Petr Hasil. c Petr Hasil (MENDELU) Neurčitý integrál Matematika 1 / 52

(1)

Neurˇ cit´ y integr´ al

Petr Hasil

Pˇredn´aˇska z matematiky

(2)

Obsah

1 Neurˇcit´y integr´al Definice a vlastnosti Metoda per partes Substituˇcn´ı metoda

2 Pˇr´ıklady

3 Neurˇcit´y integr´al II

Racion´aln´ı lomen´a funkce Znaˇcen´ı

Goniometrick´e funkce Iracion´aln´ı funkce

4 Wolfram|Alpha

(3)

Neurˇcit´y integr´al Definice a vlastnosti

Definice (Neurˇcit´y integr´al)

Necht’ jsou F a f funkce definovan´e na otevˇren´em intervalu I ⊆ R. Jestliˇze plat´ı

F⁰(x ) = f (x ) ∀x ∈ I ,

pak funkci F nazývámeprimitivn´ı funkcek funkci f , nebo neurˇcitý integrál funkce f na intervalu I . P´ıˇseme

Z

f (x ) dx = F (x ).

Existuje-li k funkce f primitivn´ı funkce na intervalu I, pak ˇr´ık´ame, ˇze funkce f je na I integrovateln´a.

(4)

Z definice je vidˇet, ˇze integrál je jakási antiderivace, tj. integrován´ım z´ıskáme ze známé derivace zpˇet p˚uvodn´ı funkci. Proto je také vˇetˇsina vzorc˚u pro integrován´ı elementárn´ıch funkc´ı shodná se vzorci pro derivace, jen ˇcteno zprava doleva (a upraveno).

(5)

Vˇeta

Je-li funkce f spojit´a v intervalu I , pak je zde integrovateln´a.

Pozn´amka

Primitivn´ı funkce (tedy výsledek po integraci) je vˇzdy spojitá, nebot’ k n´ı existuje derivace (je diferencovatelná).

Vˇeta (Jednoznaˇcnost)

Primitivn´ı funkce je urˇcena jednoznaˇcnˇe aˇz na aditivn´ı konstantu.

(6)

Napˇr. protoˇze plat´ı x²0

= 2x , je funkce x² primitvn´ı funkc´ı k funkci 2x . Podobnˇe ale tak´e x²+ 40

= x²− 80

= 2x .

Tedy x²+ c je primitvn´ı funkce k funkci 2x pro libovoln´e c ∈ R.

Konstantu c naz´yv´ame aditivn´ı (integraˇcn´ı) konstanta.

Z toho je zˇrejmé, ˇze primitivn´ı funkce nen´ı jediná funkce, ale celá mnoˇzina funkc´ı liˇs´ıc´ıch se o konstantu.

(7)

Vzorce

Necht’ A, B, a, c, k, n ∈ R, a > 0, n 6= −1.

1 R k dx = kx + c,

2 R xⁿdx = ^x_n+1ⁿ⁺¹ + c,

3 R ₁

xdx = ln |x | + c,

4 R a^xdx = _{ln a}^a^x + c,

5 R e^x dx = e^x+c,

6 R sin x dx = − cos x + c,

7 R cos x dx = sin x + c,

8 R ₁

cos²xdx = tg x + c,

9 R ₁

sin²x dx = − cotg x + c,

10 R ₁

√

A²−x²dx = arcsin_A^x + c,

11 R ₁

√

x²±B dx = ln |x +√

x²± B| + c,

12 R ₁

A²+x²dx = _A¹ arctg_A^x + c,

13 R ₁

A²−x²dx = _2A¹ ln

A+x A−x

+ c.

(8)

Vˇeta (Linearita)

Necht’ f a g jsou funkce integrovatelné na intervalu I a a, b jsou reálná ˇ

c´ısla. Pak na I plat´ı Z

af (x ) + bg (x ) dx = a Z

f (x ) dx + b Z

g (x ) dx .

Pozn´amka

Pˇri derivován´ı ˇslo jen o správné pouˇzit´ı vzorc˚u a jejich znalost. Integrace je ˇ

casto mnohem obt´ıˇznˇejˇs´ı. Pˇredevˇs´ım proto, ˇze neexistuj´ı vzorce pro integr´al souˇcinu, pod´ılu a sloˇzen´e funkce.

(9)

Pˇr´ıklad Z

3x³− sin x +√⁵

x dx = 3 Z

x³dx − Z

sin x dx + Z

x^1/5dx

= 3x⁴

4 + c1+ cos x + c2+x^6/5 6/5 + c3

= 3

4x⁴+ cos x + 5 6

√5

x⁶+ c.

(10)

Neurˇcit´y integr´al Metoda per partes

Metoda per partes ˇc´asteˇcnˇe nahrazuje chybˇej´ıc´ı pravidlo pro integraci souˇcinu.

Vˇeta

Necht’ jsou funkce u a v diferencovateln´e na intervalu I . Pak na I plat´ı Z

u(x )v⁰(x ) dx = u(x )v (x ) − Z

u⁰(x )v (x ) dx , jestliˇze integr´aly na prav´e stranˇe rovnosti existuj´ı.

(11)

Pozn´amka

Jako funkci u, tedy tu, kterou pˇri pouˇzit´ı vˇety derivujeme, vol´ıme zpravidla funkci, kter´a se pˇri derivov´an´ı “v´ıce zlepˇs´ı”.

Z

P(x )f (x ) dx ,

kde P(x ) je polynom, ˇreˇs´ıme pomoc´ı metody per partes takto:

Je-li f (x ) jedna z funkc´ı e^kx, sin(kx ), cos(kx ), pak vol´ıme u = P(x ).

Je-li f (x ) jedna z funkc´ı ln x , arcsin x , arccos x , arctg x , arccotg x , pak vol´ıme u = f (x ).

Metodu per partes lze pouˇz´ıt opakovanˇe.

(12)

Pˇr´ıklad Z

x sin x dx =



u = x u⁰ = 1 v⁰ = sin x v = − cos x



= x · (− cos x ) − Z

1 · (− cos x ) dx = −x cos x + Z

cos x dx

= −x cos x + sin x + c.

Pozn´amka

Zkouˇsku provedeme zderivov´an´ım v´ysledku.

(13)

Pˇr´ıklad Z

3x²ln²x dx =



u = ln²x u⁰ = 2 ln x ·¹_x v⁰ = 3x² v = x³



= x³ln²x − Z

2 · ln x · 1 x · x³dx

= x³· ln²x − 2 Z

x²ln x dx =



u = ln x u⁰ = _x¹ v⁰= x² v = ^x₃³



= x³· ln²x − 2

ln x · x³ 3 −

Z x³ 3 ·1

xdx

= x³· ln²x − 2x³

3 ln x +2 3

Z x²dx

= x³· ln²x − 2

3x³ln x +2 3·x³

3 + c

= x³· ln²x − 2

3x³ln x +2

9x³+ c.

(14)

Neurˇcit´y integr´al Substituˇcn´ı metoda

Substituˇcn´ı metoda se pouˇz´ıvá pro výpoˇcet nˇekterých integrál˚u ze sloˇzených funkc´ı a také pro výpoˇcet nˇekterých integrál˚u ze souˇcinu ˇci pod´ılu funkc´ı.

Vˇeta (Substituˇcn´ı metoda I)

Necht’ f (t) je funkce spojit´a na intervalu I , necht’ m´a funkce ϕ(x ) derivaci na intervalu J a necht’ plat´ı ϕ(J) = I . Potom na J plat´ı

Z

f (ϕ(x )) · ϕ⁰(x ) dx = Z

f (t) dt, dosad´ıme-li do v´yrazu na prav´e stranˇe t = ϕ(x ).

Pozn´amka

Za novou promˇennou t vol´ıme vnitˇrn´ı sloˇzku sloˇzené funkce f (ϕ(x )), tedy t = ϕ(x ). Odtud diferenciac´ı dostáváme dt = ϕ⁰(x ) dx (porovnejte se vzorcem ve znˇen´ı vˇety).

(15)

Pˇr´ıklad

Z

sin(ln x ) ·1 x dx =



t = ln x dt = ¹_xdx



= Z

sin t dt = − cos t + c = − cos(ln x ) + c.

(16)

Vˇeta (Substituˇcn´ı metoda II)

Necht’ f (x ) je funkce spojit´a na intervalu I , necht’ m´a funkce ϕ(t) na intervalu J nenulovou derivaci a necht’ plat´ı ϕ(J) = I . Potom na I plat´ı

Z

f (x ) dx = Z

f (ϕ(t))ϕ⁰(t) dt,

dosad´ıme-li do v´yrazu na prav´e stranˇe t = ϕ⁻¹(x ), kde ϕ⁻¹(x ) je funkce inverzn´ı k funkci ϕ(x ).

(17)

Pozn´amka

Pˇrestoˇze pravá strana vztahu pro substituci vypadá sloˇzitˇeji neˇz levá strana, vhodnou volbou substituce dodjde ˇcasto naopak k výraznému zjednoduˇsen´ı.

Porovnáme-li obˇe uvedené substituˇcn´ı metody, zjist´ıme, ˇze jde o jediný vztah, který lze vyuˇz´ıt zprava doleva, nebo naopak.

(18)

Pˇr´ıklad

Pˇr´ım´e pouˇzit´ı vˇety:

Z

sin(2x + 1) dx =



x = ^t−1₂ dx = ¹₂dt



= Z

sin

2 · t − 1 2 + 1

·1

2dt = 1 2

Z

sin t dt

= −1

2cos t + c =



x = ^t−1₂ t = 2x + 1



= −1

2cos(2x + 1) + c.

V tomto pˇr´ıpadˇe snadnˇeji:

Z

sin(2x + 1) dx =



t = 2x + 1 dt = 2 dx dx = ¹₂dt



= Z

sin t ·1

2dt = −1

2cos t + c = −1

2cos(2x + 1) + c.

(19)

D˚usledek

Je-li F primitivn´ı funkce k funkci f , pak plat´ı Z

f (αx + β) dx = 1

αF (αx + β) + c.

Pˇr´ıklad

Z √

4x + 5 dx = Z

(4x + 5)^1/2dx

= 1 4

(4x + 5)^3/2

3 2

+ c = 1 6

q

(4x + 5)³+ c.

(20)

D˚usledek Plat´ı

Z f⁰(x )

f (x ) dx = ln |f (x )| + c.

Pˇr´ıklad

Z 5x

3x²+ 5dx = 5

Z x

3x²+ 5dx = 5 6

Z 6x

3x²+ 5dx

= 5

6ln |3x²+ 5| + c = 5

6ln(3x²+ 5) + c.

(21)

Pˇr´ıklady

Pˇr´ıklad

Spoˇctˇete integr´aly:

(i) R 6x²−^√⁴

x +²_xdx , (ii) R √3

x²· (x²+ 1) dx , (iii) R 2x³+ 4x − 8

x² dx , (iv) R 2x³− 3x²+ 1

x − 3 dx . Reˇsen´ı:ˇ

(i) 2x³− 8√

x + 2 ln |x | + c, (ii) ₁₁³ ³

√

x¹¹+ ³₅ ³

√ x⁵+ c, (iii) x²+ 4 ln |x | +⁸_x + c,

(iv) ²₃x³+³₂x²+ 9x + 28 ln |x − 3| + c.

(22)

Pˇr´ıklady

Pˇr´ıklad

Integrujte pomoc´ı subsituce (i) R cos ³₂x dx,

(ii) R ₃

√2−8x dx , (iii) R ₄

2x −1dx , (iv) R 5^3xdx ,

(v) R ₁

4x²+1dx Reˇsen´ı:ˇ

(i) ²₃sin ³₂x + c, (ii) −³₄√

2 − 8x + c, (iii) 2 ln |2x − 1| + c, (iv) _{3 ln 5}⁵^3x + c,

(v) ¹₂arctg(2x ) + c.

(23)

Pˇr´ıklady

Pˇr´ıklad

Pomoc´ı metody per partes integrujte (i) R x²e^xdx ,

(ii) R x²ln x dx . Reˇsen´ı:ˇ

(i) e^x x²− 2x + 2 + c, (ii) ^x₃³ln x −^x₉³ + c.

(24)

Pˇr´ıklady

Pˇr´ıklad Integrujte:

(i) R _4x

2x²−8dx , (ii) R _x

2x²−8dx , (iii) R tg x dx.

Z f⁰(x )

f (x ) dx = ln |f (x )| + c

Reˇsen´ı:ˇ

(i) ln |2x²− 8| + c, (ii) ¹₄ · ln |2x²− 8| + c, (iii) =R _{sin x}

cos xdx = −R _{− sin x}

cos x dx = − ln |cos x | + c.

(25)

Pˇr´ıklady

Pˇr´ıklad

S pouˇzit´ım vzorce

Z 1

A²+ x²dx = 1

Aarctg x A+ c spoˇc´ıtejte integr´al

Z 1

16 + 9x²dx . Reˇsen´ı:ˇ

Z 1

16 + 9x²dx =

Z 1

4²+ (3x )²dx

= 1 3 ·1

4· arctg3x

4 + c = 1

12arctg3x 4 + c.

(26)

Pˇr´ıklady

Pˇr´ıklad

Z 1

A²− x²dx = 1 2Aln

A + x A − x

+ c spoˇc´ıtejte integr´al

Z 3

16 − 9x²dx . Reˇsen´ı:ˇ

Z 3

16 − 9x²dx = 3

Z 1

4²− (3x)²dx

= 3 ·1 3 · 1

2 · 4· ln

4 + 3x 4 − 3x

+ c = 1 8ln

4 + 3x 4 − 3x

+ c.

(27)

Pˇr´ıklady

Pˇr´ıklad

Z 1

√

A²− x² dx = arcsinx A + c spoˇc´ıtejte integr´al

Z −7

√

16 − 3x² dx . Reˇsen´ı:ˇ

Z −7

√

16 − 3x² dx = −7

Z 1

q

4²− (√ 3x )²

dx

= −7 1

√3arcsin

√3x

4 + c = −7√ 3 3 arcsin

√3x 4 + c.

(28)

Pˇr´ıklady

Pˇr´ıklad

Z 1

√

x²± B dx = ln |x +p

x²± B| + c spoˇc´ıtejte integr´al

Z 2

√4x²− 3dx . Reˇsen´ı:ˇ

Z 2

√4x²− 3dx = 2

Z 1

p(2x)²− 3dx

= 21

2ln |2x +p

4x²− 3| + c = ln |2x +p

4x²− 3| + c.

(29)

Pˇr´ıklady

Pˇr´ıklad

Pouˇzit´ım doplnˇen´ı na ˇctverec spoˇc´ıtejte integr´al

Z 3

2x²+ 8x − 10dx . Reˇsen´ı:ˇ

Z 3

2x²+ 8x − 10dx = 3 2

Z 1

x²+ 4x − 5dx

= 3 2

Z 1

(x + 2)²− 9dx = −3 2

Z 1

9 − (x + 2)² dx

= −3 2· 1

2 · 3ln

3 + x + 2 3 − x − 2

+ c = −1 4ln

x + 5 1 − x

+ c.

(30)

Neurˇcitý integrál II Racionáln´ı lomená funkce

Pozn´amka

Jiˇz v´ıme, ˇze kaˇzdou racionáln´ı lomenou funkci, která nen´ı ryze lomená, lze pomoc´ı dˇelen´ı polynom˚u pˇrevést na souˇcet polynomu a ryze lomené racionáln´ı funkce.

Budeme se tedy zaj´ımat pouze o integrály z ryze lomených racionáln´ıch funkc´ı.

Zamˇeˇr´ıme se na 4 typy integr´al˚u:

1 R _A

ax +bdx ,

2 R _A

(ax +b)ⁿ dx , n ∈ N,

3 R _A

ax²+bx +cdx ,

4 R _{Ax +B}

ax²+px +qdx , kde A, B, a, b, c, p, q jsou re´aln´a ˇc´ısla.

(31)

Typ 1 a 2 ˇreˇs´ıme substituc´ı t = ax + b.

Pˇr´ıklad (Typ 1)

Z 3

2x − 8dx =



t = 2x − 8 dt = 2 dx dx = ¹₂dt



= Z 3

t ·1

2dt = 3 2

Z 1 t dt

= 3

2ln |t| + c = 3

2ln |2x − 8| + c.

(32)

Pˇr´ıklad (Typ 2)

Z 3

(2x − 8)³ dx =



t = 2x − 8 dt = 2 dx dx = ¹₂dt



= Z 3

t³ 1

2dt = 3 2

Z 1 t³dt

= 3 2

Z

t⁻³dt = 3 2

t⁻²

−2 + c

= 3

−4 1

t² + c = −3

4(2x − 8)² + c.

(33)

Typ 3 ˇreˇs´ıme doplnˇen´ım jmenovatele na ˇctverec a pouˇzit´ım vzorce pro

R ₁

A²+x²dx , neboR ₁

A²−x²dx . Pˇr´ıklad (Typ 3)

Z 3

2x²− 4x + 10dx = 3 2

Z 1

x²− 2x + 5dx = 3 2

Z 1

(x − 1)²+ 4dx

=



t = x − 1 dx = dt



= 3 2

Z 1

t²+ 2²dt

= 3 2·1

2 · arctgt

2 + c = 3

4arctgx − 1 2 + c.

(34)

Typ 4 ˇreˇs´ıme pˇreveden´ım na souˇcet integr´alu typuR _f⁰_{(x )}

f (x ) dx a integr´alu typu 3.

Pˇr´ıklad (Typ 4) Z 3x − 6

x²+ 2x − 3dx = 3

Z x − 2

x²+ 2x − 3dx = 3 ·1 2

Z 2x − 4 x²+ 2x − 3dx

= 3 2

Z 2x + 2 − 2 − 4 x²+ 2x − 3 dx

= 3 2

Z 2x + 2

x²+ 2x − 3 + −6

x²+ 2x − 3dx

I1=

Z 2x + 2

x²+ 2x − 3dx = ln |x²+ 2x − 3| + c

(35)

I₂= −6

Z 1

x²+ 2x − 3dx = −6

Z 1

(x + 1)²− 4dx =



t = x + 1 dt = dx



= −6

Z 1

t²− 4dt = 6

Z 1

4 − t² dt = 6 1 2 · 2ln

2 + t 2 − t

+ c

= 3 2ln

x + 3 1 − x

+ c Celkem

Z 3x − 6

x²+ 2x − 3dx = 3 2

ln |x²+ 2x − 3| +3 2ln

x + 3 1 − x

+ c

(36)

Neurˇcit´y integr´al II Znaˇcen´ı

Racion´aln´ı lomenou funkci v promˇenn´ych α, β, γ, . . . budeme znaˇcit R(α, β, γ, . . . ). Napˇr. R(x , sin x ) jsou funkce ^x²^{−2 sin}_sin2x³^x, 2x + sin x ,

sin x −x⁴

x²−2 sin³x apod.

(37)

Neurˇcitý integrál II Goniometrické funkce

Volba substituce

Necht’ je integrand (integrovaná funkce) typu R(sin x , cos x ). Je-li integrand lichá funkce v˚uˇci sinu, vol´ıme substituci t = cos x . Je-li lichá v˚uˇci kosinu, vol´ıme t = sin x .

Pozn´amka Pˇripomeˇnme

sin²x + cos²x = 1

⇒ sin²x = 1 − cos²x

⇒ cos²x = 1 − sin²x .

(38)

Neurˇcitý integrál II Goniometrické funkce

Pˇr´ıklad Z

sin²x · cos⁵x dx =



t = sin x dt = cos x dx



= Z

sin²x cos⁴x cos x dx

= Z

sin²x (cos²x )²cos x dx = Z

sin²x (1 − sin²x )²cos x dx

= Z

t²(1 − t²)²dt = Z

t²− 2t⁴+ t⁶dt = t³ 3 − 2t⁵

5 +t⁷ 7 + c

= 1

3sin³x − 2

5sin⁵x + 1

7sin⁷x + c.

(39)

Neurˇcitý integrál II Iracionáln´ı funkce

Volba substituce I

Je-li je integrand typu R(x ,√ⁿ

ax + b), n ∈ N, vol´ıme substituci tⁿ= ax + b, t =√ⁿ

ax + b.

T´ım pˇrevedeme integrál na integrál z racionáln´ı lomené funkce.

(40)

Pˇr´ıklad

Z 2x

√3

4x − 1dx =



t³ = 4x − 1 ⇒ x = ^t³₄⁺¹ 3t²dt = 4 dx ⇒ dx = ³₄t²dt



=

Z 2 · ^t³⁺¹₄ t ·3

4t²dt

= 2 4·3

4

Z (t³+ 1)t²

t dt = 3 8

Z

(t³+ 1)t dt

= 3 8

Z

t⁴+ t dt = 3 8

t⁵ 5 +t²

2

+ c

= 3 8

1 5

√3

4x − 1

5

+1 2

√3

4x − 1

2 + c

= 3 80

3

q

(4x − 1)² h

2(4x − 1) + 5 · 1 i

+ c

= 3 80

3

q

(4x − 1)²· (8x + 3) + c.

(41)

Volba substituce II

Je-li je integrand typu R(x , ⁿ¹√ x , ⁿ²√

x , . . . , ^nk√

x ), n1, . . . , n_k ∈ N, vol´ıme substituci

t^s = x , t =√^s x,

kde s je nejmenˇs´ım spoleˇcným násobkem ˇc´ısel n1, . . . , nk. T´ım pˇrevedeme integrál z iracionáln´ı funkce na integrál z racionáln´ı lomené funkce.

(42)

Pˇr´ıklad Z √5

x − 3√ x

x dx =



t¹⁰= x ⇒ t = ¹⁰√ x 10t⁹dt = dx



=

Z t^10/5− 3 · t^10/2

t¹⁰ · 10t⁹dt

=

Z t²− 3t⁵

t¹⁰ 10t⁹dt = 10 Z

t − 3t⁴dt

= 10 t² 2 − 3t⁵

5

+ c

= 5¹⁰

√

x²− 6¹⁰

√

x⁵+ c = 5√⁵

x − 6√ x + c.

(43)

Wolfram|Alpha

Neurˇcit´y integr´al.~ ~

integrate x^5 ln(x) integrate sqrt(ln(x))/x