Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2020/21
Szacowanie wyrażeń.
81. Oszacować od góry i dołu przez proste wyrażenia różniące się stałym czynnikiem
√n + 1 +√
n + 2 +√
n + 3 + ... +√ 4n . Rozwiązanie:
Suma ma 3n składników, z których każdy szacuje się od dołu przez √
n i od góry przez 2√
n. Wobec tego 3n√
n <√
n + 1 +√
n + 2 +√
n + 3 + ... +√
4n < 6n√ n .
82. Oszacować od góry i dołu przez proste wyrażenia różniące się stałym czynnikiem
√
n2+ n − n . Rozwiązanie:
Stosując wzór na różnicę kwadratów otrzymujemy
√
n2+ n − n = n
√n2+ n + n= 1
q1 +n1+ 1 oraz 1
3= 1
2 + 1= 1
√1 + 3 + 1< 1
√1 + 1 + 1 ¬ 1
q1 +1n+ 1
< 1
√1 + 0 + 1=1 2.
83. Oszacować od góry i dołu przez proste wyrażenia różniące się stałym czynnikiem
√3
n3+ n2− n . Rozwiązanie:
Stosując wzór na różnicę sześcianów otrzymujemy
√3
n3+ n2− n = n2
(n3+ n2)2/3+ n · (n3+ n2)1/3+ n2 = 1
1 +n12/3+1 +n11/3+ 1
oraz 1
7= 1
4 + 2 + 1= 1
(1 + 7)2/3+ (1 + 7)1/3+ 1< 1
(1 + 1)2/3+ (1 + 1)1/3+ 1 ¬
¬ 1
1 +n12/3+1 +n11/3+ 1
< 1
(1 + 0)2/3+ (1 + 0)1/3+ 1 =1 3. Nieco subtelniejsze oszacowanie od dołu może wyglądać następująco:
1
(1 + 1)2/3+ (1 + 1)1/3+ 1= 1
√3
4 +√3
2 + 1> 1
√3
8 +√3
8 + 1=1 5.
84. Dobierając odpowiednią liczbę wymierną dodatnią C udowodnić, że dla każdej liczby całkowitej dodatniej n zachodzą nierówności
1 2−C
n <√
n2+ n − n <1 2.
Wykład 7 - 52 - 20.10.2020
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2020/21
Rozwiązanie:
Stosując wzór na różnicę kwadratów otrzymujemy
n +1 2
−√
n2+ n =
n +122− (n2+ n)
n +12+√
n2+ n = 1/4
n ·1 +2n1 +q1 +n1, skąd wobec nierówności
1 + 1 2n+
s
1 +1 n> 2 dostajemy dowodzoną nierówność z C = 1/8.
85. Dobierając odpowiednią liczbę wymierną dodatnią C udowodnić, że dla każdej liczby całkowitej dodatniej n zachodzą nierówności
1 3−C
n <√3
n3+ n2− n <1 3. Rozwiązanie:
Stosując wzór na różnicę sześcianów dokonujemy następujących przekształceń:
n +1 3
−√3
n3+ n2=
n +133− (n3+ n2)
n +132+n +13·√3
n3+ n2+ 3
q
(n3+ n2)2
=
=
n 3+271
n +132+n +13·√3
n3+ n2+q3(n3+ n2)2
<
<
n 3+27n (n + 0)2+ (n + 0) ·√3
n3+ 0 + 3
q
(n3+ 0)2
= 10n
27 · 3n2 = 10
81n< 10 80n= 1
8n , co kończy dowów podanej nierówności z C = 1/8.
86. Dobierając odpowiednią liczbę wymierną dodatnią C udowodnić, że dla każdej liczby całkowitej dodatniej n zachodzą nierówności
1 4−C
n <√4
n4+ n3− n <1 4. Rozwiązanie:
Stosując dwukrotnie wzór na różnicę kwadratów otrzymujemy
n +1 4
−√4
n4+ n3=
n +144− (n4+ n3)
n +142+√
n4+ n3
·n +14+√4
n4+ n3
=
=
3n2
8 +16n +2561
n +142+√
n4+ n3
·n +14+√4
n4+ n3
<
<
3n2
8 +n162+256n2
(n + 0)2+√
n4+ 0·(n + 0) +√4
n4+ 0= 113n2
256 · 4n3 = 113
1024n< 113 1017n= 1
9n, co kończy dowód danej nierówności z C = 1/9.
Wykład 7 - 53 - 20.10.2020
