2. Osobliwości funkcji zespolonych

Funkcje analityczne. Wykład 12

Szeregi Laurenta. Osobliwości funkcji zespolonych. Twierdzenie o residuach

Paweł Mleczko

Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017)

Plan wykładu

W czasie wykładu omawiać będziemy

| szeregi Laurenta funkcji holomorficznych w pierścieniu

| zera i krotności zer funkcji holomorficznych

| residua i sposoby liczenia residuów funkcji zespolonych.

1. Szeregi Laurenta

Przykład: funkcja holomorficzna w pierścieniu Rozważmy funkcję f : C \ {−2, 1} → C

f (z) = 1

(z − 1)(z + 2) z ∈ C \ {−2, 1}.

Zobaczymy, że funkcję f można rozwinąć w zbiorze {z ∈ C : 1 < |z − z⁰| < 2} pewien typ szeregu o środku w z₀= 0.

f (z) = 1 3· 1

z − 1−1 3· 1

z + 2 = 1 3z · 1

1 −_z¹ −1 6 · 1

1 + ^z₂ (dla 1 < |z| < 2 zachodzi nierówność _|z|¹ < 1 oraz

_z¹  < 1)

= 1 3z

∞

X

n=0

1 zⁿ −1

6

∞

X

n=0

(−1)ⁿ 2ⁿ zⁿ =

−1

X

n=−∞

1 3zⁿ−

∞

X

n=0

(−1)ⁿ 3 · 2ⁿ⁺¹zⁿ

=

∞

X

n=−∞

a_nzⁿ,

gdzie

an= (₁

3, n < 0

−_3·2⁽⁻¹⁾n+1ⁿ, n ­ 0

Przykład: funkcja holomorficzna w pierścieniu – podsumowanie

f (z) = 1

(z − 1)(z + 2) z ∈ C \ {−2, 1}.

W obszarze {z ∈ C : |z| < 1} funkcja jest holomorficzna, więc rozwija się w szereg potęgowy o środku w z0= 0

f (z) =

∞

X

n=0

−_3·2⁽⁻¹⁾n+1ⁿ −¹₃
zⁿ.

W obszarze {z ∈ C : 1 < |z| < 2} funkcja jest holomorficzna, więc rozwija się w tzw. szereg Laurenta o środku w z₀= 0

f (z) =

−1

X

n=−∞

1 3zⁿ+

∞

X

n=0

(−1)ⁿ 3 · 2ⁿ⁺¹zⁿ

−2 1

Szeregi Laurenta

Twierdzenie 2. Niech f będzie funkcją holomorficzną w pierścieniu {z ∈ C : r < |z − z0| < R}, gdzie r, R ∈ (0, ∞]. Wówczas f można wyrazić za pomocą szeregu Laurenta w następujący sposób

f (z) =

∞

X

n=−∞

an(z − z0)ⁿ=

∞

X

n=0

an(z − z0)ⁿ+

−1

X

n=−∞

an(z0)ⁿ

=

∞

X

n=0

an(z − z₀)ⁿ+

∞

X

n=1

a_−n(z − z₀)⁻ⁿ.

Współczynniki rozwinięcia można liczyć wzorami an= 1

2πi Z

C

f (ξ)

(ξ − z₀)ⁿ⁺¹dξ, n ∈ Z, gdzie C jest dowolnym okręgiem o środku w z0 i promieniu s ∈ (r, R).

Szeregi Laurenta

Niech f będzie dana za pomocą szeregu Laurenta

f (z) =

∞

X

n=−∞

a_n(z − z₀)ⁿ=

∞

X

n=0

a_n(z − z₀)ⁿ

| {z }

część regularna

+

∞

X

n=1

a_−n(z − z₀)⁻ⁿ

| {z }

część osobliwa

.

Szereg Laurenta jest zbieżny bezwględnie oraz niemal jednostajnie w pierścieniu zbieżności.

W pierścieniu zbieżności szereg Laurenta jest zbieżny:

| punktowo

| niemal jednostajnie

| bezwzględnie

2. Osobliwości funkcji zespolonych

Krotność zera

Mając wielomian W , np. W (z) = zⁿ+ an−1zⁿ⁻¹+ · · · + a1z + a0, z0 nazywamy zerem k-krotnym, jeśli

W (z) = (z − z0)^k(z − z1) . . . (z − zi).

Zauważmy, że w powyższym przykładzie, jesli z0 jest zerem k-krotnym, to W⁰(z0) = W⁰⁰(z0) = · · · = W^(k−1)(z0) = 0 oraz W^(k)6= 0.

Uogólnimy pojęcie krotności zera dla dowolnej funkcji holomorficznej. Jeśli f można przedstawić w postaci szeregu Taylora, czyli

f (z) =

∞

X

n=0

an(z − z0)ⁿ,

to mówimy, że f ma zero k-krotne w punkcie z0, jeśli

a0= a1= · · · = ak−1= 0 oraz ak6= 0.

Krotność zera Jeśli

f (z) =

∞

X

n=0

an(z − z0)ⁿ oraz w z0 f ma zero k-krotne, to

f (z) =

∞

X

n=k

a_n(z − z₀)ⁿ = (z − z₀)^k

∞

X

n=0

a_n+k(z − z₀)ⁿ

oraz ak+n6= 0, n = 0, 1, . . .

Osobliwości funkcji zespolonych

Mówimy, że funkcja f ma w punkcie z0 osobliwość izolowaną, jeśli f jest holomorficzna w pewnym otoczeniu z0, ale nie jest holomorficzna w punkcie z0.

Na przykład funkcja f : z 7→ ¹_z ma osobliwość w punkcie z0= 0.

Szeregi Laurenta wykorzystuje się do klasyfikowania punktów osobliwych.

Rodzaje osobliwości funkcji zespolonych

Niech f będzie funkcją zespoloną mającą w punkcie z0 osobliwość izolowaną. Wówczas

f (z) =

∞

X

n=−∞

an(z − z0)ⁿ |z − z0| < r.

Jeśli

| f ma osobliwość pozorną, jeśli an= 0 dla wszystkich n < 0

| f ma biegun k-tego rzędu, jeśli a_−k6= 0 oraz an= 0 dla wszystkich n < −k

| f ma osobliwość istotną, jeśli istnieje taki nieskończony ciąg liczb naturalnych kn, że a_−kn 6= 0

Rodzaje osobliwości funkcji zespolonych

Twierdzenie 3. Przypuśćmy, że f ma osobliwość izolowaną w z0

| jeśli f ma osobliwość pozorną w z0, to granica

z→zlim₀f (z) istnieje

| jeśli f ma biegun w z0, to

z→zlim₀|f (z)| = ∞

| jeśli f ma istotną osobliwość w z0, to

z→zlim₀|f (z)| nie istnieje.

Twierdzenie Picarda z 7→ z

z 7→ e^1z

Twierdzenie 4 (Picard). Jeśli funkcja f jest analityczna w otoczeniu punktu w oraz ma w tym punk- cie osobliwość istotną, to w każdym (w szczególności dowolnie małym!) otoczeniu punktu w funkcja f przyjmuje wszystkie wartości zespolone z wyłączeniem co najwyżej jednej.

Osobliwości funkcji zespolonych: przykład

Jeśli f = ^g_h oraz g w z0 zero k-go rzędu, natomiast h ma w z0 zero n-go rzędu oraz n > k, to f ma w z0 biegun n − k-go rzędu.

Jest tak, gdyż

g(z) h(z) =

(z − z0)^k

∞

X

i=0

ai+k(z − z0)ⁱ

(z − z0)ⁿ

∞

X

i=0

bi+n(z − z0)ⁱ

= (z − z0)^k−nf (z),b

gdzie bf (z0) 6= 0.

Na przykład,

z cos z sin⁴z ma w z0= 0 biegun 4 − 1 = 3-go rzędu.

Osobliwości funkcji zespolonych – podsumowanie Przypuśćmy, że f ma w punkcie z₀osobliwość izolowaną

f (z) =

∞

X

n=−∞

an(z − z0)ⁿ.

osobliwość pozorna biegun k-tego rzędu osobliwość istotna

funkcja lim

z→z0

f (z) istnieje lim

z→z0

|f (z)| = ∞ lim

z→z₀|f (z)| nie istnieje szereg an = 0 dla n < 0 a_−k6= 0, an= 0 dla

n < −k

a_−kn6= 0 dla nieskończonego ciągu kn

3. Residua

Residuum funkcji

Przypuśćmy, że funkcja f będzie miała osobliwość w punkcie z₀. Przedstawmy f w postaci szeregu Laurenta

f (z) =

∞

X

n=−∞

a_n(z − z0)ⁿ |z − z0| < r.

Niech C będzie krzywą regularną dodatnio zorientowaną. Ze względu na to, że szereg Laurenta zbieżny jest bezwzględnie oraz niemal jednostajnie możemy napisać

Z

C

f (z) dz = Z

C

∞

X

n=−∞

an(z − z₀)ⁿ=

∞

X

n=−∞

an

Z

C

(z − z₀)ⁿdz

= 2πi IndC(z0)a−1.

W szczególności, jeśli z0 leży w obszarze ograniczonym krzywą C mającą indeks 1, czyli np. będącą okręgiem o środku w z₀ i promieniu mniejszym niż r, to

Z

C

f (z) dz = 2πia₋₁

Residuum funkcji Jeśli

f (z) =

∞

X

n=−∞

an(z − z0)ⁿ,

to współczynnik a−1 nazywamy residuum funkcji f w punkcie z0. Twierdzenie o residuach

Twierdzenie 5. Niech f będzie funkcją holomorficzną w zbiorze D poza skończoną liczbą punktów oso- bliwych {z₁, z₂, . . . , z_n} leżących wewnątrz obszaru ograniczonego krzywą regularną C. Wówczas

Z

C

f (z) dz = 2πi

n

X

k=1

Ind_C(z_k) res(f, z_k).

Obliczanie residuów: biegun pierwszego rzędu

Twierdzenie 6. Jeśli funkcja f ma w punkcie z₀ biegun pierwszego rzędu, to res(f, z₀) = lim

z→z₀(z − z₀)f (z).

Przypuśćmy, że

f (z) = a−1

z − z0

+ ao+ a1(z − z0) + a2(z − z0)²+ . . . Mnożąc stronami powyższą równość przez z − z0otrzymujemy

(z − z0)f (z) = a₋₁+ a0(z − z0) + a1(z − z0)²+ . . .

| {z }

suma szeregu potęgowego

Z tego, że szereg potęgowy jest funkcja ciągłą wynika, że

z→zlim0

(z − z0)f (z) = a−1= res(f, z0).

Obliczanie residuów: biegun wyższego rzędu

Twierdzenie 7. Jeśłi funkcja f ma w punkcie z0 biegun m-tego rzędu, to

res(f, z0) = 1

(m − 1)! lim

z→z0



(z − z0)^mf (z)^(m−1)

Obliczanie residuów: biegun pierwszego rzędu

Twierdzenie 8. Jeśli funkcja f = ^g_h ma w punkcie z₀ biegun pierwszego rzędu oraz h⁰(z₀) 6= 0, to

res(f, z0) = g(z₀) g⁰(z0)

Zauważmy, że jeśli f ma biegun pierwszego rzędu w z0, to h(z0) = 0. Ponadto res(f, z0) = lim

z→z₀(z − z0)g(z) h(z) = lim

z→z₀

g(z)

h(z)−h(z₀) z−z0

= g(z0) h⁰(z0).

Twierdzenie o residuach: wzór całkowy Cauchy’ego

Niech f ∈ H(A) oraz C jest krzywą regularną zawartą w A oraz niech IndC(z) = 1 dla każdego punktu z leżącego wewnątrz obszaru ograniczonego krzywą C. Wówczas funkcja

f (z) (z − z₀)ⁿ

ma w punkcie z0 biegun rzędu co najwyżej n. Z twierdzenia o residuach wynika teraz, że Z

C

f (z)

(z − z0)ⁿdz = 2πi 1

(n − 1)! lim

z→z₀



(z − z0)ⁿ f (z) (z − z0)ⁿ

(n−1)

= 2πif⁽ⁿ⁻¹⁾(z0) (n − 1)! . Stąd otrzymujemy wzór całkowy Cauchy’ego

Z

C

f (z)

(z − z₀)ⁿ⁺¹dz = 2πif⁽ⁿ⁾(z0) n! .

4. Zadania na ćwiczenia

1. Niech

f (z) = 1

(z − i)(z + 2), z ∈ C \ {i, −2}.

Proszę rozwinąć funkcję f w szereg Laurenta w pierścienie

z ∈ C : 1 < |z| < 2 , z ∈ C : 2 < |z|

2. Proszę rozwinąć funkcję

f (z) = 1

z²(z + i), z ∈ C \ {−i}

w szereg Laurenta w pierścieniu

z ∈ C : 0 < |z + i| < 1 . 3. Znaleźć szereg Laurenta funkcji exp(1/z) dla |z| > 0.

4. Wyznaczyć obszar, w którym zbieżny jest dany szereg Laurenta oraz znaleźć sumę tego szeregu (funkcję do jakiej zbieżny jest niemal jednostajnie).

−1

X

n=−∞

zⁿ−

∞

X

n=0

2⁻ⁿ⁻¹zⁿ.

5. Proszę określić krotność zera z0funkcji f

|

f (z) = z exp(z), z₀= 0,

|

f (z) = z²sin z, z0= 0,

|

f (z) = (^π₂− z)²

cos z , z0=π 2. 6. Proszę określić punkty osobliwości oraz określić ich rodzaj dla funkcji f :

|

f (z) = e^z z ,

|

f (z) = 1 − cos z z² ,

|

f (z) = z²exp 1 z
,

|

f (z) = 1 (z − 1)²

|

f (z) = −e^2z z⁴,

|

f (z) = e^iz z²+ 6iz − 9. 7. Proszę obliczyć, residua funkcji f w punktach osobliwych

|

f (z) = e^2z z⁴ ,

|

f (z) = e^iz z²+ 6iz − 9,

|

f (z) = sin z z²+ z + 1. 8. Proszę obliczyć całki

| Z

|z|=2

e^2z z⁴dz,

| Z

|z|=2

e^z z²− 1dz,

| Z

|z−1|=2

z²exp _z¹
dz.

| Z

|z|=1

e^z+4 sin zdz.