GAL (I INF) EGZAMIN (II termin)
2 marca 2009
Uwaga. Nale˙zy odda´c nie wiecej ni˙z 8 zada´, n, ka˙zde na osobnej kartce. W przypadku oddania 9- ciu zada´n, to z najwieksz, a punktacj, a nie b, edzie brane pod uwag, e przy ko´, ncowej ocenie. Wszystkie zadania warte sa 5 punkt´, ow, niezale˙znie od stopnia trudno´sci.
Zadanie 1. Dla jakich warto´sci ca lkowitych n r´ownanie
|z − (1 + ı)n| = z (ı =√
−1) ma rozwiazania w dziedzinie zespolonej C?,
Zadanie 2. Niech ψ : R3 → R bedzie dane wzorem,
ψ(~x) = x21+ x22+ 5x23+ 2λx1x2− 2x1x3+ 4x2x3, ~x = [x1, x2, x3]T,
gdzie λ ∈ R. Dla jakich warto´sci λ przekszta lcenie przyporzadkowuj, ace vektorowi ~x, ∈ R3 liczbe, pψ(~x) definiuje norme w R, 3?
Zadanie 3. Niech A bedzie macierz, a kwadratow, a sko´snie symetryczn, a, czyli tak, a, ˙ze A, T =−A.
Wyka˙z, ˙ze rzad nacierzy A jest liczb, a parzyst, a.,
Zadanie 4. DlaX = P|R3 , niech funkcjona l s∈ X∗ bedzie zdefiniowany jako, s(p) = p0(0) + p00(1) dla p∈ X .
Znajd´z wsp´o lczynniki a1, a2, a3 rozwiniecia funkcjona lu s w bazie funkcjona l´ow (s, 1, s2, s3) prze- strzeni X∗ zdefiniowanych jako
s1(p) = p(−1), s2(p) = p(0), s3(p) = p(1), p∈ X .
Zadanie 5. Znajd´z wszystkie wielomiany p∈ P|R4 takie, ˙ze X4
i=0
p(i) = 4 oraz
X4 i=0
(−1)ip(i) = 0.
Czy wielomiany te tworza warstw, e w R, 4?
Zadanie 6. Niech X bedzie przestrzeni, a liniow, a, a f :, X → X przekszta lceniem liniowym o w lasno´sci
f (f (x)) = 0 dla ka˙zdego x∈ X . Poka˙z, ˙ze przekszta lcenie liniowe
g(x) = x + f (x) jest izomorfizmem przestrzeni X na siebie.
Zadanie 7. Wyka˙z, ˙ze wyznacznik macierzy
A =
0 1 1 · · · 1 1 a1 0 · · · 0 1 0 a2 · · · 0
· · · · 1 0 0 · · · an
.
wynosi
det(A) =− Xn
i=1
Yn j=1,j6=i
aj
.
Zadanie 8. Niech f : R3 → R3 bedzie przekszta lceniem liniowym, kt´orego macierz w bazach, odpowiednio
3 1 1
,
1 0 0
,
5 1 0
oraz
3 4 5
,
4 1 1
,
2 0 1
wynosi
F =
1 1 4 2 1 3 0 1 1
.
Czy
f
x1 x2
x3
=
9x1− 19x2+ 3x3 5x1− 6x2− 3x3
7x1− 11x2− 3x3
?
Zadanie 9. Dla przestrzeni euklidesowejX = P|R4 z iloczynem skalarnym (p, q) = p(−2)q(−2) + p(−1)q(−1) + p(1)q(1) + p(2)q(2)
znajd´z wsp´o lczynniki w bazie (1, t, t2, t3) rzutu prostopad lego wielomianu p(t) = 3 + t3 − t na podprzestrze´n
Y = {p ∈ X : (p, q) = 0 ∀q ∈ W}, gdzie W = {p ∈ X : p(0) = 0}.
