1. Przekształcenia płaszczyzny

Funkcje analityczne

Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne

Paweł Mleczko

Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018)

1. Przekształcenia płaszczyzny

Płaszczyzna jako przestrzeń liniowa, odwzorowania liniowe

Rozpatrywać będziemy R²jako przestrzeń liniową (nad R) z bazą standardową (tzn. bazę tworzą dwa wektory: (1, 0) oraz (0, 1)).

Odwzorowanie A : R²→ R²nazwiemy liniowym, gdy spełnia warunek:

A(αs + βt) = αA(t) + βA(s) dla każdych t, s ∈ R²oraz α, β ∈ R.

Każde odwzorowanie liniowe można przedstawić jako działanie macierzy A = (a_ij), i, j = 1, 2, czyli

As =a₁₁ a₁₂ a₂₁ a₂₂



×s₁ s₂



dla każdego s = (s₁, s₂) ∈ R².

Prawdziwe jest również zdanie odwrotne, tzn. każda macierz 2 × 2 wyznacza odwzorowanie liniowe z R² w R².

Przykład: obrót na płaszczyźnie

W przestrzeni R² obrót o kąt t dany jest za pomocą macierzy

O(t) =cos t − sin t sin t cos t

 .

Obrót jest przykładem odwzorowania wiernokątnego, tzn. takiego, że kąt między dowolnymi wekto- rami v, w ∈ R² jest taki sam, jak kąt między wektorami Ov, Ow ∈ R².

Wiernokątne odwzorowania liniowe Twierdzenie 1. Odwzorowanie liniowe

A = a b

−b a



a, b ∈ R, a²+ b²6= 0

jest konforemne.

Dowód 1. Zauważmy, że dla dowolnych v = (x1, y1), w = (x2, y2) ∈ R²zachodzi równość hAv, Awi =(ax1+ by1, −bx1+ ay1), (ax2+ by2, −bx2+ ay2)

= (a²+ b²)hv, wi.

Zatem, jeśli v, w ∈ R²są prostopadłe, to również prostopadłe są wektory Av, Aw. Aby zakończyć dowód wystarczy przedstawić dowolny wektor jako kombinację liniową wektorów bazowych.

2. Funkcje holomorficzne jako wiernokątne przekształcenia płaszczyzny

Równokątność, czyli konforemność

Niech A ⊂ C. Odwzorowanie f : A → C nazywamy równokątnym (konforemnym) w z0, jeśli zachowuje kąt między krzywymi.

Re Im

z₀

z 7→ f (z)

Re Im

Przykład: niekonforemne odwzorowanie

Re Im

z 7→ z²

Re Im

Warunki Cauchy’ego–Riemanna

Niech A ⊂ C będzie zbiorem otwartym, f : A → C, z0= x₀+ iy₀∈ A. Jakobian odwzorowania f jest równy









∂u

∂x(x0, y0) ∂u

∂y(x0, y0)

∂v

∂x(x0, y0) ∂v

∂y(x0, y0)









Jeśli f jest holomorficzna w z0= x0+ iy0, to spełnione są warunki Cauchy’ego–Riemanna, więc jakobian jest równy









∂u

∂x(x0, y0) ∂u

∂y(x0, y0)

−∂u

∂y(x₀, y₀) ∂u

∂x(x₀, y₀)









Warunek dostateczny konforemności

Twierdzenie 2. Niech f będzie holomorficzna w otoczeniu z0 oraz f⁰(z0) 6= 0. Wtedy f jest równokątna w z0.

Dowód 2 (szkic). Uzasadnienie polega na tym, by pokazać, że odwzorowanie f można przedstawić jako skalowanie oraz obrót, przy czym to drugie obraca styczną do krzywej C w otoczeniu z0o ustalony kąt zależny tylko od odwzorowania f (w szczególności nie zależy ten kąt od krzywej).

Przykład: z 7→ e^z

Warunek f⁰(z₀) 6= 0 implikuje, że w otoczeniu z₀ funkcja f jest różnowartościowa (tzw. lokalnie różnowartościowa). Poniższy przykład pokazuje, że f nie musi być (globalnie) różnowartościowa.

Re Im

z 7→ e^z

Re Im

Przykładowo: jeśli z = 1 + it, t ∈ R, to

e^1+it= e · e^it= e(cos t + i sin t) t ∈ R Twierdzenie Riemanna

Twierdzenie 3 (Riemann). Niech G, D ⊂ C, G, D 6= C, będą dwoma obszarami jednospójnymi. Wówczas dla dowolnych a ∈ G, b ∈ D istnieje takie odwzorowanie wiernokątne f zbioru G na D, że f (a) = b.

Obszar E nazywamy jednospójnym, gdy zbiór C \ E jest spójny.

Dysk jednostkowy jest jednospójny

1

Pierścień nie jest jednospójny

r₂ r1

3. Ważne odwzorowania wiernokątne

Obszary konforemnie równoważne

Obszary D, G ⊂ C nazywamy konforemnie równoważnymi, jeśli istnieje konforemne odwzorowanie f przekształcające D na G.

Jeśli dodatkowo f jest róznowartościowa, to istnieje f⁻¹ przekształcające konforemnie G na D.

Odwzorowanie z 7→ az + b Funkcja

z 7→ az + b a, b ∈ C, a 6= 0 jest wiernokątna na C.

Jej działanie można opisac jako skalowanie przez |a|, obrót o arg a oraz przesunięcie o b.

Odwzorowanie z 7→ z^α, α ∈ R

Funkcja

z 7→ z^α α ∈ R

jest wiernokątna poza zerem. Jej działanie można opisac jako skalowanie o potędze α oraz „symetryczne”

rozciągnięcie/zwężenie.

Re Im

z 7→ z²

Re Im

Odwzorowanie z 7→ z^α, α ∈ R

Re Im

z 7→ z¹²

Re Im

Odwzorowanie z 7→ ^az+b_cz+d (przekształcenie M¨obiusa) Jeśli ad − bc 6= 0, to funkcję

z 7→ az + b

cz + d: C → C nazywamy funkcją M¨obiusa. Pochodna funkcji M¨obiusa wynosi

ad − bc (cz + d)², stąd poza z = −d/c ta funkcja jest wiernokątna.

(Przypadkiem z 7→ az + b już się zajmowaliśmy.)

Twierdzenie 4. Każde przekształcenie M¨obiusa przekształca zbiór złożony z kół oraz linii prostych na zbiór złożony z kół oraz linii prostych.

4. Obszary konforemnie równoważne

Górna półpłaszczyzna i dysk jednostkowy

Niech Π+= {z ∈ C : Im z > 0} oraz D = {z ∈ C : |z| < 1}. Funkcja f : Π⁺→ D dana wzorem f (z) = z − i

1 − iz z ∈ Π₊ odwzorowuje konforemnie Π+ na D.

Re Im

z 7→_1−iz^z−i

Re Im

Uniwersalność przekształcenia M¨obiusa

Twierdzenie 5. Trzy dowolne parami rózne punkty z₁, z₂, z₃mogą zostać przekształcone na trzy ustalone i parami różne punkty w₁, w₂, w₃ za pomocą jednoznacznie wyznaczonego przekształcenia M¨obiusa f . Funkcję f można wyznaczyć z równania

f (z) − w₁ f (z) − w3

·w₂− w3

w2− w1

= z − z₁ z − z3

·z₂− z3

z2− z1

.

(Jeśli któryś z wybranych punktów to ∞, wówczas iloraz, w którym występuje ten punkt traktuje się jako 1.)

Uniwersalność przekształcenia M¨obiusa: przykład f (z) − w₁

f (z) − w3

·w₂− w₃ w2− w1

= z − z₁ z − z3

·z₂− z₃ z2− z1

.

Przykład 1. Znajdziemy odwzorowanie M¨obiusa przekształcające punkty z1= −1, z2= 0, z3 = 1 na odpowiednio punkty w1= −1, w2= −i, w3= 1.

Na podstawie powyższego wzoru mamy f (z) + 1

f (z) − 1·−i − 1

−i + 1= z + 1 z − 1 ·0 − 1

0 + 1. Stąd

f (z) = z − i 1 − iz. Jest to konforemne przekształcenie Π+ na D!

Znajdowanie odwzorowań konforemnych: strategia

Zadanie 1. W jaki sposób przekształcić obszar D na G za pomoca funkcji M¨obiusa?

Dysk jednostkowy i prawa półpłaszczyzna

Niech Π⁺= {z ∈ C : Re z > 0} oraz D = {z ∈ C : |z| < 1}. Funkcja f : D → Π⁺ dana wzorem

f (z) = z − 1

z + 1 z ∈ D odwzorowuje konforemnie D na Π⁺.

Re Im

z 7→^z−1_z+1

Re Im

Dysk jednostkowy na dysk jednostkowy

Niech D = {z ∈ C : |z| < 1}. Funkcja f : D → D dana wzorem f (z) = fz₀(z) = z − z0

z₀z − 1 z ∈ D konforemnie przekształca D na D w taki sposób, by f (z0) = 0.

Wnętrze kąta na dysk jednostkowy

Niech G =z ∈ C : arg z ∈ −^π₆,^π₆
. Odwzorować konforemnie obszar G na dysk jednostkowy D.

Odwzorowanie z 7→ z³ przekształca G na prawą półpłaszczyznę, natomiast funkcja z 7→ ^z−1_z+1 prawą półpłaszczyznę na dysk jednostkowy. Stąd funkcja

z 7→ z³− 1

z³+ 1 z ∈ G przekształca konforemnie G ma D.

Re Im

z 7→^z_z³₃⁻¹₊₁

Re Im

5. Zadania na ćwiczenia

1. Proszę narysować za pomocą odwzorowania z 7→ z² obrazy prostych Re z = 1, 2, 3, 4 oraz Im z = 1, 2, 3, 4.

2. Proszę przekształcić za pomocą odwzorowania z 7→ z proste Re z = c, Im z = d, przy czym c, d to stałe. Czy odwzorowanie z 7→ z jest konforemne?

3. Prosze narysować obraz obszaru |z| ­ ¹₂ , −π/8 < Arg < π/8 za pomocą odwzorowania z 7→ z³. 4. Proszę znaleźć odwzorowanie odwrotne do funkcji

a) z 7→ ^z−1_z+i b) z 7→ _3iz+4^z−i

5. Proszę znaleźć punkty stałe odwzorowań a) z 7→ (a + ib)z²

b) z 7→ az + b c) z 7→ ^iz+4