ORIENTACJA PŁASZCZYZNY KRYTYCZNEJ PRZY WYZNACZANIU TRWAŁOŚCI ZMĘCZENIOWEJ W FUNKCJI GRANIC ZMĘCZENIA

41, s. 421-428, Gliwice 2011

ORIENTACJA PŁASZCZYZNY KRYTYCZNEJ PRZY WYZNACZANIU TRWAŁOŚCI ZMĘCZENIOWEJ

W FUNKCJI GRANIC ZMĘCZENIA

KAROLINA WALAT, TADEUSZ ŁAGODA

Katedra Mechaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn, Politechnika Opolska e-mail: k.walat@po.opole.pl, t.lagoda@po.opole.pl

Streszczenie. W pracy przedstawiono zależności zmian orientacji płaszczyzny krytycznej od stosunku granic zmęczenia dla analizowanych obciążeń. Trwałości zmęczeniowe wybranych modeli wyznaczono według kryterium wieloosiowego zmęczenia przy wyznaczeniu orientacji płaszczyzny krytycznej według propozycji Carpinteri i Spagnoli. Analizie poddano wyniki badań eksperymentalnych przeprowadzonych dla materiałów o własnościach pośrednich pomiędzy sprężysto-kruchymi i sprężysto-plastycznymi, do których zalicza się głównie stopy aluminium.

1. WSTĘP

Istnieje wiele kryteriów wieloosiowego zmęczenia, podzielonych między innymi ze względu na parametr decydujący o zniszczeniu materiału. Spośród wszystkich kryteriów naprężeniowych, odkształceniowych i energetycznych, inaczej nazywanych naprężeniowo- odkształceniowymi, można wyodrębnić kryteria powstałe na podstawie koncepcji płaszczyzny krytycznej. Niektóre z nich jak na przykład naprężeniowe kryterium wieloosiowego zmęczenia zaproponowane przez Machę [6] i później rozwijane w zapisie odkształceniowym i energetycznym są dobrze znane i analizowane od wielu lat. Znane są postacie tego kryterium dla materiałów sprężysto-kruchych i sprężysto-plastycznych. Ostatnio zaproponowano postać kryterium dla materiałów określanych jako pośrednie [8]. Carpinteri i Spagnoli w swojej pracy przedstawili możliwość wyznaczania położenia płaszczyzny krytycznej w oparciu o stosunek granic zmęczenia dla skręcania i zginania. Celem niniejszej pracy jest weryfikacja zaproponowanej przez Carpinterego i Spagnoli formuły, pozwalającej wyznaczać położenie płaszczyzny krytycznej na podstawie stosunku granic zmęczenia dla skręcania i zginania. Następnie zostanie wyznaczona trwałość zmęczeniowa elementów wykonanych ze stopu aluminium 2017A z zastosowaniem określenia położenia płaszczyzny krytycznej wyznaczonej według powyższej metody oraz wyrażenia na naprężenie ekwiwalentne jako sumy naprężeń normalnych i stycznych ze współczynnikami wagowymi, zgodnie z ogólnym wzorem zaproponowanym przez Machę.

2. ALGORYTM OBLICZANIA TRWAŁOŚCI ZMĘCZENIOWEJ

Przedstawiony schematycznie na rys. 1 algorytm szacowania trwałości zmęczeniowej został ograniczony do badanych kombinacji zginania ze skręcaniem przy przyjęciu zerowych wartości średnich przebiegów. Danymi wyjściowymi w przedstawionym algorytmie są składowe przebiegów naprężenia pochodzące z eksperymentu. W analizowanym algorytmie przebieg naprężeń normalnych σxx(t) dotyczy naprężeń pochodzących od zginania a stycznych τxy(t) od skręcania.

Rys.1. Algorytm szacowania trwałości zmęczeniowej dla analizowanych obciążeń Drugim etapem algorytmu oceny trwałości zmęczeniowej jest etap wyznaczania orientacji płaszczyzny krytycznej, którą można wyznaczyć za pomocą jednej z trzech znanych metod:

funkcji wagowych [3], kumulacji uszkodzeń [1] oraz metodą wariancji [5]. Punktem wyjścia było wyznaczenie położenia płaszczyzny krytycznej metodą maksimum wariancji naprężenia normalnego μσ,σ, zapisaną wzorem

( ) ( )

T 1 ^T0

0 0

,σ η η

σ = σ σ

μ

∫

gdzie T0 jest czasem obserwacji, ση to składowa normalnanaprężenia.

Uzyskiwano w ten sposób orientację płaszczyzny określającej kierunek normalnej γ. Aby wyznaczyć orientację płaszczyzny krytycznej zgodnie z formułą Carpinteri i Spagnoli zaproponowaną w pracy [2], należy skorzystać z równania

. 2 1

45 3

2

af 0 af

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ σ

− τ

=

α (2)

gdzie τaf i σaf to stosunek granic zmęczenia na skręcanie i zginanie.

1. Określanie składowych przebiegów, σxx(t), τxy(t)

2. Wyznaczanie orientacji płaszczyzny krytycznej,α

3. Obliczanie przebiegu ekwiwalentnego, σeq(t)

4. Wyznaczanie amplitud cykli, σeqa

5. Obliczanie trwałości zmęczeniowej, Ncal

W tym przypadku kąt α jest kątem pomiędzy wcześniej wyznaczonym kierunkiem maksymalnego naprężenia normalnego a kierunkiem normalnym do płaszczyzny krytycznej γ.

Daje to w efekcie kąt 0° dla stosunku równego 1, jak ma to miejsce w przypadku materiałów wykazujących cechy materiałów sprężysto-kruchych oraz 45° dla stosunku równego 1/ 3, co ma miejsce w przypadku materiałów sprężysto-plastycznych. Korzystając ze znanych wzorów na przebiegi naprężenia normalnego pochodzącego od zginania i stycznego pochodzącego od skręcania, liczono kolejno

( )

( )

2 cos ) t

( = ασxx + ατxy

σ_η , (3)

( )

( )

( )

2

t 1 _{xx xy}

s =− ασ + ατ

τ_η . (4)

Następnie korzystano z ogólnej postaci wyrażenia na naprężenie ekwiwalentne [4]

zaproponowanej przez Machę [6]

( )

( )

( )

eq = τη + ση

σ , (5)

gdzie B i K to współczynniki wagowe służące do wyboru szczególnej postaci wyrażenia (5) w zależności od sposobu definiowania orientacji płaszczyzny krytycznej.

Kolejnym krokiem jest obliczenie trwałości zmęczeniowej zgodnie ze wzorem

( )^{T ,}

S T T

0 0

cal= (6)

gdzie S(T0) jest stopniem uszkodzenia według obranej hipotezy.

Najczęściej stosowaną hipotezą jest liniowa hipoteza Palmgrena – Minera zaproponowana dla dużej liczby cykli.

3. BADANIA EKSPERYMENTALNE

Badania eksperymentalne wykorzystane w pracy realizowane były na próbkach wykonanych ze stopu aluminium 2017A [7-9]. Stop ten zalicza się do grupy bezcynkowych stopów aluminium do obróbki plastycznej. Cechy charakterystyczne duraluminium to przede wszystkim dobre własności wytrzymałościowe, wysoka wytrzymałość na rozciąganie, bardzo dobra wytrzymałość zmęczeniowa, mała gęstość i duża antykorozyjność. Główne składniki stopowe to miedź podnosząca wytrzymałość i twardość oraz mangan dodawany w celu polepszenia odporności na korozję. Stop aluminium 2017A jest szeroko stosowany w różnych gałęziach przemysłu i transportu - od silnie obciążonych konstrukcji maszyn, sprzętu wojskowego, poprzez szeroki wachlarz zastosowań w przemyśle lotniczym, maszynowym, stoczniowym, samochodowym do estetycznych elementów ochronnych obudów sprzętu fotograficznego, RTV i AGD, elementów elektronarzędzi czy drobnych narzędzi rzemieślniczych i materiałów wykończeniowych czy dekoracyjnych w budownictwie.

Badania prowadzono na próbkach typu diabolo, których geometria przedstawiona na rys.2 znacznie ułatwiała lokalizację miejsca o największych naprężeniach.

Rys. 2.Geometria próbek wykorzystanych w badaniach

Próbki poddawane były czystemu wahadłowemu zginaniu i czystemu obustronnemu skręcaniu, jak również proporcjonalnym i nieproporcjonalnym kombinacjom momentów zginającego i skręcającego. Stopy aluminium są mniej poznane niż na przykład stale, dlatego są aktualnym tematem badań.

4. PORÓWNANIE UZYSKANYCH TRWAŁOŚCI OBLICZENIOWYCH Z EKSPERYMENTALNYMI

Na podstawie zależności (1) wyznaczono orientację płaszczyzny krytycznej dla czystego wahadłowego zginania i czystego obustronnego skręcania. W przypadku zginania płaszczyzna krytyczna zorientowana była pod kątem α = 40,12°, a w przypadku skręcania pod kątem α = - 9,88°. Po uwzględnieniu zależności (3) i (4) we wzorze (5) i wprowadzeniu czystego zginania oraz czystego skręcania uzyskuje się dla analizowanego materiału, gdzie stosunek granic zmęczenia dla zginania i skręcania τ_af σ_af =11,57, dwie pary wartości współczynników B i K i dwie postacie wyrażenia na naprężenie ekwiwalentne:

xx xy

eq=0,809τ +2,391σ

σ (7)

i

. 466 , 4 271 ,

3 _{xy xx}

eq= τ + σ

σ (8)

Na podstawie obliczeń uzyskano orientację płaszczyzn krytycznych α′ dla każdej z analizowanych kombinacji obciążenia. Uzyskane wyniki przedstawiono w tabeli 1.

Na rys. 3 przedstawiono porównanie wyników trwałości obliczeniowych z eksperymentalnymi dla czystego wahadłowego zginania, czystego obustronnego skręcania, proporcjonalnej kombinacji zginania ze skręcaniem, dla stosunku naprężeń stycznych pochodzących od skręcania i normalnych pochodzących od zginania λ=τxya σxya = 0,25; 0,5;

1 oraz nieproporcjonalnej kombinacji zginania ze skręcaniem dla λ = 0,25 i kąta przesunięcia fazowego Φ = 90°.

Tabela 1. Kąty orientacji płaszczyzn maksymalnego naprężenia normalnego γ i płaszczyzn krytycznych α′ dla analizowanych rodzajów obciążeń.

Obciążenie Płaszczyzna maksymalnego

naprężenia normalnego, γ

Orientacja płaszczyzny krytycznej, α′

τ = 0 (czyste zginanie) 0° 40,12°

λ = 0,25, Φ = 0° -76,5°; 13,5° 115,12°

λ = 0,5, Φ = 0° -67,5°; 22,5° 63,12°

λ = 1, Φ = 0° -58°; 32° 72,12°

σ = 0 (czyste skręcanie) -45°; 45° -9,88°

λ = 0,25, Φ = 90° 0° 40,12°

1x10⁵ 1x10⁶ 1x10⁷ 1x10⁸

N exp, cykle

1x10⁵ 1x10⁶ 1x10⁷ 1x10⁸

N ca l, cy k le

τ=0 λ=0,25 φ=0⁰ λ=0,5 φ=0⁰ λ=1 φ=0⁰ σ=0 λ=0,25 φ=90⁰

Rys.3. Porównanie uzyskanych obliczeniowych trwałości zmęczeniowych z eksperymentalnych dla badań zmęczeniowych próbek wykonanych ze stopu 2017A

5. ANALIZA STATYSTYCZNA UZYSKANYCH WYNIKÓW

Na podstawie wyników badań eksperymentalnych i trwałości zmęczeniowych uzyskanych z algorytmu wykorzystującego formułę Carpinterego i Spagnoli przeprowadzono statystyczną analizę wyników badań nową metodą przedstawioną w pracy [8]. Wyznaczono pierwiastek ze średniokwadratowej wartości błędu jako

n N log N E

n

1

i cali

i 2 exp

RMS

∑

= , (8)

czyli błąd średniokwadratowy rozrzutów otrzymuje się zgodnie ze wzorem

ERMS

RMS 10

T = . (9)

Dla badań analizowanych w pracy TRMS wyniósł 1,34. Wartości błędu średniokwadratowego dla poszczególnych kombinacji obciążeń przedstawiono na rys. 4.

Rys. 4. Zestawienie wyników obliczeń błędu średniokwadratowego dla obciążeń wykorzystanych w badaniach próbek wykonanych ze stopu aluminium 2017A

Niskie wartości błędu średniokwadratowego świadczą o zadowalającej jakości przyjętego modelu obliczeniowego pozwalającego na bardziej precyzyjne – niż w dotychczas stosowanych metodach - szacowanie trwałości zmęczeniowej.

W pracach [7, 9] porównywano wyniki badań obliczeniowych uzyskanych trzema różnymi metodami, stosując kryterium w płaszczyźnie krytycznej zdefiniowanej poprzez wariancję naprężeń normalnych, wariancję naprężeń stycznych i kowariancję naprężeń. Analizowano również stop aluminium 2017A i uzyskano zarówno dla obciążeń proporcjonalnych jak i przesuniętych w fazie największą wartość błędu średniokwadratowego dla kryterium bazującego na płaszczyźnie krytycznej zdefiniowanej przez maksimum wariancji naprężenia normalnego i wyniósł on odpowiednio 7,2 i 8,9. Kolejnym było kryterium oparte na

płaszczyźnie krytycznej zdefiniowanej przez maksimum wariancji naprężenia stycznego, a uzyskane wartości błędu średniokwadratowego wyniosły 4,4 dla obciążeń proporcjonalnych i 5,1 dla obciążeń niezgodnych w fazie. Najlepsze efekty uzyskano dla kryterium wykorzystującego płaszczyznę krytyczną definiowaną przez ekstremum kowariancji naprężeń normalnych i stycznych, gdzie błąd wyniósł 1,6 przy obciążeniach proporcjonalnych i nieproporcjonalnych.

Dlatego można stwierdzić, iż wartość błędu średniokwadratowego na poziomie 1,34 uzyskanego dla obciążeń analizowanych w tej pracy jest wynikiem znacznie lepszym, a wykorzystany model zastosowano słusznie dla badanego stopu 2017A.

6. WNIOSKI

1. Istnieje wiele modeli obliczania trwałości zmęczeniowej w wieloosiowym zmęczeniu, bazujących na orientacji płaszczyzny krytycznej. Ważne jest, aby wykorzystywana metoda dawała jak najbardziej bliskie rzeczywistości wyniki i uwzględniała cechy charakteryzujące dany materiał. Jest to ważne zwłaszcza w stopach aluminium, które charakteryzują się własnościami pośrednimi między materiałami sprężysto-kruchymi i sprężysto-plastycznymi.

2. Metoda definiowania orientacji płaszczyzny krytycznej zaproponowana przez Carpinteri i Spagnoli, zastosowana w kryteriach wieloosiowego zmęczenia zdefiniowanych jako suma naprężeń normalnych i stycznych ze współczynnikami wagowymi w zdefiniowanej płaszczyźnie krytycznej, pozwala na szacowanie trwałości zmęczeniowej elementów wykonanych ze stopów aluminium z większą precyzją niż dotychczas analizowane modele. Stanowi więc uniwersalne narzędzie w rękach inżynierów konstruktorów wykorzystujących elementy wykonane ze stopów aluminium, szeroko stosowanych w różnych gałęziach gospodarki, przemysłu i transportu.

LITERATURA

1. Będkowski W., Macha E.: Kryterium maksymalnego naprężenia normalnego w warunkach trójosiowego losowego stanu naprężenia. Metoda wyznaczania oczekiwanego położenia płaszczyzny złomu. Zesz. Nauk. WSI w Opolu, “Mechanika” 1992, z.43, s.51–

82

2. Carpinteri A., Macha E., Brighenti R., Spagnoli A.: Expected principal stress directions under multiaxial random loading. Part II : Numerical simulation and experimental assessment through the weight function method. “International Journal Fatigue” 1999, 21, p.89-96

3. Carpinteri A., Spagnoli A., Vantatori S.: A multiaxial fatigue criterion for random loading. “Fatigue Fracture Engineering Materiale Structures” 2003, 26, p. 515-522

4. Łagoda T., Ogonowski P.: Criteria of multiaxial random fatigue based on stress, strain and energy parameters of damage in the critical plane. “Mat.-wiss. u. Werkstofftech,” 2005, Vol.36, No 9, p.429-437

5. Macha E.: Generalization of strain criteria of multiaxial cyclic fatigue to random loading.

VDI Reihe 18, Nr 52 VDI-Verlag, Dusseldorf 1988, p. 102.

6. Macha E.: Simulation investigation of the position of fatigue plane. In: Materiale with biaxial loads, Mat.-wiss. u. Werkstofftech. No. 20, 1989 Teil I, Heft 4/89, p. 132-136, Teil II, Heft 5/89, p.153-163

7. Walat K., Łagoda T.: Trwałość zmęczeniowa aluminiowych złączy spawanych według kryteriów opartych na położeniu płaszczyzny krytycznej wyznaczanych trzema metodami.

„Transport Przemysłowy i Maszynowy” 2010, 2(8), s. 68-72

8. Walat K.: Wpływ kowariancji naprężeń w płaszczyźnie krytycznej na trwałość zmęczeniową elementów maszyn. Rozprawa doktorska, Opole 2010.

9. Walat K.: Wartość średniokwadratowa rozrzutów jako statystyczna miara oceny trwałości zmęczeniowej. W: XXIV KNPRMR, Zakopane 2011.

THE CRITICAL PLANE ORIENTATION IN THE CASE OF DETERMINATION OF FATIGUE LIFE VERSUS

THE FATIGUE LIMITS

Summary. The paper presents relations between changes of the critical plane orientation and the fatigue limit ratio for the considered loadings. Fatigue lives of the chosen models were determined according to the multiaxial fatigue criterion where the critical plane orientation was defined according to the method proposed by Carpinteri and Spagnoli. The materials of intermediate properties (between elastic-brittle and elasttic-plastic), mainly aluminium alloys were tested, and next the obtained test results were analysed.