2.2.Prawdopodobieństwo RachunekprawdopodobieństwaRozdział2.Aksjomatyczneujęcieprawdopodobieństwa

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie

prawdopodobieństwa

2.2. Prawdopodobieństwo

Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska

Wstęp Proste własności Zasada włączeń i wyłączeń. Nierówność Boole’a. Monotoniczne ciągi zdarzeń

Wstęp

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

Znamy już prawdopodobieństwo klasyczne.

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Dla skończonego zbioru zdarzeń elementarnych Ω

prawdopodobieństwozdarzenia losowegoA ⊆ Ω jest równe P(A) = liczba zdarzeń sprzyjających

liczba wszystkich zdarzeń elementarnych = |A|

|Ω|

Wstęp Proste własności Zasada włączeń i wyłączeń. Nierówność Boole’a. Monotoniczne ciągi zdarzeń

Wstęp

Pułapki w prawdopodobieństwie klasycznym

Przykład 1

Rzucamy dwiema monetami.

Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że na dokładnie jednej z nich będzie orzeł?

Ω = {(O, O), (O, R), (R, O), (R, R)} to możliwe wyniki rzutów A = (wypadł jeden orzeł) = {(O, R), (R, O)}

P(A) = ²₄ Rozwiązanie 2

Ω = {0, 1, 2} to możliwe liczby orłów; A = (wypadł jeden orzeł) = {1} P(A) = ¹₃

Wstęp Proste własności Zasada włączeń i wyłączeń. Nierówność Boole’a. Monotoniczne ciągi zdarzeń

Wstęp

Pułapki w prawdopodobieństwie klasycznym

Przykład 1

Rzucamy dwiema monetami.

Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że na dokładnie jednej z nich będzie orzeł?

Rozwiązanie 1

Ω = {(O, O), (O, R), (R, O), (R, R)} to możliwe wyniki rzutów A = (wypadł jeden orzeł) = {(O, R), (R, O)}

P(A) = ²₄

Rozwiązanie 2

Ω = {0, 1, 2} to możliwe liczby orłów; A = (wypadł jeden orzeł) = {1} P(A) = ¹₃

Pułapki w prawdopodobieństwie klasycznym

Przykład 1

Rzucamy dwiema monetami.

Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że na dokładnie jednej z nich będzie orzeł?

Rozwiązanie 1

Ω = {(O, O), (O, R), (R, O), (R, R)} to możliwe wyniki rzutów A = (wypadł jeden orzeł) = {(O, R), (R, O)}

P(A) = ²₄ Rozwiązanie 2

Ω = {0, 1, 2} to możliwe liczby orłów;

A = (wypadł jeden orzeł) = {1}

P(A) = ¹₃

Wstęp Proste własności Zasada włączeń i wyłączeń. Nierówność Boole’a. Monotoniczne ciągi zdarzeń

Wstęp

Pułapki w prawdopodobieństwie klasycznym

Przykład 1

Rzucamy dwiema monetami.

Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że na dokładnie jednej z nich będzie orzeł?

To rozwiązanie daje wyniki zgodne z rzeczywistością

Ω = {(O, O), (O, R), (R, O), (R, R)} to możliwe wyniki rzutów A = (wypadł jeden orzeł) = {(O, R), (R, O)}

P(A) = ²₄

To rozwiązanie nie daje wyników zgodnych z rzeczywistością Ω = {0, 1, 2} to możliwe liczby orłów;

A = (wypadł jeden orzeł) = {1}

P(A) = ¹₃

Wniosek:

Potrzebujemy bardziej „elastycznej” definicji prawdopodobieństwa.

Wstęp Proste własności Zasada włączeń i wyłączeń. Nierówność Boole’a. Monotoniczne ciągi zdarzeń Wstęp

Funkcja prawdopodobieństwa (miara probabilistyczna) przyporządkowuje każdemu zdarzeniu A ∈ F liczbę P (A) (miarę zbioru A).

Funkcja prawdopodobieństwa/Miara probabilistyczna

Niech F będzie σ–ciałem. Funkcją prawdopodobieństwa nazywamy dowolną funkcję P : F → R spełniającą następujące aksjomaty:

A1. P (A) ­ 0 dla dowolnego zdarzenia A ∈ F ; A2. P (Ω) = 1;

A3. Dla dowolnego ciągu wzajemnie wykluczających się zdarzeń A1, A2, . . . ∈ F (tzn. Ai ∩ A_j = ∅ dla dowolnych i 6= j )

P

∞

[

i =1

Ai

!

=

∞

X

i =1

P (Ai) .

Przykład 2

Rzucamy dwiema monetami. Podaj przykład zgodnej z rzeczywistością funkcji prawdopodobieństwa, która odpowiada temu eksperymentowi, jeśli:

1 Ω = {(O, O), (O, R), (R, O), (R, R)} to zbiór par; uporządkowanych;

2 Ω = {0, 1, 2} to liczba wyrzuconych orłów;

oraz F = 2^Ω (rodzina wszystkich podzbiorów zbioru Ω)

Wstęp Proste własności Zasada włączeń i wyłączeń. Nierówność Boole’a. Monotoniczne ciągi zdarzeń

Własności prawdopodobieństwa Niech A, B ∈ F

i A1, . . . , An∈ F , wtedy W1. P(∅) = 0

W2. Dla A₁, . . . , A_n parami rozłącznych P(

n

S

i =1

A_i) = ^Pn

i =1

P (Ai) . W3. P(A⁰) = 1 − P(A)

W4. P(A \ B ) = P(A) − P(A ∩ B ) W5. Jeśli A ⊆ B, to P(A) ¬ P(B) W6. P(A) ¬ 1

W7. P(A ∪ B ) = P(A) + P(B ) − P(A ∩ B ) Dowód:

Aksjomaty:

A1. P (A) ­ 0 dla dowolnego A ∈ F ; A2. P (Ω) = 1;

A3. Dla dowolnego ciągu parami rozłącznych A₁, A₂, . . . ∈ F (tzn.

A_i∩ A_j= ∅ dla i 6= j )

P S^∞

i =1A_i

=

P^∞

i =1P (Ai) .

Prawdopodobieństwo klasyczne

Przykład 3

Niech Ω będzie zbiorem skończonym o mocy n a P będzie

prawdopodobieństwem określonym na F = 2^Ω takim, że każde zdarzenie elementarne jest równo

prawdopodobne. Pokaż, że

∀_ω∈Ω P ({ω}) = 1

|Ω| = 1 n. oraz

∀_A∈F P (A) =

|A|

|Ω|.

Rozwiązanie:

Aksjomaty:

A1. P (A) ­ 0 dla dowolnego A ∈ F ; A2. P (Ω) = 1;

A3. Dla parami rozłącznych A1, A2, . . . ∈ F

P S∞

i =1A_i

=P∞

i =1P (Ai) . Własności:

W1. P(∅) = 0

W2. Dla A₁, . . . , Anparami rozłącznych P(

n

S

i =1 A_i) =

n

P

i =1 P (Ai) .

W3. P(A⁰) = 1 − P(A) W4. P(A \ B) = P(A) − P(A ∩ B) W5. Jeśli A ⊆ B, to P(A) ¬ P(B) W6. P(A) ¬ 1

W7. P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B)

Wstęp Proste własności Zasada włączeń i wyłączeń. Nierówność Boole’a. Monotoniczne ciągi zdarzeń

Ω–nieskończony

Przykład 4

Niech Ω będzie zbiorem

nieskończonym a F zawiera (między innymi) wszystkie podzbiory

jednoelementowe zbioru Ω. Pokaż, że jeśli każde zdarzenie elementarne z Ω jest równo prawdopodobne względem P, to

∀_ω∈ΩP ({ω}) = 0.

Rozwiązanie:

Aksjomaty:

A1. P (A) ­ 0 dla dowolnego A ∈ F ; A2. P (Ω) = 1;

A3. Dla parami rozłącznych A1, A2, . . . ∈ F

P S∞

i =1A_i

=P∞

i =1P (Ai) . Własności:

W1. P(∅) = 0

W2. Dla A₁, . . . , Anparami rozłącznych P(

n

S

i =1 A_i) =

n

P

i =1 P (Ai) .

W3. P(A⁰) = 1 − P(A) W4. P(A \ B) = P(A) − P(A ∩ B) W5. Jeśli A ⊆ B, to P(A) ¬ P(B) W6. P(A) ¬ 1

W7. P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B)

Zasada włączeń i wyłączeń

W7

Dla dowolnych zdarzeń A, B ⊆ Ω

P (A ∪ B ) = P (A) + P (B ) − P (A ∩ B ) . Zasada włączeń i wyłączeń dla trzech zbiorów Dla dowolnych zdarzeń A, B, C ⊆ Ω

P (A ∪ B ∪ C ) =P (A) + P (B ) + P (C )

− P (A ∩ B) − P (A ∩ C ) − P (B ∩ C ) + P (A ∩ B ∩ C ) .

Dowód:

Wstęp Proste własności Zasada włączeń i wyłączeń. Nierówność Boole’a. Monotoniczne ciągi zdarzeń

Zasada włączeń i wyłączeń

Zasada włączeń i wyłączeń

Dla dowolnych zdarzeń A₁, A₂, . . . , A_n⊆ Ω P (A1∪ A₂∪ . . . ∪ A_n)

=P (A1) + P (A2) + . . . + P (An)

− P (A1∩ A₂) − P (A1∩ A₃) − . . . − P (An−1∩ A_n) ...

+ (−1)ⁿ⁻¹P (A1∩ A₂∩ . . . ∩ A_n)

=^X

i

P (Ai) −^X

i <j

P (Ai ∩ A_j) + ^X

i <j <l

P (Ai ∩ A_j ∩ A_l) − . . . .

Można udowodnić indukcyjnie - zadanie domowe dla chętnych.

Przykład 5

Roztargniona sekretarka wkłada 50 różnych zaadresowanych listów do 50 różnych zaadresowanych kopert (jeden list do jednej

koperty). Wyznacz prawdopodobieństwo zdarzenia, że żaden adresat nie dostanie listu zaadresowanego do niego.

Rozwiązanie:

Wstęp Proste własności Zasada włączeń i wyłączeń. Nierówność Boole’a. Monotoniczne ciągi zdarzeń

Nierówność Boole’a

A3. Dla dowolnego ciągu wzajemnie wykluczających się zdarzeń A1, A2, . . . (tzn.

Ai∩ A_j= ∅ dla i 6= j ) P S∞ i =1Ai

=P∞ i =1P (Ai) .

W2. Dla dowolnych n wzajemnie wykluczających się zdarzeń A1, A2, . . . , An

P Sn i =1Ai

= P (A1) + . . . + P (An) . W5. Jeśli A ⊆ B to P (A) ¬ P (B) .

Nierówność Boole’a

Dla dowolnego ciągu zdarzeń A1, A2, . . .

P

∞

[

i =1

Ai

!

¬

∞

X

i =1

P (Ai) = P (A1) + P (A2) + . . .

P

n

[

i =1

A_i

!

¬

n

X

i =1

P (Ai) = P (A1) + P (A2) + . . . + P (An) . Idea dowodu.

Twierdzenia o ciągłości

Twierdzenie o ciągłości (ciąg wstępujący)

Niech A1, A2, A3. . . będzie nieskończonym wstępującym ciągiem zdarzeń (tzn. A1 ⊆ A₂ ⊆ A₃. . .). Wtedy

P

∞

[

i =1

A_i

!

= lim

n→∞P (An) .

Twierdzenie o ciągłości (ciąg zstępujący)

Niech A1, A2, A3. . . będzie nieskończonym zstępującym ciągiem zdarzeń (tzn. A₁ ⊇ A₂ ⊇ A₃. . .). Wtedy

P

∞

\

i =1

Ai

!

= lim

n→∞P (An) . Dowód: