruikt. in het volgende wordt het ruimtevaste assenstel-sei aangeduid met x0y0z0 en xyz.is het assenstelsel dat vast aan de constructie is verbonden.

In het gelineariseerde geval wordt de transformatie als voigt; uitgaande van (1.32.) :

- 1.18

p =

- q,sino

q = tJcos0sin4) + Ocos4) r = 11,cos:Ocos4) - Osin4) q)

_I+ç

-0 d' 1

waarin: sin4, _{= 4,} en cos4) = 1 etc. en

_{XOG, woG' ZOG}

de coördhinaten van het gewichtszwaartepunt zijn.

2e Orde benaderingen zijn van belang bij de bepaiing van drift-krachten op verankerde drijvende constructies.

Men gebruikt dan:

sin4)=

_q cOs4, =

1 --, etc.

zodat: 02

--

-q) + 04) 4,4)+ O 1

22

2 2 -4 + 4,0 4)2 2 (1.36.) (1.37.) X

(1.38.)

X0G + 'oG Z

o-xO _X0G + Yo _'oG z o 1 1

In het gelineariseerde geval geldt voor de rotatie componenten: p = , q = O en r = 11)

(1.39.)

en voor de verplaatsïngen:

X0 = X0

+ _{Xb =} + ZbO YO Y

± X i.

₊

-

Zb (1.40.) Z ₌

_{ZOG +bO +}

_{+ Zb}

1.3. Bewegingsvergeiijkingen voor het sturen en manoeuvreren

De krachten en momenten die op een drijvende constructie werken zijn afhan!kelijk van de vorm van de constructie, de orïëntatie ten opzichte van de begrenzing van het vaarwater en de richting van de zwaartekracht, de relatieve beweging ten opzichte van de vloeistof en de eigenschappen van de vÏoeistof.

Indien geen uitwendige krachten (ankerkrachten b.v.) aanwezig zijn dan geldt dat:

f (x0y,z, O,4, u,v,w,p,q,r,u.,v,w,p,q,r,6,

Analoge uitdrukkingen gelden voor de componenten X,Y,Z van

_P

en K,M,N van

Ais

P

allén van

z0

afhangt (zuïver verticale verplaatsing) dan is

de resulterende kracht ge.lijk aan de verandering van de opdrijvende kracht ais gevoig van de verticale ve.rplaatsing.

Voor een schip is de weerstand bIj het varen van een rechte baan in viak water ailén een functie van u, dus

P

= X =' f(u). Dezé kracht is niet te berèkenen maar moet door midde.l van modeiproeven bepaaid

(geschat) worden.

Als meer onafhankeiijk variabelen een rol spelen dan zijn de

functie

P

en het moment 11 gecompliceerde functies van de

Beschouw nu een drijvende constructie waarvan de plaats (x0,y0,z0) geen invioed he'eft op en . Veronderstel dat de constructie zich in een. toestand van dynamisch evenwicht bevindt. De daarbij behorende variabelen worden gekenmerkt door de index e, dus:

= X (UesVerWeI = m(ù + - Vere)

(1.41.) K = K (U.,V IWe1

)

=

'e -

(I

- I) qr

We beschouwen nu een verstoring van dat evenwicht, die zó klein is dat de verandering van de variábelen 65k klein is, en wel van een zodanige grootte orde dat kwadraten van die veranderingen ver-waarioosd mogen worden.

Dus:

+ Ue + U, _{Ve +} Ve + V, _We We + W Eenvoudigheidshalve s:chrijven we daarvoor:

Ue + U1 Ve + V _We +' w, waarbij u,, y en w enz, de

ver-anderingen ten oozichte van de evenwichtsstand voorstellen in plaats van de varlabelen zeif.

Met (1.41.) Voigt dan:

X (U

+ U, Ve +

4>e + =

[l

+

i +

(q + q). (W + w) -+

(V

+ V) (re + r)]

K(Ue + U, Ve+ V,...d + =

'xx

e

+ - (i -

I)

+ q) (re +

r)

(1.42.)

In Verband met de veronderstelde ilneariteit schrijven we nu:

'X =

X(u,

+ (uX + vx

(1.43.)

K = K(U,

_Veis

4e + (uX + vX,

X)

e

-waarbij. de niet-lineaire termen van de Taylor reeks, die voor

X en K is op te schrijven, verwaarloosd wörden,, zie Figuur 1.6. als voorbeeld.

In (1.43.) zijn, de diverse afgeleiden ¡ enz.

in de verkorte notatie geschreven.:

''

enz.

Er wordt op gewezen dat dëze afgeleiden bepaald zijn voor de even-wichtssituatie

U,

_{Vel Wet p,}

,

r eniz.,

Door substitutie van (1.43.) in (1.42.) eri daarna de evenwichts-conditie (1.41.) in rekening te brengen vinden we:

UX + vX + . . X = m(i +

e + -

vre -

rye)

(1.44.)

uK + vK + ...4K = - (Ifl,

- I)

(qr + rq

met analoge uitdrukkingen voor de componenten Y,Z,M en N.

In (1.44..) zijn de produkten van twee kleine grootheden zoals qw, vr en gr ten opzichte van de andere le orde termen verwaarioosd, ais consequentie van de linearisatie van het probleem.

De lineairé beweglngsvergeiijkingen zijn hieronder uitgeschreven voor de zes componenten van de beweging.

û(X - m) + + + uX + v(X + mre) + w(XW - mg5) +

+ pX + q(Xq - _{mwe) +}

_r(Xr

+ mv) +

+ + +

+ iPx,

+ Ox0 +. = O

CiY. + '(Y, - m) + jY7+ _u(Y

-

mr5) + vY _{+ w(Y} + mpe) +

+ mwe) + qYq + _r - mUe) +

+ clY4 + iYt

+

Ve

Y(v)

.v = Y .v

v=v

e

ÙZ1

+ 'rZ. +

zÇZ. - rn) + _u(Z + rnq)

+ v(Z

-

_rnpe) + wZ +

+P(Zp_mre)

+q(Zq+m%)

+rZr+PZP+4Z4+±Zt+

+ iPz.1, .+ Oz0 + 4z = o ÛK + 'OK + *K.

+ uK

+ vK + wK + ù .,O' w u V W PK + Kq + (I

-.I)rj q

r{Kr

+ (I -- 1xX + 4K + + + 0K0 + 4K = Q ûM. + 'rM.

+ 'zM. +.uM

+. VM + wM + u V W U V W p f M + (.1 - I ) r + qM + r i. p zz xx e J q + i - I ).p +

zz

xx

ej

rN + r (1 . 45.

Deze vergelijkingen gelden algemeen binnen de gernaak.te ver.onder-steiling van linéariteit.. De termen X., Y.., Z. hebben de dimensie

U V W

van een massa en zijn (met een min-teken) de hydrodynamische massa's in respectieveiijk de x-, y- en z-riôhting.

-K , - M. en - N zijn de overeenkomstige massatraagheidsmo-menten.

Indien de beschöuwde drijvende constructie een symxnetrie-vlak be-zit, dan kunnen sommige van de lineaire hydrodynamische afgeie.iden nul worden. Voor een dubbelschroefschlp, waa'rvan de schroeven een tegengestelde draairich.ting hebben, is bijvoorbeeld:

± 4(M

_{- I)}

_{+ iM} + 0M0 + O

ÛN.

+ 'N.. +

zN. + UN + VN + wN +

U V W U V W

pIN

+.(I

-I

)ql+

giN

+(I

-i

)p

p xx yy e j L q xx yy e

1.24

= X.. = X = X. Y = Y. = N

N. =0

V _r r u u u u

zie voor X, Figuur 1.7.

In de vergelijkingeñ (1.45.) zijn geen afgeleiden overeenkomend met roerkrachten opçenomen, omdat de vergelijkingen óók.voor

andere constructies dañ schepen gelden.

Uitgaande van deze bewegingsvergelijkingen kunnen soeciale ge-vallen afgeleid worden, bijvoorbeeld de bewegingen van een

ondèr-zeeboot in een verticaal viak.

De bewegingsvergelijkingen worden gevdnden door te stellen:

Y =K =N = O

p=r=v===r==ip= O

(1.47.)

p = r = y ₌ = f =

e e e e e e

Uit (i 45.) en (1.47.) voigt dan:

- rn) + _{+ uX + w(X}

- mq) +

+ q(Xq - mwe) + OX0 = O

+ 7(Z* - m) + u(Z + znq) + wZ

+ dZ4

+ q(Zq + mue) + GZ0 = O

ùM + + uM + wM

+ 4(M4 - I) + qM

+ 0M0 = O

(1.48.)

Als de onderzeer een rechte, horizontale baan onder water vaart, dan is = We = O, zodat dan de betreffende termen in (1.48.) vervalien.

Voor de bewegingen in een horizontaal vlak, waarbij de z _as verti-caal blijft (een oppervlakte schip) geldt:

Z = K = M = O

W = * = p = = q =

_{4 =}

O = O ( 1.49.)

We _{= e = e = e} =

_4e

= 0,

zodat uit 1.45. volgt:

i (X

-

rn)

+ 'X. +

uX + y (.X,

+ mre) + r (Xr + mv)

+ +

+ 'r(Y, - in)

+ u(Y

_{- inre)}

-f-' vY

'r -

_mue) + . + IpY = O

+ 'rN

± _uN

_{+ vN}

+ _rNr -(N. _-

i) + iIiN,

= O

(1.50.,)

Ais het beschouwde object een rechte baan vaart dan is:

\Te = re = 0, zodat dan de overeeñkomstige termen in (1.50.) ver-vallen.

Voor eenongestuurd (, = = 0) symmetrisch (1.46.) schip geldt:

u

(X -

rn) + uX. = O

u u

y _(y in) + vY

+ r(Yr.

mue) +

Y. = 0

(1.51.)

vN'. +

_V vN

_v

+ rN

r

+ i (N. - I,

r

_zz

) = 0

Deze vorm van de bewegingsvergeiijk'ingen wordt in he.t college

mt513 gebruikt orn de rechte lijn stabiliteit van een schip te ana-lyseren.

Bii.jkbaar is in dit gevai de krachtenvergeiijking in X-richting niet gekoppeld aan de beide andere vergelij'k'ingen.

Andere combinaties van vergelijkingen kunnen uit (1.45.) af.geIeid

worden,, afhangend van het beschouwde probleem. Voor de analyse van

de rechte-lijn-stabiiiteit van een zeiljacht moet rekening

gehou-den wotgehou-den met de invioed van de heilingshoek

c, omd'at de

voort-stuwende kracht door de zeilen, bij helling, een beiangrijk moment orn de Zb as kan geven.

Een dergeiijk stelsel van vergeiijkingen is bijvoorbeeld:

(Y. -

m) + +PYj

+rY7 + r(Yr - mue) + pY

+

+

+ i(K

- i)

+ vK + rKr PK = 0 (1.52.)

+ (N

-

+ TN. + vN

+ rNr i- pN0

+ 4N = 0

1.26

Voor de analyse van het sturen en manoeuvreren van schepen k,un-nen de krachten en momenten die door de werking van het roer ont-staan in de. bewegingsvergelijkingen.ingevoerd worden. in geiinea_

riseerde vorm zijn dat bijvorbeeld: Y, Y, N en

(N.B. In 't geval van symmetriè is X = O).

Bij het uitvoeren van stuurmanoeuvres is de röe.rhoek een functie van de tijd.. De stuurautomaat of de roerganger zal het roer een uit-slag geven die onder andere afhangt van de koersafwij king en de koershoeksneiheid II'. Bij beperkingen van het vaarg.ebied in horizon-tale richting en bij beperkte. varieerende waterdiepte zal t5(t)

tevens een functie.zijn van de positie en de sneiheid van het sch ip.:

S(t) = f(p,p, _{XoG 'oG' X0G,}

'oG

waarin, x .

?fl y

de co6rdinaten van het zwaartepunt G in het

0G 0G

ruimtevaste. assenstelsel X voorstellen.

1.4. StabiIiteitsonderzoek.

De bewegingsvergelijkingen kunnen gébruikt worden orn de dynamische stabilIteit van de beweging van een schip in het horizontale viak, of van een onderzeeër in het horizöntale en verticale viak te

onderzoeken.

Omdat gemakkelijk verwarring ontstat bij het definieren van de verschillende soorten van dynamisch evenwicht die zich bij het "sturen" voordoen, worden de definities zoals die op de Interna-tional Towing Tank Conference (1TTC) 1972 zijn vastgesteld hier weergegeven.

a. Stability of route, or motion stabilityf is that property of a body or ship whIch causes it, when disturbed to damp out

extraneous motions set up by the disturbance and to reduce them progressively to zero. If when the transient disturbance is eliminated and a steady state of motion in a straight line is resumed, the axis of the body or ship does not lie in the

original direction of motion, the case is called straight line tabïIïty (rechte lIjn stabiliteit.)

1.28

Directional stability is that property of a body or sh1p which causes it, when its equilibrium is disturbed, to develop forces or moments,, or both, which act to restore it to its original direction of motion, but in a different transverse position

(richtings- of kocrsstabiliteit).

Positional motion stability.

If the body or ship is restored to both its otiginal direction 'and transverse position., this case is called positional motion stability.

De ui.tdrukkinq koersstabiiiteit wordt in het spraakgebruik vaak in algemene zin gebruikt. Het is beter deze uitdrukking even-tueel alléén als aiternatief voor richtingsstabili.teit te ge-brulken.

Als voorbeéld wordt nu de stabiliteit van een gestuurd schip, dat een opgegeven koers moet varen., behandeid, zie ook: mt5i3. in ver-band met het voòrbeeld in mt513 wordt de daar gebruikte nomenclatuur hier ook toegepast, zie Figuur 1.8.

Roerkrachten en roermomenten zijn toegevoegd aan de vergelijkingen (1.51.) in...vereeristemming, met de tekenafspraken in Figuur 1.8. Verder is de differentiaai vergeiijking van de stuurmachine:

+t=

(1.53.)

waarin:

5g - de gewenste ròerhoek & - de momentane roerhoek

T5 - de tijdconstante van de stuurmachine

De roergangêr of stuurautomaat wordt verondersteld te reageren vol-gens:

tSg ₌ k1* + k2'P (1.54.)

waarin IP de koersfout is, IP de daarmee corresponderende koers-hoekversneil ing.;

Uit (1.53.) en (1.54.) voigt:

6=

Tensiotte wordt in (1.51.) ingevoerd:

'uI:

-(1. 5'5.)

y =

-

Uß, Ue = U en r = (voor de afgeleiden)

De afzonderiijke termen van de 'bewegthgsvergeiijkingen worden d'imensieioos gemaakt door de krachten te de len door ½ p u2 L2 en. de

momenten door ½ p U2L3. Men vindt dan:

-

X)i'i'

-

X1u' = O

(m' - + Y

+ Y14j' + (Y' - m')' + YtS

= O

N' - Nß

( - Nihi," -

N' - N6

= O

T'

+

6 -

-

= 0 (1.56.)

De oplossing van deze vergeiijkingen in u,, . en 6 heeft de vol-gende vorm:

ait' _alt'

at'

_dIt'

e

1=ße

,=p1e

,6=61e

weike opiossing na substitutie in (1.56.) de determinant van het stelsel iinea'ire homogene vergelijkingen gee:f t.

Als deze determinant de waarde nul heeft dan heeft het steisel

(1.56.) een van nul verschiliende oplossing voor u,, i

en 6.

Substitutie van de opiossing in (1.56.) geeft nu:

-

X )

a' - X"

i

u'

= O

u

ui

- Y)a' +

Y}ß + {yp2

+ (Y' -

m')a'}

+ Y6

= 0

(1.57.)

-

1.30

-a'

2

Na' }

-

- N6

=0

((i

--

(Ta'

N)

1) 6

=0

De determinant van het steisel vergelijkingen (1.56.) is dus:

- Xi)cy' - X'

u u

o

(1.58.)

De eerste vergelijking van (1.57.) is niet gekoppeid met de andere drie.. Uit die vergeiijking voigt één wortel:

-(T'o'-I-i) s

- X

u

Voor depiacements schepen is < O

en m' - X> O

zodat het dynamisch evenwicht in x-richting steeds stablei is. Bij planerende vaartuigen kan bij bepaalde sneiheidsgraden X > O

zijn.

Uit (1.58.) voigt verder:

- Y,,)a' + Y } -

N}

o f f + (Y;

Dit is een 4e graadsvergelijking in a. Met de: worteis:

=

+ jWj

(complexe eigen frequenties)

en de verhoudingen:

ß:j/i5j en

kan het stuurgedrag geanalyseerd wOrden. Voor een stabiel systeem wordt verlangd dat a' een negatieve waarde heeft, omdat verstoringen

-N + =0 o. -. YÎ)c' +

Y}

f

Ya'2+(Y

m')a {N,a' -

N}

f-

N)a'2 - Na o ±

ka'}

o o a' (1 . 59.)

in dat geval exponentieel uitdempen met de tijd. In meer algemene zin kan men de vergelijkingen (1.58.) a1s voigt schrijven, waarbij de vergelijking van de krachten in x-richting flu weggelaten is:

A11 + Al2 + A135 = O A21ß A22 + 23 = 0 (1.60.) + A32qi +

Aô

= O waarin: =

ajd2

+ bja'+ cj 1.32

-A31 A32 A33:

In ons voorbeeld is:

A31 = a11 = a21 = a32 = c12 = C22 a13 = a23 = a33 = b13 = b23 = O zodateen 4e çraads vergelijking In a ontst'aat:

dk _{+ Ba's}

+ cd2 -i- Da'+ E

= 0 (1.61.)

Er zijn dus 4 wortels 0.

Als n de besturing k1 (dus c32), zie (1.55.) biz. 1.30, geiijk aan nul gesteld wordt dan heef t (1.61.) één wortel die gelijk aan nul is. Het gestuurde systeem is dan ongevoelig voor een richting (ip). [let is wel gevoelig voor richtingsverandering. (,).

Als 5 = O dan wordt de determinant:

=Q

= 0 (1.62.)

(I - N)a'2- Na'

A11 Al2 A13

A21 A22

en:

A.

=

d3 + Bd2 +

cd

+ D = O

B >.0 , 'C >0 , D >0 , BC - D> d2+ Ba'+ C =

B > 0, C > 0 }

(1.65.)

Voor he.t iaatste ge\al vinden we met (1. 62.),, na ;één wortei a' = O afgesplitst te hebben:

(B > 0) (:C > 0)

(1.66.) 00k hier is één wortel a gelijk aan nui.

1.41. Stabilite itscriteria.

0m vast te steilen of een dynamisch systeem stabiel is of niet, kan volstaan worden met het bepalen van het teken van het reëeie deel van de worteis a. Voor een stabiel systeem z-ijn de reëeie delen negatief. Uit deze voor.iaarde kan men stabiiiteitscriteria

af-leiden voor de coëfficinten van de karakteristieke vergeiijkingen. Zoals uit het voorbeeld (1.58.) blijkt, zijn die coëfficinten

samengesteld uit de diverse sta'biiiteitsafgeleiden, weike uit-eindelijk van de vorm van de drljvende constructie, van de vaar-water bepekïngen en van de eventuele besturng afhangen..

Een dynamisch systeem, dat correspondeert met een 4e graads ka-rakteristieke vergelijking (1.61.) is een stabiel systeem ais voldaan wordt aan het criterium van Routh:

B>

C > O, D> 0, E > O

(1.63.) BCD - B2E - D2>0

N.B. Voor een e graads karakteristieke vergelijking géeft Routh een methode orn het criterium te vinden, zie : E.J. Routh: Dynamics of a system of rigid bodies. Dover Publications.

Voor n = 3 en n = 2 vindn we respectievelijik:

y. (' ¡.. N) + >

(Y' - m') -

>0

}

Aan de eerste voorwaarde van 1.66. wordt steeds voldaan, want het schij:nbare massa traagheidsmoment I - is steeds groter

dan nul en is relatief groot ten opzichte van het product NY' dat positief of negatief kan zijn,.

De tweede voorwaarde vonden wij reeds in mt513. 1.5. Het oplossen van de bewegingsvergelijkingen.

De gekoppeide bewegingsvergelijkingen worden opgelost met behuip van Laplace transformaties, waarbij de dïfferentiaal vergelij-kingen omgezet worden in algebraische ve:rgelijvergelij-kingen, die gemak-kelijk zijn op te lossen.. Te-rug transformatie levert de oplossing van de stelsels differentlaal vergeiijkingen.

1.5.1. Laplace transformatie (geheugensteun).

1.34 -1. L {f(t)} = L(f) ₌

f

f(t)etdt

= f(p) . L(f')

ff1 (t)etdt

+ = p L(f) - f(0) = pf (p) - f(0) L(f") = p L(f') - f'(0) = p2L(f) - pf(0) - f'(0) = p2f(p) - p f(0) - f'(0) ,It L(f ) = p3L(f) - p2f(0) - pf' (0) - f" (0) = = p3f(p) - p2f(0) - pf' (0) - f"(0) enzovoorts.

Voor een aantal belangrijke functies voigt hieronder de Laplace transformatie.

L(c)

cfe_Ptdt=_etI=

L(eat)

=

j eat et at

=f

e_(a)t

dt =

en dus: L(cost) - pZ L(sinwt) = pZ Evenzo: -at L(e ) -. L(sinh at) =

pz -

az L(cosh at) = p2 _a2 -at Lt)

L(e

sinwt)

_{= (p+a)'+w2}

-at

p+a

L (e coswt) _{= (p+a) 2 +} L(t) = n! Pn+i L(tneat) =

(p+a)1

L [e_a (I - at) = (p+aY2

1.5.2. Oplossing van twee gekoppeldè vergeiijkingen; afleiding van de formules van Nomoto.

Als voorbeeld wordt behandeid de oplossing van het steisel verge-lijkingen voor de beweging van een schip in het horizontale viak, zie (1.56.).

1.36

Cmt

Y,)'

+ +

+ r'

m''

-Y5

+

N1)'

N,'

= NS

De Laplace getransformeerde vergelijkingen zijri nu:

ß(p:)

f

p(m'

Y) +

Çp) f Yr + (Y'r m') = Yó (p) + ß(0) (rn'

- Y) +

}

+ "

-N

N}

=

= N5 (p) + ß (0) N

+ ,, (0)

(I'

-Nl)

(1.67.)

(1.68.)

Bij deze transformatie biijkt dat de rechrieden vande verge-likingen nu de begincondities e(0) en (0) bevatten.

Men kan deze, voor het systeem, opvatten als "uitwendige" krachten en momenten.

De vergelijkingen (1.68.) worden nu als voigt geschreven:

ß(p)a22 + (p)a23 = _{-Y:sts (p)} + C

(1.69.)

(p) a32 + 1.i (p) a33 = N (p.) _{+. CN}

waarin dus: a22 = p(rn' y,,)+ Y

a23= pY

+ t ) a32 = a33 -

N)

Ç

C, = e(0) (m' Y,) + + (O:)

N)

De determinant .van het stelsel is nu:

a2,2 a23

a32 a33

We vinden en door te stellen:A = O :

-B

±VB2

4AC

2,3 - 2A

- Y N,,

(m' - ) - (Y - m')N, + NY

0m aansiuiting te vinden bij de notatie volgens Nomoto schrijven we: 8(p) = 8(p) o

=-A en =

TITT(P

12

-V'

¿o T'' (pT'1+l) (pT'2+i) 1 2

waaruit na enig schrijfwerk voigt:

K(1+T8p)

pTT8(0)+(T+T.) 8 (0)+TT (0)

0(p) +

(1+pT) (1+pT) (1+pT'1) (I+pT.)

Ap2 + Bp + C = A(p - o')

zodat de oplossing voor 8(p) luidt:

A (pT' +1) (pT'2+I)

12

(1.70.) waarin: A = (m' - Y.) (i

- N)

B = Y (I - N.) - N C = N (Y. - m') - YN '23 a33 iS (p) + C y a23 CN a33 (1.71.) en c5 = + i) (oT'2 + 1) ,

evenzo:

K' (1+Tp)

_{pTiT(0)+(Tj+Th,(0)+TjT(0)}

= (1+pT) (1+pT) (1+pT) (1+pT,)

(.1.72.).

waarin:

YN

-K N (Y-m' ) -YN

YN- N(Y-m')

N (Y-m' ) (m'-Y,)N+N,,Y Y N -

YN

(.i-N.) +NYj

(Y-m' ).N-YN

Bij een stabiel systeem zal de invioed van de begincondities na verloop van tij.d gehee]. verdwijnen, zodat in. (1.72.) slec:hts de

eerste term

overblijft..

De invioed van de begïncondities wordt door de tweede termen gegeven. Men noemt.: (1+pT) (1+pT) K' (1+Tp)

en

K (1+Tp).

(1+PT) (1+pT)

(1.73.)

de overdrachtsfuncties van het beschouwde systeem.

In het voorbeeld worden de stuureigenschappen ván het schip (binnen de verondersteide lineariteit!) voorgesteld door deze algebraische functies.

De opiossingen (.1.72.) schrijven we nu, in verband met het

terug-transformeren van het p-domein naar het t-domein, als voigt:

[p2ß(p)_pß.(0) -

(0) } + (T

+ T) { pe(p) -

(0)}

(p)

= K (p) + K.T3ßp (p),

en een, analoge uitdrukking geldt voor

-Uit deze uitdrukkingen voigt onmiddellijk de transformatie naar het t-domein:

+ (T

+ T)

+ =

+ KT3''

(1.74.) + (T

+ T);

+

i'=

K'6 + K'T6'

Deze gekoppelde lineaire dif.ferentiaai vergelijkingen van de tweede orde in (t) en (t) zijn gehe.ei.equvaient aan (1.67.), De schrijfwij.ze volgens (1.74.) is van Nomoto.

1.5.3. De beweging bij harmonische excitatie.

Als 2 voorbeeld word't de responsie van een gestuurd schip be-oaaid als het roer een harmonische beweging uitvoert:

= Sae

Uitgaande van de 2e orde vergelijking in ip

+ (T + TH&' + ' = K'(S + K'T' (i . 74.)

vinden we voor de Laplace getransformeerdevergeiijking: K' (1+Tp) (1.75.) -(S + (1+pT) (i+pT) (p-iw') a PTT' (0)+(T-FT)lj' (0)+T'T' (0) + (1+pT) (i+pT,)

waarbij in acht genomen is .dat:

6

6(p) =

a

Voor de terug transfbrmatie naathet tijdsdomein wordt i(p) in partieel breuken gesp]!itstl:

p)

= (Ï+pTj) + .

(]

T)

+ p-Îw'

(1.76.)

=

C1etIT1+ C2et'T2

+ K'(1+T3 :Lj')

_e'

(1+1w1r) (ì+iw'T) a

(1.77.)

Hierin zijn de coëfficënten C1 en C2 functies van K', T;1 T,

en6

a

De beide eerste twee termen van 1.76. verdwijnen navoidoend

lange tijd: het inschakelverschijnsel is dan verdwenen zodat over-bili ft.:

(1.78.)

K'(1+T 1w')

qt)

=. S

eW

a (1+1o'T) (1+iuT) ..

iwt

Blijkbaar wordt de coefficidnt van _ae , In het geval van een

harmonische excitatie gevónden door in de uitdrukking voor de

overdrachtsfunctie (1. 73..)

te stehen: p

We definieren nu de zgn.. frequentie karakteristiek:

-

1.40

-7' _i = Aq,(w)e iJ

tgc,

= 1'-T. -

T)w' + TjTjT

Opmerkingen.

a In de literatuur.wordt vaak gesteld:

-X = _m , hydrodynamische massa in x-richting

=

m,

, hydrödynamische massa in y-rich.ting

-N ₌ , hydrodynamische massa traagheidsmoment orn de

z-as.,

(TT

- TT - TT)

(1.79.)

waarin: de ampiltude karakteristiek

en

de fase karakteristiek is.

Met (1.78.) vindt men:

1 + w'2T2

b. Gemakshaive voigt hieronder de definitie van de diverse dimensielo:ze grootheden die in de bewegingsvergeiijkingen een rol spelen.

i' izz N' Nr ½pL5 r ½PLU J' Jzz N N0 ½pL5 ½pL3 U2 K' U In m = (½) PL3 In m' =

y

y

_{(½) pL3} N N (½) pL3U2 Nl V V (½)pL N N' V (½)pL3U N

r

(½) pL5 N (½) pLU N (½) pL3 u2 rL T U ml 123 123 L

tu

L V Y' V = r Y o Y (½) pL2U =

o'

= o

wL U Y. y (½) pL3 Yv (½) pL2 U (½) pL YO (½) pL2 U2 Y (½) pL3 U Y (½) pL2 U2

(1.80.)

V' V

_u

c. In de literatuur wordt voor de bewegingsvergelijkingen van een opperviakte schip cok wel de volgende vorm gebruikt

(1.81.) (zie ook (1.51.)) : X o o u Xu O o o (m+m) -Y o

Y-mu

V

+ yo

L

V IZ:z+J

zz

O N Nr r

2. Niet lineaire bewegingsverqelijkingen.

De lineaire bewegingsvergelijkingen zijn bruikbaar voor het

onder-zoek van de dynamische stabiliteit, bijvoorbeeid bïj het varen in

een kanaal met diepgangs- en breedte. beperkingen.

Over het algemeen moeten de hydrodynamische coëfflciënten met

be-huip van gedwongen oscillatie proeven of met vrijvarende modellen.

bepaaid worden, omdat voldoend

nauwkeurige analytische methoden

ontbreken.

Bij het manoeuvreren van s.chepen zijn de. hydrodynamische.

verschijn-seien, vooral bij richtingsonstabiele schepen, vaak niet met het

eenvo.udige lineaire model te beschrij:ven. Vandaar dat nueen bspre_

king voigt van niet-lineaire bewegingsvergelijkingen. Daarbij kan

nog. onderscheid gemaakt worden tussen beschrijvingen die zo

nauw-keurig mogeli.jk het gedrag van het schi p weergeven ten behoeve

van

analytische studies, en van niet-lineaire vergeiijkingen die

ge-br.uikt worden bij stuur- en manoeuvreersimulators. In het iaatste

geval is een grote nauwkeurigheid niet vereist,, maar wel is nodig

dat bijvoorbeeid hutijdconstantenu e.d.

, bu

de simulatie,

realis-tische waarden hebben.

2,1. Het niet-lineaire model van Abkowitz.

Abkowitz heeft een niçt-lineair stuurmodel opg,esteidr orn

stuur-manoeuvres met behuip van een computer te berekenen.

tiitgegaan wordt van een Taylor ontwikkeling voor de krachten en

momenten,, waarbij termen tot en met de derde orde zijn opgenomen.

Uit ervaring is gebleken dat 4e orde termen geen wezenlijke

ver-betering van .het resultaat geven Verondersteld wordt dat krachten

en momenten als gevoig van roerhoeksneiheden en

röerhoekversne1-lingen

)

een te verwaarlozen invioed hebben.

Uitgegaan wordt van:

X =

f(u,v,r,i,.',S) = m(ii +.qw - rv),

(2.1.)

en analoge uitdrukkingen voor Y en N.

2.2

x = x°

-i-ix

_tu

u+X v+X r+x.+X''+X.+X s1 +

y r u y r ¿Si

+ ½

{x

uU,U2+XVV

v2+...+X

&tS¿S2±2Xuyuv+2Xurur+. ...+2X

+ u3+X v3+ ...+X ¿S3+3X u2v+3X uzr +

3., uuu vvv ¿St56 uuv uur

+3X.i52+6X

uvr+6,X uv+

roiS uvr uvu

+6x.r?i5

a2x

2x

X - -- , X

= uv '

X - enz.

(2.2.)

Hierin is X° de kracht in x-rïchting bij de evenwichtsconditie u = U; de notatie wordt, ve.rklaard door,:

e

00k hier kan gebruik gemaakt worden van de symmetrie van het schip, waardoor diverse terinen nul kunnen zijn, zie oak (1.49.)

We zagen reeds dat ais gevoig van de symmetrie geldt:

X = X = X = X. = X. = O

y r ¿S y r

De symmetrische functie X (v,r,iS) is geschetst in Figuur 2.1. Het is duidelijk dat slechts even functies van v,r en ¿S in

aan-merking komen, zodat:

X(v) a2v2 ± a4v4 + a6v6

+ ...

(2.3.) en analoge uitdrukkingen voor X(r), X(6), X(.) en X(r).

Hierin is, zie (2.2.) , a = ½x en a4 = X enz.

Meer algemeen is X een functie van ¿S, V en r op hetzeifde tij:dstip. De locale "drifthoek" is:

rx +

U waarin x de af stand tot G (2.4.) en de kinematische invalshöek van het roer is:

(2. 5.

In verband met de vorm van het schip zal de effectieve invaishoek

een functie zi,jn van y, r en iS

en de kracht X kan daarom als voigt

geschreven worden:

X(v,r,d) = (c1v+c2r+c3iS)

2

+ (c1v+c2r+c3iS) +

(2.6

)

Bij een profiel is de driftkracht evenredig met het kwadraat van

de invaishoek; er is een zekere analogie met hat schip dat met een

kleine drifthoek vaart.

De uitwerklng van X geef t flu de voigende termen:

V2, r2,i52, rv,

riS

en viS

,

(2.7.)

waarbij geen 3e graads termen aanwezig zijn en waarbij de

reeks-ontwikkeling tot de 4e graads terinen is begrensd.

De afhankelijkheid van X van u is in een veelterm uit te

drukken:

X(u) = D1U+D2U2+D3U3

(2.8.)

Bj een versnellende en vertragende beweging van het schip in

x-richting is X(u) het verschil van de effectieve stuwkracht

T*

_{=' T(1-t) en de weerstand R.}

Dit ver.schil kan door (2.8.)

voorge-steld worden. Als u varieert dan wordt daarrnee

de "invaishoek"

(2.5.) beInvioed en daarmee de grootte van X. Er ontstaan

dus

kop-pelterinen, die samengesteld zijn uit u, V1 r en iS.

Door (2.7.) en

(2.8.) te combineren, waarbij de termen tot en met'

de derde orde

worden meegenomen, vindt men de volgende

niet-lineaire termen

in de uitdrukking voor X:

y2 ,r2

g

iS2 ,rv r.5,viS,v2u,r2u,62u,rvU,riSu,ViSu.

Een andere manier orn tot de relevante termen

in de uitdrukking voor

X te komen is de voIgende.

-Uitgaande van de Taylor reeks (2.2.) worden alle termen in y, r en 6 met oneven exponenten nul gesteld (bïjvoorbéeid

)S,vv1?3u = XrrriF3u = = O)

Termen met even exponenten in y, r en 6 zijn ongelijk aan nul, (dus X v2u O, X r2u O enz.)

vvu rru

Oak termen waarin producteñ van v,r en 6 met oneven exponenten voorkomen zijn ongelijk aan nul, dus Xvrvr

O, Xvó

O,

Xvruvru

& O, X6t5U

O.

Abkowitz neemt aan dat niet-lineaire versneliingstermen nul zijn, omdat dit uit berekeningen met de potentiaaltheorie voor volledig ondergedompeide slankë lichamen zou blijken, dus X12 = =

= X...i3 = O enzovoorts. Verder zegt hij dat de onderlinge

rr uuu

beTnvloediñg van visceuze termen en traagheidstermen te verwaar-lozen is, zodat bijvoorbeeld:

X. ''r = O enzovoorts. vr

Tenslotte wordt opgemerkt dat: X = X = O, wegen:s de symmetrie. In de X-vergelijking blïjft daardoor alléén X over als

versnel-lingsa f ge leide

In verband met vergelijking (1.8.) en het feit dat in dit geval alléén horizontale bewegingen beschouwd worden (q = w = O) vinden we tenslotte: = m(tm - vr) of: Cm - X,)i = f1(u,v,r,6) (2.9.) waarin: f1 (u,v, r, 6) = XO+Xu+½Xuuu2+Xuuuu3+

+ ½Xv2+½Xrrr2+½+

+ ½X v2u +½x r2u+½L 62u +

vvu rru

cu

+m)vr+X v6+X r6+X vru+

vr v6 r6 vru

+ X v6u+X r6u.

v6u r6u

Voor de Y en N vergelïjkingen gelden analoge overwegingen, reke-fling houdend met de Symmetrie ten opzichte van hat xz-vlak.

In de eerste plaats voigt daaruit dat aile afgeleiden naar u en û nuI zijn, dus Y = Y = Y = Y. = Y.. = Y... = 0.

u uu uuu u uu uuu

Evenzo voor N(ü). De functies van Y en N zijn oneven functiès van v,r,,'',-; daarom zijn de termen met even exponenten in v,r,6,',i allen geiijk aan nui. Datzeifde geldt voor "even" producten van deze variabelen,, dus:

y

v2u

y r2u = y vr = y v5 = Y r6 =. Y vru =

vvu rru vr v6 vru

Y vISu = O enz. Evenzo voor de N-termen. v&u

De Y-kracht en het N-moment, als gevoig van de asymmetrie, veroor-zaakt door de draairichtïng van de schroef (of schroeven, ais die dezeifdé draairichting hebben) worden respectieveiljk voorgesteld door' de termen:

Y0u,' Y0 u2 en N0u, N° u2

u iiu u uu

De scheepsschroef wordt scheef aangestroomd als y 0.

Er ontstaandaardoor een krcht en een moment, die bovendnien elk van' 'de sneiheid u afhankeiijk zijn.

De volgende termen worden daarom in de Taylor reeks opgenomen:

y vu, y vu2, N vu, N vu2

vu vuu vu vUu

Voor de "versnellings"afgeleiden gelden dezeifde overwegingen als voor de ontwikkeling van de X-kracht: de enige in rekening te brengen termen zÏjn: Y., yo, N. en N.

y 'r y r :Uit (1.8.) en (1.21.) voigt: y m(r + rU) I zz zodat: - Yr = f, (u,v,r,ó) -Nd' + (I

- N)

= (u,v,r,6)

waarin:

o o o

f,(u,v,z,& = Y + Y u + Y u2 + Y y +

¿ u au V

+1y y3!y vr2+!Y

v62+y vu+

6 _VV'j 2 vrr 2 viSO vu

+ y vu2 + (y - mU)r + y r3 +

1

y

rv2 +

2 vuu r 6 rrr 2 rvv

r02+Y ru+!Y

ru2 +YO +

rOO ru 2 ruu O

...

y

+ I

Y 6v2 + Y Or2 +

6 606 2 Ovv 2 Orr

+y i5u+'Y

i5u2+Y

vrO

Ou 2 Ouu vrO u,v,r,6:) = N° + N°u + N0 u + N y + u uu V + N V3 + - N vr2 +

I

N

vS2 +

N vu + 6 _vvv 2 vrr 2 _{vOS vu}

+!N vu2+Nr+!N r+1N

rv2+

2 vuu r 6 rrr 2 rvv +

I

N r&2 + N ru +

I

N ru2 + 2 rOO ru 2 ruu

+ N00+ -. N00663+

- NOV2 +

N616r2 +

+N

Ou+1N

0u2+N

vrO

ou 2 6uu vrO

De vergeli.jkingen (2.9.), (2.10.) en (2.11.) zijn afgeleid zonder de relatieve invloed van elk van de vele termen te beschouwen.

Uit een experimentele bepaling van de hydrodynamische coëfflciënten blijkt dat alle lineaire. termen belangrijk zijn. Voo,r de

x-verge-lijlkïn,g zijn daarnaast van belang de termen met u.2 en u3 en voor de Y en N vergelijkingen zijn dè termen met rv2

rvv' Nrvv

be-langrijlk.

Een bezwaar tegèn de afleiding van Abkowitz is dat de fysische

in het besproken geval zijn de diverse termen van de bewegings-verg.elijkingen dirnensïe-vol gegeven. Men kan een dimensieloze vorm van de vergelijkingen kiezen, doch dat leidt niet tot sne:lheids-onafhankelijke coëfficiënten, zie bijvoorbeeld Y' , Y' .'.

vu ruu

De oplossing van de bewegingsvergelijkingen (2.9.), (2.10.) en (21i.) geschiedt met numnerieke methoden.

Uit de vergeiijkingen voigt:

4u_

f1(u,v,r,6) dt dv

VE

(rn - X) u (m-Y.) (I -Ne.) - NY y zz r

vr

E2 (I - N.)+f3Y

=g

f (m - Y)+f N. = 3 y 2 V _{= g [u(t)i v(t), r(t), 6(t)]} (m-Y.) (I -N) - N.Y. V zz r

vr

(2. 12.)

Deze drie le orde, niet lineaire differentiaal vergelijkingen worden opgelost door uit te gaan van één stel waarden voor u, V,

r, 6 ten tijde t, bijvoorbeeld,: r = y = 6 = 0, u = U

Ten tijde t + At geidt dan:

u(t+At) = u(t) + At.ti(t), met analoge uitdrukkin.gen voor y en r. Hierbij is verondersteld dat 6(t) een bekende functie is.

Het rekenproces kan daarna herhaald worden door nu uit te gaan van de nïeuwe waarden voor u, y, r en 6 enz., zodat:

t-At

u(t) = u(0) + E0 u(t).At en evenzo voor v(t) en r.(t).

De snelheidscornoonenten in de richtingen X0, van het ruimte-vaste assenstelsel zijn:

X0G u cosii - y sini

(2. 12.) 'oG = u sin

+ V

costji

[ut,

v(t), r (t), 6(t)]

waarin: XG en

oG de co5rdinaten van G voorstellen. De baan van G kan berekend worden door integratie van

, oG en oG t-tt

+ TO

r(T) t t-ht x0G(t) = x0G(0)

_{+ TO}

(v(T)cosJ(T

+ +

[(t)

+

u(0)]

sintP(t)} . t-nt

yoG(t) = 'oG0

+ tO

{ [ur + u(0)] .

COSJ (T)

+

- v(T)

sinhi(T)} t.

(2.13.)

Als vergelijking voor .6 kan gebruikt worden:

T4(t) + 6(t) = '5g (1.53.)

waarmec het verband met 6(t) berekend kan worden als bekend is (eventueel als funktie van t).

De bepaling van de

coëfficinten

van de bewegingsvergelijkingen wordt besproken in hoofds.tuk 3. De.ze kan uitgevoerd worden met

behulp van de oscillator techniek, door gebruik te maken van schaalmodellen (PJI.M. - Planar Motion Mechanism) of er wordt gebruik gemaakt van vrij grove schattingsmethoden (lineaire afge-leiden).

2.2. Niet lineaire modellen ten behoeve van simulatie.

2.2.1. lIet model van Nomoto.

Nomoto heef t in 1.978 een betrekkelijk eenvoudig mathematisch model gepubliceerd voor simulatie doeleinden, dat voldoend nauwkeurig.e resultaten lijkt te geven. Een voordeel van de formulering van

Nomoto is de mogelijkheid orn met vrijvarende modellen, of met behulp van ware grootte proeven, beiangrijke

coëfficiënten

van de bewe-gingsvergelijkingen te bepalen.

-in de vergelijk-ingen worden de krachten X, Y en N als functies van u, y, S en n gegeen, waarin n het toerental van de scheeps-schroef vocrstelt. De vercjelijkingen luiden als volgt:

TT

(L)2 +

(T+T)

i + 'U = K'g (.$)

[t

+ a u2 + a + a uu rr en: waarin: g(s) = s -. i (i-w)U np I + i + 3.2 s 1.5 e s = i - (iw)Ue e

nP

e

de schijnbare slip van de schroef.

als û =0

Vergelijkirig (2.14.) is direct afgeleid uit (i.74.)door toevoeging van de nie linéaire term a' ()

23

, en de functie. g(s). die de

invloed van de schroefbelastÏng op de roerkrachten, als gevoig van. het uitvoeren van manoeuvres, weergeef t. Vergeiijking (2.15.)

schrijft de sneiheidsverandering als gevolg van het sturen en de verandering van het toerental van de schroef.

We beschouwen nu vergelijking (2.14.) zonder de functie g(s):

T1T21'iji' + (T1+T2) +

_{4' +}

KcS + KT (2. 17.) Met behuip van een spiraalproef (of Bech's omgekeerde spiraal

proef.) is het, eventueel niet-lineaire, verband tussen _4' en & vast te leggen. Een voorbeeld van gemeten waarden geeft Figuur 2.4.

.Daa'rui.t kan K bepaaid worden.

Met de resultaten van een zig-zag proef, waarbij

_4'(t)

en 6(t) gemeten worden, kunnen de coëfficinten T1, T2, T3 enctbepaald worden. + T 2u2 ₌ (,) & } a n2 nn max + a nu nu (2.14.) (2.15.) (2.16.) , met

U COSqJ - V sinqi

Figuur 2.3 : Sneiheid t.o.v. ruimtevast assenstelseL

bgtg K'

20 10 I 1,0 2

_11.5

o

Figuur 2.4: Spiraalproef resultaten van een VLCC model.

2.12

-X0

Yo

Nomoto gebruikt daarvoor een methode waarbij vergeÏijking (12.17.) in de voigende vorm geschreven wordt:

+ (T1-fP2) (i)_)) + _{dt =}

K

et + KT3(6-60

(2. 18.)

Deze vergelijking ontstaat door integratie van (2.17.); daarin geiden

,

en voor t = O en

e is de roerhoek als het schip een vaste koers vaart.

De berekening begint met de aanname van een stel willekeurige be-ginwaarden voor T1, T2, T3 en a. Daarmee wordt, gebruik makend van (12.17.), door numerieke. integratie een berekende beweging ver-kregen, mede gehaseerd op de reeds bekende K. Het verschil tussen de berekende waarden en de gemeten beweging bij de zig-zag proef is een fout die door systematische variatie van de aangenomen

T1, T2, T3 en a zo klein mogelijlk wordt gemaakt met behulp van een kleinste kwadraten iteratie methode. Dit is een systeem identifi-catie, die in de praktijk goede resultaten levert.

De fout die geminimaliseerd wordt kan ais voigt gedefinieerd worden:

1 tF 1 tF . 2 =

f

+

f

(iji4) dt (2.19.) r O

r.0

waarin:i en gemeten waarden voorstelien en zijn "berekende" waarden.

i12en c2 zijn de varianties van de gemeten giersnelhèid en gierversneliing

tF is de tijdsduur van de beschouwde zig-zag pròef. De giersnelheid kan direct gemeten worden, doch de gierversnelling wordt bepaaId uit de giersnelheid door een numeriek filter proces, dat différentiatie inhoudt.

Voor het gebruikte iteratie proces bleek een methode volgens Powell geschikt te zijn. (An efficient method for finding the minimum of a function cf several variables without calculating

I-let is niet mogeiij.k orn Kóók. op deze manier te berekenen omdat combinaties van grote K en grote T1 en kleine K, kleine T1

nauwe-lijks van eikaar zijn te onderscheiden; het is dus nodig orn K afzonderlijk te bepalen.

Een andere methode orn de coffIcIënten te bepalen Is als voigt. Schrijf de vergelijking (2.17.) In de volgende vorm:

t t t T

T+T

1 1 .a

f

'

js dt 1 2

f

i

d.t +

f

d,t = t t t o o o ti _tI

f6dt+T3

f

dt t t o o (2.20.)

Hierin is elke term uit (2.17.) vermenigvuldigd met en ge!nte-greerd naar de tijd over het interval to

-Ook kunnen we (2.20..) als voigt schrijven:

j(t1)

i(t,1)

. t1 T.T

r

T+T

r

r

jd+

K +

J

=

p(t)

_°

p(t)

t

.

4i(t1)

6(t1)

+

f.

6d+T3f

(t0)

6(t0)

(2.21.)

Door elk van de termen van (2.17.) te verrnenigvuldigen met

en te integreren over het tijdsintervi t - t1 vinct men analoog:

p(t1)

T1T2

j

,,

T+T2

f

..

. i

f

K

tPd+

1K

_i(t0)

dq

= (t1)

+.j

& d +

T31j

: d 2.14 -(2.22.)

In plaats van de term met a kan 66k een meer aigernene functie van 4.i g,ebruikt worden: H (,) die dòor "curve fitting" uit het

re:sui-taat

van een spiraaiproef bepaald kan worden.

De vergeiijkingen (2.21.) en (2.22.) kan men nu opvatt'en ais twee algebra!sche ver.geiijkingen met drie onbekenden, T1T2/K,

en T3, als bij eIkaar behorende waarden van en op to en t1 uit me.t'ingen bekend z:ijn.

Voor dit doe,i worden zig-zag proeven uitgevoerd, met verschillende combinaties van de ,roerhoek en de hoeksnelheid waarbij de

roer-ultsiag van teken omkeert... Men kan 66k het interval to - t1 wijzigen orn een nieuwe vergeiïjking in de drie te .bepaien gröotheden toe

te vöegen.. Ais meer dan drie vergeiijkingen opgesteid zijn dan kunnen T123 en K met behuip van een kleinste kwadraten methode be-paald worden..

În het ventueel aanwez'ige instabeie gebi. ed gebruikt men de

"reversed spirai" voor de bepaling van het verband tussen H () en 6 . Bij deze methode wordt de roerhoek gemeten die een bepaalde giersnelheid ten gevolge heeft en het blijkt mogeiijk te zijn orn bij deze oroef het roer een periodieke beweging te geven (gemid-delde rerhoek ongeiijk aan nul '! ) zodat de giers.neiheid

gemid-deid' de gewenste grootte 'heeft, zie Figuur 2.5.

UIt de geregistreerde ,(t) en 6(t) worden: i en met behuip

van een numeriek proces bepaaid.. Daarna worden diagrammen + 4, 6 + , + 4,, enz.gecons.trueerd.

Figuur 2.6. g.eef t zo'n "fase vla'k" diagram..waarin de getallen i tim 7 een reeks tijdsintervallen aanduiden waarover de inte-gralen uit ('2.20.) en (2.21.) bepaald kunnen worden.

Met behuip van gedwongen-oscillatie proeven is het mogeiijk alle. lineaire en niet lineaire coëfflciënten van de bewegingsvergelij-k±ng te bepalen dus 00k T123, K en a (of Hi)).

De besproken methode heeft echter het grote voordeel dat óók de resultaten van ware grootte proeven gebr.uikt k.unnen worden, waar-bij het sch'aaleffect geen rol speelt.

2.16

-L. O) X w o I-w o I..

Figuur 2.5: .Reversed Spiral".

t (s) 1.0 05 G _0.5 _1.0 20 10 _10 _20 o 10

Zigzag proef.

Fase viak diagram

2.18

-Im +my)Uq

Voor de vergeiijking in X-richting gaat Nomoto uit van de

vol-gende ve'rgelijking, die gebaseerd is op de potentlaal theorie

van ondergedompelde lichamen:

(m+m)û

- (m+m)vj = X(u,v,iji,6,n)

(2.23.)

Hierin is

ni

= -X.

en ni

= -X.. De

ni

v

-term voigt niet uit de

X U _y

y

_y

formele afleiding voïgens Abkowitz. Men denkt

my geconcentreerd in

G zodat een centrifugale kracht (mFm)Uiji ontstaat,die een

compo-nent (m+m)Uß =

_{(m.fm)vJ in. X-richting. heeft, zie Figuur 2.7.}

In de X bevindt zich nag. een term met vr, zie. óók vergelijking

(2.9.). Deze blijkt de term mvij te verkleinen

en wel met 30 à 40%.

Verder wordt ingevoerd de afstand

_{IP van}

het draaipunt van het

schip tot G, wàarvoor ge:id:t:

2

p'V

De totale "centrif.ugale" weerstand kan daarorn ais voigt geschreven

worden:.

(m+m .0

ym

)

p

Voor het snelheidsgebied waarin manocuvres uitgevoerd. worden kan

de weerstand evenredig met het kwadraat van de sneiheid

geschre-ven worden, dus;

R

_t

= ₂

LdU2. X'

_uu

waarin: X'

_uu.

dimensieloos is gemaakt met behuip van het later.aal

. *

opperviak Ld (d = gemiddelde diepgang )

De weerstand door roeruitsiagen is evenredig met 62, dus

R _{= -9.}

LdU262X6

(2.27.)

en Rroer. kunnen bepaald worden met behuip van modeiproeven.

Er is hier afgeweken van de standaard ITTC nomenclatuur omdat

T, het synthool voor diepgang gebruikt wordt voor stuwkracht en

voor tijdconstañte.

(2.2.4.)

(2.25.)

Figuur 2.8: Verband tussen effectieve stuwkracht en de slip van de propeller.

Het grootste. deel van X wordt geleverd door de stuwkracht.

De ef:fectieve stuwkracht is T (1-t) en met voldoende nauwkeurig-held voor het beoogde doel kan gesteld worden:

T(1-t) = pn2D(C1 - C2 ) (2.28.)

De stuwkracht heeft in dit geval dezeifde richting als de sneiheid van het schip.

Als de schroefachteruit slaat terwiji het schip nog vooruit gaat

danis: U>0,n<0,T<0

In dat geval benadert Nomoto de uitdrukking voor T als voigt:

T(i-t) = pn2DC3

(2 .29.) T(1-t) = pn2D4(C5 + C4 j:

De definitie van C1 - C5 is gegeven In Flguur 2.8.

De meetpunten in die f iguur zijn afkatig van voortstuwings- en stopproeven met een tanker model. Voor simulatie doeleinden kunnen de volgende benade.ringen gebruikt worden:

C _{= KT}

= = O), te bepalen met vrijvarende:

schroefdiagrarnmen. i-w C2 - C -0.8 C C4 = 1.7 C2 C5 = 0.5 C3 - C J st i-W st

De vergelljking in X-richting schrijft Nomoto als voigt:

û+a u2+a

2+a

2u2=a na+a nu

(2.31.)

uu rr nn _nu

w is de voigstroom factor P/D is de spoedverhouding

waarin : 2.22 -X' a

=1

,uu, ! a' uu L (m +m) L uu m' = m/ .. L2d, m

= mt

L2d, m'

ml

. Ld waarin d : de diepgang van het schip..

m'+C .m' a

=L.

,m,y

= La' rr

_m+m

p rr

_1

_1

acS, - _{m'+m L} a 2C1 a = L. 2C3 a = L. 2G 5 D D = L. m'-i-in' () = L voor < X 2C 2

D2 D

a -m'+m = a , voor > O a

=0

j

<J

< O t s nu s 2C4 =

Het effect van verandering van de snelheid U is in (2.14.) reeds ten dele verdisconteerd door in te voeren:

T11213 = (

i,2,3

u

'L

L2

= cL L.a' , voor J < J < O d nn st s nu a'

,voorj >0

nfl s J < j s st (2 .32.)

Blijkbaar is een tijdschaalfàctor: verdubbeling van de sneiheid halveert de tijd' constanten met een factor 2 enz.

Een ander effect is. afkomstig van de schroefbelastlng die gekarak-teriseerd wordt door de slip s. Elke verandering van snelheïd en/of

toerental beïnvloedt de slip en daarmee de slipstroom van de schroef. Deze be!nvioedt op zijn beurt de werking van het roer en dus de

waarde van K. Daarom is in (2.14.) de functie g(s) ingevoerd als een eerste benadering.

Het mathematisch model volgens Nomoto geeft een redelijke ovexeen-stemming met inodeiproef result: aten, zie Figuur 2.9. voor een zig-zag proef en Figuur 2.10. vor een stopproef.

2.2.2. Het mode]. van Eda.

Eda heeft ten behoeve van computersimulaties van het sturen in vaar-water met beperkte breedte het volgende model gebruikt:

= pl2 U2L(a1v'+a2y+a36 +a4 3+a5y'3 +a653

+ a11r'+a12r'3+a. r+alAv) p/2 U2L2(b1v'+b2y+b3ó+b4v'3+b5y,3+b663 + + b11r'+b12r'3+b13'+b1 ) =

=6 + T'

(2.33.) Hierin is: r' = = + zie Figuur 2.11.

De roerhoek 6e is nodig orn een evenwicht te bereiken in verband met de oeverzuiging en _Iie is de daarbij behorende koershoek;

is de afstand tot het midden van het kanaal in de evenwichts-toestand. T is de tijd constante van de stuurmach'ine.

1h dit model zijn alléén eerste en derde orde termen opgenomen., doch geen termen met producten van de variabelen. Massa en

24 16 8 o -8 L. a -16 -24 12--12 proef

- - - berekening

Figuur 2.9: Zig zag proef berekend en gemeten met een VLCC model.

120 144

I I

t (s)

2:5L Z5 L 05 vim/sec.) 50 100 150 200 t(sec.}

Figuur ,2.1: Vergelijking tussen gemeten en berekende stopwegen voor een

tanker model volgens Nomoto.

\\\ \\\

\'\\\ \\ \\\\\\\\

Figuur 2i1 : Schip in een kancial.

5L 1OL

proef

- - - -

berekening