EGZAMIN - teoria, 28.1.2019, grupa A Imię i nazwisko: ...
Nr indeksu: ...
teoria 1 2 3 test 1 2 3 4 5 6 7 SUMA
Zadania teoretyczne (3 · 4 = 12 punktów)
Zadanie 1. (112 pkt) Proszę wypisać wszystkie 3 elementowe podzbiory zbioru {1, 2, 3, 4, 5}.
(212 pkt) Proszę uzasadnić, że liczba k elementowych podzbiorów zbioru n-elementowego wynosi k!(n−k)!n!
(0 ¬ k ¬ n).
Zadanie 2. (212 pkt) Niech 0 ¬ k ¬ n i niech pk oznacza prawdopodobieństwo uzyskania k sukcesów w n próbach Bernoulliego, przy czym prawdopodobieństwo sukcesu w pojedyńczej próbie wynosi p ∈ (0, 1). Niech m oznacza część całkowitą liczby (n + 1)p. Wykazać, że
p0< p1< . . . < pm−1¬ pm, oraz pm> pm+1> . . . > pn. (112 pkt) Sprawdzić tezę pm−1¬ pm i pm> pm+1 dla n = 10 i p = 1/3.
Zadanie 3. (4 pkt) Niech A, B będą zdarzeniami losowymi, A0, B0 oznaczają zdarzenia przeciwne. Wiadomo, że P (B0|A) = 1/2, P (B|A0) = 1/3, P (A) = P (B) = p. Oblicz p.
1
Część testowa (7 · 2 = 14 punktów)
Proszę wpisać tylko odpowiedzi: tak lub nie. Za każdą prawidłową odpowiedź na dany podpunkt można otrzymać 12 punkta, za błędną odejmujemy 14 punkta, za brak odpowiedzi — 0 punktów. Za trzy prawidłowe odpowiedzi na dane zadanie otrzymuje się dodatkowo 12 punkta.)
Zadanie 1. Która z równości jest poprawna:
(a) P4
k=1(2k + 1) = 16, (b) Pn
k=02k = 2n+1− 1, (c) Pn
k=12−k= 1 − 21n.
Zadanie 2. Wiadomo, że jeśli zajdą zdarzenia A i B, to musi zajść również zdarzenie C. Zatem (a) P (C) P (A) + P (B) − 1,
(b) P (C) = P (A) · P (B), (c) P (C) P (A ∩ B).
Zadanie 3. Niech X, Y będą zmiennymi losowymi o skończonym rozkładzie. Które ze wzorów są zawsze prawdziwe (a) E(X2) (EX)2,
(b) E(XY ) = EX · EY , jeśli zmienne X, Y są niezależne.
(c) Var(3X + 2) = 2 + 9 Var X.
Zadanie 4. Zdarzenia A1, . . . , A10są niezależne i mają jednakowe prawdopodobieństwo p. Jakie jest prawdopodobień- stwo, że zajdą dokładnie dwa z nich:
(a) p2(1 − p)8, (b) 90p2(1 − p)8,
(c) 45p8(1 − p)2.
Zadanie 5. Następujące zdania dotyczą podzbiorów pewnego ustalonego zbioru Ω. Wskaż, które z poniższych zdań są prawdziwe:
(a) A ⊂ (A \ B) ∪ B, (b) A ÷ (B ÷ A) = B,
(c) (A \ B)0 = B0\ A0.
Uwaga: A ÷ B = (A \ B) ∪ (B \ A) oznacza różnicę symetryczną zbiorów A, B.
Zadanie 6. Które ze wzorów są prawdziwe:
(a) 70 + 71 + 72 + 73 + 74 + 75 + 76 + 77 = 128, (b) 2010 + 2011 = 2110,
(c) n−1k−1 n k+1
n+1
k = n−1k n+1 k+1
n k−1.
Zadanie 7. Który z poniższych wzorów jest poprawny:
(a) P (A|B) · P (B|C) = P (A|C) · P (C|B).
(b) Jeśli P (A|B) = P (A|B0), to para zdarzeń A, B jest niezależna.
(c) Jeśli P (A1) = P (A2) = P (A3) = P (A4), to
P (A1∪ A2∪ A3∪ A4) = 4P (A1) − 6P (A1∩ A2) + 4P (A1∩ A2∩ A3) − P (A1∩ A2∩ A3∩ A4).
2
