T WIERDZENIA O STYCZNYCH DO OKRĘGU
Definicja
Styczna do okręgu jest to prosta posiadająca tylko jeden punkt wspólny z okręgiem.
Można mówić o stycznych do innych krzywych, ale definicja takich stycznych jest dużo trudniejsza.
Twierdzenie 1
Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia wychodzącego z punktu styczności.
Dowód
Wynika to z symetrii osiowej figury złożonej z okręgu i stycznej do niego. Niech k będzie prostą styczną do okręgu w punkcie P, a l prostą prostopadłą do k i przechodząca przez środek okręgu. Symetria względem l przeprowadza okrąg na siebie, a prostą k też na siebie. Stąd wynika, że punkt wspólny prostej k i okręgu przechodzi na punkt wspólny prostej k i okręgu, a ponieważ P jest jedynym punktem wspólnym prostej k z okręgiem, więc jest on punktem stałym symetrii. Zatem P leży on na osi symetrii, co oznacza, że prosta l przechodzi przez punkt styczności. W konsekwencji promień wychodzący z punktu styczności jest zawarty w l, co kończy dowód.
Twierdzenie 2
Odcinki dwóch stycznych poprowadzonych do okręgu z danego punktu zewnętrznego, wyznaczone przez ten punkt i odpowiednie punkty styczności są równe.
1
PB PA= Dowód
Trójkąty POA i POB są prostokątne. Półprosta PO jest dwusieczną kąta <APB , bo okrąg jest wpisany w kąt), zatem . Oznacza to (suma kątów w trójkącie), że również
BPO APO=∠
∠ ∠POA=∠POB. Ponadto . Z cechy
kbk wynika, że rozważane trójkąty są przystające, a to oznacza, że
r BO AO= = PB
PA=
Twierdzenie 3
Kąt DAB między styczną do okręgu DA a cięciwą AB poprowadzoną do punktu styczności (A) jest równy kątowi trójkąta wpisanego w okrąg, którego jednym z boków jest cięciwa AB, a wierzchołek C leży po przeciwnej stronie prostej AB niż punkt D.
Dowód
2
Z tego, że promień jest prostopadły do stycznej wynika, że ∠BAO=90°−α Trójkąt BAO jest równoramienny, więc ∠AOB=90°−α
Zatem kąt ∠AOB=180°−2
(
90°−α)
=180°−180°+2α=2αZ twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym wynika z kolei, że ∠ACB=α. A to właśnie trzeba było udowodnić.
Więcej na stronie http://www.traugutt.edu.pl/
