2.1. σ –ciało(algebra)zdarzeń RachunekprawdopodobieństwaRozdział2.Aksjomatyczneujęcieprawdopodobieństwa

(1)

Zdarzenia σ–ciało Przykłady σ–ciał

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie

prawdopodobieństwa

2.1. σ–ciało (algebra) zdarzeń

Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska

(2)

Zdarzenia

Zdarzenia losowe

Zdarzenie losowe to pewien podzbiór przestrzeni zdarzeń

elementarnych Ω, tzn. zdarzenie jest pewnym zbiorem możliwych wyników eksperymentu.

Z pewnych względów (o których później), aby zawsze można było określić prawdopodobieństwo zdarzenia musimy wprowadzić pewne restrykcje dotyczące zdarzeń losowych.

Zdarzenie losowe

to taki podzbiór przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω, który należy do interesującego nasσ-ciała F podzbiorów Ω.

(3)

Zdarzenia

Przykłady zdarzeń

Przykład 1

Wyznacz Ω i elementy opisanych zdarzeń dla:

1 wypadła liczba parzysta w pojedynczym rzucie kostką;

2 nie wypadła jedynka w 10 rzutach kostką;

3 Tola przyszła na przystanek przed 7.24, zakładając, że Tola przychodzi między 7.00 a 8.00.

4 wykonano nieparzystą liczbę rzutów w rzucie monetą aż do momentu uzyskania pierwszego orła.

(4)

Zdarzenia

Przykłady zdarzeń

Przykład 1

(5)

Zdarzenia

Przykłady zdarzeń

Przykład 1

(6)

Zdarzenia

Przykłady zdarzeń

Przykład 1

(7)

Zdarzenia

Zdarzenie losowe

Dla zdarzenia A,

gdy wynikiem eksperymentu jest ω oraz ω ∈ A, to mówimy, że zaszło zdarzenie A.

Przykład 2

eksperyment: 10 rzutów monetą;

wynik eksperymentu: ω = (O, O, R, O, O, O, R, R, R, R);

A – wypadło dokładnie 5 orłów;

ω ∈ A – zaszło zdarzenie A.

eksperyment: pojedynczy rzut kostką; wynik eksperymentu: 3;

A – wypadła liczba parzysta; ω /∈ A – nie zaszło zdarzenie A.

(8)

Zdarzenia

Zdarzenie losowe

Dla zdarzenia A,

gdy wynikiem eksperymentu jest ω oraz ω ∈ A, to mówimy, że zaszło zdarzenie A.

Przykład 2

eksperyment: 10 rzutów monetą;

wynik eksperymentu: ω = (O, O, R, O, O, O, R, R, R, R);

A – wypadło dokładnie 5 orłów;

ω ∈ A – zaszło zdarzenie A.

eksperyment: pojedynczy rzut kostką;

wynik eksperymentu: 3;

A – wypadła liczba parzysta;

ω /∈ A – nie zaszło zdarzenie A.

(9)

Zdarzenia

Zdarzenia losowe

Trochę nazewnictwa

∅:zdarzenie niemożliwe;

Ω: zdarzenie pewne;

A ∩ B = ∅: A i B to zdarzenia wzajemnie wykluczające się; A⁰ = Ω \ A:zdarzenie przeciwne do zdarzenia A.

A ⊆ B: A pociągazdarzenie B.

(10)

Zdarzenia

Zdarzenia losowe

A ∩ B = ∅: A i B to zdarzenia wzajemnie wykluczające się; A⁰ = Ω \ A:zdarzenie przeciwne do zdarzenia A.

(11)

Zdarzenia

Zdarzenia losowe

A ∩ B = ∅: A i B to zdarzenia wzajemnie wykluczające się;

A⁰ = Ω \ A:zdarzenie przeciwne do zdarzenia A. A ⊆ B: A pociągazdarzenie B.

(12)

Zdarzenia

Zdarzenia losowe

A⁰ = Ω \ A:zdarzenie przeciwne do zdarzenia A.

(13)

Zdarzenia

Zdarzenia losowe

A⁰ = Ω \ A:zdarzenie przeciwne do zdarzenia A.

(14)

Zdarzenia

Zdarzenia losowe

Przykład 3

Rzucamy nieskończoną liczbę razy uczciwą monetą (nie radzimy tego robić w domu). Niech A_i (A_i ⊆ Ω) będzie zdarzeniem, że za i–tym razem wypadł orzeł. Jakie inne zdarzenia chcielibyśmy też zawrzeć w σ–ciele zdarzeń?

(15)

Zdarzenia

Zdarzenia losowe

Ω, ∅ (zdarzenie pewne i zdarzenie niemożliwe);

A⁰_i = Ω \ Ai – za i –tym razem NIE wypadł orzeł (zdarzenia przeciwne/dopełnienia zdarzeń);

A1∪ A₂ – za pierwszym lub za drugim razem wypadł orzeł (skończone sumy zdarzeń);

S∞

i =1A_i – co najmniej raz wypadł orzeł (przeliczalne sumy zdarzeń);

A₁∩ A₂ – za pierwszym i za drugim razem wypadł orzeł (skończone przekroje zdarzeń);

T∞

i =1A_i – za każdym razem wypadł orzeł (przeliczalne przekroje zdarzeń);

A₁\ A₂ – zaczęliśmy od orła ale w drugim rzucie nie było orła (różnice zdarzeń).

(16)

σ–ciało

σ-ciało (σ-algebra)

Definicja (σ-ciało (σ-algebra))

Niech F będzie zbiorem pewnych podzbiorów zbioru Ω.

Mówimy że F jestσ-ciałem, jeśli:

C1 Ω ∈ F ;

C2 jeśli A ∈ F , to również A⁰ = Ω \ A ∈ F ; C3 jeśli A1, A2, . . . ∈ F , to również

∞

[

n=1

An∈ F .

(17)

Zdarzenia σ–ciało Przykłady σ–ciał σ–ciało

Twierdzenie (własności σ–ciała)

Niech F będzie σ–ciałem, wtedy następujące stwierdzenia są prawdziwe.

W1 ∅ ∈ F .

W2 Jeśli A, B ∈ F , to A ∪ B ∈ F . W3 Jeśli A, B ∈ F , to A ∩ B ∈ F . W4 Jeśli A, B ∈ F , to A \ B ∈ F .

W5 Jeśli A₁, A₂, . . . ∈ F , to^T^∞_n=1A_n∈ F .

tzn. dowolne σ–ciało jest zamknięte na standardowe operacje teoriomnogościowe.

Dowód

(18)

Przykłady σ–ciał

Ω – co najwyżej przeliczalny

Przykład 4

Rodzina F wszystkich podzbiorów zbioru Ω jest σ–ciałem, F = 2^Ω. Takie σ–ciało będziemy wykorzystywać w przypadku, gdy

Ω jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym.

(19)

Ω = R - intro

Definicja

Niech A będzie pewną rodziną podzbiorów zbioru Ω, wtedy przez σ(A) będziemy oznaczać

najmniejsze (w sensie zawierania) σ–ciało zawierające rodzinę A.

Uwaga

σ(A) = ^\

F −σ−ciało w Ω, A⊆F

F .

NA CHŁOPSKI ROZUM: σ(A) jest to rodzina zbiorów, do której należą wszystkie zbiory, które można „w ładny sposób” otrzymać ze zbiorów z A.

„Ładny sposób”to branie dopełnienia, przeliczalnych sum i przekrojów (nawet kolejno i kilkakrotnie)

(20)

Ω = R - intro

Przykład 5

Niech Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Podaj najmniejsze σ–ciało zawierające rodzinę {{1}, {2, 3}} (tzn. σ({{1}, {2, 3}})).

Przypomnienie: Jeśli A, B, C1, C2, . . . ∈ σ({{1}, {2, 3}}), to C1 R ∈ σ({{1}, {2, 3}})

C2 A⁰= R \ A ∈ σ({{1}, {2, 3}}) C3 S∞

n=1Cn∈ σ({{1}, {2, 3}});

W2 A ∪ B ∈ σ({{1}, {2, 3}}).

W3 A ∩ B ∈ σ({{1}, {2, 3}}).

W4 A \ B ∈ σ({{1}, {2, 3}}).

W5 T∞

n=1Cn∈ σ({{1}, {2, 3}});

powyżej – lista „ładnych operacji”

(21)

Ω = R

σ–ciało zbiorów borelowskich B(R)

σ–ciałem zbiorów borelowskich na R nazywamy najmniejsze (w sensie zawierania) σ–ciało podzbiorów R, które zawiera wszystkie przedziały otwarte (a, b), a, b ∈ R.

B(R) = ^\

F −σ−ciało na R, ∀a<b, a,b∈R(a,b)∈F

F

NA CHŁOPSKI ROZUM: jest to rodzina zbiorów, do której należą wszystkie zbiory, które można „w ładny sposób” otrzymać z otwartych przedziałów.

(22)

Ω = R

σ–ciało zbiorów borelowskich B(R)

σ–ciałem zbiorów borelowskich na R nazywamy najmniejsze (w sensie zawierania) σ–ciało podzbiorów R, które zawiera wszystkie przedziały otwarte (a, b), a, b ∈ R.

B(R) = ^\

F −σ−ciało na R, ∀a<b, a,b∈R(a,b)∈F

F

NA CHŁOPSKI ROZUM: jest to rodzina zbiorów, do której należą wszystkie zbiory, które można „w ładny sposób” otrzymać z otwartych przedziałów.

(23)

Zbiory borelowskie

Przykład 6

Pokaż, że dla dowolnych a, b ∈ R (a < b) poniższe zbiory należą do rodziny zbiorów borelowskich B:

1 {a};

2 (a, b]

3 [a, b];

4 (a, ∞);

5 (−∞, a];

6 {a, b};

7 N – zbiór liczb naturalnych;

8 Q – zbiór liczb wymiernych.

Dowód: 1 (pozostałe punkty na ćwiczeniach)

Przypomnienie:

Jeśli A, B, C1, C2, . . . ∈ B, to C1 R ∈ B

C2 A⁰= R \ A ∈ B C3 S∞

n=1Cn∈ B;

W2 A ∪ B ∈ B.

W3 A ∩ B ∈ B.

W4 A \ B ∈ B.

W5 T∞

n=1Cn∈ B;

powyżej

- lista „ładnych operacji”

(24)

Ω ⊆ R

ⁿ

σ–ciało zbiorów borelowskich B w Rⁿ, B(Rⁿ)

σ–ciałem zbiorów borelowskich w Rⁿ nazywamy najmniejsze (w sensie zawierania) σ–ciało podzbiorów Rⁿ, które zawiera wszystkie podzbiory otwarte w Rⁿ.

σ–ciało zbiorów borelowskich w Ω ⊆ Rⁿ

σ–ciałem zbiorów borelowskich w Ω ⊆ Rⁿ nazywamy rodzinę zbiorów {A : ∃_B∈B A = Ω ∩ B}.