Logika dla informatyków Ćwiczenia 1. Algebra zbiorów

Logika dla informatyków

Ćwiczenia 1. Algebra zbiorów

Elementy teorii mnogości (teorii zbiorów)

Zbiór pojęcie pierwotne teorii zbiorów (Georg Cantor 1845 – 1918); intuicyjnie jest to nieuporządkowany zestaw różnych obiektów, czy też kolekcja niepowtarzających się komponentów bez wyróżnionej kolejności.

Każdy zbiór jest jednoznacznie wyznaczony przez jego składowe (elementy).

Zbiory (zwykle) oznaczamy dużymi literami, natomiast jego elementy małymi literami.

W teorii mnogości zbiory wprowadza się wraz z relacją

𝜖

Fakt, że element a należy do zbioru B zapisujemy symbolicznie: a ∈ B, natomiast fakt, że element b nie należy do zboru B zapisujemy: b ∉ B

Mamy zbiory skończone, nieskończone oraz zbiór pusty (ozn. ∅) Używamy symboli

=, ⊂, ⊄, ⊆, ∅ (litera alfabetu norweskiego), Ω, ∩, ∪, \, A^C (A‘), ÷ (Δ).

Działania na zbiorach

• Sumą zbiorów A i B nazywa się zbiór tych elementów, które należą choć do jednego ze zbiorów

𝐴 ∪ 𝐵^{= {}𝑥 ^{∈ Ω ∶} 𝑥 ^∈ 𝐴 ^∨ 𝑥 ^∈ 𝐵^}.

• Iloczynem zbiorów A i B nazywa się zbiór tych elementów, które należą jednocześnie do obu zbiorów

𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥 ∈ Ω ∶ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵}.

• Różnicą zbiorów A i B nazywa się zbiór tych

elementów, które należą do zbioru A i nie należą do zbioru B

𝐴 \ 𝐵 = {𝑥 ∈ Ω ∶ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵}.

• Dopełnieniem zbioru B (w przestrzeni Ω

(uniwersum)) nazywa się zbiór tych elementów, które nie należą do zbioru B

𝐵^𝐶 = 𝑥 ∈ Ω ∶ 𝑥 ∉ 𝐵 = Ω \ 𝐵^{. (𝐵′)}

• Różnicą symetryczną zbiorów A i B nazywa się zbiór tych elementów, które należą do jednego i tylko jednego ze zbiorów

𝐴 ∆ 𝐵 = (𝐴 \ 𝐵) ∪ (𝐵\𝐴^{) (𝐴 ÷ 𝐵)}

Prawa (własności) algebry zbiorów

• przemienność sumy zbiorów A ∪ B = B ∪ A

• przemienność iloczynu zbiorów A ∩ B = B ∩ A

• łączność sumy zbiorów (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

• łączność iloczynu zbiorów (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

• rozdzielność iloczynu względem sumy zbiorów A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

• rozdzielność sumy względem iloczynu zbiorów A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

• prawa idempotentności A ∪ A = A, A ∩ A = A

• prawa identyczności A ∪ ∅ = A, A ∩ ∅ = ∅

• prawo podwójnego dopełnienia (A')' = A

• prawa dopełnienia A ∪ A' = Ω, A ∩ A' = ∅ Ω' = ∅, ∅' = Ω

• prawa de Morgana dla zbiorów (A ∩ B)' = A' ∪ B' (A ∪ B)' = A' ∩ B'

Para nieuporządkowana {a, b}

to zbiór dwuelementowy złożony z dwóch (różnych) elementów (nie zawiera w sobie informacji o kolejności swoich elementów, tj. {a, b}={b, a}

Para uporządkowana (a, b)

to zbiór dwuelementowy, zawierający informacje o kolejności elementów, tzn. (𝑎^,𝑏^{) ≠ (}𝑏^,𝑎^).

W teorii mnogości definiuje się go zwykle jako zbiór dwuelementowy: 𝑎^,𝑏 ^{= {} 𝑎 ^{, {}𝑎^,𝑏^}}.

Iloczyn kartezjański (A x B)

zbiorów A, B nazywa się zbiór wszystkich par uporządkowanych, których pierwszy element należy do zbioru A a drugi do zbioru B. Jeśli A=B to A x A oznaczamy jako A².

Zbiór potęgowy (𝑷(𝑨))

zbioru A to rodzina wszystkich podzbiorów zbioru A.

Moc zbioru (|A|, lub card(A))

dla zbioru skończonego A, to liczba jego elementów.

|A×B| = |A| · |B|

|P(A)|= 2^|A| (i dlatego czasami P(A) oznacza się przez 2^A)

Będziemy starać się najpierw określić uniwersum, a potem mówić o zbiorze elementów tego uniwersum.

Dlaczego?

Dlatego, żeby wiedzieć, o czym mówimy: o liczbach, przedmiotach, kolorach czy zwierzętach?

Zbiory – przykłady {1, 2, 3}

{n ∈ ℕ } = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}

{n ∈ ℕ: n jest liczba parzystą} = {0, 2, 4, 6, 8, ...}

{(–1)ⁿ: n ∈ ℕ } = {–1, 1}

{{1}, {1,2}} ≠ {1, 2}

(1, 2) = {{1}, {1,2}}

{n ∈ ℕ: 5 | n (n dzieli się przez 5) } = {5, 10, 15, 20, ...}

{n ∈ ℕ: n jest liczbą pierwszą} = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...}

{n ∈ ℕ: n +1 jest liczbą pierwszą} = {1, 2, 4, 6, 10, 12, 16, 18, 22, ...}

{2n +1 : n ∈ 𝒫} = {5, 7, 11, 15, 23, 27, ...}

P({0,1,2}) = {∅, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2}}

Niech

𝐴 = 1,2,3,5 , 𝐵 = 1,3,4 , Ω = 1,2,3, … . Wówczas:

𝐴 ∪ 𝐵 = 1,2,3,4,5 , 𝐴 ∩ 𝐵 = 1,3, , 𝐴 ∖ 𝐵 = 2,5 , 𝐵 ∖ 𝐴 = 4 ,

𝐴^𝐶 = 4,6,7,8, … , 𝐵^𝐶 = 2,5,6,7,8, … , 𝐴 ÷ 𝐵 = 𝐵 ÷ 𝐴 = 2,4,5 ,

Zadania:

8. Udowodnij, że 𝐴 ⊂ 𝐵 wtw, gdy 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵.

9. Uzasadnij, że odejmowanie zbiorów nie jest działaniem przemiennym.

10. Pokaż, że dla dowolnych zbiorów 𝐴, 𝐵 i 𝐶 zachodzą podane równości.

11. Czy dla dowolnych zbiorów 𝐴, 𝐵 i 𝐶 zachodzą podane równości.

22. Dane są zbiory

𝐴 = 𝑥 ∈ 𝑅 ∶ 𝑥 ≤ 2 , 𝐵 = 𝑥 ∈ 𝑅 ∶ 𝑥 = 1 , 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝑅 ∶ 𝑥 < 3}

Sprawdź czy zachodzą następujące równości.

1. 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = 𝐵 2. 𝐶 ∖ 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ 3. 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 = 𝐵 4. 𝐴 ∪ 𝐵 ∩ 𝐶 = 𝐵 5. 𝐴 ∖ 𝐶 ∩ 𝐵 = 𝐶 6. 𝐴 ÷ 𝐵 = 𝐴 ∖ 𝐵

23. Pokaż, że dla dowolnych zbiorów 𝐴, 𝐵 i 𝐶 zachodzi.

1. 𝐴 ∖ 𝐵 ∖ 𝐶 = 𝐴 ∖ 𝐵 ∪ 𝐴 ∩ 𝐶 2. 𝐴 ∖ 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴 ∖ 𝐵

3. 𝐴 ∖ 𝐵 ∖ 𝐶 ∖ 𝐷 = 𝐴 ∖ 𝐵 ∪ 𝐴 ∩ 𝐶 ∖ 𝐷 4. 𝐴 ∖ 𝐵 ∩ 𝐶 ∖ 𝐷 = 𝐴 ∩ 𝐶 ∖ 𝐵 ∪ 𝐷

5. 𝐴 ∪ 𝐵 ∖ 𝐶 = 𝐴 ∪ 𝐵 ∖ 𝐶 ∪ 𝐴

24. Narysuj zbiory

1. 𝐴 = 𝑥, 𝑦 𝜖 𝑅×𝑅 ∶ 𝑥 − 𝑦 < 1

2. 𝐴 × 𝐵, 𝐴 = 𝑥 𝜖 𝑅 ∶ 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 , 𝐵 = 𝑦 𝜖 𝑅 ∶ −1 ≤ 𝑦 ≤ 2

25. Niech

𝐴 = 0,1 , 𝐵 = 1,2 , 𝐶 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}

Wypisz

𝐴×𝐵, 𝐴×𝐵 ×𝐶, 𝐴×(𝐵×𝐶)