Logika dla informatyków Ćwiczenia 7. Indukcja matematyczna Zadania

(1)

Logika dla informatyków

(2)

1. Wykaż indukcyjnie:

a) 0 + 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 = ^{! !!!}_! dla 𝑛 ≥ 0;

b) 1 + 3 + 5 + ⋯ + 2𝑛 − 1 = 𝑛^! dla 𝑛 > 0;

c) 0^!+ 1^!+ 2^!+ ⋯ + 𝑛^! = ^{! !!! !!!!}_! dla 𝑛 ∈ ℕ;

d) (1 + 2 + ⋯ + 𝑛)^! = ^!^! ^!!!_! ^! dla 𝑛 > 0;

e) 0^!+ 1^!+ 2^!+ ⋯ + 𝑛^! = (^!_!(𝑛 + 1))^! dla 𝑛 ∈ ℕ;

f) 1 ∙ 2 + 2 ∙ 3 + ⋯ + 𝑛 ∙ (𝑛 + 1) = ^{! !!! !!!}_! dla 𝑛 > 0;

g) 1 ∙ 3 ∙ 1! ^! + 2 ∙ 4 ∙ 2! ^! + ⋯ + 𝑛 ∙ 𝑛 + 2 ∙ 𝑛! ^! = 𝑛 + 1 ! ^!− 1 dla 𝑛 > 0;

h) 1 ∙ 2^! + 2 ∙ 2^!+ ⋯ + 𝑛 ∙ 2^! = 2 + 𝑛 − 1 ∙ 2^!!! dla 𝑛 > 0;

i) 1 + 11 + 111+. . . + 11. . .1

!

=^!"^!!!^!!!!!"

!" ; j) ∀_!∈ℝ,!!!!∀_!∈ℕ (1 + 𝛼)^! ≥ 1 + 𝑛𝛼;

k) (1 + 1 𝑛)^! ≤ 𝑛 + 1 dla 𝑛 > 0;

l) 2^!^! = 10𝑥 + 6, 𝑥 ∈ ℕ dla 𝑛 ≥ 2;

(3)

m) 10 | 𝑛^! – 𝑛 dla 𝑛 ∈ ℕ;

n) 12 | (10^! – 4) dla 𝑛 > 1;

o) 8 | (11^! – 3^!) dla 𝑛 > 0;

p) 7 | (11^!− 4^!) dla 𝑛 > 0;

q) 73 | 8^!!! + 9^!!!! dla 𝑛 > 0 ; r) 6 | (13^! – 7) dla 𝑛 > 0;

s) 2 | (𝑛^!+ 𝑛 ) dla 𝑛 > 0;

t) 6 | (𝑛³ − 𝑛 ) dla 𝑛 > 1;

u) ^!

!(!!!) = ^!

!!!

!!!! dla 𝑛 > 0;

v) ^!_!!!𝑖 ∙ 𝑖! = 𝑛 + 1 ! − 1 dla 𝑛 > 0;

w) −1 ^!!!𝑖^! = −1 ^{!!! !(!!!)}

!

!!!! dla 𝑛 > 0;

x) ^!_!!!(!!!!)(!!!!)^! =_!!!!^! dla 𝑛 > 0;

y) 𝑛! > 2^! dla 𝑛 > 3.

(4)

2. Dla jakich liczb naturalnych 𝑛 ∈ ℕ zachodzi wzór:

a) 𝑛^! < 2^!; b) 𝑛³ < 2^!; c) 4𝑛 ≤ 𝑛^! − 7;

d) 5𝑛 < 𝑛^!− 3;

e) 2𝑛 ! < 2^{! !} ; f) 𝑛 + 1 ^! < 𝑛^!!!; g) 𝑛^!+ 𝑛 − 1 < 2^!.

3. Dla jakiej wartości 𝑎 ∈ ℕ zachodzi poniższy wzór dla każdego 𝑛 ∈ ℕ :

2 ∙ 1^!+ 3 ∙ 2^!+ ⋯ + 𝑛 + 1 𝑛^! =𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)(3𝑛 + 𝑎) 12

4. Niech 𝐴 ⊆ ℕ będzie zbiorem wszystkich tych liczb naturalnych 𝑛, dla których liczba 𝑛^! – 3𝑛 + 3 jest parzysta.

Pokaż, że jeśli 𝑛 ∈ 𝐴 to 𝑛 + 1 ∈ 𝐴. Jakie liczby należą więc do 𝐴 ?