Grzegorz Lissowski Uniwersytet WarszawskiMETODY AGREGACJI INDYWIDUALNYCH PREFERENCJI

Grzegorz Lissowski Uniwersytet Warszawski

M E T O D Y A G R E G A C JI IND Y W ID U A LN Y CH P R E F E R E N C JI

Ustalenie społecznego uporządkowania zbioru alternatyw na podstawie profilu in­

dywidualnych preferencji jest klasycznym zadaniem teorii wyboru społecznego, a także jednym z istotnych dla socjologów celów opisu statystycznego. W artykule wskazuje się na pewne różnice między dwoma celami agregacji preferencji indywidualnych: normatywnym i opisowym. Proponuje się w nim również ogólną klasyfikację metod agregacji i opisuje wybrane metody ilustrujące wyróżnione typy metod.

Główne pojęcia: preferencje indywidualne, metody wyboru społecznego, metody opisu statystycznego.

Agregacja indywidualnych ocen pewnego zbioru alternatyw w ocenę społe­

czną, najlepiej reprezentującą oceny indywidualne, jest jednym z podstaw o­

wych, klasycznych problem ów teorii w yboru społecznego. T eoria ta bada m etody podejm ow ania społecznych decyzji stosow ane przy rozwiązywaniu ważnych problem ów społecznych, politycznych, ekonomicznych i etycznych (zagadnienia dem okracji, d o bro by tu społecznego, sprawiedliwości itp.). Decy­

zje społeczne m ają postać uporządkow ania zbioru rozważanych alternatyw, umożliwiającego porów nyw anie alternatyw ze społecznego punktu widzenia lub w yboru z tego zbioru najlepszej alternatywy bądź podzbioru najlepszych alternatyw.

Potrzeba agregow ania ocen indywidualnych występuje również przy opracow ywaniu wyników bad ań socjologicznych, psychologicznych itp., w których często uzyskuje się dane na tem at uporządkow ania przez osoby badane pewnego zbioru obiektów: zawodów, wartości, przedm iotów, sytuacji lub ich elem entów itp. Inform acje takie są wykorzystywane n a ogół w sposób niepełny, fragm entaryczny, a nierzadko - nieprawidłowy. W śród m etod statys­

tycznych brak jest jednak m etod, które m ożna byłoby wykorzystać do opisu statystycznego zbioru preferencji indywidualnych. Zastosow anie do tego celu

Instytut Socjologii UW, ul. Karowa 18, 00 -324 Warszawa; e-mail: gliss@is.uw.edu.pl

m etod opracow anych w teorii w yboru społecznego au to r proponow ał w arty­

kule Statystyczny opis zbioru uporządkowań preferencyjnych (1974a). Pewna różnica między celami w yboru społecznego i opisu statystycznego skłoniła au to ra do zaproponow ania w nim także nowej klasy m etod, lepiej dostosow a­

nych do realizacji celu opisowego. O pracow any został program kom puterow y do wyznaczania społecznych preferencji według m etod przedstawionych w tym artykule1. M etody te były wykorzystane do analizy danych w kilku badaniach socjologicznych (por. np. Żygulski 1975; M isztal 1984, 1990; Lissowski i Poho- ski 1987).

Przedm iotem tego artykułu jest przedstawienie w ybranych m etod agregacji preferencji indywidualnych. M etody te są funkcjami społecznej oceny, tzn.

sposobam i wyznaczania społecznej preferencji na ustalonym zbiorze alternatyw n a podstaw ie profilu indywidualnych ocen alternatyw należących do tego zbioru. Pierwsza część artykułu będzie poświęcona opisowi sposobu ustalania i reprezentow ania preferencji indywidualnych. W części drugiej podkreślone zostaną różnice między dw om a celami agregacji preferencji indywidualnych:

norm atyw nym i opisowym. Część trzecia zawiera ogólną charakterystykę i klasyfikację m etod wyznaczania społecznej preferencji na podstawie zbioru preferencji indywidualnych. W ymienione zostaną także pewne pożądane ich własności. W części czwartej, najobszerniejszej, przedstaw ione zostaną wybrane m etody ilustrujące wyróżnione typy m etod. Będzie to jed nak zaledwie nie­

wielka część spośród kilkudziesięciu m etod, które są opisane w literaturze.

Preferencje indywidualne

Z bió r członków grupy podejm ującej zbiorow ą decyzję lub zbiór badanych osób będziemy oznaczać przez N , poszczególne osoby - kolejnymi liczbami naturalnym i, a liczebność zbioru N - przez n, tj. N — {7,2,...,«}.

Z biór alternatyw przedstaw ionych do oceny będziemy oznaczać przez A, a jego liczebność - przez m, tj. A = { x p x 2,...,xm}.

Indyw idualne oceny alternatyw m ogą mieć postać preferencji (pom iar porządkow y) lub użyteczności (pom iar interwałowy). W artykule tym ograni­

czymy się do analizy preferencji indywidualnych. P onadto, będziemy zakładać, że indywidualne preferencje nie są m iędzyosobowo porównywalne.

Preferencja indyw idualna osoby h n a zbiorze alternatyw A m oże być reprezentow ana przez bin arn ą relację R h. Będziemy ją zapisywać następująco:

XjR-hXk co oznacza, że „alternatyw a Xj jest przynajmniej tak d o b ra dla osoby h, ja k alternatyw a xfc” .

1 Program ten byl później kilkakrotnie rozszerzany i modernizowany. Autorem tego pro­

gramu i jego modyfikacji byl Zdzisław Zygmunt.

Będziemy zakładać, że dla każdej osoby h e N relacja preferencji indywidu­

alnej R h jest relacją słabego p o rządku n a zbiorze alternatyw A, tzn. spełnia następujące w arun k i:

1. Zw rotność. D la każdej alternatywy x należącej do zbioru A musi zachodzić:

x R hx, tzn. k ażda alternatyw a m usi być dla osoby h przynajmniej tak dobra, ja k ona sama.

2. Spójność. D la każdej pary alternatyw Xj, x k należących do zbioru A musi być spełniony przynajmniej jeden z dwóch warunków: XjRhx k lub x^R^Xj, tzn. osoba h m usi być w stanie rozstrzygnąć, czy przedkłada alternatywę Xj nad alternatyw ę x k, czy też przedkłada alternatywę x k nad alternatywę Xj, czy wreszcie uw aża obie alternatywy za jednakow o dobre (tzn. jest wobec nich indyferentna).

3. Przechodniość. D la każdej trójki alternatyw: Xj, x k, x{. jeżeli XjRhx k oraz x kR hx i>to xjR hx i-

Oznacza to, że oceny osoby h m uszą spełniać naturalny warunek racjonalności.

Oceny form ułow ane przez ludzi na ogół spełniają te w arunki. W arunek spójności bywa nie spełniony w przypadku, gdy alternatywy bardzo różnią się jakościow o i tru d n o jest je umieścić n a „wspólnej skali” , natom iast w arunek przechodniości - gdy alternatywy różnią się bardzo m ało bądź też wtedy, gdy stanow ią one złożone, wielowymiarowe całości.

M ożna wyróżnić dwie części relacji słabego porządku R h: antysym etryczną (.Ph) i symetryczną (/A).

Relację Ph określoną na zbiorze alternatyw społecznych A będziemy nazywać relacją m ocnej preferencji, jeżeli dla każdej pary alternatyw Xj, x k należących do zbioru A:

XjPhx k zawsze i tylko wtedy, gdy XjRhx k i nieprawda, że x kR hXj.

Relację Ih określoną n a zbiorze alternatyw społecznych A będziemy nazywać relacją indyferenqi, jeżeli dla każdej pary alternatyw Xj, x k należących do zbioru A:

Xjlkx k zawsze i tylko wtedy, gdy XjRhx k oraz x ^ R ^ j .

Spójność relacji preferencji R h implikuje praw o trychotom ii głoszące, że dla każdej pary alternatyw Xj, x k należących do zbioru A zachodzi dokładnie jedna z trzech relacji:

x/ h x k- x/ h x h x kp hxj-

Określenie relacji preferencji R h polega na podaniu zbioru wszystkich u po ­ rządkow anych p a r alternatyw, między którym i zachodzi ta relacja. Relacja pre­

ferencji indywidualnej R h będzie często przedstaw iana w postaci indywidualne­

go uporządkow ania preferencyjnego zbioru A, które również będziemy ozna­

czać przez R h. Będziemy je zapisywać w postaci ciągu alternatyw wypisanych w porządku od alternatyw y ocenianej najwyżej do alternatywy ocenianej najni­

żej. A lternatyw y, względem których osoba A jest indyferentna, będą połączone łącznikiem, np.

R h: Xj, x 2-x3

co odpow iada relacji preferencji

R h — {<Xjpc2> , <Xjpc3> , < x 2pc3> , < x 3pc2> , <Xjpcj

>,

K ażdy wiersz i każda kolum na tej macierzy odpow iada jednej alternatywie ze zbioru A. Elem entam i tej m acierzy są liczby rhjk e {0,1}, przy czym

jh

Γ 1 gdy

\ 0 gdy XkPhXjlub gdy x / hx k.

P od an a wyżej relacja R h w zapisie macierzowym m a postać:

Γ 0 1 1 -1 0 0 0

L o o o J

Inna, asymetryczna m acierz reprezentująca relację preferencji indywidual­

nej zostanie przedstaw iona dalej.

Inform ację o relacji preferencji indywidualnej osoby h m ożna uzyskać bezpośrednio, prosząc ją o dokonanie uporządkow ania zbioru alternatyw A , lub też pośrednio, zadając cały szereg z prośbą o określenie relacji preferencji między kolejnymi, wszystkimi p aram i alternatyw ze zbioru A . T en drugi sposób jest bardziej pracochłonny, gdyż wym aga zadania m (m -1)/2 pytań. P onadto, w wyniku porów nyw ania alternatyw param i m ożna w pewnych przypadkach, o których była m ow a wyżej, otrzym ać relację preferencji, k tó ra nie jest relacją słabego p o rządku n a zbiorze alternatyw A.

Z biór wszystkich możliwych relacji słabego porządku na zbiorze alternatyw A będziemy oznaczać literą R,natom iast liczebność tego zbioru literą M . D la dwóch alternatyw zbiór Λ jest zbiorem trzyelem entowym :

R 1: Xj ,x2 R 2: x 2,Xj R 3: x 3-x2

natom iast dla trzech alternatyw zbiór Rjest już zbiorem trzynastoelem ento- wym:

R ‘: x 1,x2,x3 R 2: X ] , x 3,x2 R 3: x 2, x1,x3 R 4: x 2,x3,xj R 5: x 3,Xj,x2 R 6: x 3,x2,xj R 7: x j - x 2, x3 R 8: x 1-x3,x2 R 9: x 2-x3, x1 R'°: Xj ,x2-x3 R “ : x 2,Xj-x3 R 12: x 3, xj - x2 R 13: x j - x 2-x3

Liczebność zbioru R rośnie bardzo szybko wraz ze wzrostem liczby alternatyw m. D la przykładu, w Tabeli 1 zostały podane liczby relacji słabego porządku, a także liczby relacji m ocnego porządku (tzn. takich, w których nie w ystępują indyferencje) dla zbioru m alternatyw: m = 1,2,...,6.

Tabela 1. Liczby relacji słabego i mocnego porządku na zbiorze m alternatyw

Liczba alternatyw m 2 3 4 5 6

Liczba relacji słabego porządku M 3 13 75 541 4683

Liczba relacji mocnego porządku m\ 2 6 24 120 720

Profilem preferencji indywidualnych R n zbioru osób N składającego się z n osób będziemy nazywać funkcję q: N -» R , k tó ra każdej osobie ze zbioru N przyporządkow uje pew ną relaq ę słabego porządku n a zbiorze alternatyw A należącą do R. Będziemy go zapisywać w postaci ciągu n indywidualnych relacji preferencji

i?"= < Rj,R .2,-.,R fl,...,R „> , gdzie R h jest relacją preferencji A-tej osoby.

Przykładem profilu preferencji indywidualnych n a zbiorze trzech alterna­

tyw grupy składającej z trzech osób m oże być następujący ciąg relacji preferen­

cji indywidualnych.

Tabela 2. Przykładowy profil preferencji indywidualnych (n=3, m=3) Numer osoby

h

Relacja preferencji indywidualnej Rh

1 Xj, X2, X3

2 Xj, x 2, x 3

3 x 3, X2, Xj

Z biór wszystkich możliwych profili preferencji indywidualnych zbioru osób N będziemy oznaczać przez Q. Liczebność tego zbioru rów na się M" i rośnie bardzo szybko w raz ze wzrostem liczby alternatyw m (a w konsekwencji także liczby m ożliwych preferencji indywidualnych M ) i liczby osób n.

W ygodnym i często stosowanym sposobem przedstaw iania profilu prefe- renq'i indyw idualnych jest podanie rozkładu preferencji indywidualnych, tzn.

występujących typów preferencji i częstości ich występowania. Rozkład prefe- renq'i indywidualnych zawiera uboższą informację od profilu preferencji in­

dywidualnych. A bstrahuje się w nim bowiem od przyporządkow ania preferen­

cji indywidualnych konkretnym osobom. Rezygnacja z tej informacji nie pow oduje poważniejszych konsekwencji, gdyż żadna z dem okratycznych m e­

to d podejm ow ania społecznej decyzji jej nie wykorzystuje.

Wiele m etod wyznaczania społecznej preferencji korzysta jedynie z jeszcze uboższej inform acji, a mianowicie z rozkładów preferencji indywidualnych dla wszystkich możliwych p a r alternatyw. Określenie rozkładu preferencji in­

dywidualnej dla pary alternatyw Xj, x k polega n a podaniu liczby osób, które:

1) przedkładają alternatywę Xj nad alternatywę x k, tj. N (xjP hx k), 2) są indyferentne względem alternatyw Xj i x k, tj. N (x jlhx k), 3) przedkładają alternatyw ę x k n ad alternatywę Xj, tj. N (xkPhxß.

W ygodną form ą prezentacji rozkładów preferencji indywidualnych dla wszystkich możliwych p a r alternatyw jest m acierz ΛΣ o m wierszach i m k o ­ lum nach odpow iadających poszczególnym alternatywom ze zbioru A. Element r^ß tej m acierzy jest równy liczbie osób przedkładających alternatywę Xj nad alternatywę x k.

ΚΣ = \rhjd

WXjPhxk>\

M acierz zawiera jedynie inform acje o liczbach osób, których preferencje między dwiema alternatyw am i są m ocnymi preferencjami. Łatw o jednak m oż­

n a n a tej podstaw ie obliczyć liczbę osób indyferentnych względem alternatyw Xj i x k.

Ν (χ/λ·%> = n - ν ( * / / Λ ) - N (x kp hxß

Oznaczenie tej m acierzy indeksem Σ nie jest przypadkowe. M acierz i?£ jest bowiem sumą m acierzy R h, h = l,2 ,...,n , reprezentujących preferencje poszcze­

gólnych osób, tj.

' j / ę— Πr j k dla wszystkich j, k = l,2 ,...,n .

D la profilu preferencji indywidualnych opisanego w Tabeli 2 m acierz i?£

jest następująca:

L 1 1 0 J

Należy podkreślić, że n a podstaw ie rozkładów preferencji indywidualnych dla wszystkich możliwych p a r alternatyw nie m ożna, poza szczególnymi przypadkam i, odtworzyć rozkładu preferencji indywidualnych dla całego zbio­

ru alternatyw A. N a przykład, dla następującego profilu preferencji indywidu­

alnych:

R j: x j ,x 2,x3 R 2: x 2,x j,x 3 R 3: x 3,x j,x 2

m acierz i?2 jest identyczna z m acierzą po d aną wyżej, chociaż profil ten różni się od profilu opisanego w Tabeli 2.

Dwa cele agregacji: normatywny i opisowy

Celem norm atyw nym agregow ania preferencji indywidualnych jest wy­

znaczenie n a zbiorze alternatyw społecznych takiej relacji preferencji społecz­

nej, k tó ra umożliwi porów nyw anie alternatyw ze społecznego p u n k tu widzenia,

albo dokonyw anie racjonalnych społecznych w yborów z różnych zestawów alternatyw, jakie m ogą być przedstaw ione grupie lub społeczeństwu. Celem opisowym jest natom iast wskazanie takiego uporządkow ania preferencyjnego, które najlepiej charakteryzuje zbiór indywidualnych uporządkow ań preferen­

cyjnych. M ów iąc krótko, celem norm atywnym jest odpowiedź na pytanie: jak a pow inna być racjonalna preferencja społeczna lub wybór społeczny, a celem opisowym - jakie są indywidualne uporządkow ania preferencyjne w badanej zbiorowości. Cel norm atyw ny odpow iada zadaniom m etod w yboru społecz­

nego, natom iast cel opisowy - zadaniom m etod opisu statystycznego.

K ażd a m etoda agregow ania indywidualnych preferencji m oże być wy­

korzystana do obu tych celów. Jednak ocena m etody musi być zrelaty- wizowana do celu, tzn. pewne własności m etody pożądane z punktu widzenia celu norm atyw nego nie są pożądane z p u nk tu widzenia celu opisowego i odw rotnie2.

Rozważm y - dla ilustracji różnic między postulatam i w yboru społecznego i opisu statystycznego - dw a przykłady. W przykładach tych zbiór alternatyw będzie czteroelementowy: x , y, w, z.

P rzykład A.

W pierwszym przykładzie 99% badanych osób m a takie same preferencje, przy czym są one indyferentne wobec dwóch alternatyw: x i y. Pozostały 1 % osób również m a jednakow e preferencje, prawie przeciwne do preferencji poprzedniej, dom inującej grupy, z tym jednak, że wobec żadnej pary alternatyw nie są one indyferentne. Przedstawia je Tabela 3.

Tabela 3. Rozkład indywidualnych uporządkowań preferencyjnych - Przykład A Preferencje indywidualne Odsetki badanych

x-y,w,z 99

z,w,y,x 1

M etod a zwykłej większości i p ro sta m etoda Bordy, dwie p opularne w teorii w yboru społecznego m etody wyznaczania społecznej preferencji, wyznaczają następujące społeczne uporządkow anie alternatyw:

y , x , w, z.

T rud no przypuścić, aby którykolw iek z socjologów, uzyskawszy w wyniku badania taki rozkład indywidualnych uporządkow ań preferencyjnych skłonny był uznać, że powyższe uporządkow anie dobrze opisuje badaną zbiorowość.

Niewątpliwie lepiej charakteryzuje ją uporządkow anie dominujące:

x-y, w, z.

2 Różnice między dwoma typami celów agregacji preferencji indywidualnych oraz pożąda­

nymi własnościami metod agregacji podkreślałem w innym artykule (Lissowski 1987). Z tego artykułu pochodzą też oba, niżej opisane przykłady.

Opis zbiorowości przedstawionej w tym przykładzie za pom ocą uporząd ­ kow ania wyznaczonego przez wymienione m etody w yboru społecznego byłby obarczony nieporów nanie większym błędem (w 99% przypadków ) niż opis za pom ocą dom inującego uporządkow ania (zaledwie w 1 % przypadków).

Teoretycy w yboru społecznego uzasadnialiby m ocną preferencję społecz­

n ą między alternatyw am i x i y w sposób następujący. Jeżeli społeczeństwo m iałoby dokonać w yboru z dwuelementowego zestawu alternatyw składające­

go się tylko z alternatyw x i y w sytuacji, gdy żadna osoba nie uważa alternatyw y y za gorszą od alternatywy x , a istnieją takie osoby (w naszym przykładzie - 1% ), któ re uw ażają alternatywę y za lepszą od alternatywy x , to w ybraną alternatyw ą pow inna być alternatyw a y. Postulat ten, znany pod nazw ą mocnego warunku optymalności Pareto, m ożna uznać za rozsądny sposób w yznaczania społecznej preferencji w takiej sytuacji. Nie m oże on jed n ak być akceptow any przez socjologa opisującego preferencje występujące w pewnej zbiorowości.

Teoretycy w yboru społecznego m ogliby w uzasadnieniu mocnej preferencji między alternatyw am i y i x odwołać się do powszechnie akceptowanej zasady zwykłej większości. Powiedzieliby więc, że jeżeli w rozważanym zbiorze alterna­

tyw istnieje tak a alternatyw a, k tó ra według zasady zwykłej większości jest uznana za lepszą od każdej innej alternatyw y (w naszym przykładzie w arunek ten spełnia alternatyw a y), to pow inna on a zostać uznana za najlepszą w całym zbiorze alternatyw . Postulat ten znany jest pod nazwą warunku Condorceta, posiada z p u n k tu widzenia opisu statystycznego ta k ą sam ą wadę - abstrahuje od faktu, że praw ie wszystkie osoby m ogą być indyferentne wobec obu tych alternatyw. M eto d a opisu statystycznego m usi uwzględniać ten fakt i w ska­

zywać w tym przypadku relację indyferencji między alternatywam i x i y jak o najlepszą charakterystykę preferencji indywidualnych w badanej zbiorowości.

P rzykład B.

W drugim przykładzie zbiorowość składa się z dwóch, równolicznych pod- zbiorowości o dokładnie odw rotnych preferencjach. Przedstawia je Tabela 4.

Tabela 4. Rozkład indywidualnych uporządkowań preferencyjnych - Przykład B Preferencje indywidualne Odsetki badanych

x ,y,w,z 50

z,w,y,x 50

Opis tej zbiorowości za pom ocą jednego uporządkow ania preferencyjnego w sposób oczywisty nie jest trafny.

M eto d a zwykłej większości i pro sta m etoda Bordy wyznaczają następujące społeczne uporządkow anie alternatyw:

x-y-w-z.

W uporządkow aniu tym występują indyferencje między wszystkimi param i alternatyw, podczas gdy żadna z badanych osób nie jest indyferentna wobec żadnej pary alternatyw . T a k a ocena alternatyw m a jednak pewne zalety z p u nk tu widzenia w yboru społecznego. Nie faworyzuje żadnej alternatywy ani też żadnej osoby (w arunki neutralności i anonimowości). M oże być ona uznana za rozsądną (chociaż m ało efektywną) podstaw ę społecznego w yboru z różnych zestawów alternatyw w sytuacji konieczności dokonyw ania takich wyborów.

D la określenia sposobu dokonyw ania tych wyborów i uniknięcia niekonsek­

wencji wskazane jest ustalenie jednej relacji społecznej preferencji nawet wtedy, gdy dwie relacje preferencji są równie dobre. Socjolog opisujący wyniki badania nie m usi wskazać jednego uporządkow ania preferencyjnego jako syntetycznej charakterystyki badanej zbiorowości i może, a nawet powinien, zrezygnować z takiego syntetycznego opisu, jeżeli jego jakość m iałaby być niewielka. W tym przypadku powinien uznać oba uporządkow ania preferencyj­

ne: x,y,w ,z o raz z,w ,y,x, za właściwy opis zbadanej zbiorowości.

Podane wyżej dw a przykłady ilustrują różnice między celami w yboru społecznego i opisu statystycznego. W konsekwencji tych różnic m etody agre­

gowania indywidualnych preferencji wykorzystywane do tych dwóch celów nie m uszą posiadać takich samych własności. A naliza tych przykładów wykazała, że m etody opisu statystycznego nie m uszą spełniać trzech postulatów nakła­

danych zwykle w teorii w yboru społecznego n a m etody wyznaczania preferencji społecznej: m ocnego w arunku optymalności Pareto, w arunku C ondorceta i w a­

run ku jednoznaczności.

Klasyfikacja metod agregacji preferencji indywidualnych

M ożna wyróżnić dwie, pow iązane ze sobą, klasy m etod podejm ow ania społecznych decyzji. Pierwsza obejmuje sposoby wyznaczania społecznej pre­

ferencji n a ustalonym zbiorze alternatyw n a podstaw ie profilu indywidualnych ocen alternatyw należących do tego zbioru. D rug a zawiera m etody w yboru z rozważanego zbioru najlepszej alternatywy lub podzbioru najlepszych alter­

natyw.

M etody om aw iane w tym artykule należą do pierwszej z wymienionych klas m etod. D okładniej m ówiąc, są to m etody agregowania opinii indywidualnych.

Z akłada się bowiem, że indywidualne oceny m ają charakter preferencji, a nie użyteczności. A rtykuł ten nie obejmuje m etod wyznaczania społecznej prefe­

rencji n a zbiorze takich alternatyw , które reprezentują możliwe rozw iązania konfliktu interesów między osobam i (np. podziały dóbr). Podejmowanie de­

cyzji społecznych w takich sytuacjach wymaga n a ogół przyjm owania m ocniej­

szych założeń o sposobie pom iaru intensywności indywidualnych preferencji oraz o możliwości ich międzyosobowego porów nyw ania (por. Lissowski 1986).

M etody wyznaczania społecznej preferencji m ożna przedstawić w postaci funkcji, które każdem u profilowi preferencji indywidualnych R", należącemu do zbioru wszystkich możliwych profili #T, przyporządkow ują niepusty p o d ­ zbiór zbioru relacji słabego porządku R określonych na zbiorze A , tj. ele­

m ent zbioru wszystkich niepustych podzbiorów zbioru relacji słabego p orząd­

ku: 2" - {0}. M ożem y ją zapisać następująco:

F: Rn -» 2* - { 0}.

W teorii w yboru społecznego n a ogół rozważa się węższą klasę m etod wyznaczania preferencji społecznej nazywanych funkcjam i społecznego dob­

robytu (por. A rrow 1951). Przyporządkow ują one każdem u profilowi preferen­

cji indywidualnych dokładnie jed n ą relację słabego porządku n a zbiorze alternatyw.

F: nr ^{- »} R

R odzaje m etod wyznaczania społecznej preferencji m ożna wyróżnić na podstaw ie łącznego zastosow ania dwóch kryteriów. Pierwsze z nich określa, jakie inform acje o preferencjach indywidualnych są wykorzystywane do wy­

znaczania społecznej preferencji. D rugie charakteryzuje dokładność określenia preferencji społecznej.

W edług pierwszego kryterium m ożna wyróżnić dwa rodzaje m etod. M etody binarne wykorzystują jedynie rozkłady preferencji indywidualnych dla wszyst­

kich m ożliwych p a r alternatyw. Podstaw ą do wyznaczenia preferencji społecz­

nej m oże być m acierz ΛΣ opisana wcześniej. M etody niebinarne korzystają z pełniejszej inform acji o preferencjach indywidualnych.

D rugie kryterium - dokładność określenia społecznej preferencji - um oż­

liwia wyróżnienie również dwóch rodzajów m etod. M etody jednoznaczne w yznaczają społeczną preferencję w sposób dokładny. O dpow iadają one tej klasie m etod podejm ow ania społecznych decyzji, które nazywa się funkcjam i społecznego dobrobytu. M etody niejednoznaczne wyznaczają podzbiór relacji słabego porządku, które w jednakow ym stopniu m ogą być uznane za preferen­

cje społeczne. W yboru tych relacji dokonuje się na ogół m etodam i optym aliza­

cyjnymi, a jego podstaw ę stanow ią oceny zgodności między poszczególnymi relacjami słabego porządku ze zbioru R a zbiorem preferencji indywidual­

nych.

Łączne zastosowanie omówionych dwóch podziałów umożliwia wyróżnie­

nie czterech rodzajów m etod agregacji preferencji indywidualnych. Są one wymienione w Tabeli 5 w raz z wybranymi, ilustrującymi je m etodam i wy­

znaczania społecznej preferencji.

W następnej części artykułu będą omówione przykłady wszystkich wy­

różnionych rodzajów m etod, które są wymienione w Tabeli 5. Zaklasyfikow a­

nie m etod wymienionych w tej tabeli do wyróżnionych kategorii nie jest jednoznaczne. Pewne m etody, określone pierwotnie jak o m etody niebinarne, wykorzystujące pełniejszą inform ację o preferencjach indywidualnych, okazały

Tabela 5. Rodzaje metod agregacji preferencji indywidualnych oraz wybrane metody wyznaczania społecznej preferencji

Metody jednoznaczne niejednoznaczne

binarne metody związane z zasadą zwykłej większości

metoda Condorceta, metody optymalnej predykcji niebinarne metody związane

z regułą Bordy

metody wykorzystujące odległości między uporządkowaniami się bowiem m etodam i binarnym i (por. Y oung 1974 - twierdzenie na tem at prostej m etody Bordy). Sposób oryginalnego określenia danej m etody przez jej au to ra nie przesądza więc o jej własnościach. W artykule pom inięte zostały zwłaszcza takie m etody, które nakładają pewne ograniczenia n a zbiór preferen­

cji indywidualnych (np. dopuszczają tylko preferencje indywidualne, które są m ocnym i porządkam i) lub też wykorzystują złożone (i w konsekwencji znane jedynie niewielkiej części Czytelników) m etody matematyczne.

Ja k w iadom o, nie istnieją m etody agregacji preferencji indywidualnych, które posiadałyby wszystkie pożądane własności lub przynajmniej spełniałyby takie zestawy w arunków , które uw aża się za m inim alne wymagania. Pierwsze, najbardziej znane twierdzenie tego rodzaju - nazywane paradoksem w ybor­

czym A rrow a - nakładało n a tak ą m etodę pięć warunków: nieograniczonej dziedziny, zgodności preferencji indywidualnych i społecznych, niezależności od alternatyw niezwiązanych, suwerenności obywatelskiej i niedyktatury (A rrow 1951; por. również Luce i Raiffa 1964; Lissowski 1984; K am iński 1994). Później udow odniono wiele podobnych twierdzeń dla innych zestawów w arunków (por. Kelly 1978). Znaczna część literatury z zakresu teorii w yboru społecznego jest poświęcona badaniu istnienia lub nieistnienia m etod spełnia­

jących pewne zestawy norm atyw nych postulatów .

W szystkie m etody opisane w tym artykule spełniają dwa postulaty: an o ­ nimowości i neutralności. Pierwszy z nich oznacza jednakow e traktow anie wszystkich preferencji indywidualnych, a drugi - jednakowe traktowanie wszyst­

kich alternatyw społecznych. W arunek anonimowości wymaga, aby dow olna zm iana przyporządkow ania preferencji indywidualnych osobom nie pow o­

dow ała zmiany decyzji społecznej, natom iast w arunek neutralności żąda, aby zastąpienie we wszystkich preferencjach indywidualnych alternatywy x przez alternatywę y i odwrotnie, powodow ało tak ą samą zmianę pozycji tych alternatyw w uporządkow aniu społecznym.

Prawie wszystkie opisane m etody nie spełniają postulatu niezależności od alternatyw niezwiązanych. Postulat ten m a n a celu zapewnienie niezależności w yboru społecznego z określonego zestawu alternatyw od tego, jakie inne alternatywy spoza tego zestawu m ogłyby być rozważane przez grupę podej­

m ującą zbiorow ą decyzję. Socjologowie i psychologowie wiedzą, że nawet

indywidualne oceny i w ybory poszczególnych osób nie zawsze spełniają analo­

giczny w arunek niezależności.

W teorii w yboru społecznego uważa się, że postulat niezależności od alternatyw niezwiązanych jest odpowiedzialny za wiele paradoksów w yboru społecznego i że niesłusznie został on sform ułow any przez K J . A rrow a w tak m ocnej postaci (H ansson 1973). W arunek ten spełnia niewiele m etod wy­

znaczania społecznej preferencji i to za cenę generowania nieprzechodnich preferencji grupowych (tak, ja k w przypadku zasady zwykłej większości), bądź też innych, niepożądanych konsekwencji. O pracow ano osłabione wersje w arunku niezależności od alternatyw niezwiązanych (por. H ansson 1973), które są spełniane przez większość opisanych tu m etod.

M etody agregacji preferencji indywidualnych, przedstaw ione w tym artyku­

le, różnią się wielom a innymi własnościami. O pewnych z nich będzie m ow a dalej3. W ybór m etody zawsze wym aga znajomości jej własności. Porów nanie własności wszystkich opisanych tu m etod będzie przedm iotem innego artykułu.

Wybrane metody agregacji indywidualnych preferencji Metody binarne jednoznaczne

Zasada zw ykłej większości

Z asada zwykłej większości jest jed n ą z najstarszych i najlepiej znanych m etod podejm ow ania społecznych decyzji, a jej dem okratyczny charakter jest powszechnie podkreślany.

Podstaw ą wyznaczenia społecznej preferencji między dow olną parą alterna­

tyw jest rozkład preferencji indywidualnych dla tej pary. Jest to więc klasyczna m etoda binarna.

Relacja preferencji społecznej jest wyznaczana przez zasadę zwykłej więk­

szości w sposób następujący (litery P i / bez indeksu oznaczają relacje spo­

łecznej preferencji):

- alternatyw a x jest społecznie przedkładana nad alternatywę y:

x P y <-> N (x P Ay )> N (y P Ax), - alternatyw y x i y są społecznie indyferentne:

x ly <-> ~N(xPhy)=~N(yPhx),

- alternatyw a x jest społecznie przedkładana nad alternatywę y:

y P x <-y ~N(xRhy ) < N ( y R hx).

Z asada zwykłej większości posiada wiele pożądanych własności, m .in.

spełnia ona w arunek niezależności od alternatyw niezwiązanych. Niestety, dla pewnych profili preferencji indywidualnych wyznaczona za pom ocą tej zasady

3 Wiele własności opisuje Dariusz Przybysz w tym samym numerze „Studiów Socjologicz­

nych” i bada ich spełnianie przez metody agregowania ocen sędziów sportowych.

relacja społecznej preferencji nie jest przechodnia, a więc nie jest relacją słabego porządku n a zbiorze alternatyw A. Przykładem takiego profilu jest tzw. profil Condorceta.

P rzykład 3 (profil Condorceta)

R p x,y,z R 2: y,z,x R 3: z,x,y.

Zatem : xPy, yPz, zPx.

W konsekwencji, zasada zwykłej większości nie może być uznana za m etodę agregacji preferencji indywidualnych zgodnie z określeniem podanym w p o ­ przedniej części.

O pracow ano kilka m etod agregacji preferencji indywidualnych związanych z zasadą zwykłej większości. M etody te są modyfikacjami zasady zwykłej większości w tym sensie, że w przypadku profili, dla których ta zasada wyzna­

cza przechodnie relacje społecznej preferencji, dają wyniki identyczne z tą zasadą, natom iast w pozostałych przypadkach wyznaczają przechodnie relacje społecznej preferencji. N iektóre z tych m etod wykorzystują pełną informację 0 profilu indywidualnych preferencji i nie są już m etodam i binarnym i. Przed­

stawimy tutaj dwie binarne m etody agregacji preferencji indywidualnych związane z zasadą zwykłej większości: m etodę C opelanda i m etodę Tody 1 innych.

M etoda Copelanda

M etod a C opelanda stanowi pro stą modyfikację zasady zwykłej większości.

A .H . C opeland (1951) wprowadził wskaźnik liczbowy, który każdej alterna­

tywie Xj przyporządkow uje, ze względu n a relację preferencji społecznej ustalo­

n ą według zasady zwykłej większości, różnicę między liczbą alternatyw, nad którym i alternatyw a Xj jest społecznie przedkładana, a liczbą alternatyw, które są społecznie przedkładane n ad alternatywę x·.

c(xj) = \{xk- N(XjPhx k) > N ( x kPhXj\\ - |{xfc: N (xjP hx k) < Ν (ΧΐζΡΗχ β \ gdzie |A| oznacza liczebność zbioru A.

W artości tego w skaźnika stanow ią kryterium uporządkow ania alternatyw w społecznym uporządkow aniu preferencyjnym.

M etoda Copelanda określa relację społecznej preferenqi w sposób następujący:

x j P x k * * c ( * / ) > c (*fc)>

x / x k <-> c(Xj) = c(xk),

x kP x j ^ c (.x j ) < c ( x k )·

Relacja ta jest relacją przechodnią. Uzyskuje się to jednak kosztem p o ­ gwałcenia w arunku niezależności od alternatyw niezwiązanych. Opublikowano aksjom atyczną charakterystykę tej m etody (Henriet 1985).

D la profilu C ondorceta, opisanego w poprzednim przykładzie, m am y: xP y, yP z, zP x. Zatem : c(x) = 0, c(y) = 0, c(z) = 0, a więc społeczne uporządkow anie alternatyw jest następujące: x-y-z.

M etoda Tody i innych.

M . T oda, K . Sugiyama i S. Tagaw a (1982) zaproponow ali m etodę m odyfi­

kacji rozkładów preferencji indywidualnych dla p a r alternatyw w taki sposób, aby zasada zwykłej większości zastosow ana do zm odyfikowanych danych wyznaczała relację słabego porządku n a zbiorze alternatyw A. Isto ta tego pom ysłu odwołuje się do następującego rozum owania.

Jeżeli üß osób uw aża alternatyw ę Xj za nie gorszą od alternatywy oraz aik osób uw aża alternatyw ę x t za nie gorszą od alternatywy x k, to racjonalnie należy oczekiwać, że pew na liczba osób, przynajmniej rów na mniejszej z liczb üß oraz aik, pow inna uznaw ać alternatywę x- za nie gorszą od alternatyw y x k.

Jeżeli zatem m inim um to jest większe od ajk (tzn. od liczby osób, które oceniały alternatywę Xj ja k o nie gorszą od alternatywy x k), to m ożna zastąpić ajk przez m in (aß ,aik).

Form alnie m etoda ta polega na wyznaczeniu m acierzy A 1 o wym iarach m x m takiej, że

, ( t jeżelij = k

“ Λ

l n o / w + m / hXk) ieżeli j * k -

następnie wyznacza się macierze A2, A3, ..., Am l zgodnie z opisaną wyżej zasa­

dą, tzn.

Z asada zwykłej większości zastosow ana do uzyskanej w ten sposób m acie­

rzy A“'1 wyznacza słaby porządek n a zbiorze alternatyw A.

Metody niebinarne jednoznaczne M etody związane z regułą Bordy

J.C h. B orda p od koniec X V III wieku zaproponow ał pewną m etodę podej­

m ow ania społecznych decyzji (por. G razia 1953). Polega ona n a przypisywaniu alternatyw om punktów za pozycje, jakie zajm ują one w indywidualnych uporządkow aniach preferencyjnych. A lternatyw a zajm ująca najwyższą pozycję otrzym uje największą liczbę punktów , natom iast alternatyw a zajm ująca najniż­

szą pozycję - najm niejszą liczbę punktów . Społeczne uporządkow anie alterna­

tyw jest wyznaczone n a podstaw ie łącznej liczby punktów otrzym anych przez poszczególne alternatywy ze względu na ich pozycje we wszystkich indywidual­

nych uporządkow aniach preferencyjnych.

Oryginalna m etoda Bordy jest najstarszą m etodą pozycyjno-punktową.

W sform ułow aniu Bordy m iała ona zastosowanie jedynie do m ocnych in­

dywidualnych preferencji. Została jednak uogólniona n a zbiór preferencji indywidualnych będących słabymi porządkam i, a także opracow ano kilka innych związanych z nią m etod (por. G ärdenfors 1973).

Prosta metoda Bordy

Oznaczmy przez f j(R h,Xj) funkcję, k tó ra alternatywie Xj przyporządkowuje ze względu na preferencję indyw idualną osoby h różnicę między liczbą alterna­

tyw, nad które osoba h przedkłada alternatywę x·, a liczbą alternatyw, które są przez osobę h przedkładane nad alternatywę Xj.

f l (R h,xj) = \{xk: XjPifXk}\ - \{xk: x kPhxß \

W skaźnik ten jest więc różnicą między liczbą wyborów a liczbą odrzuceń alternatywy Xj w porów naniu ze wszystkimi innymi alternatywami, obliczoną n a podstaw ie uporządkow ania preferencyjnego osoby h.

Niech

F l ( x j > = & M R h-xj )

U porządkow anie społeczne alternatyw jest określone zgodnie z relacją większości łącznego w skaźnika F j (xß. A lternatyw ą najlepszą jest ta, dla której w artość łącznego w skaźnika jest największa, a najgorszą - ta, dla której jest ona najmniejsza.

O pisana p ro sta m etoda Bordy jest jednym z dwóch uogólnień oryginalnej m etody Bordy na zbiór słabych preferencji indywidualnych, które rozważał D.

Black (1958). U znał on to uogólnienie za trafniejsze.

W arto podkreślić, że chociaż pro sta m etoda Bordy jest m etodą pozycyjno- -punktow ą, to wartości łącznego wskaźnika F j ( ^ ) m ogą być wyznaczone na podstaw ie rozkładów preferencji dla wszystkich p a r alternatyw (tj. m acierzy R j). H .P. Y oung (1974) wykazał, że

N (XjP hx k) - Σ N (x k P hxj) Jest to więc w rzeczywistości m etoda binarna.

H .P. Y oung (1974) i P. G ärdenfors (1973) podali aksjomatyczne charakte­

rystyki tej m etody. Z badano również wiele innych jej własności.

Ograniczona metoda Bordy

In n ą m odyfikacją i uogólnieniem m etody Bordy jest tzw. ograniczona m etoda Bordy (por. G ärdenfors 1973).

Oznaczmy przez i2(R h,xß fuokcję, k tó ra każdej alternatywie Xj przyporząd­

kowuje ze względu n a indyw idualną preferencję osoby h liczbę alternatyw, nad które osoba h przedkłada alternatywę Xj.

U R h’xj ) = K **·· x j P h x k i \

Niech

H xj> = lk M R h xP

U porządkow anie społeczne alternatyw jest określone zgodnie z wartościam i łącznego w skaźnika F 2(x/).

Analogicznie ja k w przypadku prostej m etody Bordy, uporządkow anie społeczne za pom ocą tej wersji m etody m oże być wyznaczone n a podstaw ie m acierzy Τ?Σ, gdyż

Obie wersje m etody Bordy, p ro sta i ograniczona, wyznaczają to samo społeczne uporządkow anie alternatyw, jeżeli profil preferencji indywidualnych składa się tylko z m ocnych porządków . Spełniają one wszystkie w arunki występujące w twierdzeniu A rrow a z wyjątkiem w arunku niezależności od alternatyw niezwiązanych.

Kwadratowa metoda Bordy

Obie przedstaw ione wyżej modyfikacje m etody Bordy były rozszerzeniami tej m etody n a profile zawierające słabe porządki. T akim rozszerzeniem nie jest kw adratow a m etoda Bordy.

Oznaczmy przez i3(R h,xß funkcję, k tó ra każdej alternatywie Xj przyporząd­

kowuje ze względu na indyw idualną preferencję osoby h następujące wartości:

U porządkow anie społeczne alternatyw jest określone, podobnie ja k p o ­ przednio, ze względu n a w artości F 3(xy).

M eto d a ta nie jest już m etodą binarną. Podobnie ja k dwie poprzednie nie spełnia ona w arunku niezależności od alternatyw niezwiązanych, ale spełnia słabszą, pozycyjną wersję tego w arunku.

Iteracyjna metoda Bordy

Dwie następne modyfikacje m etody Bordy nie są już prostym i m etodam i pozycyjno-punktow ym i. W ym agają one wielokrotnego (iteracyjnego) zastoso­

w ania prostej m etody Bordy.

W ersja m etody Bordy nazyw ana iteracyjną (por. G ärdenfors 1973) polega na zastosow aniu prostej m etody Bordy dla uzyskania pierwotnego społecznego uporządkow ania alternatyw. Jeżeli nie występują w nim indyferencje (tj.

alternatywy o identycznych wartościach Fj(xy)), to uporządkow anie to uznaje się za ostateczne. Jeżeli natom iast w pierwotnym uporządkow aniu występuje jeden lub kilka podzbiorów alternatyw o identycznych wartościach wskaźnika Fj(xy), to oddzielnie dla każdego z tych podzbiorów stosuje się ponownie pro stą m etodę Bordy, aby uzyskać uporządkow anie poprzednio jednakow o ocenianych alternatyw. Tę procedurę pow tarza się do m om entu, gdy: (1) nie występują już podzbiory jednakow o ocenianych alternatyw, lub (2) pow tórze­

nie opisanej procedury nie zmienia poprzedniego uporządkow ania.

gdy ^(Rb.xß'StO, oraz gdy f 1(ÄA,x/) < 0 natom iast przez F 3(x4

H xj> = & M R x’xj)

Jak o ostateczne społeczne uporządkow anie alternatyw przyjm uje się pier­

w otne społeczne uporządkow anie alternatyw ze zm ianą uporządkow ania alter­

natyw pierwotnie ocenianych jednakow o n a takie ich uporządkow anie, jakie otrzym ano w wyniku zastosow ania wyżej opisanej procedury.

Eliminacyjna metoda Bordy

M eto da ta, podobnie ja k poprzednia, polega n a w ielokrotnym zastosowa­

niu prostej m etody Bordy. N a podstaw ie pierwotnego, społecznego up orząd­

kow ania alternatyw uzyskanego w wyniku zastosowania prostej m etody Bordy do całego zbioru alternatyw A, w ybiera się alternatywę najgorszą (o najm niej­

szej wartości F ^ x ß ) bądź też podzbiór jednakow o ocenianych najgorszych alternatyw. A lternatyw ę tę bądź też taki podzbiór alternatyw uznaje się za najgorszą w ostatecznym uporządkow aniu alternatyw. A lternatyw ę tę (lub ten podzbiór alternatyw) eliminuje się ze zbioru alternatyw i ponownie stosuje p ro stą m etodę Bordy do pomniejszonego zbioru alternatyw. A lternatyw ę (lub podzbiór alternatyw najgorszych w nowym uporządkow aniu uznaje się za kolejną najgorszą w ostatecznym społecznym uporządkow aniu. Postępowanie pow tarza się do wyczerpania zbioru alternatyw.

Dwie opisane wyżej m odyfikacje m etody Bordy (iteracyjna i eliminacyj­

na) nie spełniają w arunku niezależności od alternatyw niezwiązanych, nawet w wersji pozycyjnej. R óżnią się one własnościami. N a przykład, iteracyjna m etoda Bordy spełnia w arunek mocnej m onotoniczności, natom iast elimina­

cyjna m etoda Bordy jest jedyną, k tó ra spełnia warunek Condorceta (por.

G ärdenfors 1973).

P rzykład 4.

Niech profil indywidualnych preferencji będzie następujący:

R 2: x,y,w ,z R 2: w ,x,z,y R 3: y,w ,x,z

Społeczne uporządkow ania alternatyw wyznaczone za pom ocą poszczegól­

nych m etod związanych z regułą Bordy są następujące:

P rosta m etoda Bordy: x-w ,y,z

Ograniczona m etoda Bordy: x-w ,y,z K w adratow a m eto da Bordy: x-w ,y,z Iteracyjna m etod a Bordy: w ,x,y,z Elim inacyjna m eto d a Bordy: x-y-w,z Metody binarne niejednoznaczne

M etoda Condorceta

M etod a C ondorceta (tak określa się również inne sposoby postępow ania rozw ażane przez niego) polega n a wyznaczaniu takiego uporządkow ania społecznego alternatyw , które m a poparcie największej liczby osób. D okład­

niej, poparcie to jest sum ą liczb osób, których preferencje na parach alternatyw

są zgodne z preferencjam i między alternatyw am i w danym uporządkow aniu społecznym. Podstaw ą dla ustalenia uporządkow ania społecznego są więc rozkłady preferencji indywidualnych n a wszystkich p arach alternatyw.

P rzykład 5.

D la profilu C ondorceta, opisanego poprzednio:

R }: x,y ,z R 2: y ,z ,x R 3: z,x,y.

m am y następujące liczby „p o p arć” zgodnych z poszczególnymi m ocnymi uporządkow aniam i społecznymi („poparć” dla indyferencji nie m a potrzeby w tym przypadku rozważać, gdyż w profilu indywidualnych preferencji nie występują indyferencje, a więc wszystkie indyferencje n a parach alternatyw m iałyby „poparcie” równe 0):

Tabela 6. Liczby preferencji indywidualnych zgodnych z preferencjami na parach alter­

natyw w potencjalnych uporządkowaniach społecznych Uporządkowanie

społeczne

Relacje preferencji między poszczególnymi parami alternatyw i liczby zgodności

(w nawiasach)

Razem liczba zgodności

x i y x i z y i z

x,y,z xPy (2) xPz (1) yPz (2) 5

x,z,y xPy (2) xPz (1) zPy (1) 4

y.x,z yPx (1) xPz (1) yPz (2) 4

y.z.x yPx (1) zPx (2) yPz (2) 5

ζ,χ,γ xPy (2) zPx (2) zPy (1) 5

z,y,x yPx (1) zPx (2) zPy (i) 4

Są trzy uporządkow ania alternatyw z największymi, równymi liczbami

„pop arć” w preferencjach indywidualnych: x,y,z; y,z,x; z,x,y. M eto da C ondor­

ceta wszystkie te trzy uporządkow ania uznaje za najlepsze społeczne uporząd­

kow ania alternatyw.

M etody optymalnej predykcji

M etod a optymalnej predykcji została opracow ana przez autora (1974a) przy zastosow aniu tego samego podejścia, które okazało się bardzo użytecz­

ne dla konstruow ania wielu param etrów rozkładu statystycznego jednej i wielu zmiennych (por. Lissowski 1974b, 1977a, 1977b). W cytowanych publi­

kacjach w ykazano, że podstaw ow e param etry opisu statystycznego posiadają interpretację w kategoriach przewidywania traktowanego jako problem decyzji.

Problem przewidywania indywidualnych uporządkow ań preferencyjnych n a podstaw ie społecznego uporządkow ania preferencyjnego m ożna przed­

stawić jak o problem decyzji, tzn.

< R , R n, S > ,

gdzie:

R - możliwych społecznych u porządkow ań preferencyjnych ustalonego zbioru alternatyw A ,

R" - zbiór stanów rzeczy: profil indywidualnych uporządkow ań preferencyj­

nych n osób,

S - funkcja straty związanej z przewidywaniem. F unkcja ta każdem u przewi­

dyw aniu indywidualnego uporządkow ania preferencyjnego osoby A-tej (tj.

R h) n a podstaw ie społecznego uporządkow ania preferencyjnego (tj. R) przyporządkow uje liczbę rzeczywistą S(R ,R h) stanow iącą ocenę błędu przewidywania.

O ptym alnym społecznym uporządkow aniem preferencyjnym jest takie u po ­ rządkow anie R \ które m inimalizuje średnią w artość funkcji straty, tj.

E [S(R ',R h)]= m m E [S (R ,R h)]

W artość średnia straty związanej z optym alnym przewidywaniem jest m iarą zgodności profilu indywidualnych uporządkow ań preferencyjnych z optym al­

nym społecznym uporządkow aniem preferencyjnym.

M eto d a optym alnej predykcji jest klasą m etod wyznaczania społecznego uporządkow ania preferencyjnego param etryzow anych postacią funkcji straty.

W ybór postaci funkcji straty jest arbitralny i wym aga odrębnego uzasadnienia.

Szereg własności tej m etody zależy od postaci zastosowanej funkcji straty.

Najlepiej opracow anym i dotychczas m etodam i optymalnej predykcji są te, w których funkcja straty zależy jedynie od p orów nania dla poszczególnych p ar alternatyw: przewidywanych (tj. społecznych) i rzeczywistych (tj. indywidual­

nych) relacji preferencji, tzn.

S (R ,R h)= % J +M R -R h)

Przy tak określonej funkcji straty m etoda optymalnej predykcji jest binarną m etod ą agregacji indywidualnych preferencji.

Trzy przykładow e, najczęściej stosow ane funkcje straty m ożna opisać następująco. F unk cja S j przypisuje każdej parze alternatyw, dla której obie relacje preferencji są takie same, w artość 0, natom iast w pozostałych przypadkach - w artość 1. F unkcja straty S2 dodatkow o rozróżnia dwa typy błędów, jakie m ożna popełnić przy przewidywaniu relacji preferencji między p a rą alternatyw w indywidualnym uporządkow aniu preferencyjnym n a pod­

stawie społecznego uporządkow ania. Pierwszemu, polegającemu n a przewidy­

w aniu relacji indyferencji, gdy rzeczywista relacja jest m ocną preferencją lub odw rotnie, przypisuje w artość 1. D rugiem u, polegającemu na przewidywaniu m ocnej preferencji, odw rotnej do relacji rzeczywistej, przypisuje ona w artość 2.

F unkcja straty S3 zachowuje się podobnie, ja k funkcja straty S 2, z tym jednak, że strata związana z przewidywaniem relacji preferencji odwrotnej do rzeczywi­

stej jest wyższa i wynosi 4.

Sposób wyznaczenia optym alnego społecznego uporządkow ania preferen­

cyjnego m o żn a zilustrow ać n a tym samym profilu Condorceta, który był wykorzystany dla ilustracji m etody Condorceta.

Tabela 7. Straty związane z przewidywaniem indywidualnych uporządkowań preferen­

cyjnych (funkcja straty S}) Uporządkowanie

społeczne - podstawa przewidywania

Indywidualne uporządkowanie preferencyjne Średnia strata R } =

= <x,y,x> *2=

= < y z,x >

r3=

= <z,x,y>

R ‘= < x ,y j> 0 2 2 l>/3

R 2= <x,z,y> 1 3 1 U/s

R 3= < y j,x > 1 1 3 U/s

R 4= < x,y,z> 2 0 2 l»/3

R 5= <x,z,y> 2 2 0 Vh

R 6= <z,y,x> 3 1 1 12/3

R 7= <x,y-z> 1 3 2 2

R Ä= <y,x-z> 2 1 3 2

R 9= < z,x-y> 3 2 1 2

R ,0= <x-y,z> 1 2 3 2

R “ = <x-z,y> 2 3 1 2

R ,2= <y-z,x> 3 1 2 2

R !3= <x-y-z> 3 3 3 3

T abela 7 przedstaw ia straty związane z przewidywaniem indywidualnych uporządkow ań preferencyjnych n a podstaw ie wszystkich możliwych społecz­

nych uporządkow ań oceniane za pom ocą funkcji straty S j. O statnia kolum na tej tabeli podaje w artości średnie strat. D la rozważanego przykładu istnieją zatem trzy optym alne społeczne uporządkow ania alternatyw: R 1, R4 i R 5.

W artości średnie strat dla tych uporządkow ań, równe l y , charakteryzują zgodność profilu preferencji indywidualnych z tymi optym alnym i społecznymi uporządkow aniam i alternatyw. M etod a optymalnej predykcji z funkcją straty Sj daje zatem wyniki dokładnie takie same ja k m etoda Condorceta.

W arto zwrócić uwagę n a to, że m etoda C opelanda i prosta m etoda Bordy dla tego przykładu wyznaczają społeczne uporządkow anie R13 = < x -y -z>

prow adzące do największej średniej straty.

Metody niebinarne niejednoznaczne

M etody wykorzystujące odległości między uporządkowaniami preferencyjnymi O pracow ano kilka m iar odległości między uporządkow aniam i preferencyj­

nymi. Pierwszą i najważniejszą jest m iara K em eny’ego:

gdzie oznacza element m acierzy R h opisanej w części drugiej.

M iara odległości d K(7?A,7?g) została w prow adzona przez J. K em eny’ego (1959; K em eny i Snell 1962) w sposób aksjomatyczny. Spełnia on a m .in.

trzy podstaw ow e w arunki odległości. K J . Bogart (1973) nazwał ją odległością

„m iejską” , gdyż jej aksjom atyczna charakterystyka zawiera aksjom at zakła­

dający relację „leżenia m iędzy” .

In n ą m iarę odległości między uporządkow aniam i preferencyjnymi w prow a­

dził K .J. B ogart (1973, 1975).

Niech d an a będzie m acierz o m wierszach i m kolum nach. K ażdy wiersz i każda kolum na tej m acierzy odpow iada jednej alternatywie ze zbioru A.

Elem entam i tej m acierzy są liczby a V = { -1,0,1}, ( i gdy xjPhx k 0 gdy Xjlhx k V-1 gdy x kPhXj

M acierz ta jest antysym etryczna. Reprezentuje ona preferencję indywidual­

n ą osoby h.

M iara odległości B ogarta między uporządkow aniam i preferencyjnymi R h i R g m a postać:

dB ( V g ) = (*PH

gdzie ||A|| oznacza pierwiastek kw adratow y z sumy kw adratów m acierzy A, natom iast A(R h) i A(i?g) oznaczają opisane wyżej macierze antysymetryczne reprezentujące indywidualne preferencje osób h i g odpowiednio.

M iara ta została również w prow adzona w sposób aksjomatyczny (Bogart 1973,1975). Ze względu n a jej postać i własności m ożna byłoby ją określić jako m iarę „euklidesow ą” .

Przedstawiając m etody agregacji preferencji indywidualnych wykorzystują­

ce m iary odległości m iędzy uporządkow aniam i preferencyjnymi ograniczymy się jednak do dK (R h,R h).

M etoda mediany indywidualnych uporządkowań preferencyjnych

J. K em eny (1962) zaproponow ał, aby jak o społeczne uporządkow anie alternatyw przyjąć to uporządkow anie R \ dla którego sum a odległości od indywidualnych uporządkow ań preferencyjnych jest najmniejsza, tj.

i ^ R ^ m m i d i R b . R )

Określenie R* m edianą uporządkow ań preferencyjnych jest trafne. Jak wiadom o, m ediana jest właśnie tą wartością, k tó ra minimalizuje sumę odległo­

ści wartości zmiennej od stałej.

M eto da ta nie m usi wyznaczać jednoznacznie społecznego uporząd ko ­ w ania preferencyjnego, gdyż dla kilku uporządkow ań sum a odległości od indywidualnych uporządkow ań m oże być tak a sam a i m niejsza od p ozo­

stałych. W arto zauważyć, że m etoda ta wyznacza takie same społeczne

uporządkow ania preferencyjne ja k m etoda optymalnej predykcji z funkcją straty S 2-

Pow ażną w adą tej m etody jest to, że wymaga ona w ykonania złożonych i czasochłonnych obliczeń. W .D . C ook i A .L. Saipe (1976) opracowali specjal­

ny program kom puterow y, natom iast D .K . M erchant (1978) opisał sposób wyznaczenia i?* za pom ocą program ow ania liniowego. Również w spom niany n a wstępie program kom puterow y, wyznaczający społeczne uporządkow ania preferencyjne za pom ocą różnych m etod, pozwala obliczyć R*.

M etoda średniej indywidualnych uporządkowań preferencyjnych

D rug ą m eto d ą w yznaczania społecznego uporządkow ania preferencyjnego proponow aną przez J. K em eny’ego (1962) jest wybór uporządkow ania, które m inimalizuje sumę kw adratów odległości od indywidualnych uporządkow ań preferencyjnych, tj.

Σ [rf(i?A.J?*)]2= m in Σ [d{Rh,R ) f

U porządkow anie R ' m ożna nazwać średnią indywidualnych uporządkow ań preferencyjnych, gdyż właśnie średnia minimalizuje sumę kw adratów odległości zmiennej od stałej.

Podobnie ja k w poprzednim przypadku społeczne uporządkow anie i?* nie musi być określone jednoznacznie, n atom iast złożoność obliczeniowa związana z jego wyznaczeniem jest jeszcze większa.

Obie m etody K em eny’ego agregacji preferencji indywidualnych spełniają wszystkie w arunki występujące w twierdzeniu A rrow a z wyjątkiem w arunku niezależności od alternatyw niezwiązanych. W odróżnieniu od społecznych funkcji dobrobytu, do których odnosi się to twierdzenie, nie m uszą one wy­

znaczać jednoznacznie społecznego uporządkow ania alternatyw. Posiadają one także szereg innych pożądanych własności.

Zakończenie

W artykule zaproponow ana została klasyfikacja m etod wyznaczania społe­

cznej preferencji n a podstaw ie profilu preferencji indywidualnych. Jest ona wynikiem łącznego zastosow ania dwóch kryteriów. Pierwsze z nich określa, jakie inform acje o preferencjach indywidualnych są wykorzystywane do wy­

znaczania społecznej preferencji. D rugie charakteryzuje dokładność określenia preferencji społecznej.

Opisane zostały przykłady wszystkich wyróżnionych rodzajów m etod.

D okonując w yboru spośród kilkudziesięciu m etod agregacji preferencji in­

dywidualnych opisanych w literaturze kierow ano się również względami praktycznym i: istnieniem program u kom puterowego ułatwiającego ich zasto­

sowanie.

W ybór m etody agregacji preferencji indywidualnych powinien zależeć od celów agregacji. W artykule wskazano n a różnice między dw om a celami: n o r­

m atywnym i opisowym. Celem norm atyw nym jest odpowiedź na pytanie: ja k a pow inna być racjonalna preferencja społeczna lub wybór społeczny, a celem opisowym - jakie są indywidualne uporządkow ania preferencyjne w badanej zbiorowości.

Opisane w tym artykule m etody w różnym stopniu nadają się do realizacji tych dwu celów. W arunkiem racjonalnego w yboru spośród m etod agregacji preferencji indywidualnych jest poznanie i porów nanie ich własności. N iektóre z nich są analizow ane w artykule D ariusza Przybysza w tym samym num erze

„Studiów Socjologicznych” . Pełna analiza własności wszystkich opisanych tu m etod będzie przedm iotem innego artykułu.

Literatura

A rrow , K enneth J. 1951. Social Choice and Individual Values. New Haven: Yale University Press. (W ydanie drugie, rozszerzone ukazało się w 1963 roku w New Y ork: Wiley).

Black, D uncan. 1958. The Theory o f Committees and Elections. Cambridge:

Cam bridge University Press.

B ogart, K enneth J. 1973. Preference Structures I: Distances Between Transitive Preference Relations. „Journal o f M athem atical Sociology” 3: 49-67.

B ogart, K enneth J. 1975. Preference Structures II: Distances Between Transitive Asym etrie Relations. „SIA M Journal o f Applied M athem atics” 29:254-262.

C ook, W .D . i A .L. Saipe. 1976. Committee Approach to Priority Planning: The M edian R anking M ethod. „Cahiers du Centre d ’Etudes de Recherche Opera- tionnelle” 18: 337-351.

C opeland, A .H . 1951. A Reasonable Social Welfare Function. University of M ichigan Seminar on A pplication o f M athem atics to the Social Sciences.

de G razia, Alfred. 1953. M athem atical Derivation o f an Election System. „Isis”

44: 42-51.

G ärdenfors, Peter. 1973. Positionalist Voting Functions. „Theory and Decision”

4: 1-24.

H ansson, Bengt. 1973. The Independence Condition in the Theory o f Social Choice. „T heory and D ecision” 4: 25-49.

H enriet, D . 1985. The Copeland Choice Function. A n Axiom atic Characteriza­

tion. „Social Choice and W elfare” 2: 49-64.

K am iński, M arek M . 1994. Twierdzenie Arrowa: przykład zastosowania m e­

tody aksjornatycznej w naukach społecznych. „Studia Socjologiczne” 3-4 (134-135): 73-92.

Kelly, Jerry S. 1978. Arrow Impossibility Theorems. New Y ork: Academic Press.

Kemeny, Jo hn G. 1959. M athematics without Numbers. „D aedalus” 88: 577-591.

Kem eny, Jo h n G. i L aurie Snell. 1962. Preference Rankings. A n Axiom atic Approach. W: Kem eny, Jo h n G. i Laurie Snell (red.) M athematical M odels in the Social Sciences. Boston: G inn, s. 9-23.

Lissowski, Grzegorz. 1974a. Statystyczny opis zbioru uporządkowań preferen­

cyjnych. „Prakseologia” 3-4 (51—52): 379-413.

Lissowski, G rzegorz. 1974b. Statistical Laws and Prediction. „The Polish Sociological Bulletin” 2 (30): 25-37.

Lissowski, Grzegorz. 1977a. Interpretation o f Statistical Measures. „T he Polish Sociological Bulletin” Special Issue „Polish Sociology 1975-1976” : 89-111.

Lissowski, Grzegorz. 1977b. Statistical Association and Prediction. W: K . Szaniawski (red.) Problems o f Formalization in the Social Sciences. Wroclaw:

Ossolineum.

Lissowski, Grzegorz. 1984. Demokratyczne sposoby podejmowania decyzji.

„Prakseologia” 3-4 (87-88): 49-94.

Lissowski, Grzegorz. 1985. Sprawiedliwy podział dóbr. „Studia Filozoficzne”

8-9 (237-238): 95-114.

Lissowski, Grzegorz. 1986. Porównanie zasad sprawiedliwości dystrybutywnej.

„ E ty k a” 22: 153-181.

Lissowski, Grzegorz. 1987. Opis statystyczny a wybór społeczny. „Studia Socjologiczne” 3-4 (106-107): 507-525.

Lissowski, G rzegorz i M ichał Pohoski. 1987. Oceny dochodów, słuszna płaca i prestiż zawodów. „K u ltu ra i Społeczeństwo” 4: 177-197.

Luce R. D uncan i H ow ard Raiffa. 1964. Gry i decyzje. W arszawa: PW N.

M erchant, D eepak K . 1978. Discrete Optimization and Social Decision M e ­ thods. W: H ans W. G öttinger i W erner Leinfellner (red.) Decision Theory and Social Ethics. Issues in Social Choice. D ordrecht: Reidel, s. 271-287.

M isztal, M aria. 1984. System wartości a społeczna stratyfikacja. „Studia Socjologiczne” 4 (95): 123-139.

M isztal, M aria. 1990. Elementy systemu wartości współczesnego społeczeństwa polskiego. W arszawa: PW N.

T oda, M itsuhiko, K ozo Sugiyama i Shojiro Tagawa. 1982. A M ethod fo r Aggregating Ordinal Assessments by a M ajority Decision Rule. „M athem a­

tical Social Sciences” 3: 227-242.

Y oung, H . Peyton. 1974. A n Axiom atization o f Borda’s Rule. „Journal of Econom ic T heory” 9: 43-52.

Żygulski, Kazimierz. 1975. Publiczność galerii malarstwa w Polsce. Poznań:

Polski K o m itet N arodow y IC O M .

The Methods o f Aggregation of Individual Preferences Summary

The establishment of the social ordering of the set of alternatives which is based on the profile of individual preferences is the classic aim of social choice theory as well as a vital contribution to the statistical description. The article points to several differences between two aims of individual preference aggregation: the normative and the descrip­

tive, and it proposes a general classification of aggregation methods, which are further described.

Main concepts: individual preferences, methods of social choice, methods of statis­

tical description.