Adam WARZECHA1', Konrad WEINREB2', Tomasz WĘGIEL3'
MODYFIKACJA FUNKCJI PERMEANCJI SZCZELINY POWIETRZNEJ
UWZGLĘDNIAJĄCA EFEKTY NASYCENIOWE W SILNIKU ASYNCHRONICZNYM Z EKSCENTRYCZNOŚCIĄ WIRNIKA
Streszczenie. W artykule określono funkcję jednostkowej permeancji zastępczej szczeliny powietrznej silnika asynchronicznego uwzględniającą nieliniowość głównego obwodu magnetycznego.
Modyfikacja permeancji jednostkowej szczeliny polega na zmniejszaniu jej wartości w strefach nasycenia poprzez współczynnik nasycenia. Wyraża on stosunek permeancji wyznaczonej na podstawie geometrii szczeliny do permeancji wyznaczonej na podstawie rozkładu pola szczelinowego obliczonego MES. Proponowany algorytm wyznaczania rozkładu współczynnika nasycenia obejmuje również silniki o nierównomiernej szczelinie. Wyniki obliczeń wykonanych dla silnika asynchronicznego ilustrują wpływ ekscentryczności wirnika I nieliniowości obwodu magnetycznego na wartości współczynnika nasycenia. Można je wykorzystać w modelach obwodowych silników asynchronicznych.
MODIFICATION OF AIR GAP PERMEANCE FUNCTION
TAKING INTO ACCOUNT SATURATION EFFECTS IN ASYNCHRONOUS MOTOR WITH ROTOR ECCENTRICITY
Summary. In the paper an air gap permeance function taking into account nonlinearity of a magnetic circuit has been defined and described. Modification of the linear permeance consists in reducing its values in saturation areas by the saturation coefficient. It expresses a ratio of the linear permeance to the nonlinear one calculated by FEM. The proposed algorithm of calculating the saturation coefficient distribution is also correct for motors with non-uniform air-gap. The results obtained for an asynchronous motor show the influence of the rotor eccentricity and magnetic circuit nonlinearity on the saturation coefficient values. They can be used in circuit models of asynchronous motors.
Key words: asynchronous machines, eccentricity, permeance
1. W S T Ę P
Indukcyjności Uzwojeń w m odelach m aszyn elektrycznych sform ułowanych przy pominięciu spadków napięć m agnetycznych w stojanie i w irniku są wyznaczane na podstawie rozkładu perm eancji jednostkow ej szczeliny powietrznej. Jej w artości s ą równe odwrotności promieniowego w ym iaru szczeliny, w którym składow a prom ieniowa natężenia pola m agnetycznego jest w przybliżeniu stała. Z a le żą zatem wyłącznie od ukształtow ania powierzchni przyszczelinowej stojana i w irnika i zm ie niają się w raz z je g o położeniem . Poprawę dokładności m odelowania maszyn poprzez uw zględnienie napięć m agnetycznych w stojanie i wirniku uzyskuje się w wyniku wprow adzenia w spółczynnika nasycenia pom niejszającego perm eancję jednostkową. Ten praktyczny sposób m odelow ania nieliniowości obwodu m agnetycznego w ym aga znajomości rozkładu w spółczynnika nasycenia. W ogólnym przypadku je s t on w ieloargum entow ą funkcją:
w spółrzędnej punktu na obwodzie szczeliny, kąta położenia wirnika oraz wszystkich prądów żłobkowych. N ależy go zatem w yznaczać m etodam i polowym i dla wybranych stanów prądowych i pozycji w irnika. Celem pracy je s t przedstawienie algorytm u wyznaczania rozkładu nieliniowej pem eancji jednostkow ej i rozkładu współczynnika nasycenia na podstawie obliczeń polowych.
11 Dr inż., Katedra Maszyn i Napędów Elektrycznych, Politechnika Krakowska, 31-155 Kraków, ul. Warszawska 24, tel/fax +12 6282044 e-mail: pewarzec@cyf-kr.edu.pl.
21 Dr inż., Katedra Maszyn i Napędów Elektrycznych, Politechnika Krakowska, 31-155 Kraków, ul. Warszawska 24, tel/fax +12 6282044. e-mail: peweinre@cyf-kr.edu.pl.
3' Dr inż., Katędra Maszyn i Napędów Elektrycznych, Politechnika Krakowska, 31-155 Kraków, ul. Warszawska 24, tel/fax +12 6282044. e-mail: pewegiel@cyf-kr.edu.pl.
114 Warzecha A., Weinreb K., Węgiel T.
W yko n a n e obliczenia testujące zostaty potraktowane ja ko przygotowanie danych do uwzględnienia nieliniow ości obwodu m agnetycznego w obliczaniu stanów ustalonych silnika klatkow ego z ekscentrycznym w irnikiem .
2. P E R M E A N C JA JE D N O S T K O W A SZC ZELIN Y U W Z G LĘ D N IA JĄ C A N AP IĘC IA M A G N E T Y C Z N E W S T O JA N IE I W IR N IK U
Prawo przepływu zapisane dla zam kniętego konturu przechodzącego przez szczelinę w punktach o w spółrzędnych „xo” oraz „x” prowadzi do funkcji rozkładu indukcji w szczelinie w postaci:
B0(x,< p ,i)= n 0 A ( x ,( p ) [0 (x ,( p ,i)- U Fe(x ,< p ,i)-c (x 0,<p,i)], (1) przy czym
U Fe(x ,< p ,i)= U 2( x , < p ,i) + U j( x - x 0,(p,i), (2)
C (x0,ip ,i)= 0 ( x o,<p,i)- U 2(x 0,cp,i)- H 0(x0,<p,i)8(xo»(p) • (3) gdzie:
A(x,<p)= , 1 i - funkcja przew odności jednostkow ej szczeliny powietrznej, 6(x,<p)
® {x,cp,i) - rozkład przepływu w ypadkow ego stojana i wirnika,
U Fe(x,(p,i) - rozkłady napięć m agnetycznych w zębach Uz i w ja rzm ach Uj - stojana i wirnika,
x - w spółrzędna na obw odzie szczeliny, <p - kąt położenia wirnika, i = [ i,, ¡2, iN ] - w e kto r prądów obw odow ych stojana i wirnika.
W prow adzenie w spółczynnika nasycenia ja ko stosunku sum y napięć m agnetycznych do napięcia m agnetycznego w szczelinie:
k„(x,cp,i) = , ef c <P-i)/ r (4)
0 (x ,< p ,i)-U Fe(x,<p,i) pozwala za p isa ć w zó r (1) w postaci:
Bo( x , ( p , i ) = P o i r r 1^ [ 0 (x ><P.i ) - c (x o.<P.i ) k„(x,<p,i)]. (5>
M x.<P.O
W ystę p u ją cy w nim iloraz perm eancji jednostkow ej i w spółczynnika nasycenia m oże być traktow any ja ko perm eancja jednostkow a zastępczej szczeliny, uwzględniająca napięcia m agnetyczne w stojanie i w wirniku.
A„(x,<p,i) = A /(x--<pl . (6)
nV ’ M x .<P,0
G dy stała „C ” je s t różna od zera, w spółczynnik nasycenia w ystępuje dodatkow o w drugim składniku w zoru (5). W z ó r ten je s t przydatny do obliczania indukcji w szczelinie i w spółczynników indukcyjności uzwojeń z uw zględnieniem nieliniowości obwodu m agnetycznego, gdy znany je st rozkład w spółczynnika nasycenia. Dla konkretnego silnika m ożna go w yznaczyć stosując następujący algorytm obliczeń:
1 W yznaczenie rozkładu indukcji w szczelinie powietrznej m aszyny z w ykorzystaniem M ES dla zadanych prądów obw odow ych oraz kąta położenia wirnika.
2. O kreślenie rozkładu przepływu w ypadkow ego ja k o całki z zadanego okładu prądowego.
3. O bliczenie rozkładu perm eancji nieliniowej wg wzoru
B0(x,(p,i) (7)
. t 1 _________B0(x,(p,i)_________
„(x,<p,i) ^ e(x,(p,i) - C(xo,cp,i)kn(x,(p,i)
przy pom inięciu m ie jsc zerow ych m ianownika. W a rtość stałej „C" wynikająca z warunku bezźródłow ości pola m agnetycznego m oże być w tym przypadku określona wg wzoru (5) na podstaw ie w artości przepływu w m iejscu zerowym indukcji:
c ( x 0,<p,i)= ® f o ,(p,lł ; gdy Bo(x0) = 0. (8) M x 0,<P.')
W ystępujący we wzorze (7) iloraz k n(x)
Rys.1.
Fig. 1.
k n(x o) w pierw szym kroku obliczeń należy przyjąć równy 1.
A proksym acja rozkładu liniowej permeancji jednostkow ej szczeliny dla zadanych położeń wirnika. W tym punkcie obliczeń m ożna wykorzystać przybliżony sposób wyznaczania długości linii sił pola magnetycznego w szczelinie powietrznej dla ekscentrycznego ustawienia wirnika względem stojana przedstawiony w [4], Zakłada on prostopadły Uproszczony przekrój maszyny z ekscentrycznie
usytuowanym wirnikiem
Simplified cross-section of a motor with rotor eccentricities
kierunek w ychodzenia i w chodzenia linii sił pola m agnetycznego ze szczeliny powietrznej do m ateriału ferrom agnetycznego. Dla m iejsc na obwodzie szczeliny, gdzie występują żłobki, s ą dodaw ane poprawki 5is(x ),6 i r ( x ) .
5. O bliczenie rozkładu w spółczynnika nasycenia wg przekształconego wzoru (6).
6. Skorygow anie przyjętych w punkcie 3 w spółczynników i powtórzenie obliczeń.
7. U średnienie w artości w spółczynnika nasycenia na szerokości każdego zęba i aproksymacja otrzym anego rozkładu w zdłuż obwodu szczeliny.
Rozkład w spółczynnika nasycenia otrzym uje się też w prost z porównania rozkładów indukcji pola szczelinow ego w yliczonego przy m ateriale ferrom agnetycznym liniowym i nieliniowym, co je s t poprawne, gdy stała „C ” m a w artość rów ną zero. W yniki otrzym ane w ten sposób są je d n a k zaniżone z powodu skończonej w artości przyjm owanej przenikalności m agnetycznej materiału.
Przy określaniu reprezentatywnego zbioru zadawanych prądów obwodowych dla obliczeń polowych oraz w analizie w yników wygodnie je s t posługiw ać się amplitudami i fazam i prądów m agnesujących dla kolejnych harm o
nicznych, które s ą równoważne amplitudom i fazom harm onicznych przepływu wypadkowego. S zcze
gółowe związki przedstawiono w pracy [3], Ogólnie dla
p-
tej harm onicznej m ożna napisać:i m p = f ( < P , i l . i 2 . i N ) ; “ p = f ( < P . i l . ' 2 ... ¡n) ' ( 9 ) Powyższy algorytm został przetestowany w obliczeniach rozkładu nieliniowej permeancji . . , .... i w spółczynnika nasycenia dla silnika asynchro- Rys.2. Obwód magnetyczny modelowanego silnika k.atkow- ao , e kscentrvcznościa wirnika Fig.2. Magnetic Circuit of the modelled motor m cznego klatkowego z ekscentrycznoscią wirnika.
3. R O ZKŁAD Y PE RM E AN CJI N IELIN IO W E J I W S P Ó ŁC ZY N N IKA NASYCENIA S ILN IK A Z E K S C E N TR Y C ZN Y M W IR N IK IE M PRZY ZN AM IO N O W YM PRĄDZIE MAGNESUJĄCYM
W yznaczenie rozkładu nieliniowej perm eancji jednostkow ej dla konkretnego silnika w ym aga znajom ości geom etrii całego stojana i w irnika oraz charakterystyki m agnesowania zastosowanej blachy prądnicowej i rozkładu uzwojeń. Danymi do obliczeń polowych s ą prądy żłobkow e w yznaczane w m odelu obwodowym silnika oraz kąt położenia wirnika. O bliczenia rozkładu pola pow inny być prowadzone z do kła d no ścią ok. 1 %, co wiąże się bardzo dużą liczbą elementów siatki w MES. M ożliwa do uzyskania dokładność zależy od zastosow anego pakietu do modelowania pól
116 Warzecha A., Weinreb K., Węgiel T.
m agnetycznych. W używ anym przez autorów program ie M agN et 2D niezbędne było z tego w zględu uproszczenie kształtu żło b kó w oraz m odelow anie tylko jednej podziałki biegunowej. O graniczyło to m ożliw ości obliczeń z e k sce n tryczn o ścią w irnika do silników dw ubiegunowych w przypadku, gdy oś pola pokrywa się z o s ią e kscentryczności w irnika ( a , = yt = 0 ) lub gdy osie te s ą prostopadle ( a , = r t/2 ; ye = 0 ). W pierw szym przypadku należy zadać zerowe warunki brzegowe na w szystkich kraw ędziach zew nętrznych m odelow anego obwodu m agnetycznego, w drugim przypadku w arunek brzegow y w osi sym etrii obwodu należy zm ie nić na je dnorodny w arunek Neum anna. Dla pośrednich pozycji osi pola konieczne je s t m odelow anie pełnego obwodu m agnetycznego m aszyny.
A by oszacow ać w pływ nasycenia na rozkłady nieliniowej perm eancji jednostkow ej i w spółczynnika nasycenia silnika z ekscentrycznym w irnikiem przyjęto następujące uproszczenia:
- prądy fazow e stojana s ą sym etryczne, co je s t spełnione dla ekscentryczności dynam icznej, gdy Ye =<P ■
- stan nasycenia obwodu m agnetycznego silnika pracującego z poślizgiem nie w iększym niż zn a m ionow y je s t zbliżony do stanu przy idealnym biegu jałow ym , co pozw oliło ograniczyć się do obliczeń polowych przy m agnesow aniu silnika tylko przez prądy w stojanie.
Z am ieszczone w yniki d o tyczą w ysokonapięciow ego silnika asynchronicznego klatkow ego S Y Je-132s o m ocy 2000kW , 2980 obr/m in, jed n a para biegunów, 42 żłobki w stojanie, 36 w w irniku, uzwojenie dw uw arstw ow e, liczba żłobków na biegun i fazę 7, poskok żłobkow y 16, o obw odzie m agnetycznym przedstaw ionym na rys. 2. W irn ik przesunięty w prawo o 1/3 szerokości szczeliny (ekscentryczność = 0.33). W a rto ś ć prądu m agnesującego była równa prądowi biegu ja ło w e g o przy napięciu znam ionow ym .
3.1. Przypadek, gdy oś przepływ u je s t zg od na z o s ią ekscentryczności w irnika
Rozkład perm eancji jednostkow ej szczeliny nie uwzględniającej spadków napięć m agnetycznych w stojanie i w irniku dla silnika z w irnikiem o ekscentryczności równej 0.33 je s t przedstaw iony na rys.5. Przepływ o osi zgodnej z o sią ekscentryczności w ytw arza w tych w arunkach pole m agnetyczne o zdesym etryzow anym rozkładzie indukcji w szczelinie. M iejsce zerow e rozkładu indukcji je s t przesunięte w zględem m iejsca zerowego przepływu, a w artości e kstrem alne indukcji w d o datnim i ujem nym półokresie nie s ą jednakow e, rys.4. W tym przypadku stała C określona w zorem (8) m a w artość różną od zera. D okładność wyznaczenia perm eancji nieliniow ej wg wzoru (7) w zrasta, gdy rozkład indukcji je s t aproksym ow any szeregiem Fouriera, a rozkład przepływ u uwzględnia w pływ szerokość żłobków. O trzym any rozkład je s t przedstaw iony na rys.6. W a rtości perm eancji w zakresie zerowych w artości przepływu s ą w yznaczone z najm niejszą d o kła d no ścią i nie pow inny być uw zględniane w dalszych obliczeniach. R ozkład w spółczynnika nasycenia pod kolejnym i zębam i stojana obliczony wg wzoru (6) po uśrednieniu w obrębie każdego zęba i a proksym acji elim inującej rozrzut w yn ikó w je s t przedstaw iony na rys.7. C harakteryzuje się on podw yższonym i w a rto ścia m i w pobliżu osi poprzecznej do osi pola, co je s t efektem silniejszego nasycania ja rz m a stojana w stosunku do nasycenia w strefie zębów. Brak sym etrii tego rozkładu je s t spow odow any e k sce n tryczn o ścią wirnika.
Rys.3. Pole magnetyczne dla a 1 = ye = 0 Fig.3. Magnetic field for a i = ye = 0
rozkład Inddtcf fT}. przepływu [2000Am] rozkhd permeancji Irtowej[l/m]
Rys.4. Rozkład indukcji i przepływu dla a ^ = y e = O Fig.4. Magnetic field and air-gap MMF distributions for
« 1 = r e = 0
rozktad permeancji rtelnlowej [1/m]
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.S 0.7 0.8 0.0 1
a [pi rad]
Rys.5. Rozkład permeancji liniowej dla y e = 0 Fig.5. Distribution of linear permeance function
for ye = 0
w*M»0 oepdczynrea n—yoerie
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.0 1
x [pi rad]
Rys. 6. Rozkład permeancji nieliniowej dla otf = y e = 0 Fig. 6. Distribution of nonlinear permeance function
for a-i = ye = 0
B 10 12 14 19 IB 20 22
Rys. 7. Rozkład średnich wartości współczynnika na
sycenia pod zębami stojana dla a i = y 9 = 0 Fig. 7. Distribution of average values of saturation
coefficient at the stator teeth for a \ = ye = 0
3.2. Przypadek,gdy oś przepływ u je s t prostopadła do osi ekscentryczności wirnika
W tym przypadku rezultaty nie odbiegają od analogicznych przedstawionych powyżej z uw zględnieniem przesunięcia rozkładów o połowę podziałki biegunowej. Porównanie widm am plitudow ych rozkładu perm eancji liniowej (rys.5) i nieliniowej (rys.10) wskazuje, że nieliniowość m ateriału stojana i w irnika m agnesow anego sym etrycznym układem prądów nie w nosi nowych harm onicznych do rozkładu perm eancji jednostkow ej. M odyfikacji ulegają jedynie amplitudy harm onicznych perm eancji w yw ołanych ekscentrycznością.
118 Warzecha A., Weinreb K., Węgiel T.
Rys.8. Pole magnetyczne dla a = 71/2 ; ye = 0 Fig.8. Magnetic field for the a = rc/2; ye = 0
K lptlld)
Rys.9. Rozkład indukcji I przepływu dla a = 7t/2; ye = 0
Fig.9. Magnetic field and alr-gap MMF distrlbution forar = ; r /2 ; y e = 0
rozkład parmaancJI rtefnłowaj [1 An]
0.7 0.8 0.9
Rys. 10. Rozkład permeancjl nieliniowej dla a = rc/2; ye = 0
Fig. 10. Distrlbution of nonlinear permeance function for a = it/2 ; ye = 0
rozkład wapolczynnlka nuyteida
(w zaOa alatana)
Rys.11. Rozkład średnich wartości współczynnika nasycenia pod zębami stojana dla
a = n /2 ; ye = 0
Fig.11. Distribution of average values of saturation coefficient at the stator teeth for
a = ti/ 2; ye = 0
3.3. Przypadek z w irn ik ie m centrycznym
Dla w irnika usytuow anego centrycznie rozkład współczynnika nasycenia je s t sym etryczny niezależnie od położenia osi przepływu w ypadkowego. W yższe w artości w spółczynnika w ystępujące w osi poprzecznej do osi pola zarów no dla silnika o p=1, ja k i dla podobnego silnika o p=4 w ska zu ją na przew ażający w pływ nasycenia w jarzm ie stojana obu silników. Indukcja o m aksym alnej w a rto ści ok. 2T w ystępuje przy dnach żłobków o największym układzie prądowym . Efekt ten zanika przy prądzie m agnesującym zm niejszonym do ok. 50% w artości znam ionowej.
Rozkład w spółczynnika nasycenia m a w tedy sta łą w artość rów ną ok. 1.15.
4. P O D S U M O W A N IE
W prow adzenie funkcji jednostkow ej perm eancji szczeliny zastępczej uwzględniającej spadki napięć m agnetycznych w stojanie i wirniku pozwala na przybliżone m odelowanie nieliniowości głów nego obwodu m agnetycznego. Przy nierównom iernej szczelinie, gdy w ystępuje drugi składnik we w zorze (5), potrzebna je s t je szcze znajom ość funkcji rozkładu współczynnika nasycenia. Obie funkcje m ożna w yznaczyć m eto d ą m odelow ania pola m agnetycznego korzystając z, algorytmu zaproponow anego w pracy. Przedstaw ione rozkłady perm eancji nieliniowej i współczynnika nasycenia dla w ybranego silnika zasilanego od strony stojana znam ionowym prądem m agnesującym w ska zu ją na je g o popraw ność i m og ą być w ykorzystane do korekty indukcyjności obliczanych w m odelu obwodow ym . W celu uchwycenia ew entualnych dodatkowych efektów nasyceniow ych w silniku z ekscentrycznością w irnika należałoby w yznaczyć te funkcje na podstawie pola w ym uszonego zarów no prądam i stojana, ja k i wirnika obliczonym i dla poślizgu różnego od zera. N astępnym etapem m oże być aproksym acja wyznaczonych wieloargumentowych funkcji rozkładu perm eancji i w spółczynnika nasycenia względem wybranych zm iennych.
LITERA TURA
1. D ąbrowski M.: Projektow anie m aszyn elektrycznych prądu przem iennego, W N T W arszawa 1988.
2 .S obczyk T.J., Drozdow ski P., Inductances o f electrical m achine winding with a nonuniform air- gap, A rc h iv fu r E lektrotechnik, Vol. 76, 1993, pp.213-218.
3 .W a rzecha A.: W yznaczanie efektów nasyceniowych w silniku asynchronicznym na podstawie obliczeń potowych. S ym pozjum M aszyn Elektrycznych SM E 2000, M odelowanie maszyn elektrycznych, Prace Naukow e Instytutu M aszyn, Napędów i Pom iarów Elektrycznych Politechniki W rocław skiej, zeszyt 50, seria Studia i M ateriały nr 22, W rocław 2000, str.198-206.
4 .W ę g ie l T., W e in reb K., Sułow icz M.: W p ływ harm onicznych żłobkowych przewodności na kształt w idm a prądu stojana w m aszynie indukcyjnej z ekscentrycznym wirnikiem , Sym pozjum Maszyn Elektrycznych SM E 2000, M odelowanie m aszyn elektrycznych, Prace Naukowe Instytutu M aszyn, Napędów i Pom iarów Elektrycznych Politechniki W rocławskiej, z. 50, s. Studia i M ateriały nr 22, W ro c ła w 2000, str.237-244.
Recenzent; Prof. dr hab. inż. Piotr Wach
W płynęło do Redakcji dnia 20 lutego 2001 r.
Abstract
In the paper an air gap perm eance function taking into account nonlinearity o f a magnetic circuit has been defined and described. M odification o f the linear perm eance consists in reducing its values by the saturation coefficient. It expresses a ratio o f the linear perm eance to the nonlinear perm eance calculated by FEM. T he algorithm o f calculating the saturation coefficient distribution fo r a m oto r w ith ecce n tric rotor consists o f the following steps:
- calculation o f the m agnetic field distribution in o f the m otor air gap by FEM, - calculation o f the total M MF distribution along the circum ference o f the air gap, - determ ination o f the nonlinear perm eance distribution according to the relation (7) - determ ination o f the linear perm eance based on the air gap dim ension,
- calculation o f the saturation coefficient distribution according to the relation (6).
The above distributions have been determ ined fo r a large power asynchronous m otor (Fig.2.) supplied by a set o f the stator currents only. The results for two positions o f the total MMF have
120 Warzecha A., Weinreb K., Wçgiel T.
been show n in the figures 6,7,10,11. In the both cases the saturation coefficient values increase in the region across the M M F axis. It is an e ffe ct o f the saturation in the sta to r yoke, w hich dom inates over the saturation into the sta to r and rotor teeth. The asym m etrical distribution o f the saturation coe fficie nt results from the rotor eccentricity. T he obtained results can be used in the asynchronous m otor circuit m odels o f including the described phenom enon.
