6.1 Równania płaszczyzny

(1)

6.1 Równania płaszczyzny

Równanie normalne płaszczyzny

Równanie płaszczyzny π przechodzącej przez punkt P0 =

(

x0,y0,z0

)

i prostopadłej do wektora ⁿ^r⁼

[

^A^,^B^,^C

]

^≠⁰^r^{ma postać}

( )

⁰

: r −r₀ nr= r o π r

gdzie rr0 =OP0 =

[

x0,y0,z0

]

- wektor wodzący punktu P , ₀ ^rr=^OP=

[

^x^,^y^,^z

]

- wektor wodzący punktu P=(x,y,z).

W formie rozwiniętej równanie płaszczyzny π przyjmuje postać

( ) ( ) ( )

⁰

: A⋅ x−x₀ +B⋅ y−y₀ +C⋅ z−z₀ =

π ^.

Przykład

Równanie płaszczyzny π przechodzącej przez punkt P₀ =(−1,2,0) i prostopadłej do wektora nr =[2,−3,1]

ma postać:

0 )

2 ( 3 ) 1 ( 2

: x+ − y− +z=

π ^.

Równanie ogólne płaszczyzny KaŜde równanie postaci

0 : Ax+By+Cz+D= π

gdzie A + B + C >0, przedstawia płaszczyznę. Płaszczyzna to ma wektor normalny

[

^A ^B ^C

]

nr= , , . Przykład

Równanie płaszczyzny z poprzedniego przykładu moŜna sprowadzić do postaci ogólnej, a mianowicie

0 8 3

2

: x− y+z+ =

π ^.

Równanie parametryczne płaszczyzny

Równanie płaszczyzny π przechodzącej przez punkt P0 =

(

x0,y0,z0

)

i rozpiętej na niewspółliniowych wektorach ^u^r⁼

[

û^x^,û^y^,û^z

]

ⁱ^v^r ⁼

[

^v^x^,^v^y^,^v^z

]

^{ma postać}

v t u s r

rr r r r

⋅ +

= ₀

π: ^, ^gdzie^s,^t∈^R.

W formie rozwiniętej równanie tej płaszczyzny przyjmuje postać







⋅ +

=

⋅ +

=

⋅ +

=

z z

y y

x x

v t u s z z

v t u s y y

v t u s x x

0 0 0

π: ^gdzie^s,^t∈^R

(2)

Przykład

Równanie parametryczne π przechodzącej przez punkt P0 =

(

⁰^,⁰^,⁰

)

i rozpiętej na wektorach ^u^r ⁼

[ ]

¹^,²^,³ ⁱ^v^r ⁼

[

⁰^,⁻¹^,²

]

^{ma postać}







+

=

−

=

= t s z

t s y

s x

2 3

2

π: ^gdzie^s,^t∈^R.

Przykład

Równanie płaszczyzny z poprzedniego zadania moŜna zapisać w postaci ogólnej, eliminując parametry s i t . Otrzymamy wtedy

0 2

7

: x− y−z =

π ^.

Równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty

Równanie płaszczyzny π przechodzącej przez trzy niewspółliniowe punkty

(

k k k

)

k x y z

P = , , , gdzie k =1,2,3, ma postać

0 1 1 1 1 :

3 3 3

2 2 2

1 1

1 =

z y x

π ^.

Przykład

Równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty P₁ =(0,1,1), P₂ =(1,0,1), )

0 , 1 , 1

3 =(

P ma postać

0 1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 0

1

: =

z y x

π ^,

skąd po obliczeniu wyznacznika otrzymujemy

0 2 : x+ y+z− =

π ^.

6.2 Równania prostej w przestrzeni

Równanie parametryczne prostej

Równanie prostej l przechodzącej przez punkt P0 =

(

x0,y0,z0

)

i równoległej do niezerowego wektora vr =[a,b,c,]

ma postać v t r r

l r r r

⋅ +

= 0

: gdzie t∈R.

(3)

W formie rozpisanej na współrzędne równanie to przyjmuje postać







⋅ +

=

⋅ +

=

⋅ +

=

t c z z

t b y y

t a x x l

0 0 0

: gdzie t∈R.

Przykład

Równanie prostej przechodzącej przez punkt P₀ =(−1,0,3) i równoległej do wektora ]

5 , 1 , 2 [ −

= vr

jest postaci







+

=

−

= +

−

= t z

t y

t x

l

5 3

2 1

: gdzie t∈R.

Równanie kierunkowe prostej

Równanie prostej l przechodzącej przez punkt P0 =

(

x0,y0,z0

)

i równoległej do niezerowego wektora vr =[a,b,c,]

ma postać

c z z b

y y a

x

l: x− ⁰ = − ⁰ = − ⁰ . Wektor vr

nazywa się wektorem kierunku.

Przykład

Prosta z poprzedniego przykładu moŜe być zapisana w postaci kierunkowej 5

3 1

2

: 1 = −

= −

+ y z

l x

Równanie krawędziowe prostej

Równanie prostej l , która jest częścią wspólną dwóch nierównoległych płaszczyzn 0

: ₁ ₁ ₁ ₁

1 Ax+B y+C z+D =

π ⁱπ2^: A2x+B2y+C2z+D2 =⁰ będziemy zapisywać w postaci





= + + +

0 : 0

2 2 2 2

1 1 1 1

D z C y B x A

D z C y B x l A

Wektor kierunkowy prostej





= + + +

0 : 0

2 2 2 2

1 1 1 1

D z C y B x A

D z C y B x l A

ma postać vr =

[

A1,B1,C1

] [

× A2,B2,C2

]

. Przykład

Prosta





=

− + +

=

−

− +

0 12 2 2 3

0 9 2

: 6

z y x

z y l x

ma wektor kierunkowy

(4)

] 6 , 15 , 6 [ 2 2 3

1 2 6 ] 2 , 2 , 3 [ ] 1 , 2 , 6

[ − × = − = −

=

k j i vr

.

MoŜna sprawdzić, Ŝe punkt P₀ =(0,5,1)∈l. MoŜemy więc napisać równanie parametryczne tej prostej







+

=

−

=

= t z

t y

t x l

6 1

15 5

6

: gdzie t∈R.

6.3 Wzajemne połoŜenia punktów, prostych i płaszczyzn

Odległość punktu Q=(x_q,y_q,z_q) od płaszczyzny π:Ax+By+Cz+D=0^wyraŜa się wzorem

2 2 , 2

C B A

D Cz By Ax

d_Q ^q ^q ^q

+ +

= +

π .

Przykład

Odległość punktu Q=(5,−1,6) od płaszczyzny π:3x−4y+12z−12=0^wynosi

13 79 12

) 4 ( 3

12 6 12 ) 1 ( ) 4 ( 5 3

2 2

, 2 =

+

− +

−

⋅ +

−

⋅

− +

= ⋅

π

dQ

Odległość między płaszczyznami równoległymi π₁:Ax+By+Cz+D₁ =0ⁱ 0

: ₂

2 Ax+By+Cz+D =

π wyraŜa się wzorem

2 2 2

2 1 , ₂

1 A B C

D d D

+ +

= −

π π

Przykład

Odległość między płaszczyznami π₁:x−y+2z−5=0ⁱπ2^:x−y+²z+⁴=⁰ wynosi

2 6 3 6 9 2 ) 1 ( 1

4 5

2 2 , ₂ 2

1 = =

+

− +

−

= −

π

dπ

Cosinus kąta nachylenia ϕ prostej l o wektorze kierunkowym vr

do płaszczyzny π^o wektorze normalnym nr

wyraŜa się wzorem

v n

r r

⋅

= × ϕ cos Przykład

(5)

Obliczyć cosinus kąta nachylenia prostej

2 2 1

2 : 1

−

= +

− = y z

l x do płaszczyzny

0 2

: x+ y+z=

π ^.

Mamy tutaj nr=[2,1,1]

, vr =[2,1,−2]

, stąd znajdujemy kolejno

] 0 , 6 , 3 [ 2 1 2

1 1 2 ] 2 , 1 , 2 [ ] 1 , 1 , 2

[ = −

−

=

−

×

=

×

k j i v

nr r

5 3 45 0

6 ) 3

(− ² + ² + ² = =

=

×v nr r

, nr = 4+1+1= 6

, vr = 4+1+4 =3

, a zatem

6 5 3 6

5

cos 3 =

= ⋅ ϕ

Cosinus kąta ϕ między prostymi l₁ i l₂ o wektorach kierunkowych vr₁ i vr₂

wyraŜa się wzorem

2 1

2

cos 1

v v

r r

or r

= ⋅ ϕ

Przykład

Obliczyć cosinus kąta między prostymi







=

−

=

= t z

t y

t x

l 1

2

1: ,







−

= +

=

−

= 3 2

3 1

2: z

s y

s x

l

Mamy vr₁ =[2,−1,1]

, vr₂ =[−3,1,0]

, skąd v₁ vr₂ =2⋅(−3)+(−1)⋅1+1⋅0=−7 r o

, v₁ vr₂ =7 r o

,

1 = 6 vr

, vr₂ = 10

, a zatem

60 cosϕ = 7

Cosinus kąta ϕ między płaszczyznami π₁ⁱπ2 o wektorach normalnych nr₁ i nr₂ wyraŜa się wzorem

2 1

2

cos 1

n n

r r

or r

= ⋅ ϕ

Przykład

Obliczyć cosinus kąta między płaszczyznami π₁: x− 2y+z−1=0ⁱ 0

3 2

2 : x+ y−z+ =

π ^.

Mamy ⁿ^r¹⁼

[

¹^,⁻ ²^,¹

]

^,ⁿ^r² ⁼

[

¹^, ²^,⁻¹

]

^{, skąd}ⁿ^r¹^oⁿ^r² ⁼¹^⋅¹⁺⁽⁻ ²⁾^⋅ ²⁺¹^⋅⁽⁻¹⁾⁼⁻²^,

2 2

1 n =

n r r o

, nr₁ =2

, nr₂ =2

, a zatem

2 1 2 2

cos 2 =

= ⋅ ϕ co oznacza, Ŝe ϕ =60⁰ = ^π₃ .