Rachunek zdań i predykatów
Agnieszka Nowak 14 czerwca 2008
1 Rachunek zdań
Do nauczenia :!
1. ((p → q) ∧ p) ⇒ q- reguła odrywania RO 2. reguła modus tollens MT:
• ((p → q) ∧ ¬q) ⇒ ¬p
• ((p → ¬q) ∧ q) ⇒ ¬p
• ((¬p → q) ∧ ¬q) ⇒ p
• ((¬p → q) ∧ q) ⇒ p
3. ((p ∨ ¬q) ∧ q) → p- reguła opuszczania alternatywy OA 4. (p ∧ ¬p) ⇒ q- prawo Dunsa Szkota
5. reguła odrywania koniunkcji OK:
• (p ∧ q) ⇒ p
• (p ∧ q) ⇒ q
6. p ∧ q ⇒ (p ∧ q) -reguła dołączania koniunkcji DK 7. (p → q) ≡ ¬p ∨ q -prawo zastępowania implikacji ZI 8. ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬qprawo negowania koniunkcji NK 9. ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬qprawo negowania alternatywy NA
2 Metody dowodzenia prawdziwości schematów
Wnioskowanie jest procesem myślowym, w którym na podstawie uznania pew- nych zdań, zwanych przesłankami, dochodzimy do uznania innego zdania, zwa- nego wnioskiem . Wnioskowanie w systemach ekspertowych oparte jest na lo- gice matematycznej, która bada, czy z założeń wynikają konkluzje, niezależnie od ich prawdziwości lub fałszywości i niezależnie od tego, jakich spraw dotyczą.
Logika pozwala uznawać pewne sposoby wnioskowania stosowane w naukach za poprawne, tworząc z nich systemy logiczne będące zbiorem praw i reguł, do któ- rych stosując się można uznawać te wszystkie wnioskowania, które spontanicznie uznajemy za prawdziwe. Pod względem uznawania lub odrzucania pewnych spo- sobów wnioskowania istnieje w matematyce duża zgodność poglądów. Nie zdarza się bowiem sytuacja, w której pewne reguły jedni uważają za prawdziwe, a inni za całkowicie błędne. Można jedynie zaobserwować pewne różnice w rozumie- niu pewnych reguł i w poglądzie na zakres ich stosowania. Zbiór, praktycznie rzecz biorąc, wszystkich metod wnioskowania spotykanych w matematyce, da- je tzw. klasyczny system logiki, na który składają się klasyczny rachunek zdań, badający wartość logiczną zdań złożonych (alternatywa, koniunkcja, implikacja, równoważność zdań) i klasyczny rachunek kwantyfikatorów. Do klasycznego ra- chunku zdań najłatwiej dojść przez wyjaśnienie pojęcia prawdy i fałszu, które są powszechnie zrozumiałe. Klasyczne określenie prawdy głosi, ze prawdziwe jest zdanie, które opisuje taki stan rzeczy, który istotnie ma miejsce - fałszywe zaś jest zdanie opisujące nieistniejący stan rzeczy. Rozumowanie to opiera się bowiem na tzw. zasadzie dwuwartościowości, która głosi, ze każde zdanie ma jedną i tylko jedną z dwóch wartości logicznych: prawdy i fałszu. Oznacza to, ze każde zdanie jest prawdziwe lub fałszywe i ze żadne zdanie nie jest zarazem prawdziwe i fałszywe. Aby udowodnić prawdziwość jakiegoś stwierdzenia, które nie jest aksjomatem (pewnikiem), wystarczy wykorzystać jedną z następujących metod dowodzenia poprawności schematów logicznych:
1. metoda zero-jedynkowa,
2. skrócona metoda zero-jedynkowa, 3. metoda założeniowa.
2.1 Metoda zerojedynkowa
Metoda zerojedynkowa polega na wyznaczaniu wartości logicznej zdania przez wartości logiczne jej składników. Aby rozstrzygnąć, czy dany schemat jest tauto- logią, nalezy rozważyć wszystkie możliwe kombinacje wartości logicznych zmien- nych w niej występujących. Jeżeli w każdym przypadku wartość formuły (wy- rażenia logiczne połączone funktorami) wynosi 1, to ta formuła jest tautologią.
W tym celu niezbędna jest znajomość tzw. tabel prawdy dla poszczególnych operacji logicznych:
• sumy logicznej (alternatywy),
• iloczynu logicznego (koniunkcji),
• negacji,
• implikacji.
Przedstawione one zostały poniżej w tabeli. Zapamiętaj !!
1 = PRAWDA, 0 = FAŁSZ x y x ∨ y x ∧ y x x → y
0 0 0 0 1 1
0 1 1 0 1 1
1 0 1 0 0 0
1 1 1 1 0 1
Wówczas niezawodność schematu postaci:
((p → q) ∧ (q → r)) → (p → r), będzie wykazana w następujący sposób:
p q r p → q q → r (p → q) ∧ (q → r) p → r ((p → q) ∧ (q → r)) → (p → r)
0 0 0 1 1 1 1 1
0 0 1 1 1 1 1 1
0 1 0 1 0 0 1 1
0 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 1 0 0 1
1 0 1 0 1 0 1 1
1 1 0 1 0 0 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1
Tablica 2: Tabela dowodu prawdziwości stwierdzenia.
Metoda ta pozwala na jednoznaczne stwierdzenie, czy schemat wnioskowania jest poprawny czy nie, jednakże nie zawsze jest uznawana w pełni formalną i wystarczającą metodę dowodzenia celu. Istnieje także pewnego rodzaju modyfi- kacja metody zerojedynkowej, noszącą nazwę skróconej metody zerojedynkowej.
2.2 Skrócona metoda zerojedynkowa
Pozwala ona wykazać, że wyrażenie rachunku zdań o postaci implikacji jest prawem logicznym, w sytuacji, gdy wykluczone jest, by dla jakiegoś układu wartości logicznych przyporządkowanego zmiennym, poprzednik tej implikacji był prawdziwy a jej następnik fałszywy. Metoda ta jest często wykorzystywana, gdyż pozwala na uzyskanie tego samego rezultatu co metoda zerojedynkowa, bez konieczności sprawdzania wszystkich kombinacji zmiennych logicznych. Dzieje się tak dlatego, iz jeśli wszystkie przesłanki mają wartość logiczną 1, to wniosek musi mieć wartość 1, lub, ze jeśli wniosek ma wartość logiczną 0, to przynajmniej jedna z przesłanek ma wartość 0.
2.2.1 Przykład dla metody skróconej zero-jedynkowej Sprawdzenie niezawodności schematu:
((p → q) ∧ (q → r)) → (p → r)
((p → q) ∧ (q → r)) → (p → r) krok
1 0 1
1 1 2
1 0 3
1 0 4
? ? 5
1 0 6
1 1! 7
1 8
1 1! 9
1 1! 10
SPRZECZNOŚĆ: q = 1 i q = 0 oraz r = 0 i r = 1
2.2.2 Zastosowania metody zero-jedynkowej
Metoda zero-jedynkowa polega na budowie i analizie matrycy logicznej formuły;
może być stosowana do:
• weryfikacji tautologii (dla każdej interpretacji wartość logiczna formuły jest true)
• weryfikacji niespełnialności (dla każdej interpretacji wartość logiczna for- muły jest false)
• badania równoważności formuł (dla każdej interpretacji wartości logiczne są takie same)
• weryfikacji logicznej konsekwencji (dla każdej interpretacji prawdziwość formuły musi pociągać prawdziwość jej konsekwencji)
• wyznaczania interpretacji przy których formuła jest prawdziwa lub fałszy- wa.
3 Zadania
3.1 Zadanie 1
1. p ∨ q → ¬(p ∧ q) 2. ¬(p ∧ q) → ¬p ∧ ¬q
3. [(p → q) ∧ (p → r) ∧ ¬(q ∧ r)] → ¬p 4. [(p ∨ q) → (¬s ∧ d)][p → (¬s ∧ d)]
5. [(p → q) ∧ (q → r) ∧ (p ∨ q)] → r 6. (p → (q ∨ r)) ∧ (p → ¬q)] → (p → r) 7. (¬(p → q)) → (p ∧ ¬q)
8. (p ∧ q) → r] → [p → (q → r)]
9. (p → r) ∧ (q → r)] → [(p ∨ q) → r]
10. (p → q) ∧ (r → s) ∧ (¬q ∨ ¬s)] → (¬p ∨ ¬r) 11. ¬(p → q) → ¬p ∧ ¬q
3.2 Zadanie 2
Udowodnić metodą założeniową następujące schematy logiczne:
1. p → ¬(p ∧ q)
2. [(p → q) ∧ (p ∨ r)] → (q ∨ r) 3. (p → q) ∧ r] → p → (q ∧ r) 4. (p → q) ∧ (q → ¬r) ∧ r] → ¬p 5. (p ∨ q) → (¬s ∧ d)] → p → (¬s ∧ d) 6. (p → q) ∧ (r → s)] → [(p ∧ r) → (q ∧ s)]
7. [p → (q → r)] → [(p ∧ q) → r]
3.3 Zadanie 3
Zapisz poniższy schemat wnioskowania za pomocą zmiennych logicznych. Określ zmienne logiczne występujące w schemacie. Uzupełnij brakującą część schematu wnioskowania. Oceń, czy uzupełniony przez Ciebie schemat wnioskowania jest prawdziwy. Jeśli tak, udowodnij ten schemat stosując metodę założeniową.
1. Jeśli uczyłam(łem) się solidnie do egzaminu, to zdałam(łem) egzamin w pierwszym terminie
...
Nie uczyłam(łem) się solidnie do egzaminu
2. ...
Nie mam wyobraźni Nie lubię czytać książek
3. Jeżeli lubię oglądać telewizję, to nie lubię czytać książek Lubię czytać książki
...
4. Jeżeli nie jestem człowiekiem, to nie umiem czytać Umiem czytać
...
5. ...
Lubię się opalać
Jeżeli lubię, gdy jest ciepło, to lubię lato i lubię się opalać
6. Jeżeli lubię, gdy jest ciepło, to lubię lato Jeżeli lubię lato to lubię się opalać ...
7. Jeżeli lubię, gdy jest ciepło, to lubię lato
Jeżeli lubię się opalać, to wracam z wakacji opalony ...
8. Jeżeli nie polecę samolotem to będę spóźniony Nie będę spóźniony
...
9. Jeżeli są zaspy śnieżne to temperatura nie podnosi się powyżej 0 Jeżeli autobus nie przejedzie to temperatura nie podnosi się powyżej 0 Są zaspy śnieżne i autobus nie przejedzie
...
10. Jeżeli są zaspy śnieżne to autobus nie przejedzie
Są zaspy śnieżne lub temperatura nie podniesie się powyżej 0 ...
11. Oglądam telewizję i słucham radia Nie oglądam telewizji i słucham radia ...
Czytam książkę
