Wyznaczenie odkształceń, przemieszczeń i naprężeń w ławach fundamentowych na podłożu gruntowym o kształcie wypukłym

(1)

Mikhail Hrytsuk, Ryszard Hulboj

WYZNACZENIE ODKSZTAŁCEŃ, PRZEMIESZCZEŃ I NAPRĘŻEŃ

W ŁAWACH FUNDAMENTOWYCH NA PODŁOŻU GRUNTOWYM

O KSZTAŁCIE WYPUKŁYM

Wprowadzenie

Przy rozwiązaniu zagadnienia przyjmujemy, że bryła fundamentowa jest jedno-rodna i izotropowa. Dla dolnej części fundamentu, w której znajduje się zbrojenie, wykorzystujemy uśredniony moduł sprężystości, który zakłada współpracę betonu i zbrojenia.

Ławę fundamentową przyjmuje się jako absolutnie sztywną. Jeśli jej podatność t wyznaczona wg [1] będzie mniejsza od 1, to największa podatność wystąpi dla płyty o maksymalnej szerokości 4 m, tj.:

1 62 , 0 5 , 0 2 10 30 30 10 t ₃ 3 3      ₃ 1 3 0 h E a E 10 gdzie:

E1 - moduł sprężystości betonu klasy C20/25, równy 30 ∙ 103 МPа; E0 - moduł odkształcenia podłoża gruntowego;

h - grubość płyty, m;

а - połowa szerokości płyty, m.

Jeśli t = 0,62 < 1, to przy wyznaczeniu naprężeń i odkształceń w podłożu grunto-wym odkształcenia ławy nie bierzemy pod uwagę.

1. Równania do wyznaczenia odkształceń

w płytach fundamentów ławowych

Do wyznaczenia naprężeń i odkształceń w bryle fundamentowej przyjmujemy równania równowagi i Cauchy’go takie same jak dla podłoża gruntowego, a rów-nania fizyczne (prawo Hooke’a) wyrażamy w następującej postaci (płaski stan odkształceń):

(2)

xy xy y 2 x 2 y y 2 x 2 x γ μ) 2(1 E τ ε E 2μ 1 μ 1 ε E 2μ 1 μ σ ε E 2μ 1 μ ε E 2μ 1 μ 1 σ             (1)

Wtedy równania równowagi w przemieszczeniach uzyskają postać:

0 y v 2μ 1 μ 1 y x u 2μ 1 μ x v y x u μ) 2(1 1 0 y x v y u μ) 2(1 1 y x v 2μ 1 μ x u 2μ 1 μ 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2                                                 (2)

Układ (2) można rozwiązać, stosując metodę różnic skończonych. Wtedy otrzymu-jemy układ równań liniowych w postaci:

Ui,j = k11(Ui+1,j+Ui1,j) + k12(Ui,j+1+Ui,j1) + k13(Vi+1,j+1Vi-1,j+1Vi+1,j1 + Vi1,j1) Vi,j = k21(Vi+1,j+Vi1,j) + k22(Vi,j+1+Vi,j1) + k23(Ui+1,j+1Ui1,j+1 + Ui+1,j1 + Ui1,j1) gdzie: 2 1 2 11 Δx α ) 2μ 1 μ 1 k     ( ; 2 1 12 Δy α μ) 2(1 1 k    ; Δy Δx α μ) )(1 2μ 8(1 2μ 1 k 1 2 13     ₂ 2 21 Δx α μ) 2(1 1 k    ; Δy α ) μ (1 μ 1 k ₂ 2 2 22 _ _   Δy Δx α μ) 2μμ)( 8(1 2μ 1 k 2 23 _ _ _                 ₂ ₂ ₂ 1 y μ) (1 1 ) 2μ (1 μ) 2(1 α x             ₂ ₂ ₂ ₂ Δx μ) (1 1 y ) 2μ (1 μ) 2(1 α

Przekrój płyty fundamentowej zamienia się wraz z siatką o wymiarach x._y (rys. 1).

Z równań układu (3) wyznacza się przemieszczenia wewnętrznych punktów siatki. Przemieszczenia punktów po krawędzi wyznacza się z warunków granicz-nych (rys. 1):

(3)

 Dla podstawy fundamentu (strefa 2)

y = –qх (4)

gdzie:

qх - ciśnienie na grunt, które wyznacza się z równania (2.3) [2];  Dla stref 5-6

х = 0; y = 0; xy = 0 (5)

Rys. 1. Schemat aproksymacji podłoża gruntowego i ławy fundamentowej (przy obciążeniu całkowitym); 1-8 podział na strefy

2. Wyznaczenie przemieszczeń

Przemieszczenia punktów po krawędzi bryły fundamentowej wyznacza się z następujących równań:

Strefa zagęszczonego gruntu

i-1,j-1 i, j-1 i+1,j-1

i-1,j i,j i+1, j

i-1,j+1 i,j+1 i+1,j+1

8 7 ₈ 5 3 6 4 x N 0 i j y x y m, n

(4)

 strefa 2 1 j i, j i, j 1, i 2 i j i, 1 j i, j 1, i j 1, i j i, V ) U (U μ)2Δx (1 Δy μ E μ ) 2μ Δy(1 q V U ) V (V x 2 Δy U                   (6) gdzie: μ 1 1 μ    (7) – punkt 3 1 j i, j i, j 1, i j i, (U U ) V μ)Δx (1 Δy μ V _ _             _i ₁_,_j _i_,_j _i_,_j ₁ j , i (V V ) U x y U (8) – punkt 4 1 j i, j 1, i j i, j i, 1 j i, j 1, i j i, j i, V ) U (U Δx μ) (1 Δy μ V U ) V (V Δx Δy U             (9)  strefa 5 j 1, i 1 j i, 1 j i, j i, j 1, i 1 j i, 1 j i, j i, V ) U (U y 2 Δx V U ) V (V Δy μ) 2(1 Δx μ U               (10)  strefa 6 j , 1 i 1 j , i 1 j , i j , i (U U ) V y 2 x V _ _ _               _i,_j ₁ _i,_j ₁ _i _1,_j j i, (V V ) U μ)Δy 2(1 Δx μ U (11)  strefa 7 Ui,j = 0; Vi,j = 0 (12)

(5)

 strefa 8 1 j i, j 1, i j 1, i j i, 1 j i, j 1, i j i, j i, V ) U (U Δx μ) 2(1 Δy μ V U ) V (V x 2 Δy U                (13)

3. Równania do wyznaczenia naprężeń

Aby wyznaczyć naprężenia w bryle fundamentu, wykorzystuje się prawo Hoo-ke’a i dane przemieszczeń wg wzorów (7)-(13), które dla wewnętrznych punktów siatki wynoszą:  strefa 1 ) V (V x 2 E μ ) U (U y 2 E μ τ ) V (V y ) 2μ 2(1 E μ) (1 ) U (U x ) 2μ 2(1 E μ σ ) V (V y ) 2μ 2(1 E μ ) U (U x ) 2 2(1 E μ) (1 σ j 1, i j 1, i 1 j i, 1 j i, xy 1 j i, 1 j i, 2 j 1, i j 1, i 2 y 1 j i, 1 j i, 2 j 1, i j 1, i 2 x                                        (14)  strefa 2 ) V (V x 2 E μ ) U (U Δy E μ τ q σ ) V (V y ) 2μ (1 E μ ) U (U x ) 2μ 2(1 E μ) (1 σ j 1, i j 1, i j i, 1 j i, xy x y j i, 1 j i, 2 j 1, i j 1, i 2 x                         (15) – punkt 3 ) V (V Δx E μ ) U (U Δy E μ τ ) V (V y ) 2μ (1 E μ ) U (U x ) 2μ (1 μ)E (1 σ j i, j 1, i j i, 1 j i, xy 1 j i, 1 j i, 2 j 1, i j 1, i 2 x                         x y q (16)  strefa 7

(6)

) V (V x 2 E μ ) U (U Δy E μ τ N/B σ ) V (V y ) 2μ (1 E μ ) U (U x ) 2μ (1 μ)E (1 σ j 1, i j 1, i 1 j i, j i, xy c y 1 j i, j i, 2 j 1, i j 1, i 2 x                        (17)

gdzie Bc - szerokość ściany fundamentowej – punkt 4 ) q_x y j 1, i j i, j i, 1 j i, xy j i, 1 j i, 2 j 1, i j i, 2 x V (V Δx E μ ) U (U Δy E μ τ ) V (V y ) 2μ (1 E μ ) U (U x ) 2μ (1 μ)E (1 σ                       (18)  strefa 6 ) j 1, i 1 j i, 1 j i, j i, xy 1 j i, 1 j i, 2 1 j i, j i, 2 y 1 j i, 1 j i, 2 j 1, i j i, 2 x V (V Δx E μ ) U (U Δy E μ τ ) V (V y ) 2μ 2(1 μ)E (1 ) U (U x ) 2μ (1 E μ σ ) V (V y ) 2μ (1 E μ ) U (U x ) 2μ (1 μ)E (1 σ                                   (19)  strefa 5 ) V (V Δx E μ ) U (U y 2 E μ τ ) V (V y ) 2μ (1 μ)E (1 ) U (U x ) 2μ (1 E μ σ ) V (V y ) 2μ (1 E μ ) U (U x ) 2μ (1 μ)E (1 σ 1 j i, j 1, i j i, 1 j i, xy 1 j i, 1 j i, 2 j i, j 1, i 2 y 1 j i, 1 j i, 2 2 j i, j 1, i 2 x                                   (20)  strefa 8 ) V (V 2ΔΔ E μ ) U (U Δy E μ τ V (V y ) 2μ (1 μ)E (1 ) U (U x ) 2μ 2(1 E μ σ ) V (V y ) 2μ (1 E μ ) U (U x ) 2μ (1 μ)E (1 σ j 1, i j 1, i 1 j i, j i, xy 1 j i, j i, 2 j 1, i j 1, i 2 y 1 j i, j i, 2 2 j 1, i j 1, i 2 x                                  ) (21)

(7)

Z układu równań (14) można wyznaczyć naprężenia w punktach wewnętrznych bryły fundamentowej, a z układu równań (15)-(21) - na jego krawędzi.

Podsumowanie

Wymiary siatki aproksymującej podłoże gruntowe i fundament przyjmuje się w taki sposób, aby przemieszczenia w punktach po krawędziach siatki były nieo-becne. Po obliczeniu odkształceń i naprężeń w fundamentach ławowych, w stanie płaskim, można zastosować standardowe metody wykonania programu kompute-rowego w celu ułatwienia obliczeń.

Literatura

[1] Горбунов-Посадов М.И. и др., Расчет конструкций на упругом основании, Стройиздат, М.: 1984, 680 с.

[2] Hrytsuk M., Racjonalne konstrukcje fundamentów płytowych, Wydawnictwo Politechniki Częstochowskiej, Częstochowa 2010.

Streszczenie

W artykule omówiono sposób wyznaczenia odkształceń, przemieszczeń i naprężeń w ławach fundamentowych posadowionych na podłożu gruntowym o kształcie wypukłym. Przedstawiono założenia odnośnie do przyjęcia siatki aproksymującej podłoże gruntowe w celu dokonania obliczeń komputerowych.

Determination of strain, displacement and stress in strip foundations on convex shape sub-soil

Abstract

The article concerns the designation of strain, displacement and stress on the foundations of lava ground floor of a convex shape. These calculations can be used to develop a computer program for rapid sizing in order to account for the proposed foundation.