Algebra 2 dla MSEM , 2019/2020 ćwiczenia 18. – z dystansu
28 kwietnia 2020
Zadania
1. Rozważmy pierścień P = Z[i]/(3 + i).
a) znajdź n ∈ N takie, że P ≃ Zn,
b) wskaż w tym pierścieniu wszystkie elementy odwracalne, dzielniki zera oraz elementy nil- potentne.
c) czy P jest dziedziną całkowitości? Czy ide- ał (3 + i) jest maksymalny w Z[i]? Czy jest pierwszy?
d) czy istnieje ideał I ⊴ Z[i], który jest pierwszy, ale nie maksymalny,
e) podaj przykład ideału I ⊴ Z[i], że Z[i]/I jest dziedziną euklidesową.
2. Rozważmy, grupę G = D4×Z3 (D4 jest grupą izometrii kwadratu).
a) jaki rząd ma grupa G? Ile jest w niej elemen- tów poszczególnych możliwych rzędów?
b) znajdź centrum
Z(G) = {g ∈ G∶ ∀h∈Ggh = hg}
grupy G.
Z(G) = {(id, 0), (id, 1), (id, 2), (ρ2, 0), (ρ2, 1), (ρ2, 2)}
c) rozstrzygnij ile jest homomorfizmów h∶ Z10→ G.
Wszystkie odpowiedzi szczegółowo uzasadnij!
3. Niech f ∈ L(R3, R3)będzie opisane macierzą
M (f ) =
⎡⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
7 1 −6
0 −1 0
8 2 −7
⎤⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦ .
a) Znajdź bazę Jordana dla tego przekształcenia.
b) Zbadaj, czy macierze M (f ) i M (f−1)są po- dobne.
4. Niech
A =
⎡⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
2 −2 0 0
8 −6 0 0
−2 1 −3 1
−2 1 −1 −1
⎤⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦ .
a) Podaj postać Jordana macierzy A.
b) Wypisz wszystkie macierze Jordana, które mają ten sam wielomian charakterystyczny i wielomian minimalny, co A.
5. Oblicz
[ −4 −3
2 1 ]
10
.
6. Niech A, B, C będą trzema punktami przestrze- ni afinicznej Rn. Budujemy trzy środkowe lA = af(A, B/2 + C/2), lB = af(B, A/2 + C/2) oraz lC=af(C, A/2 + B/2).
a) Udowodnij, że zbiór lA∩lB∩lC jest niepusty.
b) Udowodnij, że jeśli lA∩lB ma co najmniej dwa punkty, to dim af(A, B, C) < 2.
7. Badamy podprzestrzenie afiniczne R4: A = af((1, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 1),
(0, 1, 0, 1), (3, 1, 3, 1)) oraz
B ∶
⎧⎪
⎪
⎨
⎪⎪
⎩
2x1+2x2−x3−x4=2
x1+2x2=3 .
Znajdź bazę punktową A ∩ B.
8. Napisz wzór i macierz rzutu f ∶ R3 →R3 na pro- stą l = af ((1, −2, 3), (1, 0, 2)) wzdłuż płaszczyzny opisanej równaniem
x1−x2+x3=2.
1
Praca domowa (na 8.05)
1. Rozważmy grupę G = D6izometrii sześciokąta foremnego.
a) Czy istnieje w tej grupie podgrupa izomorficzna z Z2×Z2?
b) Ogólniej, dla jakich n, w grupie Dn jest podgrupa izomorficzna z Z2×Z2? c) Czy istnieje w grupie G podgrupa izomorficzna z A6?
d) Ile jest nietrywialnych podgrup cyklicznych w D6? e) Ile jest podgrup grupy G, które nie są normalne?
f) Ile jest homomorfizmów h∶ Z2×Z2→G?
g) Opisz klasy elementów sprzężonych w grupie G.
h) Niech X będzie zbiorem wszystkich przekątnych i boków sześciokąta foremnego. Grupa G działa w sposób naturalny na zbiór X. Ile orbit i jakiej mocy wyznacza to działanie?
Odpowiedzi uzasadnij!
2. Niech Ar=
⎡⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
2 0 0
1 1 −1
1 0 r
⎤⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
. Dla jakich r ∈ R Ar jest odwracalna? Oblicz (A−1)100.
3. Niech endomorfizm ϕ∶ R4→R4 będzie dany wzorem ϕ((x, y, z, t)) = (x, −3x − 4z + 2t, 2x + y + 4z − t, 2x + z).
Znajdź wartości własne oraz bazy przestrzeni własnych dla ϕ, a następnie znajdź postać Jordana macierzy ϕ. Czy macierz
A =
⎡⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
2 3 0 1
0 1 0 0
0 0 2 2
0 0 0 1
⎤⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦ jest macierzą ϕ w jakiejś bazie przestrzeni R4?
4. Niech H = af((1, 0, 2), (−1, 1, 1), (2, 0, 3)) oraz L = (−1, −1, −1) + lin((1, −2, 0)). Znajdź równanie płaszczy- zny P równoległej do H i zawierającej punkt (1, 1, 1) oraz obrazy punktu (0, 1, 1) przy rzucie oraz symetrii względem P wzdłuż L.
5. Niech V będzie przestrzenią skończenie wymiarową oraz a1, . . . , akniech będą różnymi wartościami własny- mi endomorfizmu ϕ∶ V → V . Udowodnij, że jeśli v1, . . . , vk są wektorami własnymi o wartościach własnych odpowiednio a1, . . . , ak, to są liniowo niezależne. Pokazać ponadto, że jeśli a1, . . . , ak to wszystkie wartości własne, to ϕ jest diagonalizowalne wtedy i tylko wtedy, gdy dim V(a1)+. . . dim V(ak)=dim V .
2
