Spanningsverdeling onder een kade volgens elastische berekening

(1)

.

\

S p a n n i n g s v e r d e l i n g onder een kade v o l g e n s e l a s t i s c h e b e r e k e n i n g

.

d - 7

I 053 *v**ww- un>ns CENTRUM VOOR O N D E R Z O E K W A T ER KE R I N G E N

(2)

.

Spanningsverdeling onder een kade volgens

elastische berekening

C

71,053

CENTRUM VOOR ONDERZOEK WATERKERINGEN

[

i

l i

i

i ! i

/

!

(3)

L '

C , O , W . i n t e r n ,

Spanningsverdeling onder een kade volgens e l a s t i s c h e berekening

Doel van de berekeninq: Na t e gaan, welke spanningsverdeling i n h e t k o r r e l s k e l e t van de ondergrond onder een kadelichaam

voorkomt en t e z i e n , waar deze n i e t meer voldoet aan h e t c r i t e r i u m van Coulomb dus p l a s t i s c h word%*

Beschikbare methode :

In p r i n c i p e i s de spanningsverdeling i n een h a l f oneindig medium t , g . v , een bepaalde b e l a s t i n g door Boussinesq gegeven.

x A 3

P

-2 L 2 u = -2 x 2 :p I li (x2 3:

z2)2

.I a = li (x2 f

i2I2

Door i n t e g r e r e n i s voor e l k e willekeurige b e l a s t i n g de spannings- v e r d e l i n g t e vinden*

JÜrgenson 1 ) g e e f t t a b e l l e n

fig. 2

voor spanqingsverdelingen z o a l s

J ) L. JÜrgenson "The Application of Theorie8 of E l a s t i c i t y and P l a s t i c i t y t o Foundation problems"

Contribution to S o i l Mechanics 1925

-

1940

(4)

- 2 - c

Deze t a b e l l e n berusten op de volgende formules:

p---L--{

I

+x

.i

. -

Voor punten d i e n i e t i n de t a b e l l e n voorkomen kunnen ook zonder bezwaar deze formules worden t o e g e p a s t .

Commentaar :

Voor z

=

O z i j n i n bovenstaande formules ax en az g e l i j k .

Beide z i j n hoofdspanningen. '

Nu g e l d t voor vlakke vormveranderingstoestand:

3

€ 3

=

E

( a3 - . v a , - va2 )

=

o

a3 '= va,

+

va2

W i j kunnen aannemen dat a3 % a2

v

1 - v a l

3 a*

=

a ₂= a ₁voor v =

4

D i t g e l d t b i j p l a s t i s c h e vervorming, dus JÜrgenson b l i j k t van deze v e r o n d e r s t e l l i n g t e z i j n uitgegaan.

Voor geconsolideerde grond z a l v k l e i n e r dan

3

z i j n .

D i t g e e f t dan g r o t e r e schuifspanningen !

B i j de spanningsverdeling t , g .v. de bovenbelasting moet nog opgeteld worden de spanningen t , g , v , h e t eigen gewicht van de grond.

u,

i s d a a r b i j g e l i j k aan h e t gewicht van de bovengelegen grond en i n analogie moet ook h i e r u X

=

az

(5)

i

-

3 - , '

Berekeningcvoorbeeld

Als voorbeeld van een berekening i s een p r o f i e l aangenomen met maten d i e b.v, i n Delfland veel voorkomen en voldoen

aan h e t reglement. Zie b i j l a g e i.

D i t p r o f i e l i s voor de berekening gezien a l s s u p e r p o s i t i e van een a a n t a l b e l a s t i n g e n z o a l s i n fig.2. Zie b i j l a g e 2 % '

Voor de berekening van de spanningen b i j de a f z o n d e r l i j k e *

b e l a s t i n g e n , z i e b i j l a g e 3 . Í

Berekend z i j n nu de spanningen i n de punten zoals i n b i j l a g e 1 z i j n getekend, de "hoofdpunten",

.

D i t waren de punten voor welke u i t Jürgenson b i j b e l a s t i n g

0

d i r e k t de spanningen bekend waren. Voor andere b e l a s t i n g e n dan

0

z i j n de spanningen i n de "hoofdpunten" berekend door i n t e r p o l a t i e o f , a l s d i t n i e t mogelijk was,door d i r e k t e berekening m e t be- hulp van de formules. Zie voor d i t l a a t s t e b i j l a g e

4.

D e o p t e l l i n g van de d i v e r s e spanningen i s gegeven i n

b i j l a g e

5.

Hierbij i s ook h e t eigen gewicht van de grond

i n rekening gebracht, Daarna i s van de normaalspanningen

een waterspanning afgetrokken. Deze waterspanning i s berekend a l s h y d r o s t a t i s c h e druk onder een f r e a t i s c h e l i j n ,

d i e r e c h t i s getrokken tussen boezem- en polderwater. De r e s u l t a t e n z i j n getekend i n c i r k e l s van Mohr i n bijalage

6.

Het b l i j k t . d a t punt O3 h e t ongunstigst r e s u l t a a t g e e f t wanneer men z i e t n a r de h e l l i n g van de l i j n door de oor- sprong d i e aan de c i r k e l r a a k t . Deze b l i j f t nog j u i s t onder de l i j n volgens

*

=

30' (

C

*

o ) e

(6)

I pilt

EO

-

El E2

DO

D1

D2

co

Cl :2

-

iiII U 2 T xz U U 7- 2 X x z U 0 'I 2 X xz U X 'Ixz I U U T' Z X

xz

U ' 2 X ff ' I X Z U' U T 9; X XZ U' U T 0 X xz U

z

x 1 + 5,8000 5,8000

O

1i.13-

5,6857

4,5025 ' 0,2674 5,4329 3,8106

0,671

i

5 ,

8000 5,8000

O

5,3476

4,0443 0,6i

19

4,9439 3,4580 1,0220 4,3500

4 ,

3500 O

4,2671

3,5241 0 y

9390

4

9 0472 3 ,A

651

31,3352 \ 2

-O

,

4000 0,4000 O

0,8184

0,6577 i y 3273 O,

9684

3,3452 0,7057 O O O O, 3

531

0,8377 0,291 1

O

O

0388

0,5548

o

,331

o

i<

4 +

o

,0500 O, 0500 O O

,

3267 O,

4884

0,281 1 O 9 3900 0

,

4995

0,3345 O O - 0

O

,0664

o

,

3626 0,3270 0,37 0,46

O O -0,0080

o

,

0063 -0, o1 O0 O, 0833 0,0235 O

,

0449 O O

O

-0,0039

o,

0652 0,0099 -0,0010 0,1110

O

0330 O O O 3,0001 0,0855 0,0337

O,

0080

0,3388

O,

0447 b i j l a g e

5

t o t a a l

5,45

O

8,lO

-0

,

O9

l0,68 0;35

6 $9

9941

$ 4 0 5,80

O

8,16

6,64

0,47

10,53

9,16

O

,82

4,35

O

7916

6,42 0,90

931

,6748

0,3963 O O O O ,0400

o,

5437

o

,I 363 0,3897

o,

3236 O ,8274 O O O

o,

1987 0,8343 0,3244 3

,

4480 3,9550

3,4995

/ 4 +

O

O O O, 0074

0,3848

-O

O

O, 0042 0,3058 0,0J?5 0,0370 0,3666 O,

0564

O,V?20 0,3461 0 3

O370

O, 0290 O ,2095 0,0730 O O

O

0,0573 0,2394

O

,0935 3,0383 3,3535 3,1356

(8)

.

I ,

I -

O

-

int

,0069 0,3754 0,0500

3 +

o,

go00 O ,9000

o

.

o,

9620

o

,

9976

o

,6076 0 9

9776

0 ¶ 9990 0,6310 2,0000 2,0000

O

3,7857

O

O '0

,

0004

O,

0853

o

,

0060

o,

os

0672 *

6 --

O ,4500 0,4500

O

0,2935 0,2536 0,4544 O 9 2723 0,2505 0,1585 O, 5000

O

,

5000 O 0

,

4647

O

I 3074

o

,

0685

0,4014

o

,265 3 0,3209 t o t a a l

(9)

t . -. ... c O

0,47

0,82

-

A O 1 9 1 3

1,66

-

o

O 0997 3,49 O 0

₉₇₇

1,22 b 2,OO

4,74

7955

L i 2 ,o0 5900 8,32 O 0942 0,8S