MODELOWANIE ODKSZTAŁCEŃ STRUKTURALNYCH ELEMENTÓW STALOWYCH Z PRZETOPIENIEM WARSTWY WIERZCHNIEJ

43, s. 131-136, Gliwice 2012

MODELOWANIE ODKSZTAŁCEŃ STRUKTURALNYCH ELEMENTÓW STALOWYCH

Z PRZETOPIENIEM WARSTWY WIERZCHNIEJ

A

DAM

K

ULAWIK

Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej, Politechnika Częstochowska e-mail:adam.kulawik@icis.pcz.pl

Streszczenie.W pracy zaproponowano model matematyczny oraz numeryczny procesu nagrzewania oraz chłodzenia elementu stalowego zbudowany z wykorzystaniem metody elementów skończonych (model 3D). Rozwiązanie równania przewodzenia ciepła z członem konwekcyjnym uzyskano z wykorzystaniem sformułowania Petrova-Galerkina. W modelu uwzględniono zjawisko przetopienia części materiału, wykorzystując pojemnościowy model krzepnięcia.

1. WSTĘP

Obróbka cieplna elementów stalowych jest procesem złożonym, gdyż zjawiska towarzyszące tego typu ulepszaniu materiału są trudne w analizie i wzajemnie powiązane. Do najważniejszych z nich zalicza się zjawiska cieplne, mechaniczne, przemiany fazowe oraz zjawiska metalurgiczne, mające miejsce podczas przetopienia warstwy wierzchniej. Do oceny możliwych zjawisk występujących w tego typu procesach technologicznych wykorzystuje się modele matematyczne i modele numeryczne. Z praktycznego punku widzenia istotne są odkształcenia termiczne i strukturalne. Podczas tego typu ulepszania warstwy wierzchniej występować może jej przetopienie. Zjawiska, mające miejsce w trakcie takiego procesu, mają duży wpływ na uzyskaną strukturę materiału oraz skalę odkształceń, zwłaszcza w elementach cienkościennych.

W modelowaniu odkształceń założono, że w nagrzewaniu i chłodzeniu nie uwzględnia się ruchów chłodziwa, gdyż omawiany proces ma miejsce najczęściej w środowisku gazowym bez wymuszonego ruchu. Specyfika zadania wymaga jednak, aby model umożliwiał symulację procesu w przestrzeni trójwymiarowej. Ten wymóg determinowany jest przede wszystkim wykorzystywaniem do obróbki termicznej ruchomych źródeł ciepła, których kształt i ścieżki przejścia trudno jest modelować w przestrzeni dwuwymiarowej.

W modelu, oprócz zjawisk termicznych, uwzględniono także przemiany fazowe w stanie stałym. Przemiany te wpływają również na pola temperatury poprzez ciepło transformacji.

W pracy wykorzystano makroskopowy model przemian fazowych bazujący na analizie wykresów CTPi.

W przykładzie przedstawiono wyniki symulacji numerycznych procesu obróbki cieplnej ruchomym źródłem ciepła z przetopieniem warstwy wierzchniej elementu ze stali C45.

2. POLA TEMPERATURY

Rozkład temperatury uzyskuje się z rozwiązania równania opisującego nieustalony przepływ ciepła z członem konwekcyjnym (współrzędne Eulera)

 

_ef C_ef T q_V

t C T

T    



 





  V (1)

gdzie: T [K] jest temperaturą, t [s] czasem, V=V(xα) jest wektorem prędkości, λ = λ(T) [W/(mK)] jest współczynnikiem przewodzenia ciepła, ρ [kg/m³] gęstością materiału, C [J/(kgK)] jest ciepłem właściwym, qV [W/m³] jest objętościowym źródłem ciepła.

Równanie (1) uzupełniono warunkami brzegowymi: I rodzaju (warunek Dirichleta), II rodzaju (warunek Neumanna), III rodzaju (warunek Newtona-Robina)oraz warunkiem początkowymT

 

x, t T₀

 

x . W modelu pominięto wpływ utajonego ciepła przemian na temperaturę (ze względu na znikomy wpływ ciepła transformacji przemian fazowych w stanie stałym na temperaturę dla nagrzewania małym ruchomym źródłem ciepła).

Równanie (1) rozwiązano z wykorzystaniem metody elementów skończonych w sformułowaniu Petrova-Galerkina[4,6].Układ równań MES po agregacji ma postać [3,11]

 

       



^{( 1) *( 1) ( 1)}

   

^{( ) *( )}



) ( )

1 (

1 1

s j Q ij s j NR ij s

V j ij s

j Q ij s

j NR ij

s j NR ij ij ij

s j ij NR ij ij

q B T

B q

Q q

B T

B

T B K M

T M B

K













































 (2)

gdzie: soznacza kolejny krok czasu,  jest parametrem zależnym od typu schematu całkowania, K jest macierzą przewodności, _ij M macierzą pojemności cieplnej, _ij B_ij jest macierzą warunków brzegowych a Q macierzą źródeł wewnętrznych. _ij

Poszczególne macierze elementowe wyznaczone są całkami [3]

 

    _

 







 





























 



















e

Qe e

N

e e

d w Q B

B d w d

w B

tM M

d w c M d V w w

c K

j i e ij NR e ij Q e

ij j

i i

j e

ij

ij ij

j i ij

k k j i j i e

ij

,

, 1

, ^{* *}

, ,

,







 _{   }

(3)

gdzie: wisą funkcjami wagowymi, Φifunkcjami aproksymacyjnymi.

Funkcje wagowe są kombinacją funkcji aproksymacyjnych i funkcji przesuwających (upwind) punkty całkowania (przestrzeńznormalizowana,, ) [3,4]



^,,

 

^i

 

^ i^*

 

^

 

^i

 

^ i^*

 

^

 

^i

 

^ i^*

 

^



i w w w

w       (4)

Efektywną pojemność cieplną w procesie przetapiania materiału wyznacza się z funkcji opisującej entalpię w zależności od temperatury, tzn. [2]

dT

C_ef  dH (5)

gdzie: ^{H H}

 

^T jest znaną funkcją entalpii.

Zatem [2]

     

^L

S

T

T S S

ef T

T L f T

c T

C 

 

  (6)

gdzie: L [J/(kgK)]utajone ciepło przemiany faza ciekła –faza stała.

Udział fazy stałej wyznaczany jest regułą dźwigni

  

_{L S}



S L S L

S T T T

T T

T T T

f

f ,  ,



 

 (7)

gdzie: TL jest temperaturą linii likwidus, TS temperaturą linii solidus.

3. KINETYKAPRZEMIAN FAZOWYCH W STANIE STAŁYM

Do określenia pól odkształceń strukturalnych niezbędne jest wyznaczenie kolejnych ułamków fazowych w obrabianym cieplnie elemencie. Do wyznaczania ułamka fazowego w procesie nagrzewania zastosowano równanie Avramiego (JMAK) – prędkość nagrzewania

< 200 K/s [1,6,7]

 

^{T,t 1exp}



^b

 

^{T tn T}



~

 (8)

gdzie: współczynnikin(T) oraz b(T) określają zależności [6]

   

   

_{n T}

s s f

T t T b

t T T t

n 0,01005

, ln

6,12733/  

 



 

Dla prędkości nagrzewania  200 K/s zastosowano zmodyfikowane równanie Koistinena- Marburgera [5,6]

     













f

s T k T

T k t

T      

Ts

4,60517 ,

exp 1

~ , (9)

Czas rozpoczęcia (ts) i zakończenia (tf) oraz temperaturę rozpoczęcia (T_s) i zakończenia (T_f) przemiany austenitycznej określono na podstawie analizy wykresu CTPa [9,10].

Kinetykę przemian austenit→ferryt, perlit, bainit określono na podstawie makroskopowego modelu przemian fazowych z wykorzystaniem analizy wykresów CTPi [9,10]. Do wyznaczania ułamków fazowych przemian zastosowano również równanie JMAK w postaci

     

^{n T}

 

i j

j i

i T t   bT t







 







exp

~ 1 , min

, _(%)

)

(   

 _ (10)

gdzie: są udziałami faz powstałych w procesie chłodzenia,_j _(i%) jest końcowym udziałem fazy (i) oszacowanym na podstawie wykresu CTPc.

Udział fazy martenzytycznej wyznacza się z zależności Koistinena-Marburgera [5,6]

 

^{, ~ }



^1exp



^



^

  

^{, 0.01537}



 



 







k T M k t

T _S

M i

i

M  

 _ (11)

gdzie: M jest temperaturą początku przemiany martenzytycznej. _S

Przyrost odkształceń termicznych i strukturalnych mających miejsce podczas procesów obróbki termicznej wyznacza się z zależności

   

i

i ph i i

i i ph

T

Tph dε dε T dT sign dT T d

dε ^{  }



  ^{ ( )}



  ⁽¹²⁾

gdzie:_i

 

T są współczynnikami rozszerzalności cieplnej dla poszczególnych struktur metalograficznych, i^ph

 

^T są współczynnikami zmian objętości od przemian fazowych [6].

4. PRZYKŁAD NUMERYCZNY

Przeprowadzono symulację numeryczną nagrzewania dla prostopadłościennego elementu stalowego o wymiarach 0,1×0,01×0,025 m. Założono, że stałe termofizyczne ,  i c są zależne od temperatury i dotyczą stali C45.Prędkość przesuwania źródeł ciepła była równa V=Vx=0,01 m/s. Nagrzewanie modelowano powierzchniowym źródłem ciepła o rozkładzie Gaussowskim [8]



 



   

 ₂ ^{0 2} ₂ ^{0 2}

2

) ( ) exp (

) 2 ,

( R

z z x

x R

z F x

q  (13)

gdzie:F [W] jest mocą źródła, 2R jest promieniem, dla którego rozkład źródła wynosi 1/e wartości szczytowej, x0 i z0 współrzędne środka źródła. Dodatkowo obciążono element przez objętościowe źródło ciepła do wysokości h=0,001 m (rys. 1).Rozkład mocy po promieniu źródeł objętościowych przyjęto z rozkładu Gaussa źródeł powierzchniowych (rys. 1). Dla omawianego przypadku przyjęto, że: F1=5000 W, F2=1000 W, lQ=0,02 m, R1=R2=0,006 m.

Rys.1. Schemat graficzny rozważanego przykładu

Założono, że temperatura początkowa prostopadłościanu była równa TP=293 K. Chłodzenie elementu zrealizowano za pomocą warunku III rodzaju ze współczynnikiem przejmowania ciepła α=250 W/(m²K). Warunku Newtona-Robina nie uwzględniono w obszarze działania źródeł powierzchniowych. Na powierzchni czołowej założono warunek Dirichleta (TD=293K).Ze względu na symetrię symulację przeprowadzono dla połowy prostopadłościanu przyjmując w płaszczyźnie symetrii zerowy warunek Neumanna (q=0).

Rys.2. Rozkład temperatury na powierzchni górnej

a) b)

Rys.3. Kinetyka przemian oraz odkształcenia cieplne i strukturalne w wybranych punktach na płaszczyźnie symetrii: a)x=0m, y=0,01 m, z=0m; b) x=0m, y=0,005m, z=0m

5. WNIOSKI

Na podstawie analizy uzyskanych wyników (rys.2,3) można stwierdzić, że odpowiedni dobór parametrów nagrzewania z wykorzystaniem układu podwójnego źródła pozwala na sterowanie udziałami fazowymi. Wielkość udziałów fazowych oraz kinetyka przemian wpływa znacząco na odkształcenia w obrabianym cieplnie elemencie. Wpływ utajonego ciepła przemiany faza ciekłafaza stała jest znikomy z powodu małej objętości przetopionego materiału. Stosowanie dwóch źródeł oraz sterowanie odległością pomiędzy nimi pozwalawpływać na naprężenia własne w tego typu procesach (inne kinetyki przemian oraz inna historia generowania się odkształceń cieplnych i strukturalnych). Prezentowany model może być wykorzystany do modelowania procesów spawalniczych z wykorzystaniem układów wieloźródłowych z dowolnymi prędkościami przesuwu.

LITERATURA

1. Avrami M.: Kinetics of phase change. „Journal of Chemical Physics” 1939, 7, p. 1103- 1112.

2. Bokota A.: Modelowanie krzepnięcia i stygnięcia dwuskładnikowych stopów metali: pola temperatury, stężeń i naprężeń. Częstochowa: Pol. Częstochowska, 2001. Monografie nr 79.

3. Bokota A., Kulawik A.: Trójwymiarowy model zjawisk termicznych determinowanych źródłem ruchomym. „Archiwum Odlewnictwa” 2002, 2, 4, s. 74-79.

4. Cardle J. A.: A modification of the Petrov-Galerkin method for the transient convection-diffusion equation. “International Journal for Numerical Methods in Engineering” 1995, 38, p. 171-181.

5. Koistinen D. P., Marburger R. E.: A general equation prescribing the extent of the austenite-martensite transformation in pure iron-carbon alloys and plain carbon steels.

“Acta Metallica” 1959, 7, p. 59-60.

6. Kulawik A.: Analiza numeryczna zjawisk cieplnych i mechanicznych w procesach hartowania stali 45. Praca doktorska. Częstochowa 2005.

7. Kulawik A., Bokota A.: Modeling of heat treatment of steel elements with the movement of coolant. “Archives of Metallurgy and Materials” 2011, 56, 2, p. 345-357.

8. Mochnacki B., Nowak A., Pocica A.: Numerical model of superficial layer heat treatment using the TIG method. W: Polskametalurgia w latach 1998-2002. T.2. Kraków: Wyd.

Nauk. “Akapit”, 2002, s. 229-235.

9. Wever F., Rose A.: Atlas zurWärmebehandlung von Stähle. Düsseldorf: Verlag Stahl Eisen MBH, 1954.

10. Wever F., Rose A.: Atlas zurWärmebehandlung von Stähle : I Zeit Temperatur Umwandlungs Schaubilder. Düsseldorf: Verlag Stahl Eisen MBH, 1961.

11. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L.: The finite element method. Oxford: Butterworth- Heinemann, 2000.

MODELLING OF STRUCTURAL STRAINS FOR THE STEEL ELEMENTS WITH THE MELTING

OF THE SURFACE LAYER

Summary:In the paper a mathematical and numerical models of the process of heating and cooling for the steel elements developed on the basis of the finite element method are proposed. The solution of the heat transport equation with the convective term was obtained by using the Petrov-Galerkin formulation. In this model takes into account the phenomenon of melting of the material using a capacitive model of solidification.