Logika dla informatyków
Ćwiczenia 2. Rachunek zdań
Zadania:
1. Metodą 0-1 sprawdź, które z podanych formuł są: tautologiami, formułami spełnialnymi, formułami sprzecznymi.
a) 𝑝 ∨ 𝑞 ∨ 𝑟 ⇒ ¬𝑝 ⇒ 𝑞 ∨ 𝑟 ∧ ¬𝑝 b) 𝑝 ⇒ 𝑞 ⇔ 𝑝 ∧ 𝑞 ⇔ 𝑝
c) 𝑝 ∨ 𝑞 ⇒ 𝑟 ⇒ 𝑝 ⇒ 𝑟 ∨ 𝑞 ⇒ 𝑟 d) 𝑝 ∧ 𝑞 ⇒ 𝑟 ⇒ 𝑝 ⇒ 𝑟 ∧ 𝑞 ⇒ 𝑟
e) 𝑝 ⇒ 𝑞 ∨ 𝑟 ⇒ 𝑠 ⇒ 𝑝 ∧ 𝑟 ⇒ 𝑞 ∧ 𝑠 f) 𝑝 ⇒ 𝑞 ∨ 𝑟 ⇒ 𝑠 ⇒ 𝑝 ∨ 𝑟 ⇒ 𝑞 ∨ 𝑠 g) 𝑝 ⇒ 𝑞 ∧ 𝑟 ⇒ 𝑠 ⇒ 𝑝 ∨ 𝑟 ⇒ 𝑞 ∨ 𝑠 h) 𝑝 ⇒ 𝑞 ∧ 𝑟 ⇒ 𝑠 ⇒ 𝑝 ∧ 𝑟 ⇒ 𝑞 ∧ 𝑠 i) 𝑝 ∨ 𝑞 ∨ 𝑟 ⇒ 𝑝 ∨ 𝑞 ∧ ¬𝑟 ∨ 𝑝 ∧ 𝑞 ∧ 𝑟 j) 𝑝 ∨ 𝑞 ∧ ¬𝑟 ∨ 𝑝 ∧ 𝑞 ∧ 𝑟 ⇒ 𝑝 ∨ 𝑞 ∨ 𝑟 k) 𝑝 ∨ 𝑟 ⇔ 𝑞 ∨ 𝑠 ⇒ 𝑝 ⇔ 𝑞 ∨ 𝑟 ⇔ 𝑠
l) 𝑝 ⇔ 𝑞 ∨ 𝑟 ⇔ 𝑠 ⇒ 𝑝 ∨ 𝑟 ⇔ 𝑞 ∨ 𝑠 m) 𝑝 ∧ 𝑟 ⇔ 𝑞 ∧ 𝑠 ⇒ 𝑝 ⇔ 𝑞 ∧ 𝑟 ⇔ 𝑠 n) 𝑝 ⇔ 𝑞 ∧ 𝑟 ⇔ 𝑠 ⇒ 𝑝 ∧ 𝑟 ⇔ 𝑞 ∧ 𝑠 o) 𝑝 ∨ 𝑞 ∧ ¬𝑝 ⇒ 𝑞
p) 𝑝 ⇒ ¬𝑝 ∨ 𝑞 q) ¬ 𝑝 ∧ ¬𝑝 ∧ 𝑞
r) 𝑝 ⇒ ¬𝑞 ∧ 𝑞 ⇒ 𝑟
s) 𝑝 ⇒ 𝑞 ∧ 𝑞 ⇒ 𝑝 ⇒ 𝑝 ∨ 𝑞 t) 𝑝 ∨ 𝑞 ⇒ 𝑝 ∨ ¬𝑞 ⇒ ¬𝑝 ∨ 𝑞 u) 𝑝 ∧ 𝑞 ∨ 𝑝 ⇒ 𝑞 ⇒ 𝑝 ⇒ 𝑞 v) ¬ 𝑝 ⇒ 𝑞 ∧ 𝑞 ⇒ 𝑝 ⇒ 𝑝 ∧ ¬𝑞
w) 𝑝 ⇒ 𝑞 ∧ 𝑟 ⇒ 𝑞 ∧ 𝑠 ⇒ 𝑞 ⇒ 𝑝 ∧ 𝑟 ∧ 𝑠 ⇒ 𝑞
2. Udowodnij równoważność formuł
a) 𝑝 ⇒ 𝑞 oraz ¬𝑞 ⇒ ¬𝑝 prawo transpozycji prostej b) 𝑝 ∧ 𝑞 ⇒ 𝑟 ⇔ 𝑝 ∧ ¬𝑟 ⇒ ¬𝑞 prawo transpozycji złożonej c) 𝑝 ∨ 𝑝 ∧ 𝑞 ⇔ 𝑝
d) 𝑝 ∧ 𝑝 ∨ 𝑞 ⇔ 𝑝
prawo pochłaniania
e) 𝑝 ⇔ ¬¬𝑝 prawo podwójnego przeczenia
f) ¬𝑂 ⇔ 1 ¬⊥⇔⊺ negacja fałszu
g) ¬1 ⇔ 0 ¬ ⊺⇔⊥ negacja prawdy h) ¬ 𝑝 ∧ 𝑞 ⇔ ¬𝑝 ∨ ¬𝑞
i) ¬ 𝑝 ∨ 𝑞 ⇔ ¬𝑝 ∧ ¬𝑞
prawa de Morgana
j) ¬ 𝑝 ⇒ 𝑞 ⇔ 𝑝 ∧ ¬𝑞 prawo negowania implikacji k) ¬ 𝑝 ⇔ 𝑞 ⇔ 𝑝 ⇔ ¬𝑞
l) ¬ 𝑝 ⇔ 𝑞 ⇔ ¬𝑝 ⇔ 𝑞
prawo negowania równoważności
m) 𝑝 ⇒ 𝑞 ⇔ ¬𝑝 ∨ 𝑞
n) 𝑝 ⇔ 𝑞 ⇔ 𝑝 ⇒ 𝑞 ∧ 𝑝 ⇒ 𝑞 dołączanie równoważności
3. Przekształć formuły do formuł równoważnych w koniunktywnej postaci normalnej (koniunkcja alternatyw) lub dysjunktywnej postaci normalnej (alternatywa koniunkcji):
a) 𝑝 ∨ 𝑞 ∧ ¬𝑞 ⇒ 𝑝 b) 𝑝 ⇒ 𝑞 ⇒ 𝑝 ∧ 𝑟 ⇒ 𝑞 c) 𝑝 ⇒ 𝑞 ⇒ 𝑝 ⇒ 𝑞 ∨ 𝑟 d) 𝑝 ∨ 𝑞 ∧ 𝑝 ⇒ 𝑞 ⇒ 𝑞 e) ¬ 𝑝 ∧ ¬𝑝 ∧ 𝑞
f) 𝑝 ⇒ 𝑞 ∧ ¬𝑞 ⇒ 𝑟
g) 𝑝 ⇒ 𝑞 ∧ 𝑞 ⇒ 𝑝 ⇒ 𝑝 ∨ 𝑞 h) ¬ 𝑝 ⇒ 𝑞 ∧ 𝑞 ⇒ 𝑝 ⇒ 𝑝 ∧ ¬𝑞 i) 𝑝 ∨ 𝑞 ⇒ 𝑝 ∨ ¬𝑞 ⇒ ¬𝑝 ∨ 𝑞 j) 𝑝 ⇒ 𝑞 ∧ 𝑞 ⇒ 𝑟 ⇒ 𝑝 ⇒ 𝑟
k) 𝑝 ∧ 𝑞 ⇒ 𝑟 ∧ 𝑝 ∨ 𝑞 ⇒ ¬𝑟 ⇒ 𝑝 ∧ 𝑞 ∧ 𝑟
l) 𝑝 ⇒ 𝑞 ∧ 𝑟 ⇒ 𝑠 ∧ 𝑡 ⇒ 𝑢 ⇒ 𝑝 ∧ 𝑟 ∧ 𝑡 ⇒ 𝑞 ∧ 𝑠 ∧ 𝑢
4. Metodą 0-1 skróconą udowodnij niezawodność schematu.
1. r p
r q
q p
¬
→
¬
→
→
2.
r p
r q
q p
¬
→
¬
→
→
3.
p s q
s q p
¬
¬
∨
¬
∧
→( )
4.
q p
q p
¬
¬
↔
5. p
q q r p
¬
¬
→ ( ∨ )
6.
q p
r p
r q p
→
¬
→
∨
→( )
7.
) (q s p
s p
q p
∧
→
→
→
8.
q r p
q r
q p
→
∧
→
→
)
(
9. p
s q
s p
q p
¬
¬
∨
¬
→
→
10.
s q
r p
s r
q p
∨
∨
→
→
11.
r p
s q
s r
q p
¬
∨
¬
¬
∨
¬
→
→
12.
p r r q
q p
¬
¬
→
↔
13. (p s) (q r)
r s
q p
∧
→
∧
→
→
14.
) ( )
(p s q r r s
q p
∨
→
∨
→
→
15.
r s
q s p
r s
r q p
→
∧
∨
∧
→
→
∨
)) (
) ((
) (
16.
p s q
s q p
¬
¬
∨
¬
∧
→( )
17. q
s p
q s p
¬
→
→
¬
∧ ) (
18.
p → q
r → q p ∨r
q
5. Udowodnij metodą założeniową.
1. sylogizm warunkowy
p à q q à r ________
p à r
2. przechod. równoważności
p ↔ q q ↔ r _______
p ↔ r
3. dodawanie implikacji
p à q r à s
_____________
(p ∨ r) à (q ∨ s)
4. mnożenie implikacji
p à q r à s
_____________
(p ^ r) à (q ^ s)
5. dylemat konstrukcyjny złożony
p à q r à s p ∨ r _______
q ∨ s
6. dylemat konstrukcyjny prosty
p à q r à q p ∨ r ______
q
7. dylemat destrukcyjny złożony
p à q r à s
~q ∨ ~s
_____________
~p ∨ ~r
8. dylemat destrukcyjny prosty
p à q p à s
~q ∨ ~s _______
~p
9. prawo transpozycji
p à q ________
~q à ~p
10. chłopskie myślenie
p à q ________
~p à ~q
11. modus tollens
p à q
~q _______
~p
12. prawo Dunsa Szkota
p
~p ____
q
13. p à q r à q _________
(p ^ r) à q
14. p à q p à s __________
p à (q ∧ s)
15. p à q p ∨ r _______
q ∨ r
16. p à q
~p à q _______
q
17. (p ∨ r) à (q ^ s) (~q ∨ ~s)
_____________
~p ^ ~r
18. (p ∨ r) à (q ^ s)
~(q ^ s)
______________
~p
19. p à (q ^ s)
~(q ^ s) _________
~p
20. p à (q ^ s)
~q ∨ ~s _________
~p
21. p à q q à r _______
~r à ~p
22. (p ∨ r) à (q ^ s)
~(q ^ s)
_____________
~p ^ ~r
23. p à q q à r
~r
_______
~p
24. p à q q à r p _____
r ∨ q
25. ~p _______
~(p ^ q)
26. p à q p à ~q _______
~p
6. Zapisz schemat wnioskowania za pomocą zmiennych. Uzupełnij brakującą część schematu.
Oceń czy uzupełniony schemat jest prawdziwy.
Jeśli tak to udowodnij ten schemat stosując metodę założeniową.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
7. Określamy operator logiczny ⨁ (zwany XOR lub alternatywą wykluczającą) przy pomocy tabeli:
8. Określamy operator logiczny | (zwany NAND lub dysjunkcją) przy pomocy tabeli:
