Wrocªaw, 11 kwietnia 2013 FAKULTET MATEMATYCZNY - LISTA 10
MARCIN PREISNER (PREISNER@MATH.UNI.WROC.PL)
Ró»ne zadania z teorii liczb 1. Ile zer na ko«cu ma liczba 2011! = 1 · 2 · 3 · . . . · 2011 ?
2. Wyka», »e dla dowolnej liczby naturalnej n liczba n! nie dzieli si¦ przez 2n. A dla jakich n dzieli si¦ przez 2n−1 ?
3. Dla jakich n liczby n2+ 1i (n + 1)2+ 1maj¡ wspólny dzielnik wi¦kszy od 1 ?
4. Niech n > 2 b¦dzie liczb¡ naturaln¡. Wyka», »e liczba n3+ 1ma dzielnik pierwszy, który nie jest dzielnikiem liczby n + 1.
5. Dana jest liczba nieparzysta a. Wyka», »e dla ró»nych liczb naturalnych n, m liczby a2n+ 22n i a2m+ 22m s¡ wzgl¦dnie pierwsze.
(Zauwa», »e wynika st¡d istnienie niesko«czenie wielu liczb pierwszych dlaczego?) 6. Czy istnieje liczba naturalna podzielna przez 22011o zapisie dziesi¦tnym skªadaj¡cym si¦ tylko
z cyfr 6 i 7 ?
7. Czy istnieje taka liczba naturalna n, »e liczba n2+ 7dzieli si¦ przez 22011 ?
8. Udowodnij, »e w±ród 10 kolejnych liczb naturalnych zawsze mo»na znale¹¢ liczb¦ wzgl¦dnie pierwsz¡ z ka»d¡ z pozostaªych.
9. Dane s¡ liczby naturalne m < n. Wyka», »e w±ród dowolnych n kolejnych liczb naturalnych mo»na znale¹¢ dwie ró»ne liczby, których iloczyn jest podzielny przez mn.
10. Liczby naturalne a, b, c, d speªniaj¡ równo±¢ ab = cd. Udowodnij, »e liczba a + b + c + d jest zªo»ona.
(Wskazówka: rozwa» liczb¦ a(a + b + c + d).)
11. Pot¦g¡ nazywamy liczb¦ postaci ab, gdzie liczby a, b s¡ naturalne oraz b > 1. Wyka», »e istnieje taka liczba naturalna n, »e liczby n, 2n, 3n, . . ., 2011n s¡ pot¦gami.
(Wskazówka: Zastosuj indukcj¦, tzn. zakªadaj¡c, »e liczby n, 2n, 3n, . . ., kn s¡ pot¦gami, znajd¹ tak¡ liczb¦ N zale»n¡ od n i k »e liczby N, 2N, 3N, . . ., kN, (k + 1)N s¡
pot¦gami.)
12. Udowodnij, »e istnieje taki zbiór 2011 ró»nych liczb naturalnych, »e w dowolnym podzbiorze suma wszystkich elementów jest pot¦g¡.
1
