x , y , z itp. X , Y , Z itp.,zaśichwartościmałymiliterami C zęstowygodniejestcharakteryzowaćzdarzeniazapomocąpojęciazmiennejlosowej.Zmiennalosowatotakazmienna,którawwynikudoświadczeniaprzyjmujewartośćliczbowązależnąodprzypadku.Zmiennalosowaprzyporządkowu

C

zęsto wygodnie jest charakteryzować zdarzenia za pomocą pojęciazmiennej losowej. Zmienna losowa to taka zmienna, która w wyniku doświadczenia przyjmuje wartość liczbową zależną od przypadku. Zmienna losowa przyporządkowuje więc zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. Zmienne losowe oznaczamy wielkimi literami X , Y , Z itp., zaś ich wartości małymi literami x, y , z itp.

Definicja

Rzeczywista funkcja X określona na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) jest zmienną losową, jeśli dla każdego A ∈ B(R) zbiór X−1_{(A) ∈ F, gdzie X}−1 jest operacją przeciwobrazu zbioru poprzez funkcję X .

Theorem

Jeśli X , Y są zmiennymi losowymi, to następujące funkcje są również zmiennymi losowymi:

1 X(ω) = c (funkcja stała),

2 _X + c oraz cX dla każdej liczby rzeczywistej c, 3 _X + Y oraz X − Y ,

4 _{XY, oraz X /Y jeśli Y 6= 0,}

5 dowolna kombinacja liniowa zmiennych losowych, 6 max(X , Y ) oraz min(X , Y ).

Podsumowując każda funkcja Y : Ω → R, która da się zdefiniować za pomocą funkcji elementarnych i działań przeliczalnych na zmiennych losowych X1, X2, . . . jest zmienną losową.

Definicja

Miara

P_{(X ∈ B) = P}X(B) = P(X−1(B)), dla każdego B ∈ B(R) nazywa się rozkładem prawdopodobieństwa zmiennej losowej X . Fakt, że zmienna losowa X ma rozkład prawdopodobieństwa µ będziemy zapisywać X ∼ µ.

Definicja

Dystrybuantą (funkcją rozkładu) zmiennej losowej X nazywamy funkcję FX(x) zmiennej rzeczywistej x określoną wzorem

Dystrybuanta ma następujące własności: 1 jest niemalejąca, 2 lim x→−∞F(x) = F (−∞) = 0, lim x→∞F(x) = F (∞) = 1.

3 jest lewostronnie ciągła.

Theorem

Jeśli funkcja F : R → R spełnia warunki powyższego twierdzenia, to jest dystrybuantą pewnej zmiennej losowej i wyznacza

Definicja

Zmienną losową nazywamy prostą jeśli zbiór jej wartości ma skończoną liczbę elementów.

Definicja

Zmienną losową nazywamy dyskretną (skokową), jeśli zbiór jej wartości jest co najwyżej przeliczalny.

Uwaga

Skok jest jedynym rodzajem nieciągłości dystrybuanty. Rozkład zmiennej losowej dyskretnej jest jednoznacznie wyznaczony przez jej punkty skokowe x1, x2, . . . oraz skoki p1, p2, . . .. Dla każdego co najwyżej przeliczalnego zbioru liczb {x1, x2, . . .} oraz ciągu p1, p2, . . . takiego, że p_i > 0 orazP

i

pi = 1 istnieje dyskretna zmienna losowa.

Dystrybuantę zmiennej losowej dyskretnej można wyrazić następującym wzorem:

F(x) = P(X < x) = X xi<x

pi.

Przykład (dystrybuanta dyskretna)

Rozważmy zmienną losową X o następującym rozkładzie: P_{(X = −1) =} 1 3, P(X = 0) = 1 6, P(X = 3 2) = 1 2. Jaką postać ma dystrybuanta tej zmiennej losowej. Ile wynosi P_{(|X | ­ 1)?}

Definicja

Zmienną losową nazywamy ciągłą jeśli jej dystrybuanta jest funkcją ciągłą dla x ∈ R.

Dystrybuanta jest funkcją ciągłą wtedy i tylko wtedy, gdy nie ma punktów skokowych.

Definicja

Zmienną losową nazywamy absolutnie ciągłą jeśli istnieje nieujemna funkcja f (x), nazywana gęstością, dla której

FX(x) =

Z x

−∞

W punktach ciągłości funkcji f (x) mamy F′(x) = f (x) oraz

Z ∞

−∞

f(x)dx = 1.

Zatem dla zmiennych losowych absolutnie ciągłych

Uwaga

Gęstość fX(x) w pełni definiuje rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X .

Theorem

Funkcja f jest gęstością pewnego rozkładu prawdopodobieństwa wtedy i tylko wtedy, gdy f ­ 0 prawie wszędzie względem miary Lebesque’aoraz R

Theorem

Jeśli F jest dystrybuantą, F′ _{istnieje prawie wszędzie, oraz}

Z ∞

−∞

F′(x)dx = 1, to F′ _{jest gęstością rozkładu o dystrybuancie F .}

Przykład (gęstość z dystrybuanty)

Zmienna losowa X ma dystrybuantę daną wzorem

F(x) =                  0 _{dla x < −}1 2 x+12 dla − 1 2 ¬ x ¬ 0, 1 2 dla 0 < x < 1 2, x dla 1 2 ¬ x ¬ 1, 1 dla x > 1.

Jaką postać ma gęstość tej zmiennej losowej i ile wynosi P_{(|X | <} 34)?

Z

mienna losowa X majeśli przyjmuje jedynie dwie wartości {x, y}, przy czymrozkład dwupunktowy, P(X = x) = p jest tzw. prawdopodobieństwem sukcesu, a P_{(X = y ) = 1 − p = q jest prawdopodobieństwem porażki.} Szczególny rozkład dwupunktowy, jeżeli zmienna losowa przyjmuje wartości {0, 1}, nazywamy rozkładem zero-jedynkowym

(Bernoulliego) z prawdopodobieństwem sukcesu p. Funkcję rozkładu można w takim przypadku krótko zapisać jako:

Z

mienna losowa X maz parametrami (n, p), gdzie n > 1 oraz 0 < p < 1,rozkład dwumianowy jeśli jej funkcja prawdopodobieństwa jest postaci:

P(X = k) = n k

!

pkqn−k

gdzie 0 ¬ k ¬ n. Rozkład ten odpowiada schematowi Bernoulliego.

Z

mienna losowa X maλ > 0, jeśli jej funkcja prawdopodobieństwa jest postaci:rozkład Poissona z parametrem P(X = k) = λ

k k!e

−λ_,

gdzie k = 0, 1, . . . . Parametr λ jest średnią w tym rozkładzie. Rozkładu tego używamy gdy nie jesteśmy w stanie określić ile maksymalnie zajść zdarzenia może wystąpić w pewnym okresie czasu t.

Prawdopodobieństwo, że liczba porażek przed pierwszym sukcesem w schemacie Bernoulliego wyniesie k można zapisać jako

P_{(X = k) = p(1 − p)}k, k= 0, 1, . . . , gdzie p ∈ (0, 1). Zmienna losowa opisana taką funkcją prawdopodobieństwa jest liczbą porażek jakich doznajemy w schemacie Bernoulliego, aby uzyskać jeden sukces. Rozkład ten nazywany jest rozkładem geometrycznym.

R

ozkład jednostajnyto rozkład prawdopodobieństwa, dla którego gęstośćinaczej prostokątny prawdopodobieństwa w przedziale od a do b jest stała i różna od zera, a poza nim równa zeru. Gęstość można zatem opisać wzorem:

f(x) = 1

b_{− a}I(a,b)(x).

Rozkład U(0, 1) nazywamy standardowym rozkładem

jednostajnym. Rozkład ten jest szczególnym przypadkiem rozkładu beta mianowicie B(1, 1). Rozkład beta jest bardzo ogólnym rozkładem określonym na odcinku [0, 1]. Posiada dwa dodatnie parametry α i β.

P

rzyjmijmy, że T oznacza czas pomiędzy kolejnymiwystąpieniami rzadkiego zdarzenia, które zachodzi średnio λ razy na jednostkę czasu. Wówczas T podlegarozkładowi wykładniczemu z parametrem λ > 0. Rozkład ten jest często wykorzystywany do modelowania przedziałów czasu pomiędzy kolejnymi zdarzeniami losowymi. Gęstość ma następującą postać:

f(x) = λe−λxI_[0,∞)(x).

Funkcja gęstości rozkładu zależy od jednego parametru λ > 0, który jest odwrotnością zarówno wartości oczekiwanej, jak i odchylenia standardowego.

Rozkład wykładniczy jest szczególnym przypadkiem ogólniejszego rozkładu gamma mianowicie Γ(1,1

λ). Rozkład gamma jest

dwuparametrowym (α, λ > 0) ciągłym rozkładem określonym dla liczb nieujemnych. Pojawia się on jako suma α niezależnych zmiennych losowych o rozkładach Exp(1

Przykład (rozkład wykładniczy)

Produkcja opon samochodowych w pewnej fabryce w okresie dwuletnim dowodzi, że rozkład czasu między zejściem z taśmy produkcyjnej dwóch kolejnych opon można opisać za pomocą zmiennej losowej X o rozkładzie wykładniczym ze średnią 20. Jaką postać ma funkcja gęstości i dystrybuanta zmiennej losowej X .

R

ozkład normalny, zwany też rozkładem Gaussa

pełni ważną funkcję zarówno w statystyce, jak i naukach przyrodniczych. Rozkład normalny jest teoretycznym rozkładem prawdopodobieństwa powszechnie wykorzystywanym we wnioskowaniu statystycznym jako przybliżenie rozkładu z próby. Funkcja gęstości ma następującą postać:

f(x) = 1 σ√2πe −(x −µ) 2 2σ2 _I (−∞,∞)(x).

Kształt funkcji gęstości zależy od wartości parametrów µ i σ2 . Parametr µ przesuwa krzywą wzdłuż osi odciętych, natomiast parametr σ2

powoduje, że krzywa jest bardziej spłaszczona lub wysmukła (im większy tym bardziej spłaszczony). Parametry te odpowiadają wartości oczekiwanej i wariancji w rozkładzie normalnym. Jeśli dokonamy przekształcenia

Z = X − µ σ ,

zwanego standaryzacją, to otrzymana w ten sposób zmienna losowa Z ma rozkład N(0, 1), zwany rozkładem normalnym standardowym.

Definicja

Jeśli F : R → [0, 1] jest dowolną dystrybuantą, to funkcję F−_{: [0, 1] → R określamy wzorem:}

F−_{(u) = inf{x : F (x) ­ u}} i nazywamy funkcją pseud-odwrotną.

Theorem (Ogólna metoda odwracenia dystrybuanty)

Jeśli U ∼ U(0, 1) i X = F−(U), to P(X < x) = F (x), czyli X _{∼ F .}