Wprowadzenie do WK1 Stan naprężenia

Wprowadzenie do WK1 Stan naprężenia

Płaski stan naprężenia

Wytrzymałość konstrukcji 1

Wykład 1

Dr hab. inż. Piotr Marek

Wytrzymałość Konstrukcji

(Wytrzymałość materiałów, Mechanika konstrukcji)

P

Nauka o trwałości spotykanych w praktyce typowych elementów konstrukcji pod działaniem sił

Doświadczenie: pod działaniem sił wszystkie ciała stałe odkształcają się.

Ciało stałe + siły

(ustrój, element maszyny)

➔ odkształcenia

(zmiana kształtu)

➔ zniszczenie ?

p

g

x y z

Zjawiska odkształcenia i zniszczenia ciała zależą od:

1) Rodzaju materiału (stal, szkło itp.) i jego stanu (rodzaj obróbki mechanicznej, cieplnej, chemicznej)

Zadania WK:

Cel WK ➔ Kontrola i kształtowanie

Prostota! Nacisk na stronę praktyczną (przesłanki doświad. i teoretyczne) Zjawiska odkształcenia i zniszczenia ciała zależą od:

1) Rodzaju materiału (stal, szkło itp.) i jego stanu (rodzaj obróbki mechanicznej, cieplnej, chemicznej)

2) Kształtu i wymiarów (wał maszyny, zbiornik gazu itp.) Zjawiska odkształcenia i zniszczenia ciała zależą od:

1) Rodzaju materiału (stal, szkło itp.) i jego stanu (rodzaj obróbki mechanicznej, cieplnej, chemicznej)

2) Kształtu i wymiarów (wał maszyny, zbiornik gazu itp.) 3) Rodzaju i wartości sił (ciśnienie gazu, ciężar itp.) i ich

przebiegu w czasie (stałe lub zmienne)

Zjawiska odkształcenia i zniszczenia ciała zależą od:

1) Rodzaju materiału (stal, szkło itp.) i jego stanu (rodzaj obróbki mechanicznej, cieplnej, chemicznej)

2) Kształtu i wymiarów (wał maszyny, zbiornik gazu itp.) 3) Rodzaju i wartości sił (ciśnienie gazu, ciężar itp.) i ich

przebiegu w czasie (stałe lub zmienne)

4) Innych oddziaływań (temperatura, promieniowanie itp.)

Zadania WK:

1) Określenie wytrzymałości (odporności na zniszczenie) Zadania WK:

1) Określenie wytrzymałości (odporności na zniszczenie) 2) Określenie podatności (odkształcenia)

Cel WK ➔ Kontrola i kształtowanie

Prostota! Nacisk na stronę praktyczną (przesłanki doświad. i teoretyczne)

Teoria plastyczności i Teoria sprężystości – bliskie WK, ale złożony aparat

Uproszczony model ciała (model konstrukcji)

Rzeczywisty obiekt ➔ schemat obliczeniowy

(Istotne cechy)

Model materiału ➔ odstępujemy od mikrostruktury

Zmiany odległ.międzyatomowych 1) ciągły (continuum)

Zjawiska molekularne 2) jednorodny (uśredniony)

10²⁰-10³⁰ atomów 3) izotropowy (właściwości nie zależą od kierunków) 4) zwykła liniowa sprężystość

Kształt i wymiary ➔

2) tarcze 3) płyty 4) powłoki 5) bryły zwarte

Obciążenia konstrukcji

Miarą mechanicznego oddziaływania ciał na siebie są siły

• objętościowe (ciężar, siły bezwładności)

• powierzchniowe (np.: ciśnienie, naciski w obszarze kontaktu)

• czynne

• bierne

(reakcje)

Siły zewnętrzne:

Tworzenie modelu obliczeniowego

Model rzeczywisty Model obliczeniowy

Obciążenia konstrukcji

Siły wewnętrzne:

Siły działające w obrębie analizowanego obiektu nie będące siłami zewnętrznymi

Myślowe przecięcie

Naprężenie jest miarą intensywności obciążenia w przekroju

Naprężenie w punkcie to wartość do jakiej dąży stosunek siły  W działającej na element  A do pola tego elementu, gdy pole to dąży do zera

dA dW A

p W

A

=



= 

→



lim

Wypadkowe naprężenia w punkcie można traktować jako wektor tylko wtedy, gdy ustalona jest płaszczyzna przekroju.

Naprężenie



p 

(tnące)

Mały element powierzchni

przekroju

Siła wewnętrzna działająca na element przekroju

Stan naprężenia w punkcie

F A

A

A

n

 W

_

_

A₁

p

n



A F A

p W

A

=



= 

→



lim



lim cos 

0 1

1

A

F A

p W

A

=



= 

→



 



=

=





0 sin

0 cos p

p





 



=

=

















sin cos p

p

= 0

= p





 sin cos

cos

p

p

=

=

p

Rozważmy cienką tarczę

prostokątną umocowaną jednym końcem i obciążoną

równomiernie na przeciwległym brzegu siłą rozciągającą F

Naprężenie w punkcie dla przekroju A:

(napr. normalne)

Naprężenie w punkcie dla przekroju A₁:

(napr. styczne) Punkt

Naprężenie jako tensor

F

Jeśli wytniemy wokół punktu kostkę, pod kątem  :



















x



















 







 







=

z zy

zx

yz y

yx

xz xy

x





















Stan naprężenia w punkcie opisany jest

matematycznie przez tensor rzędu II

Analiza Płaskiego Stanu Naprężenia (PSN)

Rozważmy cienką tarczę o grubości  rozciąganą siłami F₁ i F₂

F

F

F

F

x y

a

b

Stan naprężenia w dowolnym punkcie tarczy przedstawimy

na myślowo wyciętej kostce:





dy

dx









n







Przetnijmy tę kostkę płaszczyzną

o normalnej pod kątem  do kierunku x W płaszczyźnie tej ukażemy składową normalną





 

=  b

F₁

1  

=  a

F₂

2

dA/cos

dAtg

dA

Analiza Płaskiego Stanu Naprężenia (PSN)

dy

dx









n







Równanie równowagi na oś x:

x y

0 cos sin

cos cos

1 +   +   =

− 

 

 



 dA _ ^dA _ ^dA

(

)

cos  −¹  +   +   =

 ^{ }

dA

0 sin

cos

1cos +  +  =

−  _  _ 

( )

Równanie równowagi na oś y:

0 cos cos

cos sin

2   +   −   =

− 

 

 





 dA tg _ ^dA _ ^dA

(

)

cos  −²   +   −   =

 ^{ }

dA

0 cos

sin

2 sin +  −  =

−  _  _ 

( )

dA/cos

dAtg

dA

Analiza Płaskiego Stanu Naprężenia (PSN)

dy

dx









n







0 sin

cos

1cos +  +  =

−  _  _ 

x y

( )

0 cos

sin

2 sin +  −  =

−  _  _ 

( )

(1)·cos + (2)·sin :

0 cos

sin cos

cos^{2 2}

1 +  +  =

−  _  _  

0 cos

sin sin

sin^{2 2}

2 +  −  =

−  _  _  









_ = ₁cos² + ₂ sin² -(1)·sin + (2)·cos :

0 sin

sin cos

sin

cos ²

1   −    −   =

 _{ }

0 cos

sin cos

sin

cos ²

2 +  −  =

−   _   _ 

(

)

_ = ₂¹ ₁ − ₂ sin2

Uzyskaliśmy wzory transformacyjne przejścia od naprężeń głównych (





do składowych stanu naprężenia na ściance o kierunku normalnej  do kierunku 1: (



, 

Koło Mohra (dla PSN)

( 

, 

)









_ = ₁cos² + ₂sin²



_ = Rsin2













O A

2

2

1 

_m =  ⁺

2

2

1 

 −

= R R







_ = _m + Rcos2

(

)







_ ^{1 2 1 2} cos² sin² 2

2 + −  −

= +

(

)

(

)

_ ^{1 2 2 2} 1 cos² sin² sin 2

cos

2 1+ − +  − +

=

(

)

_ = ¹_{2 1} − ₂ sin2 Sprawdzamy wzory transformacyjne:

Rozważmy przestrzeń naprężeń:

Wyszło to samo co we wzorach transformacyjnych!

Punkt N reprezentuje więc stan

naprężenia dla przekroju o normalnej w kierunku  do kierunku 1

N



n













Koło Mohra (dla PSN)



_ = Rsin2





_ = _m + Rcos2





( 

, 

)











n











2

O A

R



Przestrzeń naprężeń

N

N’

( 

, 

)



n’ +90°











x

Punkt wędruje po kole Mohra 2 razy szybciej!



= - 

Właściwości PSN:

1) Istnieją tylko 2 przekroje takie, że ₁, ₂ i wtedy _=0 (naprężenia główne w kierunkach prostopadłych do siebie – kierunki główne) 2) Dla ₁> ₂ musi być: ₁≥ _ ≥ ₂

3) Ekstremalne naprężenia tnące _max wystąpią w przekroju =45°

względem kierunków głównych

2(+90°)

n

 >0

 <0

n’

Konwencja znaku naprężeń tnących na kole Mohra

