Rachunek zdań i predykatów Agnieszka Nowak-Brzezińska 27 kwietnia 2015

(1)

Rachunek zdań i predykatów

Agnieszka Nowak-Brzezińska 27 kwietnia 2015

1 Rachunek zdań II-go rzędu - Kwantyfikatory

Kwantyfikatory są to najzwyczajniejsze w świecie stale (oczywiście logiczne), występujące sobie w (noszącym znamiona graficznego rozpisu sensu zdania) rachunku kwantyfikatorów, a oznaczane przez więcej niż wielu wytrawnych Logi- ków w następujący sposób:

• kwantyfikator ogólny, zapisywany jako ∀, czytany jako: ”dla każdego...”

• kwantyfikator szczegółowy (egzystencialny), zapisywany jako ∃, czytany jako: ”istnieje taki ..., że...”

NAZWY- są dowolne zmienne - pojedyncze rzeczy, występujące w zdaniu i oznaczamy je małymi literami w następujący sposób :”x, y, z...”

PREDYKATY - są to zmienne - własności NAZW i relacje miedzy tymi NA- ZWAMI zachodzące. Oznaczamy je wielkimi literami:”P, Q, R, S...”

Predykaty reprezentują w wyrażeniu rachunku kwantyfikatorów albo NAZWE (zapisuje się to zawsze tak:P(x) ), albo tez relacje pomiędzy NAZWAMI (zapis :P(x, y)).

SCHEMAT ZDANIOWY - jest to symboliczny zapis odzwierciedlający zawar- tość zdania, np.:

• ∀xP(x) - czytaj jako: ”Dla każdegox, x jest Ptakiem”

• ∃yQ(y) - czytaj jako: ”Istnieje takiy, że y jest Kurą”

1.1 Przykład

Zdanie:”Kubuś widział Antykubusia, goniącego czas.”

Wypisujemy sobie zmienne nazwowe (NAZWY), którymi są zawsze tylko te wszystkie podmioty (rzeczowniki) , w stosunku do których inne części zdania (mogą nimi być także rzeczowniki w formie dopełnienia), pełnią funkcje opiso- wą:

x, y -istota z - czas

Dalej powinnością nasza jest utworzenie zmiennych predykatowych (PREDY- KATóW), którymi są zawsze:

(2)

1. informacje o występowaniu podmiotu w zdaniu (PREDYKATY JEDNO- ARGUMENTOWE - bo jedna zmienna w nawiasie);

2. te części zdania, które występują pomiędzy NAZWAMI, łącząc je ze so- bą w spójną całość (PREDYKATY DWUARGUMENTOWE - bo dwie zmienne w nawiasie): Obawa rodzaje występują zawsze w formie twier- dzącej !

K(x) - x jest Kubusiem A(y) - y jest Antykubusiem C(z) - z jest czasem

Tych jest zawsze tyle, ile nazw znaleźliśmy w badanym zdaniu) W(x, y) - x widział y

G(y, z) - y gonił z

(TYCH JEST O JEDEN MNIEJ, NIż ILOść NAZW W BADANYM ZDA- NIU)

3. następnie przekształćmy sobie nasze zdanie tak, aby przybrało formę uła- twiającą nam dopasowanie odpowiednich kwantyfikatorów :

”(Jeden) Kubuś widział (jednego) Antykubusia, goniącego (jeden) czas.”

4. Mamy teraz pewność, że:

• Kubuś jest jeden, wiec możemy powiedzieć : ”Istnieje taki x, że x jest Kubusiem” i zapisać to zaraz w schemacie, używając w tym celu MAłEGO kwantyfikatora.

• Antykubuś jest jeden, wiec możemy powiedzieć : ”Istnieje taki y , ze y jest Antykubusiem” i zapisać to zaraz w schemacie, używając w tym celu MAłEGO kwantyfikatora.

• czas jest jeden, wiec możemy powiedzieć: ”Istnieje taki z , ze z jest czasem” i zapisać to zaraz w schemacie, używając w tym celu MA- łEGO kwantyfikatora.

- przystępujemy wiec do zapisania naszego zdania w postaci schematu kwantyfikatorowego :

∃_x{K(x) ∧ ∃y[A(y) ∧ W(x, y) ∧ ∃z(C(z) ∧ G(y, z)]}

ale po kolei...

∃_xK(x)

czytaj jako: ”Istnieje taki x, ze x jest Kubusiem...”

∃_x{K(x) ∧ ∃y[A(y). . .

czytaj jako: Istnieje taki x, ze x jest Kubusiem i istnieje taki y, ze y jest Anty- kubusiem...”

Teraz uwzględniamy stosunek panujący miedzy pierwsza i druga NAZWA, pamiętając, żeby zastosować ku temu symbol koniunkcji, gdyż ostatnim wpisa- nym przez nas kwantyfikatorem był mały kwantyfikator

∃_x{K(x) ∧ ∃y[A(y) ∧ W(x, y) . . .

(3)

co czytamy jako: ”Istnieje taki x, ze x jest Kubusiem i istnieje taki y, ze y jest Antykubusiem i x widział y...” Kolejny krok to konieczność przedstawienia w schemacie kolejnego bohatera naszego zdania - czasu, który jest tu nierozłącznie związany z Antykubusiem - to on figluje z nim. Pamiętamy oczywiście o symbolu koniunkcji, łączącym istnienie tej NAZWY z tym, co dotąd napisaliśmy

∃_x{K(x) ∧ ∃y[A(y) ∧ W(x, y) ∧ ∃z(C(z). . .

czytamy jako: ”Istnieje taki x, ze x jest Kubusiem i istnieje taki y, ze y jest An- tykubusiem i x widział y i istnieje taki z, ze z jest czasem...” No i nie pozostało nam nic innego, jak dopełnienie schematu relacja zachodząca pomiędzy Anty- kubusiem i czasem - ”y gonił z”, jak zwykle wpisując w odpowiednim miejscu symbol koniunkcji, bo determinuje to mały kwantyfikator :

∃_x{K(x) ∧ ∃y[A(y) ∧ W(x, y) ∧ ∃z(C(z) ∧ G(y, z)]}

co czytamy jako:Istnieje taki x, ze x jest Kubusiem i istnieje taki y, ze y jest Antykubusiem i x widział y i istnieje taki z, ze z jest czasem i y gonił z.”

1.2 Przykład 2

Tym razem dostaliśmy takie zdanie:

”Wszystkie misie nie zjedzą miodku, wyprodukowanego przez Człowieka .”

Wypisujemy zmienne nazwowe (NAZWY), którymi są zawsze te wszystkie podmioty (rzeczowniki) , w stosunku do których inne części zdania (mogą nimi być także rzeczowniki w formie dopełnienia), pełnią funkcje opisowa

x - zwierze y - produkt z - istota

M(x) - x jest misiem

UWAGA ! Mimo, ze w zdaniu są ”misie” - słowo informujące o zbiorowym cha- rakterze występującej tu nazwy, my umieszczamy w predykacie ZAWSZE nazwę w formie liczby pojedynczej : ”mis”. PAMIETAJ !

U(y) - y jest miodkiem C(z) - z jest Człowiekiem Z(x, y) - x zjada y

W(z, y) - z wyprodukował y

∀_x{M(x) →v ∃y[u(y) ∧ Z(x, y) ∧ ∃z(C(z) ∧ W(z, y)]}

Negacja jest konieczna, ponieważ w naszym zdaniu jest jednoznaczne zaprzecze- nie temu, że istnieje jakiś miodek ludzkiej produkcji, który odważyłby się zjeść wszystkie misie...

(4)

2 Zadania do wykonania przez studentów

1. ”Istnieją Ludzie, którzy są Aniołami.” [ mówiąc w uproszczeniu: ”Istnieje taka (przynajmniej jedna) istota, która jest jednocześnie Człowiekiem i Aniołem.” ]

x - istota

C(x) - x jest Człowiekiem A(x) - x jest Aniołem

∃_x(C(x) ∧ A(x))

2. ”Istnieją Ludzie, którzy nie są Aniołami.” [ mówiąc w uproszczeniu: ”Ist- nieje taka (przynajmniej jedna) istota, która jest Człowiekiem i nie jest Aniołem.” ]

x - istota

∃_x(C(x)∧ v A(x))

”Istnieje taki x, ze x jest Człowiekiem i x nie jest Aniołem.”

3. ”Wszyscy Ludzie są Aniołami.” [ mówiąc w uproszczeniu: ”Każda istota, która jest Człowiekiem, jest jednocześnie Aniołem.” ]

x - istota

∀_x(C(x) → A(x))

4. ”Żaden Człowiek nie jest Aniołem.” mówiąc w uproszczeniu:

• WARIANT I - ”Każda istota, która jeżeli jest Człowiekiem, to nie jest Aniołem.”

• lub też: WARIANT II - ”Nie istnieje istota, która jest zarazem Czło- wiekiem i Aniołem.”

x - istota

(a) wariant I

∀_x(C(x) →v A(x))

”Dla każdegox, jeżeli x jest Człowiekiem, to x nie jest Aniołem.”

(5)

(b) wariant II

v ∃x(C(x) ∧ A(x))

”Nie istnieje takix, że x jest Człowiekiem i x jest Aniołem.”

5. ”Tylko Ludzie są Aniołami.” [ mówiąc w uproszczeniu: ”Każda istota, któ- ra jeśli jest Człowiekiem, to jest jednocześnie Aniołem.” ]x - istota C(x) - x jest Człowiekiem

A(x) - x jest Aniołem

∀_x(C(x) → A(x))

”Dla każdegox, jeżeli x jest Człowiekiem, to x jest Aniołem.”

6. ”Nie tylko Ludzie są Aniołami.” [ mówiąc w uproszczeniu: ”Istnieje taka (przynajmniej jedna) istota, która nie jest Człowiekiem i jest Aniołem.” ] x - istota

∃_x(v C(x) ∧ A(x))

7. ”Każda Polka jest córka jakiejś Europejki.” [ mówiąc w uproszczeniu: ”Dla każdej Polki istnieje taka (przynajmniej jedna) Europejka, dla której ona jest córka.” ]x - Polka

y - Europejka Z(x) - x jest Polką Z(y) - y jest Europejką C(x, y) - x jest córką y

∀_x[Z(x) → ∃y(Z(y) ∧ C(x, y))

”Dla każdegox, jeżeli x jest Polka, to istnieje taki y, ze y jest Europejka ix jest córka y.”

8. ”Pewna Polka nie jest córką żadnej Europejki.” [ mówiąc w uproszczeniu:

”Istnieje taka Polka, ze nie istnieje inna (przynajmniej jedna) Europejka, której ona jest córką.” ]x - Polka

y - Europejka Z(x) - x jest Polką Z(y) - y jest Europejką C(x, y) - x jest córką y

∃_x[Z(x)∧ v ∃y(Z(y) ∧ C(x, y)]

”Istnieje takix, ze x jest Polką, i nie istnieje taki y, że y jest Europejką i x jest córką y.”

(6)

9. ”Pewna Europejka nie ma córki pośród Polek.” [ mówiąc w uproszczeniu:

”Istnieje taka Europejka, że każda Polka nie jest jej córką.” ]x - Europejka y - Polka

Z(x) - x jest Europejką Z(y) - y jest Polką C(y, x) - y jest córką x

∃_x[Z(x) ∧ ∃y(Z(y) →v C(x, y)]

Istnieje takix, że x jest Europejką, i dla każdego y, jeżeli y jest Polką, to y nie jest córką x.”

10. ”Pewien Mędrzec nie obejrzał żadnego filmu.” [ mówiąc w uproszczeniu:

”Istnieje taki Mędrzec, który nie obejrzał żadnego z wszystkich filmów.” ] x - Mędrzec

y - film

M(x) - x jest mędrcem F(y) - y jest filmem O(x, y) - x obejrzał y

∃_x[M(x) ∧ ∀y(F(y) →v O(x, y)]

”Istnieje takix, że x jest Mędrcem, i dla każdego y, jeżeli y jest filmem, tox nie obejrzał y.”

11. ”Pewien Człowiek nie ma Sąsiada.” [ mówiąc w uproszczeniu: ”Istnieje taki Człowiek, który nie ma żadnego Sąsiada.” ] W schemacie sformułujemy część zdania tak :”nie istnieje (nawet jeden) Sąsiad.”x - Człowiek y - Człowiek

C(x) - x jest człowiekiem C(y) - y jest Człowiekiem S(y, x) - y jest Sąsiadem x

∃_x[C(x)∧ v ∃y(C(y) ∧ S(y, x)]

”Istnieje takix, że x jest Człowiekiem, i nie istnieje taki y, że y jest Czło- wiekiem i y jest Sąsiadem x.”

12. ”Wszyscy Ludzie są Sąsiadami wszystkich.” [ mówiąc w uproszczeniu: ”Każ- dy Człowiek, jest Sąsiadem każdego Człowieka.” ]x - Człowiek

y - Człowiek

C(x) - x jest Człowiekiem C(y) - y jest Człowiekiem S(y, x) - y jest Sąsiadem x

∀_x[C(x) → ∀y(C(y) → S(y, x)]

”Dla każdegox, jeśli x jest Człowiekiem, to każdy y, jeżeli y jest Człowie- kiem, toy jest Sąsiadem x.”

(7)

13. ”Nikt nie ma Sąsiada.” [ mówiąc w uproszczeniu: ”Nie istnieje taki Czło- wiek, który nie ma żadnego Sąsiada.” ]x - Człowiek

y - Człowiek

C(x) - x jest Człowiekiem C(y) - y jest Człowiekiem S(y, x) - y jest Sąsiadem x

v ∃x[C(x) ∧ ∃y(C(y)∧ v S(y, x)]

Nie istnieje taki x, że x jest Człowiekiem, i nie istnieje taki y, że y jest Człowiekiem i y nie jest Sąsiadem x.”

14. ”Wszyscy przeczytali jakaś książkę.” [ mówiąc w uproszczeniu: ”Każdy Człowiek, przeczytał (przynajmniej jedna) książkę.” ]x - Człowiek y - książka

C(x) - x jest człowiekiem F(y) - y jest książką O(x, y) - x przeczytał y

∀_x[C(x) → ∃y(F(y) ∧ O(x, y)]

”Dla każdego x, jeżeli x jest Człowiekiem, to istnieje taki y, że y jest książką ix przeczytał y.”

15. ”Jest film, którego nie obejrzeli wszyscy Ludzie.” [ mówiąc w uproszczeniu: ”Istnieje taki film, którego nie obejrzał każdy Człowiek.” ]x - film y - Człowiek

F(x) - x jest filmem C(y) - y jest człowiekiem O(y, x) - y obejrzał x

∃_x[F(x) ∧ ∀y(C(y) →v O(y, x)]

”Istnieje takix, że x jest filmem, i dla każdego y, jeżeli y jest Człowiekiem, to y nie obejrzał x.”

16. ”Żaden z nas nie przeczytał wszystkich książek.” [ mówiąc w uproszczeniu: ”Dla każdego człowieka prawdą jest, że nie przeczytał on wszystkich książek.” bądź inaczej mówiąc: „Nie istnieje człowiek który przeczytał wszystkie książki” ]. Zapiszemy to zdanie w znaczeniu: dla każdego czło- wieka istnieje conajmniej jedna taka książka, której on nie przeczytał.

x - Człowiek y - książka

C(x) - x jest Człowiekiem F(y) - y jest książką O(x, y) - x przeczytał y

∀_x[C(x) → ∃y(F(y) →v O(x, y)]

(8)

”Dla każdegox, jeśli x jest Człowiekiem, to każdy y, jeżeli y jest książką, tox nie przeczytał y.”

17. ”Wszyscy Naukowcy maja poglądy, z którymi wszyscy Naukowcy się nie zgadzają.”

[ mówiąc w uproszczeniu: ”Każdy Naukowiec ma (przynajmniej jeden) po- gląd, z którym inni (gazdy) Naukowcy się nie zgadzają.” ]x - Naukowiec y - pogląd

z - Naukowiec

N(x) - x jest Naukowcem P(y) - y jest poglądem N(z) - z jest Naukowcem M(x, y) - x ma y

Z(z, y) - z zgadza się z y

∀_x{N(x) → ∃y[P(y) ∧ M(x, y) ∧ ∀z(N(z) →v Z(z, y)]}

co czytamy jako: ”Dla każdegox, jeśli x jest Naukowcem, to istnieje taki y, że y jest poglądem i x ma y, i dla każdego z, jeżeli z jest Naukowcem, toz nie zgadza się z y.”

18. ”Pewni Naukowcy maja poglądy, z którymi żaden Człowiek się nie zgadza.”

[ czyli: ”Istnieje taki (przynajmniej) jeden Naukowiec, który ma (przynajmniej) jeden pogląd, z którym ani jeden Człowiek się nie zgadza.” ] x - Naukowiec

y - pogląd z - Człowiek

N(x) - x jest Naukowcem P(y) - y jest poglądem C(z) - z jest Naukowcem M(x, y) - x ma y

Z(z, y) - z zgadza się z y.

∃_x{N(x) ∧ ∃y[P(y) ∧ M(x, y)∧ v ∃z(C(z)∧ v Z(z, y)]}

co czytamy jako: ”Istnieje taki x, ze x jest Naukowcem i istnieje taki y, ze y jest poglądem, i x ma y, i nie istnieje taki z, ze z jest Człowiekiem, i z zgadza się z y.”

19. ”Pewien Człowiek ma przekonania, z którymi identyfikują się wszyscy Ludzie.”

[ mówiąc w uproszczeniu: ”Istnieje taki Człowiek, który ma (przynajmniej jedno) przekonanie, z którym identyfikuje się każdy Człowiek.”]

x - Człowiek y - przekonanie z - Człowiek

C(x) - x jest Człowiekiem P(y) - y jest przekonaniem C(z) - z jest Człowiekiem

(9)

M(x, y) - x ma y

I(z, x) - z identyfikuje się z y

∃_x{C(x) ∧ ∃y[P(y) ∧ M(x, y) ∧ ∀z(C(z) → I(z, y)]}

co czytamy jako: ”Istnieje taki x, ze x jest Człowiekiem, i istnieje taki y, ze y jest przekonaniem, i x ma y, i dla każdego z, jeżeli z jest Człowiekiem, to z identyfikuje się z y.”

20. Zdanie: ”Są ubrania stworzone przez Dyktatorów mody, którzy nie są pozbawieni zmysłu użytkowości.” [ inaczej mówiąc: ”Istnieje takie (przynajmniej) jedno ubranie, które zostało stworzone przez (przynajmniej) jednego Dyktatora mody, którym nie jest pozbawiony (jednego) zmysłu użytkowości.”]

x - ubranie

y - Dyktator mody z - cecha

U(x) - x jest ubraniem

D(y) - y jest Dyktatorem mody P(z) - z jest zmysłem użytkowości K(y, x) - y stworzył x

N(y, z) - y jest pozbawiony z

∃_x{U(x) ∧ ∃y[D(y) ∧ K(y, x)∧ v ∃z(P(z) ∧ N(y, z)]}

co czytamy jako ”Istnieje taki x, ze x jest ubraniem i istnieje taki y, ze y jest Dyktatorem mody, i y stworzył x, i nie istnieje taki z, ze z jest zmysłem użytkowości, i y jest pozbawiony z.”

21. Zdanie: ”Żaden Człowiek nie zniszczy bezzasadnie Istoty, która ma w sobie wszystkie pierwiastki życia.” [czyli: ”Nie istnieje taki Człowiek, który zniszczy bezzasadnie (jedną) Istotę, która ma w sobie każdy pierwiastek życia.”]

x - Człowiek y - Istota z - symptom

C(x) - x jest Człowiekiem I(y) - y jest Istota

P(z) - z jest pierwiastkiem życia Z(x, y) - x zniszczy bezzasadnie y M(y, z) - y ma w sobie z

v ∃x{C(x) ∧ ∃y[I(y) ∧ Z(x, y) ∧ ∀z(P(z) → M(y, z)]}

co czytam jako: ”Nie istnieje taki x, ze x jest Człowiekiem i istnieje taki y, ze y jest Istota, i x zniszczy bezzasadnie y, i dla każdego z, jeżeli z jest pierwiastkiem życia, to y ma w sobie z.”

(10)

2.1 Ćwiczenia z rachunku kwantyfikatowów

Zapisywanie zdań języka polskiego w języku kwantyfikatorowym:

1. Jakiś przedmiot jest zielony.

2. Jakiś Polak jest bogaty.

3. Jakiś Polak jest przystojny i bogaty.

4. Jakiś Polak nie jest bogaty.

5. Jan zna jakiegoś Niemca.

6. Jan nie zna jakiegoś Niemca.

7. Jakiś Polak zna jakiegoś Niemca.

8. Jakiś Polak nie zna jakiegoś Niemca.

9. Żaden Polak nie jest bogaty.

10. Żaden Polak nie zna żadnego Niemca.

11. Jan nie zna żadnego Niemca.

12. Jakiś Polak nie zna żadnego Niemca.

13. Każdy Polak jest bogaty.

14. Każdy Polak zna jakiegoś Niemca.

15. Każdy Polak jest przystojny lub bogaty.

16. Jan zna każdego Niemca.

17. Każdy Polak nie zna każdego Niemca.

18. Każdy Polak zna jakiegoś Niemca.

19. Każdy Polak nie zna żadnego Niemca.

3 Zadania egzaminacyjne

• typ I - usuwanie kwantyfikatorów – Każdy pies jest ssakiem

Każdy kot jest jest ssakiem żaden pies nie jest kotem Jeśli założymy, że:

x - zwierzę

P(x) - zwierzę jest psem

(11)

S(x) - zwierzę jest ssakiem K(x) - zwierzę jest kotem

to wówczas schemat ten z użyciem kwantyfikatorów mógłby wyglą- dać następująco:

∀_x(P(x) → S(x))

∀_x(K(x) → S(x))

∀_x(P(x) → ¬K(x))

Teraz następuje proces ujednolicenia kwantyfikatorów, w celu ich usu- nięcia z zapisu (w naszym konkretnym przypadku wszystkie kwantyfikatory są identyczne, więc można je usunąć swobodnie):

P(x) → S(x) K(x) → S(x) P(x) → ¬K(x)

Stosując metodę skróconą zerojedynkową łatwo przekonujemy się, iż schemat ten jestzawodny(dla prawdziwychP(x), K(x) oraz S(x)).

– Żadna ryba nie jest ssakiem Żaden wieloryb nie jest rybą Każdy wieloryb jest ssakiem Jeśli założymy, że:

x - zwierzę

R(x) - zwierzę jest rybą S(x) - zwierzę jest ssakiem W(x) - zwierzę jest wielorybem

to wówczas schemat ten z użyciem kwantyfikatorów mógłby wyglą- dać następująco:

∀_x(R(x) → ¬S(x))

∀_x(W(x) → ¬R(x))

∀_x(W(x) → S(x))

Teraz następuje proces ujednolicenia kwantyfikatorów, w celu ich usu- nięcia z zapisu (w naszym konkretnym przypadku wszystkie kwantyfikatory są identyczne, więc można je usunąć swobodnie):

R(x) → ¬S(x) W(x) → ¬R(x) W(x) → S(x)

(12)

Stosując metodę skróconą zerojedynkową łatwo przekonujemy się, iż schemat ten jestniezawodny.

Przystępujemy więc do dowodu jego niezawodności. Uproszczony zapis schematu to:

r → ¬s w → ¬r w → s

* metodą założeniową wprost 1 r → ¬s (zał.) 2 w → ¬r (zał.)

3 w (zał.)

4 ¬r RO(2,3)

5 r ∧ ¬¬s ZI(1) 6 r ∧ s PN(5)

7 s OK(6)

* metodą założeniową niewprost 1 r → ¬s (zał.) 2 w → ¬r (zał.) 3 ¬(w → s) (DN) 4 ¬(¬w ∨ s) ZI(3) 5 ¬¬w ∧ ¬s NA(4)

6 w ∧ ¬s PN(5)

7 ¬s OK(6)

8 w OK(6)

9 ¬r RO(2,8)

10 r ∧ ¬¬s ZI(1)

11 r ∧ s PN(10)

12 s OK(11)

SPRZECZNE7 i 12.

– Nie każdy czlowiek jest pijakiem Każdy pijak jest człowiekiem nie każdy człowiek jest człowiekiem Jeśli założymy, że:

x - istota

C(x) - istota jest człowiekiem P(x) - istota jest pijakiem

to wówczas schemat ten z użyciem kwantyfikatorów mógłby wyglądać na- stępująco:

¬∀_x(C(x) → P(x))

∀_x(P(x) → C(x))

¬∀_x(C(x) → C(x))

(13)

Teraz następuje proces ujednolicenia kwantyfikatorów, w celu ich usunięcia z zapisu. W tym celu należy zamienićkwantyfikatory ogólnenakwantyfi- katory szczegółowe.

Teraz schemat wygląda następująco:

∃_x¬(C(x) → P(x))

∃_x(P(x) → C(x))

∃_x¬(C(x) → C(x))

Teraz wszystkie kwantyfikatory są takie same, więc można je usunąć:

¬(C(x) → P(x)) P(x) → C(x)

¬(C(x) → C(x))

Stosując metodę skróconą zerojedynkową łatwo przekonujemy się, iż schemat ten jestniezawodny.

Przystępujemy więc do dowodu jego niezawodności. Uproszczony zapis schematu to:

¬(c → p) p → c

¬(c → c)

Zgodnie z metodą założeniową nie wprost dowód wygląda następująco:

1 ¬(c → p) (zał.) 2 p → c (zał.) 3 (c → c) (DN) 4 c ∧ ¬c ZI(3)

5 c OK(4)

6 ¬c OK(4)

SPRZECZNE5 i 6, zatem schemat jestniezawodny.

• typ II - wyszukiwanie schematów wnioskowania w tekście i usuwanie kwan- tyfikatorów

• W pewnym czasopiśmie znaleziono następującą informację:

...Znowu toczą się spory dotyczące wyższości samochodów nad motocyklami. W zasadzie trudno zrozumieć ludzi, którzy kruszą kopie z powody tak błahego problemu. Co innego, gdyby cho- dziło o możliwość stworzenia pojazdu uniwersalnego, takiego, który mógłby być w zależności od potrzeby - albo motocyklem, albo samochodem. Jakoś do tej pory było rzeczą oczywistą, że każdy pojazd o ile ma cztery koła (oczywiście na których jeździ) to nie jest już motocyklem. W związku z tym jak ktoś zauwa- żyłjeżeli wychodząc na ulicę zobaczymy samochód to po jakimś czasie powinniśmy zobaczyć również jakiś jednoślad...

(14)

Postaraj się znaleźć schemat wnioskowania autora tekstu. Napisz schemat formalny wnioskowania. Czy jest on niezawodny ? Jeśli nie, wykaż na przykładzie jego zawodność. Uzasadnij odpowiedź. Określ pojęcia logiczne z nim związane.

Rozwiązanie:

schemat wnioskowania:Każdy pojazd, który ma cztery koła, nie jest motocyklem. Istnieje istnieje taki pojazd który jest samochodem, to istnieje także i taki który jest motocyklem.

x - pojazd

S(x) - pojazd x ma 4 koła

M(x) - pojazd x jest motocyklem (jednośladem)

Wówczas schemat wnioskowania zapiszemy formalnie następująco:

∀_x(S(x) → ¬M(x)) ⇒ ∃xS(x) → ∃xM(x)

...Za niedługo na nasze szczęście wejdą w życie nowe przepisy normalizacyjne. Skończą się więc problemy z włączaniem urzą- dzeń elektrycznych. Do tej porytrafiały się wtyczki nie pasujące do gniazdek lub dla odmiany - gniazdka, do których za nic nie dało się włożyć wtyczki. Nie było oczywistym, że jeśli mamy wtyczki pasujące do każdego gniazdka w naszym domu to i każ- de gniazdko (znajdujące się np. w pokoju w pracy) będzie na tyle podobnie zbudowane, że wtyczka w naszym ekspresie (pasująca do gniazdek w domu) da się bez problemów do niego włączyć...

Postaraj się znaleźć schemat wnioskowania autora tekstu. Napisz schemat formalny wnioskowania. Czy jest on niezawodny ? Jeśli nie, wykaż na przykładzie jego zawodność. Uzasadnij odpowiedź. Określ pojęcia logiczne z nim związane.

Rozwiązanie:

schemat wnioskowania:Istnieją gniazka nie pasujące do wtyczek i wtyczki nie pasujące do gniazdek. Nieprawdą jest, że dla każdego gniazka i wtyczki pasują one do siebie i udaje się włożyć wtyczki do gniazdek.

x - wtyczka y - gniazdko

P(x, y) - wtyczka x pasuje do gniazka y

W(y, x) - do gniazka y da się włożyć wtyczkę x

∃_x∃_y¬(P(x, y) ∧ W(y, x)) ⇒ ¬(∀x∀_y(P(x, y) → W(y, x)))

...Z badań form fonograficznych przeprowadzonych w sklepach muzycznych (a dotyczących sprzedaży płyt) można wysunąć cie- kawe wnioski. Mianowicie,jeżeli można znaleźć płytę, którą każ-

(15)

dy ze słuchaczy uważa za najlepszą to znaczy, że każdy z miło- śników muzyki ma pewną upatrzoną płytę, którą chciałby mieć w swojej domowe kolekcji. Wygląda więc na to, że przemysł fonograficzny nie musi obawiać się kłopotów z popytem na ryn- ku...

Postaraj się znaleźć schemat wnioskowania autora tekstu. Napisz schemat formalny wnioskowania. Czy jest on niezawodny ? Jeśli nie, wykaż na przykładzie jego zawodność. Uzasadnij odpowiedź. Określ pojęcia logiczne z nim związane.

Rozwiązanie:

schemat wnioskowania: Jeżeli istnieje płyta taka, że dla każdego jest ona interesująca, z tego wynika, że dla każdego słuchacza istnieje płyta, którą chciałby mieć.

x - płyta y - człowiek

N(x, y) - płyta x jest uznana za najlepszą przez człowieka y C(x, y) - płyta x jest pożądana przez człowieka y

∃_x∀_yN(x, y) ⇒ ∀y∃_xC(x, y)

...Mogłoby się wydawać, że nic nie jest w stanie nas już zdziwić - a jednak...O ile dobrze wiadomo, maskotką najbliższej olimpiady mającej odbyć się w Australii ma być właśnie jeden z - po- wiedzmy dziwolągów natory.Jest to zwierze znoszące jajka i nie będące ptakiem.Początkowo wydaje się to być niedorzecznością, jak to: nie ptak i znosi jajka ? Taka sytuacja może się zdarzyć wtedy i tylko wtedy, gdy nie każde zwierze znoszące jajka jest ptakiem.A takim właśnie zwierzęciem jest dziobak - owa ma- skotka przyszłej olimpiady. Jest również przykładem tzw. żywej skamieniałości - pozostałości po prehistorycznych zwięrzętach żyjących kiedyś na Ziemi...

Rozwiązanie:

schemat wnioskowania: Istnieje zwierzę znoszące jajka i nie będące ptakiem. Wynika z tego, że nie każde zwierze, które znosi jajka, jest ptakiem..

x - zwierzę

J(x) - zwierzę x znosi jajka P(x) - zwierzę x jest ptakiem

(16)

∃_x(J(x) ∧ ¬P(x)) ⇒ ¬∀x(J(x) → P(x))

∃_x(J(x) ∧ ¬P(x)) ⇒ ∃x¬(J(x) → P(x))

J(x) ∧ ¬P(x) ⇒ ¬(J(x) → P(x)) Uproszczony zapis schematu to:

j ∧ ¬p ⇒ ¬(j → p)

Stosując metodę skróconą zerojedynkową łatwo przekonujemy się, iż schemat ten jestniezawodny.

Przystępujemy więc do dowodu jego niezawodności.

Zgodnie z metodą założeniową nie wprost dowód wygląda następująco:

1 j ∧ ¬p (zał.) 2 j → p (DN)

4 j OK(1)

5 ¬p OK(1)

6 ¬ j MT(2,5)

SPRZECZNE4 i 6, zatem schemat jestniezawodny.

...Ostatnio przysłuchiwałem się rozmowie kilku studentów. Jak można się domyślić, rozmowa dotyczyła zaliczeń i egzaminów (wiadomo - sesja !). Zastanawiali się, po co właściwie są egza- miny, skoro zaliczenia są jakby przed egzaminami. Wydaje się, że każdy student, który otrzymał zaliczenie (okupione bezsen- nymi nocami poświęconymi na przygotowanie do niezliczonej liczby kolokwiów), powinien mieć opanowany materiał na tyle dobrze, żeby zdać egzamin.Niestety, rzeczywistość nie jest aż tak kolorowa. Z rozmowy wynikało, żenie zawsze można znaleźć studenta, który otrzymał zaliczenie i który byłby jednocześnie studentem mającym zdany egzamin. I kto tu mówi o beztroskim życiu studentów !!!...

Rozwiązanie:

schemat wnioskowania:Każdy student który ma zaliczenie, powinien mieć i zdany egzamin. Wynika z tego jednak tylko tyle, że nie każdy student ma zaliczenie i zdany egzamin.

x - student

Z(x) - student x zdobył zaliczenia

(17)

E(x) - student x zdał egzamin

∀_x(Z(x) → E(x)) ⇒ ¬∀x(Z(x) ∧ E(x))

∃_x(Z(x) → E(x)) ⇒ ∃x¬(Z(x) ∧ E(x))

(Z(x) → E(x)) ⇒ ¬(Z(x) ∧ E(x)) Uproszczony zapis schematu to:

(z → e) ⇒ ¬(z ∧ e)

Stosując metodę skróconą zerojedynkową łatwo przekonujemy się, iż schemat ten jestzawodny.