Sprawdzian nr 1, 8.10.2019 grupa A Zadanie 1. (12 punktów)
(a) Uprość wyrażenie
q4
32√3 4 + 4
v u u t643
s1 2− 33
q
2√4 2 (b) Oblicz
1 a −b+c1
1
a +b+c1 1 + b2+ c2− a2 2bc
!
· abc a − b − c dla a = 0, 02, b = −11, 05 i c = 1, 07.
(c) Która z liczb jest większa
2log35+ 1013log 2 czy 5log32+ 10√ 10 ? Odpowiedź proszę starannie uzasadnić.
Zadanie 2. (6 punktów) Dla jakich a ∈ R jeden z pierwiastków równania x2− 15
4 x + a3 = 0 jest kwadratem drugiego pierwiastka?
Zadanie 3. (6 punktów) Znajdź sin 2α, jeśli wiadomo, że sinα2 + cosα2 = 75 i π2 < α < π.
Zadanie 4. (6 punktów) Uzasadnij, że
3
s1 9− 3
s2 9 + 3
s4 9 = 3
q
√3
2 − 1.
Zadanie 5. (6 punktów) Wykaż, że spośród liczb [2k√
2] jest nieskończenie wiele liczb parzystych.
Zadanie domowe Uzasadnij, że
3
s
cos2π 7 + 3
s
cos4π 7 + 3
s
cos8π 7 = 3
s
5 − 3√3 7
2 .
Sprawdzian nr 1, 8.10.2019 grupa B Zadanie 1. (12 punktów)
(a) Uprość wyrażenie
1 16
√
192 − 2, 5
s 4 75− 1
234
√982− 712.
(b) Oblicz
2a +√ ab 3a
!−1 √
a3−√ b3 a −√
ab − a − b
√a +√ b
!
dla a = 117 i b = 0.09.
(c) Która z liczb jest większa
3log52+ log58 czy 2log53+ log23 ? Odpowiedź proszę starannie uzasadnić.
Zadanie 2. (6 punktów) Wiadomo, że równanie
x2+ 5bx + c = 0
ma dwa pierwiastki rzeczywiste x1, x2, x1 6= x2 oraz równania x2 + 2x1x + 2x2 = 0 i x2+ 2x2x + 2x1 = 0 mają wspólny perwiastek. Znajdź b.
Zadanie 3. (6 punktów) Znajdź α + 2β, jeśli wiadomo, że 3 sin2α + 2 sin2β = 1, 3 sin 2α = 2 sin 2β, 0 < α < π2, 0 < β < π2.
Zadanie 4. (6 punktów) Uzasadnij, że
3
s1 7 − 3
s2 7+ 3
s4 7 = 3
s9 7
√3
2 − 1.
Zadanie 5. (6 punktów) Niech n ∈ N. Wykaż, że z dowolnych 2n+1 − 1 liczb całkowitych można wybrać takie 2n liczb, których suma dzieli się przez 2n.
Zadanie domowe Uzasadnij, że
3
s
cos2π 9 + 3
s
cos4π 9 + 3
s
cos8π 9 = 3
s
3√3 9 − 6
2 .
