2. Podstawowe własności funkcji

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt pn. „IKS - Inwestycja w Kierunki Strategiczne na Wydziale Matematyki i Informatyki UMK”

realizowany w ramach Poddziałania 4.1.2 Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki

Kurs wyrównawczy — Analiza matematyczna Prowadzący: dr Dorota Gabor, dr Joanna Karłowska-Pik

2. Podstawowe własności funkcji

Ćw. 2.1 Określ maksymalną dziedzinę funkcji danej wzorem 1. f(x) = 1

√x+ 2, 2. f(x) = log5(2x + 3), 3. f(x) =

√3

x² − 3x + 2

|x + 5| − 1 , 4. f(x) = arcsin 3x, 5. f(x) = log2(sin x).

Ćw. 2.2 Dla danych funkcji znaleźć podane obrazy i przeciwobrazy (zakładamy, ze dzie- dzina jest maksymalna). Odpowiedź uzasadnić.

1. f(x) = 3x + 5,

f({1, 2}), f([1, 2]), f((0, 3]), f([1, ∞)), f((2, 5] \ N),

f⁻¹({0, 4}), f⁻¹((1, 4]), f⁻¹([−3, 0)), f⁻¹((−∞, −4)), f⁻¹((1, 3) ∪ (4, 6)).

2. f(x) = −2x + 3,

f({−3, −1}), f((−3, −1]), f((2, 4) ∪ {1}), f((−∞, 2]), f(N), f((−2, 0] ∪ [3, 6)), f⁻¹({3, 4, 5}), f⁻¹([−1, 3]), f⁻¹(N), f⁻¹((3, ∞) \ {4, 5}), f⁻¹((−∞, 0) ∪ [5, ∞)).

3. f(x) = x²+ 1,

f({1, 3}), f([1, 3)), f([−1, 1)), f((−3, 2]), f((−∞, −3]), f⁻¹({2}), f⁻¹([−1, 1)), f⁻¹((−∞, 5)), f⁻¹((−3, 1] ∪ [2, ∞)).

4. f(x) = −x²+ 3x + 4,

f({0}), f((−1, 1)), f([0, 3]\N), f((−3, −2)∪(2, 3)), f((−4, 3)∩N), f((−∞, 1)), f⁻¹({0}), f⁻¹([−4, 0)), f⁻¹((0, ∞)), f⁻¹((−∞, 7)), f⁻¹([²⁵₄,∞)).

5. f(x) = log2(x + 2),

f({0, 2, 6}), f((0, 2]), f([−³2,0]), f ((0, ∞)), f((−1, 1022]),

f⁻¹({0}), f⁻¹((−1, 3]), f⁻¹((−∞, 0)), f⁻¹([1, ∞)), f⁻¹((−2, −1) ∪ (1, 2)).

1

6. f(x) =√ x− 5,

f({5, 6}), f((5, 11)), f([7, ∞)), f({7, 8, } ∪ [9, 10)), f⁻¹({2, 3}), f⁻¹([0, 1]), f⁻¹((−∞, 4)), f⁻¹([√

2, 2√

3]), f⁻¹(R\{0}), f⁻¹((0, ∞)).

7. f(x) = | − x²+ x + 2|,

f({0, 2}), f([0, 2]), f((4, ∞)), f((0, ∞)), f((−∞, −1) ∪ [2, ∞)),

f⁻¹({0, 2}), f⁻¹((0, 2)), f⁻¹((0, ∞)), f⁻¹([−2, 0]), f⁻¹([3, ∞)), f⁻¹([2, ∞)).

8. f(x) = | sin x|,

f((0,^π2)), f ({0,^π2, π}), f([0, π]), f((0, ∞)), f({z ∈ R; z = kπ, k ∈ Z}), f⁻¹({0}), f⁻¹({1}), f⁻¹([0, 1]), f⁻¹((−∞, −1]), f⁻¹((−2, 2)).

9. f(x) =

( 2 dla x ∈ (−∞, 1]

3x − 1 dla x ∈ (1, ∞) ,

f({0, 1, 2, 3}), f((−3, 0]), f((0, 4]), f((−1, 3] ∪ (5, 7]), f(R), f((−1, 0) ∪ (1, 2)), f⁻¹({1, 2, 3}), f⁻¹((−3, 3]), f⁻¹((−∞, 4]), f⁻¹((2, ∞)), f⁻¹([2, ∞)).

10. f(x) =







|x| dla x ∈ (−∞, −3]

x+ 4 dla x ∈ [−3, 1]) 1 dla x ∈ (1, ∞)

,

f({−4, −2, 0, 2, 4}), f([−5, 0)), f([−2, 6]), f((−4, −2) ∪ (0, 3)), f(R), f([0, ∞)), f⁻¹({4}), f⁻¹((1, ∞)), f⁻¹([0, 2]), f⁻¹((4, ∞)), f⁻¹((−∞, 1)), f⁻¹((−∞, 1]), f⁻¹([1, 3] ∪ [4, 5]).

Ćw. 2.3 Zbadaj, czy funkcja jest różnowartościowa i „na”.

1. f : R → R, f(x) = x²+ 1, 2. f : (0, 3) → R, f(x) = x² + 1, 3. f : (−2, 2) → [1, ∞), f(x) = x²+ 1 4. f : (∞, −2) → (5, ∞), f(x) = x²+ 1.

Ćw. 2.4 Zbadaj, czy funkcja f jest różnowartościowa i „na”, jeśli działa z maksymalnej dziedziny do zbioru R.

1. f(x) = −x + 4, 2. f(x) = x²− 4x + 2, 3. f(x) =√

x²− 2x, 4. f(x) = log3(x + 1), 5. f(x) = |2x + 5| − 3, 6. f(x) = 2

x,

7. f(x) = |2x| − 3x.

2