Zastosowanie modeli porowatych biomateriałów w procesach projektowania i symulacji

P O L I T E C H N I K A P O Z N A Ń S K A

W y d z i a ł M a s z y n R o b o c z y c h i T r a n s p o r t u

mgr inż. Maciej Berdychowski

Zastosowanie modeli porowatych

biomateriałów w procesach projektowania i symulacji

Praca doktorska

promotor:

prof. dr hab. inż. Janusz Mielniczuk

Poznań, 2014

1. Konstrukcyjne materiały porowate ... 4

1.1 Udział materiałów porowatych w technice ... 4

1.2. Biomateriały jako materiały konstrukcyjne ... 5

2. Modelowanie materiałów konstrukcyjnych ... 8

2.1 Uwagi o modelowaniu ... 8

2.2 Jednowymiarowe modele ośrodków ciągłych ... 9

2.3 Opis struktury porowatych materiałów ... 15

2.4 Równania fizyczne materiałów porowatych ... 19

3. Cel i zakres pracy ... 24

4. Wybrane biomateriały o strukturze porowatej ... 25

4.1 Struktura i właściwości drewna ... 25

4.2 Struktura i właściwości mechaniczne kości ... 37

5. Badania doświadczalne cech geometrycznych i mechanicznych wybranych biomateriałów ... 48

5.1 Badania eksperymentalne - drewno ... 48

5.2 Badania cech geometrycznych kości gąbczastej ... 52

6. Modele matematyczne wybranych struktur porowatych ... 61

6.1 Model drewna jako ośrodka ortotropowego ... 61

6.2 Równania konstytutywne kości gąbczastej ... 65

7. Przykłady określania nośności granicznej elementów drewnianych 68 8. Rozwiązanie zagadnienia brzegowego dla kości ... 71

8.1 Endoprotezoplastyka stawu biodrowego ... 71

8.2 Ogólne wiadomości o endoprotezoplastyce stawu biodrowego. ... 74

8.3 Biomateriały stosowane w konstrukcji endoprotez ... 75

8.4 Koncepcja nowego typu endoprotezy THRA ... 86

8.5 Model trzpieniowy połączenia kość-implant ... 88

8.6 Nośność graniczna połączenia ... 89

9. Projektowanie wybranych cech z zastosowaniem symulacji numerycznych ... 92

9.1 Analiza szpilkowo palisadowego systemu mocowania endoprotezy THRA .. 92

Spis treści

9.2 Budowa modelu numerycznego ... 94 9.3 Weryfikacja modelu numerycznego - badania eksperymentalne zagłębiania

ostrosłupów w kość gąbczastą ... 103

10. Sformułowanie wytycznych dla procesu projektowania

biomateriałów ... 108

11. Uwagi końcowe i wnioski ... 117

Bibliografia: ... 119

1. Konstrukcyjne materiały porowate

1.1 Udział materiałów porowatych w technice

Szybki rozwój współczesnej techniki stawia przed inżynierami coraz trudniejsze wyzwania. Wymaga się od nich poszukiwania i stosowania coraz to nowocześniejszych materiałów, które w zależności od potrzeb będą posiadały zwiększoną wytrzymałość, odporność na czynniki zewnętrzne takie jak temperatura, wilgotność, kwasowość, odporność na ścieranie, niski lub wysoki współczynnik tarcia itd. Zakres wyboru materiału jest ogromny, zwłaszcza w grupie materiałów niemetalowych. Co roku w tej grupie pojawiają się nowe pozycje, dające inżynierom nowe możliwości. Jednakże zasady projektowania i konstruowania nie podlegają tak szybkim zmianom. Nadal jednym z ich etapów jest podjęcie decyzji o wyborze materiału konstrukcyjnego. Współczesna nauka oferuje konstruktorowi kilkadziesiąt tysięcy różnych materiałów, które podzielić możemy na kilka różnych sposobów. Do jednej z grup należą tak zwane materiały porowate.

Obecne są one w życiu każdego człowieka, chociaż nie każdy je dostrzega to korzysta z nich codziennie. W zwykłym gospodarstwie domowym są to wszelkiego rodzaju gąbki do mycia naczyń, do czyszczenia obuwia, do mycia okien, gąbki w materacach, tapczanach i fotelach, ściereczki "z mikroporami wchłaniającymi brud", filtry do wody, filtry powietrza np. w odkurzaczach i klimatyzatorach, pumeks. Materiały porowate obecne są praktycznie w każdej dziedzinie. W motoryzacji są to filtry oleju, paliwa, powietrza oraz gąbki w siedzeniach i w tapicerce. W medycynie to filtry i środki opatrunkowe ale także porowate pokrycia implantów. W budownictwie są to pianki montażowe, pianki izolujące, ceramika budowlana, elementy konstrukcji drewnianych. W przemyśle odzieżowym to między innymi przepuszczalne membrany (tzw. oddychające).

Materiały o strukturze porowatej wykorzystuje się codziennie praktycznie w każdej dziedzinie. Docenia się je za ich lekką a zarazem wytrzymałą strukturę, za możliwości pochłaniania energii a w przypadku ośrodków filtracyjnych za pochłanianie zanieczyszczeń.

Przestrzeń porowa jest z reguły bardzo chłonna. W przypadku łożysk samosmarnych, tulejka porowata potrafi wchłonąć odpowiednią ilość oleju, a następnie oddawać go stopniowo w czasie, smarując współpracujące powierzchnie.

W wielu przypadkach struktura porowata jest niezwykle pożądana. W takich

przypadkach stosuje się specjalne procesy technologiczne mające na celu nadanie materiałom

pełnym struktury porowatej. Proces ten polega najczęściej na spienianiu ciekłej postaci materiału. W ten sposób spienia się aluminium, uzyskując lekkie sztywne płyty. Duża sztywność i lekkość tych płyt sprawia, że są doskonałym materiałem do budowy np.

wagonów kolejowych [71]. Podobnie postępuje się z betonem (siporex). Porowate materiały często wykorzystuje się w systemach bezpieczeństwa. Ich zadanie polega na pochłonięciu energii uderzenia. Płyty spienionego betonu stosuje się między innymi na końcach pasów startowych niektórych lotnisk. Ich rola polega na zwiększeniu poziomu bezpieczeństwa na lotnisku.

1.2. Biomateriały jako materiały konstrukcyjne

W większości przypadków pod pojęciem biomateriał rozumiemy materiał pochodzenia organicznego. Jednakże według European Society for Biomaterials to każda substancja, która może być użyta celem leczenia lub zastąpienia tkanki narządu lub organu.

Według tej definicji do grupy biomateriałów można zaliczyć nawet ceramikę i stopy tytanu.

Organiczne pochodzenie biomateriałów wprowadza dużą różnorodność właściwości nawet w obrębie danej grupy, a występująca silna anizotropia będąca dość powszechną cechą sprawia, że ta grupa materiałów wymaga wiedzy i doświadczenia w ich stosowaniu.

Najstarszymi i dość powszechnie występującymi biomateriałami są kość i drewno.

Na pozór odmienne posiadają wiele wspólnych cech. Zaliczyć do nich można:

− pochodzenie organiczne – mające wpływ na większość cech zarówno geometrycznych jak i wytrzymałościowych materiału,

− podatność na choroby, grzyby, pleśń, pasożyty i inne czynniki organiczne,

− porowatość

− wpływ temperatury i wilgotności na właściwości wytrzymałościowe

Pochodzenie organiczne ma istotny wpływ na właściwości. Znaczenie mają: wiek, gatunek, klimat, choroby i inne. Niektóre z tych parametrów mają duży wpływ również na porowatość – silnie powiązaną z właściwościami. Sformułowanie modelu matematycznego poprawnie odzwierciedlającego jego właściwości wymaga więc uwzględnienia wielu zmiennych, które mogą być funkcjami innych zmiennych. Poprawnie skonstruowany model ma tu więc wiele niewiadomych, które należy wyznaczyć najczęściej drogą eksperymentalną.

Wszystkie te cechy (porowatość, pochodzenie organiczne, duża podatność na

czynniki zewnętrzne) powodują znaczne różnice w wartościach stałych materiałowych

otrzymywanych w wyniku badań doświadczalnych. Przekłada się to na niską powtarzalność

badań i konieczność podawania dużych przedziałów wartości przy wyznaczaniu stałych materiałowych.

Pomimo tych wszystkich niedogodności biomateriały są dość powszechnie stosowane. Najbardziej popularne jest tutaj drewno – najbardziej uniwersalny materiał.

Stosowany praktycznie w każdej dziedzinie. W budownictwie na krokwie dachowe, belki stropowe, tzw. "deskowanie" przy wylewaniu betonu. Przy produkcji mebli, balustrad, dekoracji, mostów (lub pomostów na jeziorach), schodów, ambon w myślistwie, parkietów, boazerii, tarasów, łódek i innego "sprzętu pływającego", zabawek, drzwi, ram okiennych itp.

Pomimo faktu, że drewno bardzo często zastępowane jest przez inne materiały takie jak

"plastik", to nadal cieszy się sporym uznaniem zwłaszcza za swoją ekologiczność i łatwość w utylizacji. Drewno jest poza tym tanie, łatwe w obróbce i po odpowiedniej konserwacji staje się bardzo odporne na wiele czynników zewnętrznych. Zwłaszcza jeżeli jest regularnie poddawane zabiegom pielęgnacji. Stąd też nadaje się nawet do budowania niewielkich domków letniskowych, tzw. domów z bali, domów holenderskich.

Zastosowanie w przemyśle ma nie tylko samo drewno ale także jego odpady, tzw.

trociny. Uzyskuje się je nie tylko w trakcie procesu obróbki drewna jako odpad ale także m. in. w ogrodnictwie jako produkt końcowy podczas procesu rozdrabniania np. drobnych gałęzi. Specjalne maszyny tzw. niszczarki lub rozdrabniacze ogrodowe pozwalają na zamianę gałęzi i innych odpadów ogrodowych (liści, trawy itp.) w rozdrobnioną masę, którą następnie można poddać procesowi brykietowania, uzyskując cenny materiał energetyczny.

Brykietować można trociny, liście, trawy, słomy i inne odpady organiczne. W wyniku dopłat z Unii Europejskiej, bardzo popularne stały się uprawy roślin energetycznych, takich jak wierzba energetyczna, miskant, trzcina, rdest, topinambur czy ślazowiec pensylwański będący rośliną miododajną.

Biomateriały znalazły zastosowanie także w innych gałęziach przemysłu. Koral, gąbki, kość słoniową stosowano bądź nadal stosuje się w jubilerstwie i jako materiał ozdobny do wykańczania szkatułek, mebli, rękojeści itp. Szerokie zastosowanie znalazły biomateriały także w medycynie. Szczególnie popularne stały się porowate warstwy wierzchnie stosowane na pokrycia implantów do kostnych. W protezoplastyce stawu biodrowego stosuje się porowate powłoki nakładane na metalowy trzpień protezy celem wzmocnienia połączenia kość-implant poprzez wrastanie kości w strukturę porową. Podobny efekt wrastania kości w strukturę porów wykorzystuje się przy implantach dentystycznych.

W ostatnich latach coraz większą popularnością cieszy się rapid prototyping (RP),

pozwalający wytwarzać elementy o dowolnych kształtach w stosunkowo krótkim czasie.

Z tych powodów znalazł on zastosowanie w medycynie do wytwarzania implantów, np.

fragmentów kości czaszki. W ten sposób można pomóc ludziom, którzy ulegli wypadkowi.

W wielu przypadkach implanty te wytwarza się jako struktury porowate. Zapewnia to

zmniejszenie masy implantu przy zachowaniu jego dużej sztywności. Stosowanie porowatych

struktur podczas wytwarzania w technologii RP pozwala także zaoszczędzić materiał.

2. Modelowanie materiałów konstrukcyjnych

2.1 Uwagi o modelowaniu

W procesie projektowania jednym z etapów jest dobór materiału. W dalszym etapie ustala się wartości dopuszczalnych naprężeń, a ponieważ rzeczywiste procesy mogą się różnić znacznie od wynikających z analizy teoretycznej, w projektowaniu konstrukcji przyjmuje się duże współczynniki bezpieczeństwa. Takie podejście prowadzi na ogół do nieuzasadnionego przewymiarowania przekrojów elementów konstrukcji. Mimo to w niektórych przypadkach warunki bezpieczeństwa mogą jednak nie być spełnione. Wynika to stąd, że metody i normy projektowania elementów konstrukcji, które ukształtowały się na przestrzeni dziesięcioleci, w większości przypadków oparte są na badaniach zachowania się materiału w jednoosiowych stanach naprężenia. Natomiast wytężenie projektowanej konstrukcji w niebezpiecznym punkcie sprawdza się za pomocą klasycznych hipotez wytrzymałościowych, które oparte są na założeniach idealizacji procesu. Można stąd wysnuć wniosek, że aby uściślić metody projektowania w taki sposób, aby w konsekwencji zwiększyć bezpieczeństwo konstrukcji, należy opracować nowe modele matematyczne badanych procesów lub zmienić istniejące.

Podstawą do takich rozważań są modele fizyczne, uwzględniające rzeczywiste właściwości materiałów konstrukcyjnych uzyskane na podstawie przeprowadzonych badań doświadczalnych. Konieczne jest także dobranie odpowiednich równań konstytutywnych a następnie rozwiązanie określonych problemów brzegowych. W konsekwencji można powiedzieć że przeprowadzamy identyfikację procesu w materiale. Procedura poprawnego opisu zjawisk w materiale może być zapożyczona z problematyki sterowania [5]

i modelowania dynamicznych układów mechanicznych [80, 25, 24, 81]. Procedurę tę możemy podzielić na cztery etapy [80]:

1. możliwie dokładne wstępne określenie badanego materiału, jego istotnych cech oraz ustalenie jego modelu fizycznego,

2. znalezienie modelu matematycznego opisującego model fizyczny, 3. analiza równań opisujących model fizyczny,

4. synteza i optymalizacja badanego materiału, zmierzająca do ustalenia parametrów spełniających zakładane właściwości.

Tworzenie modelu fizycznego, na podstawie którego powstaje później model

matematyczny, opiera się na wykorzystaniu praw fizycznych, którym podlega materiał oraz

właściwości jakościowych i ilościowych tego materiału. Cele modelowania mogą zmierzać do

uwypuklenia różnych cech ośrodka – termodynamicznych, elektrycznych, chemicznych itp.

W pracy skupiono się głównie na opisie właściwości mechanicznych, tworząc mechaniczne modele materiałów. Przez modele mechaniczne materiału rozumiemy układy mechaniczne symulujące właściwości mechaniczne danego materiału, nieraz w zależności od wybranych wielkości (struktura, wilgotność, temperatura) [6]. W przypadku materiałów porowatych właściwości takie jak na przykład moduły sprężystości lub granice plastyczności mogą być funkcjami parametrów struktury wewnętrznej czyli porowatości, gęstości, ukierunkowania i innych, np. temperatura czy wilgotność. Przeprowadzanie badań, doświadczeń, pomiarów wzbogaca naszą wiedzę o danym materiale, a co za tym idzie zapewnia lepsze jego poznanie tak niezbędne przy formułowaniu równań opisujących jego zachowanie się. Podsumowując, im bogatsza jest wiedza o danym materiale, tym doskonalszy model potrafimy zbudować.

Model matematyczny struktury porowatej tworzy układ równań składający się ze związków fizycznych (konstytutywnych), równań równowagi i związków kinematycznych.

Dla ośrodków porowatych wypełnionych cieczą niezbędne jest sformułowanie prawa przepływu cieczy (np. prawa filtracji). Rozważanie nośności granicznej wymaga dodatkowo określenia warunku granicznego.

Sformułowany model matematyczny rozważanego materiału możemy wykorzystać do rozwiązywania zagadnień początkowo – brzegowych. Prowadzi to do określenia w sposób teoretyczny zachowania się (wytrzymałość, odkształcenie, stateczność) modelowanego materiału, elementu czy konstrukcji [79, 82]. Ostatnim etapem jest doświadczalna weryfikacja modelu w laboratorium i symulacja numeryczna. Otrzymane wyniki pozwalają ocenić poprawność poczynionych założeń i określić jak bardzo otrzymany model odpowiada rzeczywistości.

2.2 Jednowymiarowe modele ośrodków ciągłych

W tej części pracy przedstawiono podstawowe modele mechaniczne i odpowiadające im modele matematyczne [160,38], które odwzorowują charakterystyczne właściwości i zachowanie się materiałów w wyniku obciążeń zewnętrznych. Wprowadzając do modelu uogólnione efektywne wielkości naprężeń i odkształceń σ

i ε

można zapisać równanie konstytutywne (związek fizyczny) każdego odkształcalnego ośrodka w najbardziej ogólnej formie tensorowej funkcji naprężeń i odkształceń

) (

e

f ε

σ = , (2.1)

niezależnie od rodzaju obciążenia i początkowego stanu sił wewnętrznych (naprężeń).

Należy zaznaczyć, że opisane poniżej proste modele stanowią w wielu przypadkach podstawę do tworzenia modeli materiałów porowatych, także porowatych biomateriałów.

Model ośrodka liniowo sprężystego (model Hooke'a)

Ośrodki liniowo sprężyste to takie, dla których zależność (2.1) ma postać funkcji liniowej; podlegają zatem prawu Hook'a. Dla przypadku izotropii i osiowego rozciągania można zatem zapisać:

ε

σ = E ^{. (2.2)}

Przykładowym modelem fizycznym ciała liniowo sprężystego może być sprężyna o stałej sztywności poddana rozciąganiu siłą P. Wydłużenie sprężyny jest proporcjonalne do siły a równanie konstytutywne ma postać:

P=k ∆l (2.3)

gdzie: P – siła wymuszająca odkształcenia [N], k – stała sprężyny,

∆l – wydłużenie [m].

Z matematycznego punktu widzenia związki liniowej sprężystości są związkami jednoparametrycznymi. Schemat modelu fizycznego oraz przykładową charakterystykę przedstawia Rys. 1.

Rys. 1 Schemat modelu ośrodka liniowo-sprężystego

P

σ

ε

k

tg α ≈ k

Model ośrodka lepkiego (model Newtona)

Newton jako pierwszy wprowadził pojęcie lepkości. Sformułował on prawo, które określa ruch cieczy lepkiej (stąd nazwa ciecz Newtona). W mechanice ośrodków ciągłych

"ciecz Newtona" występuje pod pojęciem "modelu Newtona" i stosowana jest do opisu ośrodka lepkiego, którego model można określić równaniem

= , (2.4)

gdzie λ = 3η jest współczynnikiem lepkości objętościowej.

Mechaniczny model cieczy lepkiej liniowo przedstawiono na Rys. 2a. Jest to po prostu tłumik hydrauliczny wypełniony cieczą o lepkości η. W przypadku, gdy ciecz jest nieliniowo lepka, stosujemy model tłumika przekreślonego ukośną strzałką pokazanego na Rys.2b. [105]

Rys. 2 a) model fizyczny ośrodka liniowo lepkiego, b) model ośrodka nieliniowo lepkiego

Model ośrodka sztywno plastycznego (model Saint-Venanta)

Model ośrodka sztywno plastycznego jest uproszczeniem układu rzeczywistego.

Oparty jest na założeniu, że odkształcenia plastyczne znacznie przewyższają sprężyste i w związku z tym te ostatnie są pomijane

Odkształcenie plastyczne może cechować niezależność od dalszego wzrostu naprężeń (idealna plastyczność) lub jego wpływ (plastyczność ze wzmocnieniem lub osłabieniem). Jest to wynik mikrostruktury materiału i procesu dyslokacji.

Związek konstytutywny materiału plastycznego składa się z dwóch zależności – warunku plastyczności i prawa odkształceń (płynięcia) plastycznych. Można zatem zapisać:

σ

ε

η η

tgα ≈ λ

a) b)

= 0 <

= ≠ 0 ≥ , (2.5)

gdzie R

jest granicą plastyczności.

Przykładem modelu fizycznego ośrodka sztywno idealnie plastycznego może być ciężki suwak przesuwany na płaszczyźnie przy współudziale tarcia suchego. Ruch suwaka jest możliwy po przekroczeniu siły tarcia (granicy plastyczności). Schemat modelu fizycznego i jego charakterystykę (σ

– ε

) przedstawia poniższy rysunek.

Rys. 3 Schemat modelu ośrodka sztywno plastycznego bez wzmocnienia

Dwuparametrowe modele ośrodków ciągłych (model Maxwella, model Kelvina-Voigta

Z przedstawionych powyżej modeli jednoparametrowych można tworzyć kombinacje, przez co uzyskuje się różne modele parametryczne ciał lepko-sprężystych.

Połączenia można dokonać na dwa sposoby: szeregowo lub równolegle. Poprzez szeregowe połączenie tłumika i sprężyny otrzymamy tzw. model Maxwella, który stosowany jest do opisu relaksacji naprężenia. Zachowanie się ciała Maxwella opisuje równanie będące sumą odkształcenia sprężystego i lepkiego

η σ σ

ε ¹

E 1 +

=

•

. (2.6)

W sytuacji gdy tłumik i sprężynę połączymy równolegle otrzymamy model Kelvina- Voigta, opisujący pełzanie materiału. Jego postać matematyczną przedstawia poniższe równanie

+

= ε η ε

σ E . (2.7)

Interpretację fizyczną przedstawionych powyżej modeli, zaprezentowano na Rys.4.

P

σ

ε

R

T

ε

Rys.

Model ośrodka spręż

Model ośrodka spręż plastycznego i liniowo spręż

materiału przedstawiono na poni i wykorzystuje się go często materiału rzeczywistego.

Model Prandtla charakteryzuj

Przykład takiego modelu fizycznego przedstawiono na poni

Rys. 5 Schemat modelu o

Model ośrodka spręż

Jest to jednoosiowy model zło

przemieszczenie przy udziale tarcia. Przy czym model fizyczny odzwierciedlaj T

a)

Rys. 4 a) model Maxwella, b) model Kelvina-Voigta

rodka sprężysto – plastycznego bez wzmocnienia (model Prandtla)

środka sprężysto – plastycznego stanowi kombinację sprężystego. Postać fizyczna oraz wykres zależnoś

przedstawiono na poniższym rysunku. Nazywa się on modelem Prandtla ę go często w procesach projektowania jako wystarczaj

charakteryzują dwie zależności:

E

e e

ε = σ ^dla σ

< R

pl

e

ε

ε = dla σ

≥ R

modelu fizycznego przedstawiono na poniższym rysunku.

Schemat modelu ośrodka sprężysto – plastycznego bez wzmocnienia

rodka sprężysto – plastycznego ze wzmocnieniem liniowym

Jest to jednoosiowy model złożony. Ideowym modelem tego

przemieszczenie przy udziale tarcia. Przy czym model fizyczny odzwierciedlaj k P

σ

R

ε

b)

(model Prandtla)

plastycznego stanowi kombinację modelu sztywno żności σ

– ε

dla takiego ę on modelem Prandtla wystarczające przybliżenie

(2.8) ższym rysunku.

bez wzmocnienia

plastycznego ze wzmocnieniem liniowym

Ideowym modelem tego zjawiska jest również przemieszczenie przy udziale tarcia. Przy czym model fizyczny odzwierciedlają dwie

ε

sprężyste, natomiast suwak odkształcenia plastyczne. W wyniku działania siły P, pokonywana jest siła tarcia T, modelująca granicę plastyczności. Następuje zmiana charakterystyki odkształcenia z α

na α

. Zależności charakteryzujące układ przedstawiono poniżej:

e

e

E ε

σ = ^dla σ

< R

e e

= R

σ dla σ

≥ R

(2.9)

Rys. 6 Schemat modelu ośrodka sprężysto – plastycznego ze wzmocnieniem

Model ośrodka sprężysto – plastycznego ze wzmocnieniem nieliniowym

Najbliższym rzeczywistości jest model ośrodka, którego związek konstytutywny opisuje równanie:

( )

e

f ε E ε

σ =

(2.10) gdzie: E

– sprowadzony moduł sprężystości pierwszego rodzaju zależny od odkształcenia.

Wykres zależności w zakresie odkształceń sprężystych, dla którego współczynnik E

przyjmuje wartość stałą równą modułowi Younga, przedstawia prostą, która poza tym zakresem przechodzi w linię krzywą. W tym przypadku model mechaniczny wyobraża sprężyna częściowo osadzona w tulei. Wysuwa się z niej pod wpływem obciążenia przy udziale tarcia zwojów o wewnętrzną ściankę tulei. Wykres oraz szkic takiego modelu przedstawia poniższy rysunek.

s

P s

σ

ε

R

ε

α1

α2

Rys. 7 Schemat modelu ośrodka sprężysto – plastycznego ze wzmocnieniem nieliniowym

Materiały rzeczywiste analizowane w dalszej części pracy charakteryzują właściwości bardziej złożone niż opisane powyżej modele jednoosiowe. Biomateriały takie jak np. drewno czy kość wykazują wyraźną kierunkowość właściwości mechanicznych (anizotropię). Zauważa się duży wpływ wilgotności i temperatury na ich parametry mechaniczne. Złożone zachowanie się biomateriałów podczas odkształceń rozbudowuje znacznie opisujące je modele. W celu osiągnięcia efektywnych wyników rozwiązań problemów brzegowych, niezbędne jest więc poczynienie w formułowaniu modeli pewnych założeń upraszczających, zdając sobie sprawę z ich wpływu na opis układu rzeczywistego.

Z tego też powodu do opisu teoretycznego porowatych biomateriałów wybrane zostały w pewnym stopniu wyidealizowane modele zachowania się materiału. Ich weryfikacja doświadczalna pozwoli określić użyteczność w procesach projektowania.

Przykładem takiego postępowania jest przyjęcie modelu ciała sztywno idealnie plastycznego dla drewna. Przyjęcie takiego modelu jest uproszczeniem zachowania się materiału rzeczywistego, jednakże daje możliwość zbudowania na jego podstawie efektywnego modelu matematycznego. W modelu tym przy jednoosiowym obciążaniu, naprężenie przy którym zachodzi uplastycznienie materiału ma stałą wartość σ

i jest niezależne zarówno od wielkości odkształcenia (brak wzmocnienia) jak i od prędkości odkształcania (brak cechy tzw. lepkości). Odkształcenia sprężyste są w tym modelu pomijane ale jak wykazano w pracach [127, 143, 144] zastosowanie takiej uproszczonej teorii jest szczególnie przydatne do zagadnień nośności granicznej materiałów konstrukcyjnych. [91]

2.3 Opis struktury porowatych materiałów

Sformułowanie równań konstytutywnych porowatych materiałów, także P

σ

ε

R

działania czynników zewnętrznych (obciążenie mechaniczne, temperatura, wilgotność).

Istnieje wiele parametrów charakteryzujących materiały porowate, jednak żaden z nich nie jest w stanie samodzielnie określić geometryczne własności omawianego ośrodka. Do opisu mikrostruktury używa się więc kilku parametrów jednocześnie, w zależności od analizowanych zjawisk czy wymaganego stopnia dokładności.

Podstawowym parametrem jest porowatość objętościowa, oznaczana przez f

. Jest to objętościowa zawartość porów w materiale porowatym. W ujęciu statystycznym porowatość interpretuje się jako prawdopodobieństwo, że wybierając losowo dowolny punkt w ośrodku porowatym trafimy na punkt należący do porów. [96] Porowatość objętościową można wyrazić wzorem:

V f_v =V^P

, (2.11)

gdzie:

V

– objętość porów; V – objętość materiału porowatego.

W przypadku opisu struktury ośrodków granulowanych i ziarnistych, jak podaje [80], wprowadza się tzw. współczynnik porowatości, p, zdefiniowany jako stosunek lokalnej objętości porów V

do objętości szkieletu (ziaren) V

. Zatem

V V S P

f f V p V

= −

= 1 . (2.12)

Inną wartością stosowaną do opisu ośrodków porowatych jest gęstość objętościowa próbki wyrażana jako iloczyn

s v

) f

( ρ

ρ = 1 − , (2.13)

gdzie ρ

jest gęstością materiału litego, z którego zbudowany jest szkielet. Wyrażamy ją albo w g/cm

albo w % gęstości materiału wyjściowego [96].

Porowatość powierzchniowa jest stosunkiem powierzchni porów zawartych na

danym przekroju ośrodka porowatego do całkowitego pola powierzchni tego przekroju. Jest

ona często utożsamiana co do wartości z porowatością objętościową. W [69] wykazano

jednak, że można tak postępować tylko gdy mówimy o średniej porowatości

powierzchniowej. Porowatość powierzchniowa jest jednym z parametrów opisujących

przepuszczalność ośrodka porowatego i zmienia się wraz z kierunkiem przepływu, gdy

rozpatrujemy ośrodek o strukturze anizotropowej. Różni się więc od porowatości

objętościowej, która jest „nieczuła” na zmiany kierunku. [96]

Rozróżnienie porów otwartych (połączonych ze sobą) od zamkniętych prowadzi do określenia porowatości efektywnej i nieefektywnej, co jest istotne w opisie przepuszczalnych materiałów porowatych z filtrującym w nich płynem. [80]

Porowatość powierzchniowa efektywna definiowana jest w pracy [96] jako stosunek powierzchni porów na danym przekroju, przez które jest możliwy przepływ w kierunku normalnym do tego przekroju, do wielkości tego przekroju. Tak rozumiana porowatość powierzchniowa, nawet dla ośrodków izotropowych, różni się od porowatości objętościowej, co zostało wykazane w pracy [69].

Jak zauważono w pracy [96] problem wyznaczenia porowatości powierzchniowej rzeczywistego materiału nie jest w literaturze potraktowany z należytą uwagą. W wielu pracach z zakresu mechaniki ośrodków porowatych porowatość powierzchniową utożsamia się z porowatością objętościową (np. w pracach Biota). Porowatość powierzchniową całkowitą można wyznaczyć na podstawie pomiarów mikroskopowych, natomiast spotyka się opisy metod wyznaczania porowatości powierzchniowej na podstawie wydatku cieczy przez daną powierzchnię.

Wewnętrzna powierzchnia właściwa jest ważną cechą materiałów porowatych i jest powszechnie stosowana w opisie struktury skał, sorbentów, katalizatorów, wkładów filtrujących itp. Definiuje się ją jako iloraz całkowitej powierzchni wewnętrznej porów (ziaren) S w reprezentatywnej objętości V do tej objętości, a więc

∑ = . (2.14)

Dla materiałów granulowanych wewnętrzna powierzchnię właściwa wyraża się częściej w funkcji objętości szkieletu (ziaren) zawartego w materiale i wówczas

. (2.15)

Omówione powyżej wielkości porowatości są bardzo ważnymi parametrami struktury, lecz z jednej strony nie zależą w sposób jawny od wielkości porów zaś z drugiej nie uwzględniają kierunkowych właściwości struktury. Konieczne jest zatem wprowadzenie innych charakterystyk, także tensorowych.

Promień hydrauliczny r

jest wielkością uwzględnianą w opisie przepływów przez materiał porowaty i dla objętości reprezentatywnej definiowany jest jako iloraz objętości porów do ich powierzchni wewnętrznej, tzn. [80]

r

=

%m' (2.16)

Przydatną wielkością określającą wymiar porów jest całkowita długość porów l

, liczona wzdłuż pomiarowego odcinka prostej płaskiego przekroju. Inną liniowa miarą wielkości porów jest średnia długość cięciwy d, określona jako średnia arytmetyczna z pomiarów cięciw pojedynczych porów.

W aktualnie rozwijanych badaniach nad ukierunkowanymi materiałami porowatymi wprowadza się tensorowe charakterystyki ich struktury. Przy formułowaniu związków fizycznych materiałów o konstrukcyjnej porowatości strukturę porów (otworów) charakteryzuje tensor perforacji. Dla materiałów o kanalikowej budowie struktury wewnętrznej zaproponowano tensor strukturalnej przepuszczalności. Uwzględnia on wpływ kierunkowych właściwości struktury na makroskopowe pole prędkości cieczy przepływającej przez porowaty szkielet. Geometrycznie określa wielkość i kierunki kanalików na dowolnej powierzchni przekroju materiału [82]. Również geometryczny opis konfiguracji struktury wewnętrznej, zwłaszcza w zastosowaniu do ośrodków granulowanych, reprezentuje tensor struktury (fabric tensor). Jest to symetryczny tensor drugiego rzędu opisujący wielkość i ukierunkowanie ziaren ośrodka, wykorzystywany także przy definiowaniu struktury niektórych materiałów biologicznych, np. kości [80].

Dla pełności opisu struktury materiału porowatego należy wymienić jeszcze współczynnik przepuszczalności, występujący w empirycznym prawie filtracji Darcy'ego, oraz krętość. Ta ostatnia wielkość jest odzwierciedleniem faktu, że tor cząsteczki cieczy w jej mikro-przepływie przez pory różni się od toru, jaki wynika z makroskopowych (uśrednionych) warunków przepływu. Cząsteczka cieczy podczas przepływu przez próbkę materiału porowatego pokonuje drogę nie mniejszą niż szerokość materiału w kierunku tego przepływu. Jeżeli najkrótszą z możliwych dróg porównamy z szerokością całej próbki to możemy powiedzieć, że stosunek ten wyraża krętość obserwowanego pora. Stąd współczynnik krętości porów danej próbki ośrodka porowatego definiuje się następująco [96]

l a_kr =l^p

(2.17) gdzie:

l

– długość średniego pora danej próbki l – szerokość próbki

Przykładowo we współczesnym przemyśle odzieżowym produkującym

nieprzemakalne kurtki stosuje się specjalne membrany – materiał porowaty. Zadaniem

membran jest nie dopuścić do przenikania wilgoci do wnętrza jednocześnie zapewniając

kurtce dużą oddychalność. Realizowane jest to poprzez uzyskanie porów o odpowiedniej

wielkości, takiej aby większe molekuły wody napotkały skuteczną barierę, natomiast cząsteczki pary wodnej, które są mniejsze, mogły przenikać bez problemów. Niektóre droższe membrany mają dodatkową właściwość w postaci ochrony przed wiatrem. Uzyskuje się to poprzez wytwarzanie porów o odpowiednich wymiarach i współczynniku krętości.

Przestrzeń porów w ośrodku porowatym może być scharakteryzowana rozkładem ich wielkości oraz wartością maksymalną i średnią ich wymiarów. Wartość maksymalna stosowana jest do opisu porowatych filtrów i określa maksymalne rozmiary cząsteczek, które teoretycznie mogą przejść przez filtr. Wartości średnie rozmiarów porów są istotne przy badaniach hydrodynamicznych. Rozkład wielkości porów daje wyobrażenie o ilości lub objętości porów z każdego rozmiaru oraz o rozrzucie rozmiarów porów w materiale [96].

Sposoby opisu tych wielkości można znaleźć w literaturze, np. Scheidegger [128, 129].

Bardzo istotne w opisie struktury ośrodków porowatych jest uwzględnienie ich anizotropii i niejednorodności. Wszelkie zaburzenia tej struktury mogą pociągnąć za sobą lokalną zmianę własności mechanicznych. Może się jednak zdarzyć, że anizotropia i niejednorodność struktury są pożądane albo są naturalną cechą materiałów (np.

biomateriały). Do opisu takich własności należy użyć najczęściej wielkości tensorowych np.

tensora przepuszczalności ośrodków o strukturze kanalikowej. Tensor przepuszczalności może być wyprowadzony na drodze rozważań hydrodynamicznych [96]. Więcej na temat anizotropowych ośrodków porowatych można znaleźć w literaturze [68, 70,98].

2.4 Równania fizyczne materiałów porowatych

Związki konstytutywne (równania fizyczne) dla materiałów wyrażają się w postaci tensorowej funkcji tensora naprężenia od tensora odkształcenia

) ( ε f

σ = _{. (2.18)}

Powyższe, ogólne równanie jest prawdziwe także dla materiałów porowatych.

Zachodzi jednak konieczność uwzględnienia wpływu porowatości na zmianę parametrów materiałowych takich jak przykładowo moduł Younga. Wówczas otrzymamy

) f ( E

E =

_{. (2.19)}

Pamiętając jednak, że funkcja porowatości f

jest zależna od tensora odkształcenia ε, możemy zapisać

[ f

( ) ^ε ]

E

E = _{. (2.20)}

W wielu przypadkach współczynniki takie jak moduł Younga lub Kirchhoffa, które w dużej mierze determinują sprężyste właściwości materiału i są zależne ponadto od takich czynników jak temperatura czy wilgotność (np. drewno). Moduł E może zatem być uwikłaną funkcją w poniższej formie

).

W , f , T ( E

E =

_(2.21)

Zadaniem badacza będzie uszczegółowienie tej funkcji.

Analizując związki fizyczne dla różnych materiałów porowatych z uwzględnieniem ich porowatości objętościowej, można zauważyć, że związki te są właściwe dla pewnych grup materiałów i dla określonych zakresów ich porowatości. Dotyczy to głównie zmiany podstawowych parametrów mechanicznych w funkcji porowatości. W zakresie odkształceń sprężystych są to przede wszystkim moduły sprężystości i liczba Poissona.

Najprostszymi relacjami dla materiałów izotropowych są związki liniowe i wykładnicze opisujące zależność modułów sprężystości od porowatości. Wykorzystywane są w modelowaniu m.in. niektórych spieków ceramicznych [36, 87]. Wykładnicze zależności efektywnych modułów sprężystości podłużnej E i poprzecznej G od porowatości przyjmuje się w postaci [80]

) (

) (

v G

v E

f b s

f b s

G G

E E

−

−

=

=

(2.22) gdzie:

E

, G

– moduły sprężystości materiału szkieletu f

– objętościowa porowatość materiału

b

, b

– stałe empiryczne (b

= 1,61 – 4,74; b

= 4,9 dla tlenku magnezu i b

= 3,5 dla spieków żelaza).

Według literatury wykładnicze zależności modułów od porowatości nadają się do opisu porowatych tlenków aluminium (do f

= 40%) i magnezu (do f

= 26%), a także dla spiekanych proszków żelaza (do f

= 20%). [87, 137, 136, 110, 62]

Natomiast liniowe zależności pomiędzy modułem Younga i Kirchhoffa a porowatością można przedstawić za pomocą poniższych funkcji [80]:

, = ,

(1 −

0

)

G = G

(1 − a

f

) (2.23)

gdzie:

a

, a

– doświadczalne stałe materiału porowatego.

Stałe a

i a

przyjmują wartości od 1,5 do3 (wg. Dean [37, 36]). Według innych żródeł (Rice [117] – badania obejmowały ceramikę, skały, metale i polimery), wartości współczynników a

i a

mieszczą się w przedziale od 2,5 do 6. Powyższe zależności liniowe stanowią pewną aproksymację zależności wykładniczych dla niewielkich porowatości (f

<=0.1) i dobrze opisują porowate spieki metali. [80] Jednakże powyższe wzory nie zawsze są słuszne. Jak wykazały prace Griffithsa i Ghanizadeha [48], zachowanie się materiału może być różne w trakcie rozciągania i ściskania. Podczas ściskania możemy zaobserwować przedstawioną wcześniej liniową zależność modułu Younga lub Kirchhoffa od porowatości, natomiast podczas rozciągania, liniową zależność obserwujemy tylko dla modułu Younga.

[87]

Dla materiałów kruchych takich jak gips i jego kompozyty [87, 114, 135] stosowane są często zmiany modułów w postaci potęgowej.

n

f

E

E =

( 1 − ) (2.24)

W równaniu powyższym, n jest stałą charakterystyczną dla danego materiału, przyjmującą w większości przypadków wartość zbliżoną do 3. W szczególnych przypadkach może osiągać wartość 10 [87, 114, 135]. Przedstawione powyżej wyrażenie stosowane jest również do opisu kości gąbczastej z n=1,23-3 [163] oraz do opisu pianek n=2 [131].

Podobną funkcją potęgową można zdefiniować także zmienne moduły Kirchhoffa

m

f

G

G =

( 1 − ) . (2.25)

Badania przeprowadzone przez Martina (1996) [89] dla spieków tlenków cynku o porowatości od 0% do 35%, wykazały że zarówno zmiana modułu Younga jak i modułu Kirchhoffa mogą być przybliżane funkcjami potęgowymi porowatości ze współczynnikami potęgowymi równymi odpowiednio 4,02 i 2,86. Ważnym parametrem mechanicznym materiałów porowatych jest współczynnik Poissona ν. Zmianę tego współczynnika w funkcji porowatości też często przyjmuje się jako funkcję potęgową. Można więc zapisać

k

f )

1

0

( −

= ν

ν _(2.26)

gdzie v

jest liczbą Poissona dla materiału szkieletu, a k wykładnikiem [87]. Dla spieków tlenku cynku wynoszą odpowiednio v

=0,38 i k=1,12 [87].

Do opisu porowatych materiałów takich jak kość lub niejednorodny beton, Martin i Haynes [90] zaproponowali zmianę modułu Younga w formie zależności

) 1

(

0

bf

E

E = − , (2.27)

gdzie b=1.47 dla kości i b=2.01 dla betonu [90].

Zastępczy moduł Younga dla sprężystego materiału porowatego o konstrukcyjnej strukturze wewnętrznej złożonej z sześciennych komórek (plaster miodu) przyjmuje się następująco [80] [97]:

a E t

E ^s

1 2

2

ν

= −

(2.28) gdzie:

a – wymiar komórki t – grubość ścianki

Pianki elastomerowe i polimerowe o heksagonalnym układzie komórek można według [80] także opisać funkcją długości l i grubości t ich ścianek, a te z kolei są bezpośrednio związane z gęstością względną ρ/ρ

ośrodka lub jego porowatością f

, co można zapisać następująco:

(

)

s s s

s E E f

l E t

E  = −







= 



 



=  1

4 2

ρ ρ

(2.29) Powyższe równanie dobrze opisuje moduły zastępcze pianek rzeczywistych.

Zależność pomiędzy stopniem spienienia (f

) a gęstością względną (ρ) umożliwia zmianę modułów (projektowanie sztywności) w szerokim zakresie.

Sformułowanie odpowiednich warunków granicznych (plastyczności) z uwzględnieniem opisanych powyżej zmienności parametrów pozwala oszacować nośność graniczną materiałów porowatych. Prawa plastyczności ośrodków porowatych muszą uwzględniać zmianę porowatości (gęstości), a więc i zmianę niektórych właściwości (patrz.

[87 ] ) Takie modele określono dla izotropowych i anizotropowych spieków proszków metali [96].

Pierwsze próby opisu porowatych biomateriałów (kość) w zakresie odkształceń sprężystych przedstawili Williams [163], Martin i Haynes [90]. Prawdziwymi prekursorami byli w tej dziedzinie Rauber, Messerer i Wolff [156], którzy zapoczątkowali badania w biomechanice kości w latach 80 XIX wieku. Zaproponowali oni tzw. jednofazowy model kości który obowiązywał w nauce przez ponad sto lat. Model ten traktował kość jako porowate ciało stałe i dla takiego sformułowano związki fizyczne sprężystości.

W roku 1970 ukazała się praca doktorska C. Daviesa (Uniwersytet Delaware),

którego promotorem był J.L. Nowiński. W pracy tej w części metodologicznej wprowadzono

do opisu sprężystej deformacji kości teorię porosprężystości M.A.Biota [15,16,17]

(opracowaną na potrzeby geomechaniki skał i gruntów oraz akustyki sprężystych materiałów porowatych wypełnionych płynem). Prace w tym kierunku prowadzone były nadal a ich wyniki były publikowane w pracach [105,106]. W tym samym czasie inny badacz S. C.

Cowin silnie zaczął forsować własny porosprężysty jednofazowy model kości. Jego działania skutecznie zahamowały dalsze prace prof. Nowińskiego. Dopiero po 30-tu latach w 1999 roku Cowin przyznał wyższość dwufazowemu modelowi kości publikując pracę pod tytułem

„Bone poroelasticity” [31]. Model ten stanowi podstawę do określenia stanów naprężeń w kościach. Wykorzystywany jest w projektowaniu implantów.

Również złożone własności mechaniczne i strukturalne cechuje drewno, biomateriał

rozważany w niniejszej rozprawie. Niejednorodność, anizotropia, konieczność statystycznego

określania niektórych parametrów, bardzo rozbudowuje formułowane modele zarówno

w zakresie odkształceń sprężystych jak i plastycznych.

3. Cel i zakres pracy

Celem pracy jest dobór i uszczegółowienie matematycznych modeli porowatych biomateriałów oraz wykorzystanie tych modeli do rozwiązania określonych zagadnień początkowo-brzegowych, których wyniki są istotne dla procesów projektowania elementów i konstrukcji wykonanych z biomateriałów.

W niniejszej pracy do dalszych analiz wybrano dwa materiały – drewno i kość.

Obydwa są pochodzenia organicznego a jednym z parametrów determinujących ich właściwości jest porowatość.

W dalszej części pracy przedstawiono właściwości strukturalne oraz mechaniczne dla drewna i kości. Uzupełniono je o badania cech geometrycznych i mechanicznych, na temat których nie znaleziono informacji w literaturze, a które są istotne dla celów uszczegółowienia modeli bądź rozwiązania zagadnień brzegowych.

W kolejnym rozdziale zaprezentowano model struktury porowatej. Bazując na teorii porosprężystości Biota, sformułowano równania konstytutywne dla kości. Zaprezentowano także model drewna uwzględniający anizotropię oraz wpływ czynników zewnętrznych – wilgotności i temperatury. Wykorzystując sformułowany model przedstawiono przykłady jego wykorzystania dla określenia nośności granicznej elementów drewnianych.

Spośród zaprezentowanych modeli dla kości wybrano jeden celem rozwiązania zagadnienia brzegowego, którym jest analiza procesu zagłębiania ostrosłupów w kość gąbczastą. Ostrosłupy pełnią rolę nowego, szpilkowo-palisadowego systemu mocującego endoprotezę stawu biodrowego. Stabilne i trwałe mocowanie implantu do kości jest niezwykle ważne. Zachodzi więc konieczność pełnej analizy powyższego połączenia, uwzględniającej szereg cech geometrycznych ostrosłupów.

Przeprowadzone analizy geometrii ostrosłupów posłużyły do budowy modelu

numerycznego, który następnie został poddany walidacji w oparciu o wyniki badań

doświadczalnych. Zweryfikowany w ten sposób model połączenia kość-implant posłużył do

sformułowania wytycznych dla procesu projektowania endoprotez ze szpilkowo-palisadowym

systemem mocowania.

4. Wybrane biomateriały o strukturze porowatej

4.1 Struktura i właściwości drewna

4.1.1 Makroskopowa budowa drewna

W budowie pnia możemy wyróżnić następujące części składowe:

1. rdzeń 2. drewno

3. promienie rdzeniowe 4. przewody żywiczne 5. miazga

6. kora

Rys. 8 Schemat budowy pnia 4-letniej sosny [67]; 1– łyko; 2 – miazga; 3 – przewód żywiczny; 4 – promień rdzeniowy na przekroju poprzecznym, promieniowym i stycznym; 5 – granica słoju rocznego, 6 – rdzeń; 7 – kora; 8 – drewno późne; 9 – drewno wczesne; 10 – słój roczny. Przewody żywiczne, miazga i promienie

rdzeniowe niewidoczne gołym okiem

Rdzeń jest fizjologiczną osią pnia, najczęściej nie pokrywającą się z osią

geometryczną. W przekroju poprzecznym pnia występuje jako mała, ciemniejsza od

otaczającego drewna zabarwiona plama. Często jest mimośrodowo przesunięty w kierunku

obwodu pnia, co powoduje nierównomierną słoistość i niejednolitą strukturę drewna.

Średnica rdzenia osiąga rozmiary od 1-5 mm (w niektórych gatunkach do 10mm). Kształt najczęściej okrągły lub owalny, ale spotyka się także inne: u olchy trójkątny, u jesionu czworokątny, u topoli pięciokątny, u dębu gwiaździsty. Pod względem wytrzymałościowym rdzeń jest elementem mechanicznie słabym i często usuwa się go w czasie obróbki.[67]

Drewno znajduje się pomiędzy rdzeniem znajdującym się w środku pnia, a warstwą łyka i kory na obwodzie i ilościowo stanowi największą część objętości pnia. Biologiczne pochodzenie drewna determinuje jego nierównomierną budowę. Wygląd, cechy fizyczne i wytrzymałość zmieniają się zależnie od kierunku anatomicznego (kierunek wzdłuż włókien, promieniowy i styczny). Jest to zatem niejednorodny, anizotropowy materiał, co dodatkowo utrudnia obróbkę i jego techniczne zastosowanie.

Zróżnicowana budowa drewna pozwala rozróżnić w nim trzy zasadnicze przekroje:

−

wzdłuż włókien

−

w poprzek włókien promieniowo

−

w poprzek włókien stycznie.

Przekroje różnią się układem słoi oraz mają inny rysunek drewna. Na przekroju poprzecznym uwydatniają się słoje roczne ułożone współśrodkowo dookoła rdzenia oraz promienisto ustawione promienie rdzeniowe. Na przekroju stycznym słoje roczne występują w postaci hiperbolicznych smug. Przecięte poprzecznie promienie rdzeniowe uwydatniają się w postaci licznie występujących, eliptycznych plam. W miarę zbliżania się do osi pnia przekrój styczny upodabnia się do przekroju promieniowego. W momencie kiedy cięciwa przez którą przechodzi przekrój pokryje się ze średnicą pnia, przekrój styczny pokryje się z przekrojem promieniowym. [67]

Elementy drewna przewodzące wodę są oddzielone od części sitowej przewodzącej asymilaty zamkniętym pierścieniem miazgi. Miazga przez całe życie zachowuje zdolność podziału, która umożliwia wytwarzanie drewna i łyka. Podział miazgi powoduje przyrost drzewa na grubość przez wytwarzanie współśrodkowych kręgów dookoła rdzenia zwanych słojami rocznymi. Służą one później do szacunkowego określania wieku drzewa. Zdarza się jednak, że na skutek warunków klimatycznych (pogodowych- wiosenne przymrozki) lub z powodu działania szkodników drzewo traci liście w czasie okresu wegetacyjnego dwa razy.

Powoduje to powstanie w ciągu jednego roku dwóch słoi. Innym zjawiskiem jest zanikanie

słojów występujące, gdy wskutek niepomyślnych warunków egzystencji w danym roku nie

wystarcza materiałów na wytworzenie pełnego słoju. Drzewo wytwarza wtedy słój tylko

w górnych częściach, w dolnej zaś części słój zanika.

Szerokość słojów zmienia się w granicach od ułamków milimetra do ponad 2cm i jest uzależniona od wielu czynników takich jak gatunek drzewa, warunki klimatyczne (średnia temperatura roczna – długość okresu wegetacyjnego, nasłonecznienie, nasilenie opadów atmosferycznych w ciągu okresu wegetacyjnego), warunki glebowe, gęstość zalesienia. Z technicznego punktu widzenia najbardziej pożądane jest drewno o równomiernym przebiegu i układzie słojów, a więc o słojach, których szerokość stopniowo i równomiernie maleje w miarę posuwania się od rdzenia ku obwodowi i których zarys jest jak najbardziej zbliżony do koła. Falisty przebieg słojów rocznych i ich nierównomierna szerokość jest cechą pozytywną tylko w przypadku niektórych gatunków drzew wykorzystywanych jako materiał rezonansowy do budowy instrumentów muzycznych.

W budowie słoja rocznego wyróżnia się dwie strefy. Pierwszą zwróconą w kierunku rdzenia strefę drewna wczesnego oraz drugą, zwróconą ku obwodowi strefę drewna późnego.

Drewno wczesne składa się z elementów cienkościennych o dużym świetle. Szczególnie wyraźnie uwydatnia się porowata strefa drewna wczesnego u pierścieniowo naczyniowych gatunków liściastych. W drewnie późnym światło naczyń i cewek zmniejsza się wydatnie, a drewno składa się z elementów wybitnie grubościennych. Grubościenne drewno późne ma więc większy ciężar właściwy i jest bardziej wytrzymałe niż drewno wczesne. Im większy zatem jest udział drewna późnego w drewnie, tym wyższe są jego ciężar właściwy i jego własności mechaniczne. W przypadku drzew iglastych udział drewna wczesnego jest większy, natomiast u pierścieniowo naczyniowych gatunków liściastych sytuacja jest odwrotna.

Wiele gatunków drzew wykazuje po ścięciu (na przekroju poprzecznym) różnorodne zabarwienie. Wewnętrzna część będąca ciemniej zabarwiona nosi nazwę twardzieli, natomiast obwodowa jaśniejsza część jest to biel.

Twardziel nie zawiera żywych komórek. Na skutek wytworzenia wcistek (u drzew

liściastych) lub zamknięcia jamek (u drzew iglastych) oraz przesycenia związkami

twardzielowymi (związki żywiczne, garbniki i barwniki) nie bierze udziału w procesach

przewodzenia wody i w gromadzeniu materiałów odżywczych. Twardziel obejmuje warstwy

drewna zbudowane z obumarłych, martwych elementów. Spełnia wyłącznie funkcje

mechaniczne, nie bierze udziału w fizjologicznych funkcjach drzewa. Pojawia się dopiero po

przekroczeniu pewnej granicy wieku, dla sosny jest to 20-70 lat.

Rys. 9 Przekrój poprzeczny drewna podłuż

Biel jest jaśniejszą

fizjologiczne i mechaniczne. Gromadzi materiały od przewodzi wodę z solami mineralnymi z korzeni do w zależności od gatunku i wieku drzewa. U cisa jest to 3 rocznych.

Zarówno biel jak i twardziel spełniaj

budowa jest przyczyną odmiennych cech technologic w zastosowaniu drewna. Drewno twardzielowe po właściwości mechaniczne. Ró

natomiast w zakresie trwało

kilkunastu lat, podczas gdy drewno bielu rozkłada si kształtuje się odwrotnie w przypadku sztucznego utrwalania

w przepuszczalności bielu i twardzieli. Przy nasycaniu (impregnowaniu) drewna biel nasyca się bez trudności, twardziel natomiast nie przyjmuj

w niewielkiej ilości. [67]

4.1.2 Właściwości mechaniczne i fizyczne drewna Istotny wpływ na wła

wewnętrznej struktury, ze szczególnym uwzgl wielkości. Cechy te bierze si

W związku z powyższym wyszczególni

Przekrój poprzeczny drewna świerka. Widoczne drewno wczesne i późne, granice słojów rocznych oraz podłużne przewody żywiczne. Powiększenie 80:1 [67]

śniejszą częścią o znacznie większej zawartości wody.

fizjologiczne i mechaniczne. Gromadzi materiały odżywcze w komórkach mi

z solami mineralnymi z korzeni do korony. Zajmuje obszar ró ci od gatunku i wieku drzewa. U cisa jest to 3-5 słojów, u sosny

Zarówno biel jak i twardziel spełniają różne funkcje w drzewie a ich odmienna ą odmiennych cech technologicznych, co znajduje swój wyraz zastosowaniu drewna. Drewno twardzielowe posiada większy ciężar wła

ci mechaniczne. Różnice te są jednak niewielkie. O wiele wię natomiast w zakresie trwałości drewna. Twardziel ma trwałość się

kilkunastu lat, podczas gdy drewno bielu rozkłada się w ciągu trzech lat.

odwrotnie w przypadku sztucznego utrwalania. Spowodowane jest to ró ści bielu i twardzieli. Przy nasycaniu (impregnowaniu) drewna biel nasyca ci, twardziel natomiast nie przyjmuje impregnatów

ś ści mechaniczne i fizyczne drewna

Istotny wpływ na właściwości mechaniczne i fizyczne drewna maj trznej struktury, ze szczególnym uwzględnieniem rozmieszczenia naczy

ci. Cechy te bierze się pod uwagę również podczas określania gatunków drewna.

ższym wyszczególnić można dwie zasadnicze grupy drzew:

źne, granice słojów rocznych oraz

ści wody. Spełnia funkcje ywcze w komórkach miękiszowych oraz korony. Zajmuje obszar różny 5 słojów, u sosny do 80 słojów

ne funkcje w drzewie a ich odmienna znych, co znajduje swój wyraz ężar właściwy i wyższe jednak niewielkie. O wiele większe różnice istnieją ść sięgającą od kilku do ągu trzech lat. Trwałość ta . Spowodowane jest to różnicą ci bielu i twardzieli. Przy nasycaniu (impregnowaniu) drewna biel nasyca e impregnatów lub wchłania je

ci mechaniczne i fizyczne drewna mają cechy budowy dnieniem rozmieszczenia naczyń oraz ich ślania gatunków drewna.

na dwie zasadnicze grupy drzew:

−

Drzewa pierścieniowo naczyniowe, tworzące w strefie drewna wczesnego charakterystyczne pierścienie. Widoczna jest wyraźnie zarysowana i zmieniająca się gwałtownie różnica w wielkości naczyń drewna wczesnego i późnego.

−

Drzewa rozpierzchłonaczyniowe charakteryzujące się tym, że widoczne gołym okiem naczynia rozmieszczone są stosunkowo równomiernie na szerokości słoju.

Zmniejszanie się średnicy od większych naczyń w drewnie wczesnym do najmniejszych w drewnie późnym przebiega stopniowo i powoli.

Pierścieniowe rozmieszczenie naczyń o dużym świetle w drewnie wczesnym tworzy przestrzenie o mniejszej wytrzymałości, stąd drewno takich drzew jak dębu, jesionu, czy wiązu posiada niższe właściwości mechaniczne w porównaniu z drewnem gatunków rozpierzchłonaczyniowych czyli brzozy, buku, grabu, gruszy, lipy, olchy czy topoli. Naczynia mają tu stosunkowo jednolite światło oraz są równomiernie wymieszane z elementami włóknistymi.

W zastosowaniach technicznych drewna istotną rolę odgrywa znajomość czynników ilościowych tj. wymiarów elementów składowych oraz ich objętościowego udziału w drewnie.

Rys. 10 Schemat budowy drewna brzozy (drewno rozpierzchłonaczyniowe) [67]

1 – słój roczny, 2 – naczynia, 3 – promień rdzeniowy, 4 – włókna drzewne

Rys. 11 Schemat budowy sosny [67] ;

1 – słój roczny, 2 – promienie rdzeniowe, 3 – podłużny przewód żywiczny, 4 – drewno (cewki) wczesne, 5 – drewno późne

Rys. 12 Schemat budowy drewna dębu (drewno pierścieniowo naczyniowe)[67]

1 – słój roczny, 2 – duże naczynie w drewnie wczesnym, 3 – małe naczynie w drewnie późnym, 4 – wąski promień rdzeniowy, 5 –szeroki promień rdzeniowy, 6 – włókna drzewne

Poprzez pojęcie właściwości mechanicznych rozumiemy zdolność materiału do

przeciwstawiania się działaniu sił zewnętrznych. Istotnym jest więc poznanie tych

właściwości jeżeli chcemy wiedzieć jak zachowa się materiał pod określonym obciążeniem.

W przypadku drewna zadanie to jest trudne. Jest to materiał o złożonych właściwościach bio- chemicznych, niejednorodny, którego budowa struktury wewnętrznej charakteryzuje się porowatością i anizotropią.

Moduł sprężystości jest miarą sztywności danego materiału. W zakresie odkształceń liniowo sprężystych zachodzi zależność opisana prawem Hooke'a.

Moduł Younga zależy w dużej mierze od dwóch wartości, którymi są sztywność wiązań międzycząsteczkowych i liczba wiązań w danej jednostce objętości co przekłada się praktycznie na wielkość atomu. Można przez to moduł sprężystości wyrazić wzorem

r

E = S

(4.1) gdzie:

r

- wielkość atomu

S - sztywność wiązania [N/m]

Moduł sprężystości przyjmuje szeroki zakres wartości. Im materiał bardziej podatny na odkształcenia tym niższą wartość ma moduł Younga. Wiąże się to bezpośrednio ze sztywnością wiązania wynoszącego dla polimerów S=0,5-2 N/m, a dla diamentu S=200N/m.

Tab. 1 Moduł sprężystości drewna według Tetmajera [152, 67]

Gatunek drewna

Moduł sprężystości podłużnej E

[MPa]

Średnia wytrzymałość na

rozciąganie σ [MPa]

Stosunek granicy plastyczności do wytrzymałości na rozciąganie R

/R

Sosna 12010 72 0,503

Modrzew 12990 71 0,412

Buk 18000 134 0,335

Dąb 10830 96,4 0,241

Dla drewna wartości modułu sprężystości wahają się w zakresie od 11000 MPa (np.

drewno jodłowe lub świerkowe) do 18000 MPa (buk). Moduły dla kilku gatunków drewna

przedstawione zostały w tabeli.