Petr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Integrální počet v R Matematická analýza 1 / 196

(1)

Integr´ aln´ı poˇ cet v R

Petr Hasil

Pˇrednáˇska z Matematické analýzy

(2)

Obsah

1 Primitivn´ı funkce a z´akladn´ı integraˇcn´ı metody Pojem primitivn´ı funkce

Metoda per partes a substituce

2 Integrován´ı racionáln´ıch, goniometrických a iracionáln´ıch integrál˚u Racionáln´ı lomená funkce

Goniometrick´e funkce Iracion´aln´ı funkce

3 Riemann˚uv integr´al

Definice Riemannova integr´alu

Podm´ınky integrovatelnosti a z´akladn´ı vlastnosti Integr´al jako funkce horn´ı meze

V´ypoˇcet Riemannova integr´alu

Základn´ı geometrické aplikace Riemannova integrálu Dalˇs´ı geometrické aplikace Riemannova integrálu Základn´ı fyzikáln´ı aplikace Riemannova integrálu Nevlastn´ı Riemann˚uv integrál

Newton˚uv integr´al

Petr Hasil (MUNI)c Integráln´ı poˇcet v R Matematická analýza 2 / 196

(3)

Primitivn´ı funkce a z´akladn´ı integraˇcn´ı metody Pojem primitivn´ı funkce

Definice 1

Rekneme, ˇˇ ze funkce F je na intervalu I primitivn´ı funkc´ı k funkci f, jestliˇze F⁰(x ) = f (x ), ∀x ∈ I .

(4)

Vˇeta 1

Jsou-li funkce F a G primitivn´ı funkce k funkci f na intervalu I , pak existuje konstanta c ∈ R takov´a, ˇze G = F + c.

D˚ukaz.

F⁰(x ) = f (x ), G⁰(x ) = f (x ) ⇒ (F (x ) − G (x )

| {z }

spojit´a funkce

)⁰ = 0 na I ⇒ F (x ) − G (x ) = c ∈ R.

(5)

Definice 2

Mnoˇzina primitivn´ıch funkc´ı k funkci f se nazýváneurˇcitý integrál funkce f a znaˇc´ı se R f (x)dx.

(6)

Vˇeta 2

R [f (x) + g (x)]dx = R f (x)dx + R g (x)dx, R [c · f (x)]dx = c · R f (x)dx, c ∈ R.

D˚ukaz.

D˚ukaz plyne z pˇr´ısluˇsn´ych vzorc˚u pro derivov´an´ı.

(7)

Pozn´amka

Neexistuj´ı obecn´e vzorce pro integr´al ze souˇcinu dvou funkc´ı a jejich pod´ılu.

(8)

Vˇeta 3 (Z´akladn´ı integr´aln´ı vzorce) Necht’ A, B, a, c, k, n ∈ R, a > 0, n 6= −1.

1 R k dx = kx + c,

2 R xⁿdx = ^x_n+1ⁿ⁺¹ + c,

3 R ₁

xdx = ln |x | + c,

4 R a^xdx = _{ln a}^a^x + c,

5 R e^x dx = e^x+c,

6 R sin x dx = − cos x + c,

7 R cos x dx = sin x + c,

8 R ₁

cos²xdx = tg x + c,

9 R ₁

sin²x dx = − cotg x + c,

10 R ₁

√

A²−x²dx = arcsin_A^x + c,

11 R ₁

√

x²±B dx = ln |x +√

x²± B| + c,

12 R ₁

A²+x²dx = _A¹ arctg_A^x + c,

13 R ₁

A²−x²dx = _2A¹ ln

A+x A−x

+ c, kde x n´aleˇz´ı vˇzdy do definiˇcn´ıho oboru pˇr´ısluˇsn´e funkce.

(9)

D˚ukaz.

D˚ukaz provedeme dle definice, tedy pˇr´ımým derivován´ım. (Pˇriˇcemˇz bereme v úvahu vˇetu 1.) Napˇr.

ln(x +p

x²± B) + c0

= 1

x +√ x²± B

1 +1

2(x²± B)^−1/22x

= 1

x +√ x²± B

1 + x

√ x²± B

= 1

x +√ x²± B

√

x²± B = 1

√ x²± B

(10)

Pozn´amka y = ln(x +√

x²+ 1) je inverzn´ı funkc´ı k funkci y = ^e^x^{− e}₂ ^−x = sinh x .

(11)

Vˇeta 4 (Dostateˇcn´a podm´ınka existence primitivn´ı funkce)

Necht’ funkce f je spojit´a na intervalu I ⊆ R. Pak k n´ı na tomto intervalu existuje funkce primitivn´ı.

D˚ukaz.

Pozdˇeji – viz vˇeta 23.

(12)

Pˇr´ıklad 1

Uvaˇzujme funkci

F (x ) =

(x²sin_x¹, x 6= 0

0, x = 0.

Pro x 6= 0 je F⁰(x ) = 2x sin¹_x + x²cos¹_x⁻¹_x2 = 2x sin_x¹ − cos_x¹, pro x = 0 je

F⁰(0) = limx →0F (x )−F (0)

x −0 = limx →0 x²sin¹_x

x = limx →0x sin¹_x = 0, tedy F⁰(x ) =

(2x sin¹_x − cos¹_x, x 6= 0

0, x = 0.

Pro funkci f (x ) := F⁰(x ) je tedy F (x ) primitivn´ı funkc´ı na cel´em R.

Funkce f (x ) pˇritom nen´ı spojit´a v x = 0, protoˇze limx →0f (x ) = limx →02x sin_x¹ − cos¹_x = lim

x →02x sin¹_x

| {z }

=0

− lim

x →0cos_x¹

| {z }

neexistuje

neexistuje.

Tedy spojitost nen´ı nutnou podm´ınkou pro existenci primitivn´ı funkce.

(13)

Definice 3

Rekneme, ˇˇ ze funkce f m´a intervalu I Darbouxovu vlastnost, jestliˇze

∀t₁, t2∈ I funkce f nab´yv´a vˇsech hodnot mezi hodnotami f (t1) a f (t2).

(14)

Pozn´amka

Podle 2. Bolzanovy vˇety spojit´e funkce maj´ı Darbouxovu vlastnost.

(15)

Vˇeta 5 (Nutn´a podm´ınka)

Necht’ F je primitivn´ı funkc´ı k funkci f na intervalu I . Pak funkce f m´a na intervalu I Darbouxovu vlastnost.

(16)

D˚ukaz.

Necht’ x₁, x₂∈ I jsou libovoln´e a pˇredpokl´adejme, ˇze f (x₁) < f (x₂).

(Kdyby f (x₁) > f (x₂), d˚ukaz je obdobn´y.)

Necht’ α ∈ (f (x1), f (x2)) je libovolné. Ukáˇzeme, ˇze existuje c ∈ I takové, ˇ

ze f (c) = α.

Uvaˇzujme funkci g (x ) = F (x ) − αx , tato funkce je na uzavˇreném intervalu s krajn´ımi body x1, x2 spojitá (má derivaci ⇒ je spojitá) a

g⁰(x ) = F⁰(x ) − α = f (x ) − α.

Dále g⁰(x₁) = f (x₁) − α < 0, g⁰(x₂) = f (x₂) − α > 0. Necht’ x₁< x₂ a c ∈ (x₁, x₂) je takové, ˇze g (c) = min{g (x ), x ∈ [x₁, x₂]} (takové c existuje podle 2. Weierstrassovy vˇety). Nutnˇe plat´ı g⁰(c) = 0 (jinak by bod c nebyl bodem minima funkce g na intervalu [x₁, x₂]), tedy

0 = g⁰(c) = f (c) − α ⇒ f (c) = α. Pro x₁ > x₂ podobnˇe (c bude bod maxima funkce g ).

(17)

Pˇr´ıklad 2 K funkci

f (x ) =







1, x > 0 0, x = 0

−1, x < 0

neexistuje primitivn´ı funkce na ˇz´adn´em intervalu obsahuj´ıc´ım bod x = 0.

Tato funkce nem´a na takov´em intervalu Darbouxovu vlastnost.

(18)

Pˇr´ıklad 3

K Dirichletovˇe funkci χ(x ) neexistuje primitivn´ı funkce na ˇz´adn´em intervalu.

Pˇr´ıklad 4

K funkci f (x ) = |x | existuje primitivn´ı funkce na cel´em R. Touto primitivn´ı funkc´ı je

F (x ) = (_x2

2 + c x ≥ 0

−^x₂² + c x < 0.

(19)

Pozn´amka

Nen´ı zn´ama nutn´a a postaˇcuj´ıc´ı podm´ınka pro integraci.

(20)

Vˇeta 6 (Metoda per partes)

Necht’ funkce u, v maj´ı derivaci na intervalu I . Jestliˇze existuje primitivn´ı funkce k funkci (uv⁰), pak existuje i primitivn´ı funkce k funkci (u⁰v ) a plat´ı

Z

uv⁰dx = uv − Z

u⁰v dx .

D˚ukaz.

(uv )⁰ = u⁰v + uv⁰ na intervalu I . Je-li F primitivn´ı funkce k uv⁰, tj.

F⁰ = uv⁰, pak pro funkci G = uv − F plat´ı

G⁰= (uv − F )⁰= u⁰v + uv⁰− F⁰ = u⁰v + uv⁰− uv⁰ = u⁰v , tedy funkce G je primitivn´ı funkc´ı k funkci u⁰v , pˇriˇcemˇz F = uv − G je vztah z vˇety.

(21)

Primitivn´ı funkce a z´akladn´ı integraˇcn´ı metody Metoda per partes a substituce

Pozn´amka

Jako funkci u, tedy tu, kterou pˇri pouˇzit´ı vˇety derivujeme, vol´ıme zpravidla funkci, kter´a se pˇri derivov´an´ı

”v´ıce zlepˇs´ı“.

Z

P(x )f (x )dx ,

kde P(x ) je polynom, ˇreˇs´ıme pomoc´ı metody per partes takto:

Je-li f (x ) jedna z funkc´ıa^kx, sin(kx ), cos(kx ), pak vol´ıme u = P(x ).

Je-li f (x ) jedna z funkc´ılogⁿ_a(kx ), arcsin(kx ), arccos(kx ), arctg(kx ), arccotg(kx ), pak vol´ıme u = f (x ).

Metodu per partes lze pouˇz´ıt opakovanˇe.

(22)

Pˇr´ıklad 5 Z

x sin x dx =



u = x u⁰ = 1 v⁰ = sin x v = − cos x



= x · (− cos x ) − Z

1 · (− cos x )dx = −x cos x + Z

cos x dx

= −x cos x + sin x + c.

Pozn´amka

Zkouˇsku provedeme zderivov´an´ım v´ysledku.

(23)

Pˇr´ıklad 6 Z

3x²ln²x dx =



u = ln²x u⁰ = 2 ln x ·¹_x v⁰ = 3x² v = x³



= x³ln²x − Z

2 · ln x · 1 x · x³dx

= x³· ln²x − 2 Z

x²ln x dx =



u = ln x u⁰ = _x¹ v⁰= x² v =^x₃³



= x³· ln²x − 2

ln x · x³ 3 −

Z x³ 3 ·1

xdx

= x³· ln²x − 2x³

3 ln x +2 3

Z x²dx

= x³· ln²x − 2

3x³ln x +2 3·x³

3 + c

= x³· ln²x − 2

3x³ln x +2

9x³+ c.

(24)

Pˇr´ıklad 7 Z

x²e^xdx =



u = x² u⁰= 2x v⁰= e^x v = e^x



= x²e^x−2 Z

x e^xdx

=



u = x u⁰ = 1 v⁰= e^x v = e^x



= x²e^x−2

x e^x−

Z e^xdx

= x²e^x−2x e^x+2 e^x+c = e^x(x²− 2x + 2) + c

(25)

Pˇr´ıklad 8 Z

ln x dx =



u = ln x u⁰ = _x¹ v⁰ = 1 v = x



= x ln x − Z

1dx

= x ln x − x + c

(26)

Pozn´amka

Metodu per partes je moˇzné pouˇz´ıt i na souˇcin trigonometrické funkce s funkc´ı exponenciáln´ı. V tomto pˇr´ıpadˇe se metoda provede dvakrát se stejnou volbou u, v a hledaný integrál se vyjádˇr´ı pˇr´ımo z obdrˇzené rovnosti.

(27)

Pˇr´ıklad 9 Z

e^xsin x dx =



u = sin x u⁰ = cos x v⁰ = e^x v = e^x



= e^xsin x − Z

e^xcos x dx

=



u = cos x u⁰= − sin x v⁰ = e^x v = e^x



= e^xsin x − e^xcos x + Z

e^x(− sin x )dx

= e^x(sin x − cos x ) − Z

e^xsin x dx

Tedy pro I :=R e^xsin x dx m´ame I = e^x(sin x − cos x ) − I . Odtud 2I = e^x(sin x − cos x ), tj.

Z

e^xsin x dx = e^x

2(sin x − cos x ) + c.

Volba u, v je zde libovoln´a, pouze se mus´ı zopakovat stejnˇe.

(28)

Vˇeta 7 (Substituˇcn´ı metoda)

Necht’ I , J ⊆ R jsou intervaly, ϕ : I → J, f : J → R a ϕ m´a na I derivaci.

Je-li funkce F primitivn´ı k funkci f na J (tj. F⁰(x ) = f (x ) na J), pak funkce F (ϕ(x )) je primitivn´ı na I k funkci f (ϕ(x )) · ϕ⁰(x ).

Naopak m´a-li funkce ϕ na I derivaci r˚uznou od nuly a G je primitivn´ı funkce na I k funkci f (ϕ(x )) · ϕ⁰(x ) (tj. G⁰(x ) = f (ϕ(x )) · ϕ⁰(x )), pak funkce G (ϕ⁻¹(x )) je primitivn´ı k funkci f na intervalu J.

Plat´ı tedy vzorce:

Z

f (ϕ(x ))ϕ⁰(x )dx =



t = ϕ(x ) dt = ϕ⁰(x )dx



= Z

f (t)dt, Z

f (x )dx =



x = ϕ(t) dx = ϕ⁰(t)dt



= Z

f (ϕ(t))ϕ⁰(t)dt.

(29)

D˚ukaz.

Vˇeta vyplývá ze vzorce pro derivaci sloˇzené funkce.

V prvn´ı ˇc´asti je F primitivn´ı funkce k f , tj.

F⁰(x ) = f (x ) ⇒ [F (ϕ(x ))]⁰= F⁰(ϕ(x ))ϕ⁰(x ) = f (ϕ(x ))ϕ⁰(x ).

V druhé ˇcásti má ϕ⁰ Darbouxovu vlastnost a je bud’ kladná, nebo záporná na celém I . Funkce ϕ je tedy spojitá a ryze monotónn´ı → ϕ⁻¹ má derivaci na J a

(ϕ⁻¹)⁰(x ) = 1 ϕ⁰(ϕ⁻¹(x )). Pˇredpokladem vˇety je G⁰(x ) = (f ◦ ϕ)(x ) · ϕ⁰(x ), tedy

(G ◦ ϕ⁻¹)⁰(x ) = (G⁰◦ ϕ⁻¹)(x ) · (ϕ⁻¹)⁰(x )

= (f ◦ ϕ ◦ ϕ⁻¹)(x ) · (ϕ⁰◦ ϕ⁻¹)(x ) · 1

(ϕ⁰◦ ϕ⁻¹)(x ) = f (x ).

(30)

Pˇr´ıklad 10 R x e^x²dx =



x²= t 2x dx = dt x dx = ¹₂dt



=R e^{t 1}₂dt = ¹₂R e^tdt = ¹₂e^t+c = ¹₂e^x²+c

Pˇr´ıklad 11 R _x

1+x⁴dx =



x²= t 2x dx = dt x dx = ¹₂dt



= ¹₂R _dt

1+t² = ¹₂arctg t + c = ¹₂arctg x²+ c

(31)

Pˇr´ıklad 12

Urˇcete primitivn´ı funkci k funkci √

a²− x² pro x ∈ [−a, a].

Z p

a²− x²dx =



x = a sin t dx = a cos tdt



=

Z p

a²− a²sin²t a cos tdt

= a²

Z p

1 − sin²t cos tdt = a² Z

cos²tdt = a²

Z 1 + cos 2t

2 dt

= a² 2

Z

1dt +a² 2

Z

cos 2tdt = a² 2t + a²

2 sin 2t

2 + c

= a²

2(t + sin t cos t) + c = a²

2 (t ± sin tp

1 − sin²t) + c

= a²

2 arcsinx a +x

a r

1 −x² a²

! + c

(32)

Pozn´amka V´ıme, ˇze plat´ı

arcsin(sin t) =

(t, t ∈−^π₂ + 2kπ,^π₂ + 2kπ , k ∈ Z,

−t, t ∈_π

2 + 2kπ,^3π₂ + 2kπ , k ∈ Z.

Tedy pro ^x_a = sin t máme arcsin^x_a = ±t, tj. t = ± arcsin^x_a, pˇriˇcemˇz znaménko se shoduje se znaménkem funkce kosinus. Celkovˇe jsme proto mohli ve výpoˇctu postupovat jako pro t ∈ [−π/2, π/2], protoˇze minusy se vˇzdy sejdou dva a vˇsechny konstanty lze shrnout na závˇer do c.

(Ve skuteˇcnosti je samozˇrejmˇe t ∈ R.)

(33)

Integrován´ı racionáln´ıch, goniometrických a iracionáln´ıch integrál˚u Racionáln´ı lomená funkce

Pozn´amka

Jiˇz v´ıme, ˇze kaˇzdou racionáln´ı lomenou funkci, která nen´ı ryze lomená, lze pomoc´ı dˇelen´ı polynom˚u pˇrevést na souˇcet polynomu a ryze lomené racionáln´ı funkce, kterou je moˇzné rozloˇzit na parciáln´ı zlomky.

Budeme se tedy zaj´ımat pouze o integrály z parciáln´ıch zlomk˚u Zamˇeˇr´ıme se na 5 typ˚u integrál˚u:

1 R _A

x −αdx ,

2 R _A

(x −α)ⁿdx ,

3 R _A

x²+px +qdx ,

4 R _{Ax +B}

x²+px +qdx ,

5 R _{Ax +B}

(x²+px +q)ⁿdx , kde A, B, α, p, q jsou re´aln´a ˇc´ısla, p²− 4q < 0 a n ∈ N r {1}.

(34)

Typ 1 a 2 ˇreˇs´ıme substituc´ı t = x − α.

Z A

(x − α)ⁿdx =



x − α = t dx = dt



= A Z 1

tⁿdt

=

(A ln |t| + c = A ln|x − α| + c (n = 1) A^t_1−n¹⁻ⁿ + c = _(1−n)t^A n−1 + c = (1−n)(x −α)^A ⁿ⁻¹ + c (n 6= 1)

(35)

Pˇr´ıklad 13 (Typ 1)

Z 3

2x − 8dx =



t = 2x − 8 dt = 2dx dx = ¹₂dt



= Z 3

t ·1 2dt = 3

2 Z 1

tdt

= 3

2ln |t| + c = 3

2ln |2x − 8| + c.

(36)

Z 3

(2x − 8)³dx =



t = 2x − 8 dt = 2dx dx = ¹₂dt



= Z 3

t³ 1 2dt = 3

2 Z 1

t³dt

= 3 2

Z

t⁻³dt = 3 2

t⁻²

−2 + c

= 3

−4 1

t² + c = −3

4(2x − 8)² + c.

(37)

Typ 3 ˇreˇs´ıme doplnˇen´ım jmenovatele na ˇctverec a pouˇzit´ım vzorce pro

R ₁

A²+x²dx .

Z 3

2x²− 4x + 10dx = 3 2

Z 1

x²− 2x + 5dx = 3 2

Z 1

(x − 1)²+ 4dx

=



t = x − 1 dx = dt



= 3 2

Z 1

t²+ 2²dt

= 3 2·1

2 · arctgt

2 + c = 3

4arctgx − 1 2 + c.

(38)

Typ 4 ˇreˇs´ıme pˇreveden´ım na souˇcet integr´alu typuR _f⁰_{(x )}

f (x )dx a integr´alu typu 3. (A 6= 0, jinak by ˇslo o typ 3.)

Z Ax + B

x²+ px + qdx = A

Z x + ^B_A

x²+ px + qdx = A 2

Z 2x + p +

=:C

z }| {

2B A − p x²+ px + q dx

= A 2

Z 2x + p

x²+ px + qdx + C

Z 1

x²+ px + qdx

=



x²+ px + q = t (2x + p)dx = dt



= A 2

Z 1

tdt +AC 2

Z 1

x + ^p₂2

+ q − ^p₄²

| {z }

:=D²

dx =



x + ^p₂ = z dx = dz



= A

2 ln|t| +AC 2

Z 1

z²+ D²dz = A

2 ln|t| +AC

2D arctg z D + c

= A

2 ln|x²+ px + q| + AC

2D arctgx + ^p₂

D + c

(39)

Pˇr´ıklad 16 (Typ 4) Z 3x − 6

x²+ 2x + 3dx = 3

Z x − 2

x²+ 2x + 3dx = 3 · 1 2

Z 2x − 4 x²+ 2x + 3dx

= 3 2

Z 2x + 2 − 2 − 4 x²+ 2x + 3 dx

= 3 2

Z 2x + 2

x²+ 2x + 3 + −6 x²+ 2x + 3dx

I₁=

Z 2x + 2

x²+ 2x + 3dx = ln |x²+ 2x + 3| + c₁

(40)

I2= −6

Z 1

x²+ 2x + 3dx = −6

Z 1

(x + 1)²+ 2dx =



t = x + 1 dt = dx



= −6

Z 1

t²+ 2dt = −6

Z 1

t²+ (√

2)²dt = −6

√

2arctg t

√ 2 + c2

= −3√ 2 arctg

√

2(x + 1) 2 + c₂ Celkem

Z 3x − 6

x²+ 2x + 3dx = 3

2 ln |x²+ 2x + 3| − 3√ 2 arctg

√

2(x + 1) 2

! + c

(41)

Pˇr´ıklad 17 Z dx

x³+ 1 = 1 3

Z dx x + 1 −1

3

Z x − 2 x²− x + 1dx

= 1

3ln|x + 1| − 1 3 · 2

Z 2x − 1

x²− x + 1dx + 3 3 · 2

Z 1

x²− x + 1dx

= 1

3ln|x + 1| −1

6ln |x²− x + 1| +1 2

Z 1

x − ¹₂2

+³₄dx

=



x −¹₂ = t dx = dt



= 1

3ln|x + 1| − 1

6ln(x²− x + 1) + 1 2

Z 1

t²+³₄dt

= 1

3ln|x + 1| −1

6ln(x²− x + 1) + 2 2√

3arctg 2t

√3 + c

= 1

3ln|x + 1| −1

6ln(x²− x + 1) +

√3

3 arctg2x − 1

√ 3 + c

(42)

Typ 5 ˇreˇs´ıme podobnou úpravou jako typ 4, tedy rozdˇelen´ım na dvˇe ˇcásti, kde prvn´ı ˇcást lze vyˇreˇsit snadnou substituc´ı (ˇcitatel je derivac´ı trojˇclene za jmenovatele) a na druhou ˇcást pouˇzijeme rekurentn´ı vzorec (viz dále).

Z Ax + B

(x²+ px + q)ⁿdx = A 2

Z 2x + p

(x²+ px + q)ⁿ +

2B A − p (x²+ px + q)ⁿdx

=



x²+ px + q = t (2x + p)dx = dt



= A 2

Z 1

tⁿdt +A 2

Z C

h

x + ^p₂2

+ q −^p₄² indx

=



x + ^p₂ = z dx = dz



= A 2

Z 1

tⁿdt +A 2

Z C

(z²+ D²)ⁿdz

= A 2

Z 1

tⁿdt + AC 2D²ⁿ

Z 1

h z D

2

+ 1

indz =



z D = s dz = Dds



= A 2

Z 1

tⁿdt + AC 2D²ⁿ⁻¹

Z 1

(s²+ 1)ⁿds = A

2(1 − n)tⁿ⁻¹ + E

Z 1

(s²+ 1)ⁿds

(43)

Nyn´ı mus´ıme vyˇreˇsit posledn´ı integr´al. Odvod’me rekurentn´ı vzorec.

Z ds

(1 + s²)ⁿ

| {z }

=:In

=

Z 1 + s²− s² (1 + s²)ⁿ ds =

Z ds

(1 + s²)ⁿ⁻¹

| {z }

=:In−1

−

Z s · s (1 + s²)ⁿds

= I_n−1+ s

2(n − 1)(1 + s²)ⁿ⁻¹ − 1

2(n − 1)I_n−1

= s

2(n − 1)(1 + s²)ⁿ⁻¹ +2n − 3 2n − 2 I_n−1

T´ımto zp˚usobem lze postupnˇe sniˇzovat exponent ve jmenovateli integr´alu I_n aˇz na 1, coˇz vede na funkci arctg s.

(44)

Kde jsme pouˇzili n´asleduj´ıc´ı meziv´ypoˇcet.

Z s · s

(1 + s²)ⁿds =





u = s u⁰= 1 v⁰ = _(1+s^s2)ⁿ v = (∗)





= s

2(1 − n)(1 + s²)ⁿ⁻¹ −1 2

Z 1

(1 − n)(1 + s²)ⁿ⁻¹dt

= − s

2(n − 1)(1 + s²)ⁿ⁻¹ + 1 2(n − 1)

Z 1

(1 + s²)ⁿ⁻¹dt

| {z }

In−1

(∗) =

Z s

(1 + s²)ⁿds = 1 2

Z 2s

(1 + s²)ⁿds =



1 + s² = w 2sds = dw



= 1 2

Z 1

wⁿdw = 1

2(1 − n)wⁿ⁻¹

(45)

Pˇr´ıklad 18

Z 1

(1 + x²)²dx =

Z 1 + x²− x² (1 + x²)² dx =

Z 1

1 + x²dx −

Z x²

(1 + x²)²dx

= arctg x −

Z x · x

(1 + x²)²dx =





u = x u⁰ = 1 v⁰= _2(1+x^2x2)² v =_2(1+x⁻¹2)





= arctg x −

− x

2(1 + x²) −

Z −1

2(1 + x²)dx

= arctg x + x

2(1 + x²)− 1

2arctg x + c = 1

2arctg x + x

2(1 + x²)+ c Vzorcem:

Z 1

(1 + x²)²dx = x

2(2 − 1)(1 + x²)²⁻¹ +2 · 2 − 3 2 · 2 − 2

Z 1

(1 + x²)¹dx

(46)

Symbolem R(u, v ) budeme rozumˇet racion´aln´ı lomenou funkci

v promˇenných u, v , tj. u, v jsou svázány operacemi +, −, ·, /, ()^z (z ∈ Z).

(47)

Integrován´ı racionáln´ıch, goniometrických a iracionáln´ıch integrál˚u Goniometrické funkce

Z

R(sin x , cos x )dx

a) Je-li R lich´a funkce vzhledem k prvn´ı promˇenn´e, tj.

R(−u, v ) = −R(u, v ) (je lich´a vzhledem k sin x ), pak vol´ıme substitucicos x = t.

b) Je-li lich´a vzhledem k cos x , tj. R(u, −v ) = −R(u, v ), pak vol´ıme substitucisin x = t.

c) Je-li R(−u, −v ) = R(u, v ), tj. je lichá nebo sudá vzhledem k obˇema promˇenným, vol´ıme tg x = t.

d) Nenastane-li ˇzádný z výˇse uvedených pˇr´ıpad˚u, pak pouˇzijeme univerzáln´ı substituci tg^x₂ = t.

Kaˇzdá ze substituc´ı pˇrevede integrálR R(sin x, cos x)dx na integrál z racionáln´ı lomené funkce.

(48)

Pˇr´ıklad 19 Z

sin³x cos²x dx =



cos x = t

− sin xdx = dt



= − Z

sin²x

| {z }

1−cos²x

t²dt

= − Z

(1 − t²)t²dt = · · ·

(49)

Z

sinⁿx cos^mx dx =











je-li n liché a m sudé → t = cos x je-li n sudé a m liché → t = sin x

n i m lich´e → t = sin x , t = cos x , t = tg x n i m sud´e → t = tg x

Vˇzdy je moˇzn´e pouˇz´ıt t = tg^x₂.

(50)

Pˇr´ıklad 20

Z dx

1 + 3 cos²x =





tg x = t, x = arctg t, dx = _1+t¹2dt sin x = ^√^t

1+t², cos x = ^√¹

1+t²





=

Z ^dt

1+t²

1 + 3_1+t¹2

=

Z 1 + t² 1 + t²+ 3

dt 1 + t² =

Z dt

4 + t²

= 1 2arctgt

2+ c = 1

2arctgtg x 2

+ c

(51)

Pˇr´ıklad 21 Z sin x + 2

cos x − 2dx =





tg^x₂ = t, x = 2 arctg t, dx = _1+t² 2dt sin x = _1+t^2t2, cos x = ^1−t_1+t²2





= Z ^2t

1+t²+ 2

1−t² 1+t²− 2

2

1 + t²dt = −4

Z 1 + t + t² (3t²+ 1)(t²+ 1)dt

= |rozklad na parci´aln´ı zlomky| = −4 Z 3

2t + 1 3t²+ 1dt − 4

Z −¹₂t t²+ 1

= −4 1

4ln(1 + 3t²) + 1

√

3arctg(

√

3t) −1

4ln(1 + t²)

+ c = . . . Kde

sinx

2 = t

√

1 + t², cosx

2 = 1

√ 1 + t², sin x = 2 sinx

2cosx

2 = 2t

1 + t², cos x = cos² x

2 − sin² x

2 = 1 − t² 1 + t².

(52)

Z

sin²ⁿx · cos^2mx dx , m, n ∈ N0

Pˇr´ıklad 22

R sin⁴x cos²x dx =?

a) =





tg x = t, dx = _1+t¹2dt sin x = ^√^t

1+t², cos x = ^√¹

1+t²





=

Z t⁴

(1 + t²)² 1 1 + t²

1 1 + t²dt

=

Z t⁴

(1 + t²)⁴dt = · · ·

(53)

b) =



sin²x = ^{1−cos 2x}₂ cos²x = ^{1+cos 2x}₂



=

Z 1 − cos 2x 2

2

1 + cos 2x

2 dx

= 1 8

Z

(1 − 2 cos 2x + cos²2x )(1 + cos 2x )dx

= 1 8

Z

(1 − cos 2x − cos²2x + cos³2x )dx

= 1 8

Z

1dx − 1 8

Z

(cos 2x − cos³2x )dx

| {z }

subst.: sin 2x =t

−1 8

Z 1 + cos 4x

2 dx = · · ·

(54)

Integr´aly typu Z

sin αx cos βx dx , Z

sin αx sin βx dx , Z

cos αx cos βx dx lze zjednoduˇsit pˇreveden´ım na souˇcet.

sin(αx ± βx ) = sin αx cos βx ± cos αx sin βx

⇒ sin αx cos βx = 1

2[sin(αx + βx ) + sin(αx − βx )]

cos(αx ± βx ) = cos αx cos βx ∓ sin αx sin βx

⇒ sin αx sin βx = 1

2[cos(αx − βx ) − cos(αx + βx )]

⇒ cos αx cos βx = 1

2[cos(αx + βx ) + cos(αx − βx )]

(55)

Pˇr´ıklad 23 Z

sin 2x cos 3x dx = Z 1

2[sin 5x + sin(−x )]dx

= 1 2

Z

sin 5x dx −1 2

Z

sin x dx = −1

10 cos 5x + 1

2cos x + c

(56)

U integr´al˚u typu Z

R (x , x^q¹, . . . , x^qⁿ) dx , q₁, . . . , q_n∈ Q

je výhodné volit substituci t^s = x , kde s je nejmenˇs´ı spoleˇcný násobek jmenovatel˚u ˇc´ısel q₁, . . . , q_n.

Pˇr´ıklad 24 Z √5

x − 3√ x

x dx =



t¹⁰= x ⇒ t = ¹⁰√ x 10t⁹dt = dx



=

Z t^10/5− 3 · t^10/2

t¹⁰ · 10t⁹dt

=

Z t²− 3t⁵

t¹⁰ 10t⁹dt = 10 Z

t − 3t⁴dt = 10 t² 2 − 3t⁵

5

+ c

= 5¹⁰

√

x²− 6¹⁰√

x⁵+ c = 5√⁵

x − 6√ x + c.

(57)

Integrován´ı racionáln´ıch, goniometrických a iracionáln´ıch integrál˚u Iracionáln´ı funkce

Na integr´aly typu Z

R

x ,ax + b cx + d

s

dx , s ∈ Q, s = m n pouˇz´ıv´ame substituci ^{ax +b}_{cx +d} = tⁿ, tedy

ax + b = tⁿ(cx + d ) ⇒ x (a − tⁿc) = tⁿd − b

⇒ x = tⁿd − b

a − tⁿc, dx = tⁿd − b a − tⁿc

0

dt

(58)

Pˇr´ıklad 25 Z

r x + 13

x − 1 1

x + 1dx =



x +1

x −1 = t³, x + 1 = t³x − t³, x = ^t_t³3⁺¹−1

dx = ^3t²^(t³^−1)−3t_(t3−1)²²^(t³⁺¹⁾dt = _(t^−6t3−1)²²dt



= Z

t · 1

t³+1 t³−1 + 1

−6t²

(t³− 1)²dt = −

Z 6t³

(t³+ 1 + t³− 1)(t³− 1)dt

= −3

Z 1

t³− 1dt = . . . (rozklad na parc. zlomky)

(59)

Z R

x ,p

ax²+ bx + c dx

kde b²− 4ac 6= 0, tj. kvadratický polynom nemá dvojnásobný reálný koˇren. Nejprve uvaˇzujme pˇr´ıpad ax²+ bx + c = a(x − x₁)(x − x₂).

a) Jestliˇze a > 0 a kvadratický polynom má dva reálné koˇreny x₁< x₂, potom

pax²+ bx + c =√ a

r

(x − x1)²x − x2

x − x₁ =√

a |x − x1|r x − x2

x − x₁, pot´e ho s pouˇzit´ım substituce t² = ^{x −x}_{x −x}²

1 pˇrevedeme na integr´al z RLF.

b) Jestliˇze a < 0 a kvadratický polynom má dva reálné koˇreny x1< x2, potom

pax²+ bx + c =√

−a r

(x − x₁)²x₂− x x − x1

=√

−a (x − x₁)r x₂− x x − x1

, pot´e ho s pouˇzit´ım substituce t² = ^x_{x −x}²^−x pˇrevedeme na integr´al z RLF.

(60)

Pokud polynom nemá reálné koˇreny, pak nutnˇe a > 0 (jinak nelze odmocˇnovat) a m˚uˇzeme pouˇz´ıt nˇekterou z tzv. Eulerových substituc´ı. Protoˇze je lze pouˇz´ıt i v pˇr´ıpadˇe reálných koˇren˚u, objevuje se u prvn´ı z nich podm´ınka na kladnost a. Volba znamének v m´ıstech se symbolem ‘±’

je libovoln´a.

1 a > 0 :√

ax²+ bx + c = ±√ ax ± t

⇒ ax²+ bx + c = ax²± 2√

atx + t² ⇒ x = ^t²^−c

b∓2√ at

2 c > 0 :√

ax²+ bx + c = ±xt ±√ c

⇒ ax²+ bx + c = x²t²± 2xt√

c + c ⇒ ax + b = xt²± 2t√ c

⇒ x = ^−b±2t

√c a−t²

3 ax²+bx +c = a(x −x1)(x −x2), x1, x2 ∈ R :√

ax²+ bx + c = (x −x1)t

⇒ ax²+ bx + c = (x − x₁)²t² ⇒ a(x − x₂) = (x − x₁)t²

Kde posledn´ı substituce je znovu pouze pro pˇr´ıpad existence dvou re´aln´ych koˇren˚u.

(61)

Pˇr´ıklad 26 I =R _dx

x −√

x²−x+1 ˇreˇs´ıme pomoc´ı Eulerovy substituce 1, znam´enka vol´ıme tak, aby ve jmenovateli vyˇslo pouze t:

px²− x + 1 = x − t ⇒ x = t²− 1

2t − 1, dx = 2(t²− t + 1) (2t − 1)² dt, tedy

I =

Z 2(t²− t + 1) t(2t − 1)² dt = 2

Z t²− t + 1 t(2t − 1)²dt

= 2 Z A

t + B

2t − 1 + C

(2t − 1)²dt = · · · .

(62)

Pˇr´ıklad 27 I =R _dx

x −√

x²−x+1 lze ˇreˇsit tak´e pomoc´ı Eulerovy substituce 2:

px²− x + 1 = xt + 1 ⇒ x = 2t + 1

1 − t², dx = 2(t²+ t + 1) (1 − t²)² dt, tedy

I = 2

Z 1

2t+1 1−t² −

2t+1 1−t²t + 1

t²+ t + 1 (1 − t²)² dt =

Z

RLF dt = · · · .

(63)

Pˇr´ıklad 28

I =R _dx

(x −1)√

−x²+3x −2, kde −x²+ 3x − 2 = −(x − 1)(x − 2), vyˇreˇsme pomoc´ı Eulerovy substituce 3:

p−x²+ 3x − 2 = (x − 1)t ⇒ −(x − 2) = (x − 1)t²

⇒ x = 2 + t²

1 + t², dx = −2t (1 + t²)²dt, tedy

I =

Z ^−2t

(1+t²)²dt

2+t² 1+t²− 12

t

= −2 Z

dt = −2t + c = −2√

−x²+ 3x − 2

x − 1 + c.

(64)

Dalˇs´ı moˇznost´ı je doplnˇen´ı kvadratick´eho polynomu pod odmocninou na ˇ

ctverec a podle jeho typu pak pouˇzit´ı jedn´e z n´asleduj´ıc´ıch substituc´ı.

1 R(x ,√

x²− α²) ⇒ x = _{sin t}^α ,

2 R(x ,√

x²+ α²) ⇒ x = α tg t,

3 R(x ,√

α²− x²) ⇒ x = α sin t.

T´ım pˇrevedeme integr´al na typ R R(sin t, cos t)dt.

(65)

Speci´aln´ı pˇr´ıpady

a) Z

xⁿp

a²− x²dx , b) Z

xⁿp

a²+ x²dx

(i) n lich´e, n ∈ Z, pak substituce je

a) a²− x²= t², b) a²+ x²= t², (ii) n sud´e, n ∈ Z, pak

a) x = a sin t, b) x = a tg t.

(66)

Pˇr´ıklad 29 Z √

1 − x²

x dx =

Z x√ 1 − x²

x² dx =



1 − x² = t²

−2xdx = 2tdt



=

Z −t

1 − t²tdt =

Z t² t²− 1dt =

Z

1 + 1/2

t − 1 − 1/2 t + 1dt

= t +1

2ln|t − 1| − 1

2ln|t + 1| + c =p

1 − x²+1 2ln

√1 − x²− 1

√

1 − x²+ 1

+ c