Algorytm obliczania jednorodnego podłoża gruntowego o kształcie wypukłym

(1)

Ryszard Hulboj

ALGORYTM OBLICZANIA JEDNORODNEGO PODŁOŻA

GRUNTOWEGO O KSZTAŁCIE WYPUKŁYM

Wprowadzenie

W celu zmniejszenia przekrojowych wartości sił wewnętrznych ławy funda-mentowej należy zapewnić takie rozwiązanie, aby nacisk na grunt pod krawędzia-mi ławy był krawędzia-minimalny lub równy zeru. W celu rozwiązania tego zagadnienia roz-kład ciśnienia na grunt powinno wyznaczyć się według wzoru [1]:

                 n sr x a x 1 q n 1 n q

(1)

gdzie:

qsr - średnia wartość nacisku na grunt, równa N/2 a,

а - połowa szerokości płyty, n = 0∞.

Przy rozkładzie nacisku na grunt wg równania (1), pod środkiem fundamentu, wystąpi wartość maksymalna, która uzależniona jest od stopnia potęgi n wyzna-czonej ze wzoru: sr max o q n 1 n q q   

Jak wynika z prowadzonych obliczeń [1], występujący rozkład naprężeń na po-ziomie posadowienia wg wzoru (1) spowoduje, że siły wewnętrzne w ławie funda-mentowej będą znacznie mniejsze (ok. 30÷40% aniżeli w przypadku równomier-nego rozkładu naprężeń). Daje to możliwość zmniejszenia zużycia zastosowanych materiałów przy realizacji fundamentów. Wytwarzanie ław o podstawie krzywoliniowej jest zagadnieniem bardzo skomplikowanym. Problem ten można rozwią-zać, stosując budowę fundamentów ławowych na podłożu gruntowym o kształcie krzywoliniowym.

(2)

Do wyznaczenia kształtu podłoża gruntowego, który odpowiadałby rozkładowi naprężeń wg wzoru (1), należy zastosować następujące warunki (rys. 1):

a) jeśli n = 1, wtedy ciśnienie na grunt będzie miało kształt trójkąta i qmax = 2qśr,

b) przy n = 2 ciśnienie na grunt będzie miało kształtparaboli i qmax = 1,5qśr (rys. 1b).

W zależności od potęgi n siły wewnętrzne w przekrơju płyty można wyznaczyć wg wzorów podanych w monografii [1]:

                                    a x n 1 n na x q Q 1 ) 2 n(n 2 4 ) 1 n(n a ax x n 2 1 n ) 2 n(n a x q M n 1 n śr x 2 2 n 2 n śr x (2)

Rys. 1. Schemat ławy fundamentowej o podstawie krzywoliniowej: a) przekrój poprzeczny, b) wykresy oporu podłoża w zależności od potęgi n przy x = 0: n = 1,

qx = qmax = 2qśr (linia 1); n = 2, q = qmax = 1,5 qśr (linia 2); n = ∞, qx = qśr (linia 3)

Na rysunku 2 pokazano wykres momentu Mx obliczonego wg wzoru (2) w

za-leżności od potęgi n. Nak ak bsc h x X hk =S y a 2 1 qśr qmax 3 qx b a) b)

(3)

Rys. 2. Wykres Мх w zależności od potęgi n

Analiza układu równań (2) pozwala na wyznaczenie Mx oraz Qx o minimalnych

wartościach w zależności od wielkości potęgi n. Jednak trzeba zauważyć, że przy n = 1 w środku płyty fundamentowej występuje ciśnienie qmax, które może być

większe od nośności granicznej gruntu. W takim przypadku w tej strefie pojawią się odkształcenia plastyczne, które mogą mieć znaczny wpływ na nośność gruntu. Aby takie zjawisko nie miało miejsca, przy badaniach nośności gruntu przyjęto rozkład nacisku wg równania (1) przy wartości wykładnika potęgi n  2.

1. Algorytm obliczania fundamentu ławowego

na podłożu gruntowym o kształcie wypukłym

1.1. Wyznaczenie przemieszczeń

Do wyznaczenia naprężeń i odkształceń w podłożu gruntowym o kształcie wy-pukłym wykorzystamy równania teorii sprężystości. Jak wynika z wyżej przedsta-wionych rozwiązań, rozkład naprężeń w poziomie posadowienia wg wzoru (1) daje wartości sił wewnętrznych znacznie mniejsze niż w przypadku rozkładu równo-miernego. Należy więc określić kształt podłoża gruntowego, który będzie odpo-wiadał rozkładowi naprężeń wg wzoru (1). Do rozwiązania tego zagadnienia zastosowano następujące równania teorii sprężystości (w warunkach rozwiązania płaskiego):

1) równania fizyczne (prawo Hooke’a dla gruntu jednorodnego):

xy 0 xy x y 2 0 y y x 2 0 x γ ) μ 2(1 E τ ) με (ε μ 1 E σ ) με (ε μ 1 E σ         (3) 2) równanie odkształcenia: x v y u γ y v ε x u εx y xy             , , (4)

(4)

3) równanie różniczkowe równowagi w postaci: 0 γ x τ y σ 0 y τ x σ xy y xy x              (5) gdzie:  - ciężar objętościowy; x,y,xy - składowe naprężenia; E0 - moduł odkształcenia;  - współczynnik Poissona;

u i v - przemieszczenia w kierunkach osi x i y.

Ostatecznie otrzymano układ ośmiu równań o ośmiu niewiadomych. Oznacza to, że można matematycznie wyznaczać naprężenia w układzie płaskim (dwuwy-miarowym). Rozwiązując układ ośmiu równań, można otrzymać układ równań różniczkowych z dwiema niewiadomymi u i v. Podstawiając równania (4) do rów-nań (3), a następnie do rówrów-nań (5), otrzymujemy następujące dwa równania róż-niczkowe: 0 x v y x u μ) 2(1 E y x u μ 1 μE y v μ 1 E 0 y x v y u μ) 2(1 E y x v μ 1 E μ x u μ 1 E 2 2 2 2 0 2 2 2 0 2 2 2 2 2 0 2 2 2 0 0 0                                               (6)

Przy badaniach naprężeń i odkształceń podłoża można zastosować metodę różnic skończonych [2]. Podłoże gruntowe zamienia się w jednorodną warstwę o skończonej grubości z zerowymi przemieszczeniami na granicy podłoża. Podłoże gruntowe może być naturalnie uwarstwione. W układzie (6) dla określenia u i v pochodne cząstkowe zastępuje się różnicami skończonymi:

y x 4 v v v v y x v y x 4 u u u u y x u Δy 2v v v y v Δx 2u u u x u y )/2 v (v y v x; )/2 u (u x u 1 j 1, i 1 j 1, i 1 j 1, i 1 j 1, i 2 1 j 1, i 1 j 1, i 1 j 1, i 1 j 1, i 2 2 j i, 1 j i, 1 j i, 2 2 2 j i, j 1, i j 1, i 2 2 1 j i, 1 j i, j 1, i j 1, i                                                               ; (7)

(5)

dla punktu (i, j) siatki,aproksymującej strefę gruntową (rys.3),uzyskujemywzory: ui,j = A11(ui+1,j +ui–1,j) +A12(vi–1,j–1 –vi–1,j+1 –vi+1,j–1 +vi+1,j+1) +A13(ui,j+1 +ui,j–1)

vi,j = A21(vi+1,j +vi–1,j) +A22(ui+1,j+1 ui–1,j+1 ui+1,j–1 +ui–1,j–1) +A23(vi,j+1 +vi,j–1)

gdzie:

A11, A12,…A23 - współczynniki zależne od  i rozmiarów siatki xy:

2 2 2 23 2 2 22 2 2 2 21 2 2 2 13 2 2 12 2 2 2 11 y ) 1 ( x 2 y ) 1 ( 5 , 0 A ; y ) 1 ( x 2 y x ) 1 ( 125 , 0 A y ) 1 ( x 2 x A ; x ) 1 ( y 2 x ) 1 ( 5 , 0 A x ) 1 ( y 2 y x ) 1 ( 125 , 0 A ; x ) 1 ( y 2 y A                                                     (9)

Z równań (8) wyznacza się przemieszczenia u i v dla punktów wewnętrznych, a dla punktów krańcowych z warunków granicznych.

1.2. Warunki graniczne

Z warunków granicznych wyznacza się przemieszczenia punktów na krawędzi siatki (rys. 3):

1. Pod podstawą fundamentu

y = qx – D (10)

gdzie:

D - głębokość posadowienia fundamentu;

D - obciążenie od ciężaru gruntu na głębokości D.

Zewzoru (10),wyrażonego wróżnicach skończonych, przyD = 0 otrzymano przemieszczenie pionowe punktów siatki na poziomie posadowienia fundamentu, tj.: x j i, 1 j i, 2 0 j 1, i j 1, i 2 0 y (v v ) q y ) μ 2(1 E ) u (u x ) μ 2(1 E μ σ             skąd: 0 2 x 1 j , i j , 1 i j , 1 i j , i E y ) 1 ( q 2 v ) u u ( x y v          _ _ _ (11)

Przemieszczenie poziome Ui,j = 0.

(6)

Rys. 3. Ławy fundamentowe na podłożu o powierzchni: 1 - płaskiej, 2 - krzywoliniowej; a) przekrój poprzeczny, b) naprężenia pod podstawą fundamentu

2. Dla nieobciążonej części powierzchni y = 0, xy = 0,

wtedy: 1 j , i j , 1 i j , 1 i j , i 1 j , i j , 1 i j , 1 i j , i V ) U U ( x y V U ) V V ( y 2 x U                  (12)

3. Po krawędzi płaszczyzny przyjmujemy:

Ui,j = Vi,j = 0 (13)

1.3. Równania do wyznaczenia naprężeń

Po wyznaczeniu przemieszczeń w podłożu gruntowym, wykorzystując prawo Hooke’a, można wyznaczyć naprężenia.

(7)

) V V ( x 4 E ) U U ( y 4 E ) v v ( y ) 1 ( 2 E ) u u ( x ) 1 ( 2 E ) V V ( y ) 1 ( 2 E ) U U ( x ) 1 ( 2 E j , 1 i j , 1 i 0 1 j , i 1 j , i 0 xy 1 j , i 1 j , i 2 0 0 j , 1 i j , 1 i 2 0 0 0 y 1 j , i 1 j , i 2 0 0 0 j , 1 i j , 1 i 2 0 x                                              (14)

2. Na obciążonej powierzchni (pod podstawą ławy fundamentowej):

) V V ( x 4 E ) U U ( y 4 E q ) v v ( y ) 1 ( 2 E ) u u ( x ) 1 ( 2 E ) V V ( y ) 1 ( 2 E ) U U ( x ) 1 ( 2 E j , i j , 1 i 0 1 j , i 1 j , i 0 xy x j , i 1 j , i 0 0 j , 1 i j , 1 i 2 0 0 0 y j , i 1 j , i 0 2 0 0 j , 1 i j , 1 i 2 0 x 2                                            (15)

3. Dla ław o podstawie płaskiej warunki graniczne dla powierzchni obciążonej przyjmujemy w przemieszczeniach:

Ui,j = 0; Vi,j = V0

gdzie V0 - osiadanie fundamentu, które wyznacza się z warunków równowagi.

0 dx N a a y   



 lub 0 x u y v 1 E B q a a 2 0 x               



 skąd 0 2 x 1 j , i j , 1 i j , 1 i 0 E y ) 1 ( q 2 v ) u u ( x y v             (16)

1.4. Wyznaczenie naprężeń i odkształceń w podłożu uwarstwionym Jeżeli podłoże gruntowe składa się z warstw, różniących się znacznie między sobą właściwościami, to takie podłoże nazywamy podłożem niejednorodnym (uwarstwionym) i dla rozwiązania równania oraz wyznaczenia naprężeń i odkształ-

(8)

ceń w takim podłożu niezbędne jest określenie dodatkowych warunków (tzn. na granicy warstw przyjmujemy równość naprężeń (rys. 4)):

xy y

y ;  

 xy (17)

Rys. 4. Schemat aproksymacji uwarstwionego podłoża

Stosując (14), można wyznaczyć naprężenia na granicy dwóch warstw: 1. Dla górnej warstwy:

) V V ( x 4 E ) U U ( y 4 E ) v v ( y ) 1 ( 2 E ) u u ( x ) 1 ( 2 E j , 1 i j , 1 i 01 01 1 j , i j , i 01 01 xy 1 j , i j , i 01 01 j , 1 i j , 1 i 2 01 01 1 0 y 2                            (18)

2. Dla dolnej warstwy:

) V V ( x 4 E ) U U ( y 4 E ) v v ( y ) 1 ( 2 E ) u u ( x ) 1 ( 2 E j , 1 i j , 1 i 02 02 j , i 1 j , i 02 02 xy j , i 1 j , i 2 20 02 j , 1 i j , 1 i 2 02 02 02 y                            (19)

Wykorzystując warunki (17), wyznaczamy przemieszczenia punktów siatki na granicy dwóch warstw:

(9)

) v v ( x y u E E E u A E E u v A A A v A A A ) u u ( A A A A x y j , 1 i j , 1 i 1 j , i 02 02 01 01 01 01 1 j , i 02 02 01 01 02 02 j , i 1 j , i 2 1 1 1 j , i 2 1 2 j , 1 i j , 1 i 2 1 1 01 2 02                                   j i, ν (20) gdzie:

A1, A2 - współczynniki, które wyznacza się wg wzorów:

) 1 ( 2 E A ; ) 1 ( 2 E A ₂ 02 02 2 2 01 01 1 __  __ (21)

gdzie: E01, E02 - moduły odkształceń pierwszej i drugiej warstwy podłoża; 01, 02

- współczynniki poprzecznego odkształcenia pierwszej i drugiej warstwy podłoża.

2. Algorytm obliczeń

Do obliczenia odkształceń i naprężeń w podłożu gruntowym o kształcie wypu-kłym pod fundamenty ławowe można wykorzystać istniejące metody programo- wania.

W programie do obliczania naprężeń i przemieszczeń w podłożu gruntowym fundamentu ławowego zastosowano następujące oznaczenia:

 Q - obciążenie na fundament, kN/m;  B - szerokość ławy fundamentowej, m;  D - głębokość posadowienia fundamentu, m;

 GAM - ciężar gruntu powyżej głębokości posadowienia, kN/m3_;  GAMD - ciężar gruntu poniżej głębokości posadowienia, kN/m3_;  EG - moduł edometryczny podłoża gruntowego, kPa;

 MG - współczynnik Poissona dla podłoża gruntowego;  MITG - maksymalna ilość iteracji do podłoża gruntowego;  IG - ilość punktów siatki w kierunku osi x;

 JG - ilość punktów siatki w kierunku osi y;

 INP - numer pierwszego punktu pod podstawą płyty fundamentowej;  DLX - odległość między punktami siatki po osi x, m;

 DLY - odległość między punktami siatki po osi y, m;

 ISF - numer pierwszego więzła pod podstawą płyty fundamentowej;  IR - współczynnik regulowania obliczeń podłoża: IR = 1 - wg PN,  IR = 0 - o kształcie trapezowym;

 NW - ilość warstw w podłożu gruntowym;  WH1 - grubość 1 warstwy;

 WCI - współczynnik nachylenia i-tej warstwy; jeśli WCI = 0, to warstwy zale-gają równolegle.

(10)

Na rysunku 5 przedstawiono schemat blokowy programu komputerowego do obliczania naprężeń i przemieszczeń w podłożu gruntowym o kształcie wypukłym.

Rys. 5. Schemat blokowy programu komputerowego do obliczania naprężeń w podłożu gruntowym o kształcie wypukłym

(11)

Podsumowanie

Pod podstawą fundamentu ławowego wystąpi ciśnienie o rozkładzie parabolicz- nym z maksymalną wartością w środku ławy oraz wartościami zerowymi na kra-wędziach. Wskutek tego siły wewnętrzne w przekroju obliczeniowym spowodują obniżenie rozkładu ciśnienia, co w konsekwencji daje możliwość zaprojektowania bardziej ekonomicznych konstrukcji fundamentów ławowych.

Literatura

[1] Hrytsuk M., Racjonalne konstrukcje fundamentów płytowych, Wydawnictwo Politechniki Częstochowskiej, Częstochowa 2010.

[2] Винокуров Е.Ф., Итерационный метод расчета оснований и фундаментов с помощью ЭВМ, Нayкa и Texникa, Mинcк 1973.

Streszczenie

W artykule podano algorytm obliczeń jednorodnego podłoża gruntowego o kształcie wypukłym. Na podstawie przeprowadzonych obliczeń stwierdzono, że siły wewnętrzne w ławie fundamentowej uzyskują mniejsze wartości w porównaniu do równomiernego rozkładu naprężeń. Daje to możliwości ekonomicznego projektowania fundamentów.

Algorithmus zur Berechnung der Form eine homogene Masse Land Base

Zusammenfassung

Der Artikel gibt einen Algorithmus zur Berechnung der Spannungen und Verformungen in das Substrat Boden in der Form einer Parabel. Auf der Grundlage des Ergebnisses des Stiftungsrates Lava Druck auftritt, die einer parabolischen Kurve der maximale Wert in der Mitte der Platte und Null-Werte an den Rändern wird. Innere Kräfte, die im Querschnitt Berechnung auftreten verringert den Rechenaufwand Platte Druckverteilung, was wiederum macht es möglich, kostengünstige Bau der Fundamente.