Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2014/15

(1)

9.04.2015 (4 godziny 8–12, grupa 1) – omówienie kolokwiów nr 4 i 007 Zajęcia z 2.04.2015 przeniesione na 9.04.2015 godz. 10-12, s. 601. Zapraszam studentów grupy 2 na zajęcia 9.04.2015, gdyż w grupie 2 nie będzie zaplanowane omawianie tych kolokwiów.

Ćwiczenia wtorkowe 14, 21, 28.04.2015 (obie grupy) piątek 10.04.2015 (grupa 2), czwartek 16.04.2015 (8-10 grupa 1)

101. Rozwiązać nierówności a)√

x + 2√

x − 2 <√ x²− 1 b) √

x²+ 27 > 2x c) x²1

x d) x³1 x

e) xx²+ 8x⁸¬ xx²+ x⁸ f ) √

4x − 4 − x²¬ x²⁰⁰⁷+ 2007 g) √

x²+ 2007 ¬√

3x²+ 1999 h) ||||||x| − 1| − 1| − 1| − 1| − 1| ¬1

2 i) √

x²− 2x + 1 +√

x²− 4x + 4 <√

x²+ 2x + 1 +√

x²− 8x + 16 j) x²− 25< 24

k) (x + 5)²⁰⁰⁷+ (x + 5)³< (3x + 1)²⁰⁰⁷+ (3x + 1)³ l) (x²+ 1)^x+2¬ (x²+ 1)^x²

102. Która z liczb jest większa a) 123456 · 123458 czy 123457² b) 1000! czy 1000¹⁰⁰⁰

c) 1000! czy 100⁹⁰⁰ d) 1000! czy (500!)²

e) 2007 666

!2007

czy 2007 666

!666

f ) √⁴

83 − 2²⁰⁰⁷ czy √⁴

83 − 2⁶⁶⁶ g) √⁴

79 − 2²⁰⁰⁷ czy √⁴

79 − 2⁶⁶⁶ h) √⁴

79 − 3²⁰⁰⁷ czy √⁴

79 − 3⁶⁶⁶ i) √⁴

79 − 3²⁰⁰⁷ czy√⁴

79 − 3⁶⁶⁷ j) 2^100! czy 9^99!

k) 2¹⁰⁰⁰ czy 3⁷⁰⁰ l) 5⁴⁴⁴ czy 3⁷⁰⁰ m) 17

20 czy 16 21

(2)

n) 100

7 czy 150 11 o) 8⁴⁴⁴

17¹⁷ czy 16³³³ 19¹⁷ p) 17⁶⁶⁷

3333⁴+ 6666⁴ czy 17⁶⁶⁶ 3333⁴ q) 2007

666

!

czy 2007 667

!

r) 2007 666

!

czy 2008 666

!

s) 2007 1666

!

czy 2007 1667

!

t) 2007 1666

!

czy 2008 1666

!

u) 1

√37 − 6 czy√ 37 + 6

v) 1

√37 − 6 czy 12

w) 1

√37 − 6 czy 1

√97 − 10 x) √

37 − 6 czy 1 10 y) √

37 − 6⁶⁶⁶ czy 1 100¹⁰⁰ z)

9 4

27/8

czy

27 8

9/4

Uprościć wyrażenia 103. 4²⁺^log²⁷

104. log^√₃2 · log₅9 105. log₆2 + log₃₆9

106. log_m(mn) · log_n(mn)

log_m(mn) + log_n(mn) dla liczb naturalnych m i n większych od 1.

107. log₍^√₂₋₁₎(√ 2 + 1) 108. 2log³5 −5log³2

109. Dla ilu trójek liczb rzeczywistych dodatnich a, b, c różnych od 1 spełniona jest podana równość? Dla wszystkich? Dla żadnej? Dla niektórych (podać 3 przykłady, a jeśli przykładów jest mniej niż 3, podać wszystkie)?

a) log_a(bc) = (log_ab) + log_ac b) log_a(bc) = (log_ab) · log_ac c) log_a(b + c) = (log_ab) · log_ac

(3)

d) log_a(b + c) = (log_ab) + log_ac e) (log_ab) · log_bc = log_ac f ) log_a(b^c) = c · log_ab

110. Bez użycia kalkulatora rozstrzygnąć, która liczba jest większa:

a) log₂7 czy log₃7 b) log_0,27 czy log_0,37 c) log₂7 czy log_0,37 d) log_0,27 czy log₃7 e) log₂0,7 czy log₃0,7 f ) log_0,20,7 czy log_0,30,7 g) log₂0,7 czy log_0,30,7 h) log_0,20,7 czy log₃0,7 i) log₉27 czy log₄8 j) log₃8 czy log₂5 k) log₅127 czy log₁₀999 l) log₃100 czy log₂10

m) (log₂3) · log₅7 czy (log₂7) · log₅3 n) (log₂3) · log₇5 czy (log₇9) · log₁₆25 o) log₂3 czy log₃5

p) log₃7 czy log₅19 q) log₂3 czy log₅13 r) log₃5 czy log₁₅56

Wskazówka do kilku ostatnich pytań:

Wiadomo, że wartość ułamka nie zmieni się, jeżeli licznik i mianownik pomnożymy przez tę samą liczbę różna od zera.

Podobnie, wartość logarytmu nie zmieni się, jeżeli podstawę i liczbę logarytmowaną ...

111. Czy jest prawdą, że log₂(a + b) = log₂a + log₂b, jeżeli a) a = 2, b = 2

b) a = 3/2, b = 3 c) a = 2, b = 3 d) a = 3/2, b = 2 e) a = 5, b = 5/4

112. Czy jest prawdą, że a · log₇b = b · log₇a, jezeli a) a = 2, b = 3

b) a = 2, b = 4 c) a = 2, b = 5 d) a = 3, b = 4

e) a = 64/27, b = 256/81

113. Rozwiązać nierówności a) log_2x(x²+ 1) ¬ log_2x(x²+ 3x) b) (x²+ x + 1)^3x> (x²+ x + 1)^x+1 c) x⁴− 5x²+ 4 < 0

d) log₂x + log_x4 < 3

(4)

114. Na potrzeby tego zadania, dla liczby rzeczywistej a > 1 zdefiniujemy średnią liczb rzeczywistych x, y większych od 1, następującym wzorem

S_a(x, y) = a

√log_ax·log_ay.

Podać wartości następujących liczb w postaci liczby całkowitej lub ułamka nieskracalnego w przypadku liczb wymiernych. Wpisać literkę N w przypadku liczb niewymiernych.

a) S₈(2, 16) = ... ; b) S₉(2, 16) = ... ; c) S₈(3, 81) = ... ; d) S₉(3, 81) = ... .

Oznaczenia: Przypominam, że [x] oraz {x} oznaczają odpowiednio część całkowitą i część ułamkową liczby rzeczywistej x.

115. Podać przykład takiej liczby rzeczywistej x, że a) [x] = −4, {x} < 1/10

b) [x] = −4, {x} > 9/10 c) 2 · {x} 6= {2x}, x < 0

d) 2 · {x} = {5x}, x > 10, x 6∈_N

116. Wyznaczyć wszystkie takie liczby rzeczywiste a, że dla dowolnej liczby rzeczy- wistej x zachodzi równość [x + a] = [x] + a .

117. Podać przykład takich liczb rzeczywistych x, y, że a) [x + y] 6= [x] + [y]

b) [2x + y] = 2[x] + [y] + 2 c) [x + y] = {x} + {y}, x,y > 0 d) [xy] = [x] · [y] + 10

118. Uporządkować podane liczby w kolejności niemalejącej.

sin50^◦, cos80^◦, sin170^◦, cos200^◦, sin250^◦, cos280^◦.

119. Naszkicować wykres funkcji f zdefiniowanej wzorem a) f (x) = sin2x

b) f (x) = cos3x c) f (x) = sin(x/2) d) f (x) = sin²x e) f (x) = cos²x

f ) f (x) = (1 + cos2x)/2 g) f (x) = (1 − cos2x)/2 h) f (x) = 3 + 5cosx i) f (x) = sinπx

120. Uprościć wyrażenie, w którym n przebiega liczby naturalne.

a) sinnπ b) sinn²π c) cosnπ d) cosn³π e) cos(n²+ n)π

(5)

f ) sin((2n + 1)π/2) g) sin((2n − 1)π/2)

Dopuszczalne odpowiedzi: 1, 0, (−1)ⁿ, (−1)ⁿ⁺¹. 121. Która liczba jest większa?

a) sin1^◦ czy sin1 b) sin2^◦ czy sin2 c) sin3^◦ czy sin3 d) sin4^◦ czy sin4 e) sin5^◦ czy sin5 f ) sin6^◦ czy sin6

122. Rozwiązać równania i nierówności.

a) sinx 1/2 b) cosx ¬ 1/2 c) sinx cosx d) ^h4sin²xⁱ= 2 e) {cos²x} = 3/4 f ) √

1 + cosx =√

2 · cos(x/2) g) sin²x + cos⁴x = cos²x + sin⁴x

123. Jaką najmniejszą i największą wartość przyjmuje wyrażenie sinx · cosx · cos2x · cos4x · cos8x · cos16x ?

124. Dla funkcji f zdefiniowanej podanym wzorem oraz dla podanego zbioru Z roz- strzygnąć, czy funkcja f jest różnowartościowa na zbiorze Z oraz podać zbiór wartości funkcji f na zbiorze Z.

a) f (x) = x², Z = [−3, −1) b) f (x) = x², Z = (−3, 4]

c) f (x) = x², Z = [−3, −2] ∪ [3, 5]

d) f (x) = x², Z = (−3, −2] ∪ [3, 4) e) f (x) = x², Z = (0, 3)

f ) f (x) = x²− 2x + 1, Z = (0, 3) g) f (x) = x²+ 2x + 1, Z = (0, 3) h) f (x) = 2^x, Z = (−3, 3) i) f (x) = |2^x− 3|, Z = (−3, 3) j) f (x) = |2^x− 5|, Z = (−3, 3)

125. Niech

f (x) =

x +1 2

− x

.

Naszkicować wykres funkcji f oraz wykresy następujących funkcji a) f₁(x) = f (2x)

b) f₂(x) = f (x/2) c) f3(x) = 2f (x) d) f₄(x) = f

x +1 4

e) f₅(x) = f

x +1 2

(6)

f ) f₆(x) = f

x −1 2

g) f₇(x) =1

2− f (x) h) f₈(x) = f

x −1 4

i) f₉(x) =

f

x −1 4

j) f10(x) =f (2x) k) f₁₁(x) = f (x) + x2 l) f₁₂(x) = 5f (x) + 3x

126. Czy funkcja f zdefiniowana podanym wzorem jest parzysta? Nieparzysta?

a) f (x) = 0 b) f (x) = 37 c) f (x) = 2x d) f (x) = 2x²+ 1 e) f (x) = 14x⁵+ 6x³ f ) f (x) = x⁶+ x⁵

g) f (x) = sin³⁷x · cos²⁴x h) f (x) = sin²⁴x · cos³⁷x i) f (x) = x¹¹¹· sin²⁴x · cos³⁷x j) f (x) = x¹¹¹· sin³⁷x · cos²⁴x k) f (x) = x⁶⁶⁶· sin²⁴x · cos³⁷x l) f (x) = x⁶⁶⁶· sin³⁷x · cos²⁴x m) f (x) = sinx³⁷

n) f (x) = sinx²⁴ o) f (x) = cosx³⁷ p) f (x) = cosx²⁴ q) f (x) = (x²+ 1)sinx r) f (x) = (x²+ 1)cosx s) f (x) = (x³+ 1)sinx t) f (x) = (x³+ 1)cosx

127. Dla każdej z liczb i ∈ {1,2,...,13} wskazać taką liczbę j ∈ {1,2,...,13}, że dla dowolnej liczby rzeczywistej x zachodzi równość f_j(f_i(x)) = x.

f₁(x) = 37 + x f₂(x) = 37 − x f₃(x) = x − 37 f₄(x) = 3x − 2 f₅(x) = 3x − 4 f₆(x) = 3x − 6 f7(x) =x

3+ 2 f₈(x) =x

3+2 3

(7)

f₉(x) =x 3+4

3 f₁₀(x) = −5

4x +3 4|x|

f₁₁(x) = −5 4x −3

4|x|

f₁₂(x) =5 4x +3

4|x|

f₁₃(x) =5 4x −3

4|x|

128. Funkcja f spełnia warunki

f (3 − x) = f (x), f (6 − x) = f (x)

dla dowolnej liczby rzeczywistej x. Dowieść, że funkcja f jest okresowa i parzysta.

Ćwiczenia 16.04.2015(10-12), 23.04.2015(4 godziny 8-12) (grupa 1)

Dla studentów grupy 2 są to zadania do samodzielnego rozwiązania, jednak sugeruję stu- dentom grupy 2 przyjście na zajęcia grupy 1.

129. Zapisać zbiór rozwiązań podanej nierówności w postaci przedziału lub uporząd- kowanej sumy przedziałów (nie używać różnicy zbiorów).

a) (x − 1) · (x − 2) · (x − 3) > 0, ... ; b) (x − 1)²· (x − 2) · (x − 3) > 0, ... ; c) (x − 1) · (x − 2)²· (x − 3) > 0, ... ; d) (x − 1) · (x − 2) · (x − 3)²> 0, ... .

a) (|x| − 1)²⁰¹³· (|x| − 2)²⁰¹³> 0, ... ; b) (|x| − 1)²⁰¹³· (|x| − 2)²⁰¹⁴> 0, ... ; c) (|x| − 1)²⁰¹⁴· (|x| − 2)²⁰¹³> 0, ... ; d) (|x| − 1)²⁰¹⁴· (|x| − 2)²⁰¹⁴> 0, ... .

a) |x²− 17| < 8, ... ; b) |x³− 14| < 13, ... ; c) |x⁴− 40| < 41, ... ; d) |x⁵− 16| < 16, ... .

a) (x²− 1)(x − 2) < 0, ... ; b) (x − 2)(x²− 4) < 0, ... ; c) (x²− 4)(x − 7)²< 0, ... ; d) (x − 7)(x²− 9)²< 0, ... .

(8)

a) (x²− 25) · (x³− 27) > 0, ... ; b) (x⁵− 32) · (x³− 27) > 0, ... ; c) (x⁵− 32) · (x⁴− 16) > 0, ... ; d) (x²− 25) · (x⁴− 16) > 0, ... .

a) (|log₅x| − 1)²< 1, ... ; b) (|log₅x| − 1)³< 1, ... ; c) (|log₅x| − 2)⁴> 1, ... ; d) (|log₅x| − 2)⁵> 1, ... .

a) log_x4 < 2, ... ; b) log_x4 < −2, ... ; c) log_x2 > 2, ... ; d) log_x2 > −1, ... .

136. Niech A(n) = 4⁴ⁿ, B(n) = 256¹⁶ⁿ, C(n) = log₂A(n), D(n) = log₂B(n), E(n) = log_C(n)D(n). Podać w postaci liczby całkowitej lub ułamka nieskracalnego:

a) E(100) = ... ; b) E(200) = ... ; c) E(300) = ... ; d) E(400) = ... .

137. Dla podanej liczby n przyjąć za podstawę logarytmu a = √ⁿ

n, a następnie zapisać liczbę log_a2 w postaci liczby całkowitej lub ułamka nieskracalnego

a) n = 2, log_a2 = ... ; b) n = 4, log_a2 = ... ; c) n = 8, log_a2 = ... ; d) n = 16, log_a2 = ... .

138. Dla podanej liczby a wskazać taką liczbę rzeczywistą dodatnią b, aby spełniona była równość 1 + (log₅a) + log₅b = log₅(2a²+ 2b²).

a) a = 2, b =... ; b) a = 3, b =... ; c) a = 4, b =... ; d) a = 6, b =... .

(9)

139. Dla podanych liczb a, b podać taką liczbę rzeczywistą c, aby zachodziła równość log_ab = log_bc.

a) a = 3, b = 9, c =... ; b) a = 9, b = 3, c =... ; c) a = 5⁴, b = 5⁶, c =... ;

d)

a = 7

⁵⁴,

b = 7

⁵⁶,

c =...

.

140. Podać zbiór rozwiązań nierówności zapisując go w postaci przedziału lub sumy przedziałów.

a) 1

2< log_x8 < 3 ... ; b) −1

2< log_x9 < 2 ... ; c) −2 < log_x4 <1

3 ... ; d) −3 < log_x64 < −2 ... .

141. Dla podanych liczb a, b zapisać w postaci liczby całkowitej lub ułamka nie- skracalnego wartość liczby log_xy, gdzie x = log_ab oraz y = log_ba. Napisać literkę N, jeżeli liczba ta jest niewymierna.

a) a = 2²²⁴, b = 2²²⁶, log_xy =... ; b) a = 2²²⁷, b = 2²²¹⁴, log_xy =... ; c) a = 2²²⁹, b = 2²²¹², log_xy =... ; d) a = 2²²¹⁶, b = 2²²³², log_xy =... .

142. Podać wartość wyrażenia, gdzie [x] oznacza część całkowitą liczby x.

a) ^hlog^√₂6ⁱ= ... ; b) ^hlog^√₂11ⁱ= ... ; c) ^hlog^√₂12ⁱ= ... ; d) ^hlog^√₂88ⁱ= ... .

a) ^hlog₂√ 6 −√

5ⁱ= ... ; b) ^hlog₂√

11 −√

10ⁱ= ... ; c) ^hlog₂√

31 −√

30ⁱ= ... ; d) ^hlog₂√

66 −√

65ⁱ= ... .

(10)

a)

"

1 4 −√

15

#

= ... ;

b)

"

√ 1 17 − 4

#

= ... ; c)

"

1 5 − 2√

6

#

= ... ;

d)

"

1 7 − 5√

2

#

= ... .

145. Dla podanej liczby naturalnej n podać największą liczbę rzeczywistą x < 100 taką, że {log₂x} = {log₂n}, gdzie {y} oznacza część ułamkową liczby y.

a) n = 11, x = ... ; b) n = 21, x = ... ; c) n = 41, x = ... ; d) n = 124, x = ... .

146. Podać przykład liczby niecałkowitej x spełniającej podane równanie, gdzie [y]

oraz {y} oznaczają odpowiednio część całkowitą i ułamkową liczby y. Wynik podać w postaci ułamka dziesiętnego skończonego lub okresowego (taka postać odpowiedzi jest częścią zadania, więc wyniki poprawne, ale w innej postaci, nie będą uznawane).

a) [x] = 3{x}, x =... ; b) [x] = 4{x}, x =... ; c) [x] = 5{x}, x =... ; d) [x] = 6{x}, x =... .

147. Dla podanej miary kąta α podać najmniejszą dodatnią miarę kąta β różną od α i spełniającą równość sinα = sinβ.

a) α = 100^◦, β =... ; b) α = 50^◦, β =... ; c) α = 200^◦, β =... ; d) α = 90^◦, β =... .

148. Dla podanej miary kąta α podać najmniejszą dodatnią miarę kąta β spełniającą równość sinα + sinβ = 0.

a) α = 10^◦, β = ... ; b) α = 100^◦, β = ... ; c) α = 200^◦, β = ... ; d) α = 300^◦, β = ... .

(11)

149. Niech f1:R→R będzie funkcją określoną wzorem f1(x) = |x − 3|. Funkcje fn

dla n 2 określamy rekurencyjnie wzorem

f_n(x) = f₁(f_n−1(x)) . Podać wartość

a) f1000(1001) =... ; b) f1000(2002) =... ; c) f1000(3003) =... ; d) f1000(4004) =... .

a) ^hlog₁₀log₁₀10³!ⁱ= ... ; b) ^hlog₁₀log₁₀10⁵!ⁱ= ... ; c) ^hlog₁₀log₁₀10¹⁰!ⁱ= ... ; d) ^hlog₁₀log₁₀10²⁰!ⁱ= ... .

151. Funkcja f :R→R jest określona wzorem f (x) = |x²− 25|. Zapisać w postaci przedziału zbiór wartości funkcji f na podanym przedziale Z.

a) Z = (−7, −4), ... ; b) Z = (−6, −1), ... ; c) Z = (−4, 6), ... ; d) Z = (−1, 1), ... .

152. Funkcja f :_R→_Rjest określona wzorem f (x) = |log₂x|. Zapisać w postaci prze- działu zbiór wartości funkcji f na podanym przedziale Z.

a) Z = (0, 1/32), ... ; b) Z = (1/64, 1/2), ... ; c) Z = (1/8, 4), ... ; d) Z = (2, 16), ... .

153. Dla podanej miary kąta α podać najmniejszą dodatnią miarę kąta β spełniającą równość cosα = sinβ.

a) α = 10^◦, β = ... ; b) α = 50^◦, β = ... ; c) α = 100^◦, β = ... ; d) α = 200^◦, β = ... .

a) ^hlog₂log₂13⁷ⁱ= ... ; b) ^hlog₂log₂13¹¹ⁱ= ... ; c) ^hlog₂log₂13¹⁵ⁱ= ... ; d) ^hlog₂log₂13²⁵ⁱ= ... .

(12)

155. Podać największą liczbę naturalną n, dla której podana równość jest prawdziwa.

Symbol [x] oznacza część całkowitą liczby x.

a) [log₂n] = 5, n = ... ; b) [log₃n] = 3, n = ... ; c) [log₅n] = 2, n = ... ; d) [log₇n] = 1, n = ... .

a) log_x√

2 − 1> −1, ... ; b) log_x2 −√

3> −1, ... ; c) log_x√

5 − 2< −1, ... ; d) log_x3 −√

8< −1, ... .

157. Dla podanej liczby a podać zbiór rozwiązań nierówności log_ax 2 zapisując go w postaci przedziału lub sumy przedziałów.

a) a = 3, ... ; b) a = 1/4, ... ; c) a = 1/5, ... ; d) a = 6, ... .

158. Dla podanej liczby a podać zbiór rozwiązań nierówności log_xa 2 zapisując go w postaci przedziału lub sumy przedziałów.

a) a = 3, ... ; b) a = 1/4, ... ; c) a = 1/5, ... ; d) a = 6, ... .

a)

"

1 6 −√

34

#

= ... ;

b)

"

1 6 −√

35

#

= ... ;

c)

"

1 6 −√

37

#

= ... ; d)

"

1 6 −√

39

#

= ... .

(13)

a) (3 − log₂x)²< 1, ... ; b) (3 − log₂x)³> 1, ... ; c) (3 − log₂x)⁴> 1, ... ; d) (3 − log₂x)⁵< 1, ... .

a) log_x8 ¬ 2, ... ; b) log_x8 1/2, ... ; c) log_x8 ¬ −2, ... ; d) log_x8 −1/2, ... .

Ćwiczenia 17, 24.04.2015 (grupa 2)

Dla studentów grupy 1 są to zadania do samodzielnego rozwiązania, jednak sugeruję stu- dentom grupy 1 przyjście na zajęcia grupy 2.

a) (x − 1)²⁰¹³· (x − 2)²⁰¹³> 0, ... ; b) (x − 1)²⁰¹³· (x − 2)²⁰¹⁴> 0, ... ; c) (x − 1)²⁰¹⁴· (x − 2)²⁰¹³> 0, ... ; d) (x − 1)²⁰¹⁴· (x − 2)²⁰¹⁴> 0, ... .

a) |x − 3| < 1, ... ; b) |x − 4| > 2, ... ; c) |x − 5| > 6, ... ; d) |x − 6| < 5, ... .

a) (x − 1)(x − 2) < 0, ... ; b) (x − 2)(x − 4)²< 0, ... ; c) (x − 4)²(x − 7) < 0, ... ; d) (x − 7)²(x − 9)²> 0, ... .

a) (x − 4)(x − 9) > 0, ... ; b) (x − 4)(x²− 9) > 0, ... ; c) (x²− 4)(x − 9) > 0, ... ; d) (x²− 4)(x²− 9) > 0, ... .

(14)

a) (log₂x − 2) · (log₃x − 3) > 0, ... ; b) (log₂x − 3) · (log₃x − 2) > 0, ... ; c) (log₂x − 3)³· (log₃x − 2)²> 0, ... ; d) (log₂x − 3)²· (log₃x − 2)³> 0, ... .

167. Podać taką liczbę x, że

a) log₂3 = 2 · log₂x, x = ... ; b) log₂3 = 2 + log₂x, x = ... ; c) 3 · log₃2 = log₃x, x = ... ; d) 3 + log₃2 = log₃x, x = ... .

168. Niech A(n) = 4⁴ⁿ, B(n) = 256⁶⁴ⁿ, C(n) = log₂A(n), D(n) = log₂B(n), E(n) = log_C(n)D(n). Podać w postaci liczby całkowitej lub ułamka nieskracalnego:

a) E(100) = ... ; b) E(200) = ... ; c) E(300) = ... ; d) E(400) = ... .

169. Podać wartość podanej liczby w postaci liczby całkowitej lub ułamka nieskracal- nego, gdy podana liczba jest wymierna. Napisać N, jeśli podana liczba jest niewymierna.

a) log₂log₂4⁴⁴= ... ; b) log₂log₂4⁴⁵= ... ; c) log₂log₂4⁴⁶= ... ; d) log₂log₂4⁴⁸= ... .

170. Dla podanych liczb rzeczywistych x i y wskazać taką liczbę rzeczywistą dodat- nią a, aby prawdziwa była równość log_ax = y.

a) x = 16, y = 2, a =... ; b) x = 16, y = −4, a =... ; c) x = 2, y = 4, a =... ; d) x = 2, y = −1/4, a =... .

171. Podać zbiór rozwiązań nierówności zapisując go w postaci przedziału lub sumy przedziałów.

a) −1

2< log₄x <3

2 ... ; b) 1

3< log₆₄x <1

2 ... ; c) −3

5< log₃₂x <4

5 ... ; d) −3

2< log₉x <1

4 ... .

(15)

172. Niech

n

Y

i=m

a_i= a_m· a_m+1· a_m+2· a_m+3· ... · a_n−1· a_n.

Zapisać wartość podanego iloczynu w postaci liczby całkowitej lub ułamka nieskra- calnego, jeśli liczba jest wymierna. Napisać literkę N, jeżeli liczba jest niewymierna.

a) ^Q⁴

i=1

log_(3i+1)(3i + 4) =... ; b) ^Q⁴

i=2

log_(3i+1)(3i + 4) =... ; c) ¹⁵^Q

i=2

log_(3i+1)(3i + 4) =... ; d) ^Q¹⁶

i=2

log_(3i+1)(3i + 4) =... .

173. Dla podanej liczby n podać najmniejszą liczbę całkowitą dodatnią m 6= n taką, że {log₂m} = {log₂n}, gdzie {x} oznacza część ułamkową liczby x.

a) n = 48, m = ... ; b) n = 50, m = ... ; c) n = 51, m = ... ; d) n = 52, m = ... .

a) ^hlog^√₂3ⁱ= ... ; b) ^hlog^√₃5ⁱ= ... ; c) ^hlog^√₂5ⁱ= ... ; d) ^hlog^√₂10ⁱ= ... .

175. Dla podanej liczby n podać najmniejszą liczbę rzeczywistą x > 1 taką, że {log₂x} = {log₂n}, gdzie {y} oznacza część ułamkową liczby y.

a) n = 48, x = ... ; b) n = 5, x = ... ; c) n = 20, x = ... ; d) n = 18, x = ... .

176. Dla podanej liczby naturalnej k podać największą liczbę naturalną n taką, że [log_kn] = [log_k27], gdzie [x] oznacza część całkowitą liczby x.

a) k = 2, n = ... ; b) k = 3, n = ... ; c) k = 4, n = ... ; d) k = 5, n = ... .

(16)

177. Podać zbiór rozwiązań równania w postaci przedziału lub sumy przedziałów.

Symbol [y] oznacza część całkowitą liczby y.

a) [|log₃log₂x|] = 0, ... ; b) [|log₂log₃x|] = 0, ... ; c) [|log₃log₃x|] = 1, ... ; d) [|log₂log₂x|] = 3, ... .

178. Dla podanej miary kąta α podać najmniejszą dodatnią miarę kąta β różną od α i spełniającą równość cosα = cosβ.

a) α = 100^◦, β =... ; b) α = 180^◦, β =... ; c) α = 300^◦, β =... ; d) α = 400^◦, β =... .

179. Funkcja f jest zdefiniowana wzorem f (x) = {log₂₇x}, gdzie {y} oznacza część ułamkową liczby y. Zapisać zbiór wartości funkcji f na podanym przedziale w postaci przedziału lub uporządkowanej sumy przedziałów (nie używać różnicy zbiorów).

a) 1/3,√

3, ... ; b) (3, 81), ... ; c) 9, 27√

3, ... ; d) 27√³

3, 81√

3, ... .

180. Dla podanych liczb m, n podać najmniejszą dodatnią miarę kąta α (w stopniach) spełniającą równanie sin(mα) = sin(nα).

a) m = 2, n = 3, α = ... ; b) m = 3, n = 7, α = ... ; c) m = 4, n = 5, α = ... ; d) m = 5, n = 13, α = ... .

5.05.2015 – Kolokwium nr 2

Na kolokwiach 2, 5 i 008 obowiązuje materiał zadań 1-180. Pomocne mogą być też quizy na Moodlu. Konsultacje 5.05.2015 w godz. 7:00–10:00, pok. 313.

6/8.05.2015 (obie grupy) – omówienie kolokwium nr 2 Przypomnienie: W środę 6.05.2015 będzie czwartek.

11.05.2015 (grupa 2) – powtórka przed kolokwiami nr 5 i 008 Przypomnienie: W poniedziałek 11.05.2015 będzie piątek.

12.05.2015 – Kolokwia nr 5 i 008