Rachunek zdań
1 Algebra wartości logicznych
W dwuelementowym zbiorze wartości logicznych {ff, tt} określamy działania negacji, ko- niunkcji, alternatywy i implikacji.
Negacja to działanie jednoargumentowe ¬: {ff, tt} → {ff, tt} takie, że ¬ff = tt i ¬tt = ff.
Koniunkcja, alternatywa i implikacja to działania dwuargumentowe {ff, tt}2 → {ff, tt}, okre- ślamy je za pomocą tabelki.
x y x ∧ y x ∨ y x → y
ff ff ff ff tt
ff tt ff tt tt
tt ff ff tt ff
tt tt tt tt tt
Zadanie 1 Oblicz wartość logiczną następujących wyrażeń:
(a) ¬(ff → tt) → (ff ∧ (tt ∨ ff)), (b) ((ff ∨ tt) ∧ ¬(ff ∨ tt)) → (ff → tt), (c) (tt ∧ (tt → ff)) ∨ (ff ∨ ¬(ff → tt)).
Zadanie 2 (a) Jaka jest wartość logiczna x, jeśli warość logiczna wyrażenia x → y wynosi tt dla dowolnego y ∈ {ff, tt}?
(b) Jaka jest wartość logiczna y, jeśli warość logiczna wyrażenia x → y wynosi tt dla dowolnego x ∈ {ff, tt}?
Zadanie 3 Wyraź:
(a) implikację za pomocą alternatywy i negacji, (b) implikację za pomocą koniunkcji i negacji, (c) koniunkcję za pomocą alternatywy i negacji, (d) alternatywę za pomocą koniunkcji i negacji, (e) implikację za pomocą alternatywy i negacji, (f) implikację za pomocą koniunkcji i negacji.
Zadanie 4 Czy można wyrazić implikację za pomocą alternatywy i koniunkcji?
2 Zdania złożone, wartościowanie logiczne
Zadanie 5 Określ stopień zdania złożonego z i oblicz ˜v(z) dla podanego wartościowania v zdań prostych (zewnętrzne nawiasy opuszczono):
(a) z = (p ∧ q) ∨ (q ∧ (p ∨ q)), v(p) = ff, v(q) = tt;
(b) z = p → (p → (p → q))), v(p) = tt, v(q) = ff;
(c) z = ((p ∨ (¬p)) ∧ (q ∨ (¬q))) → ((¬p) ∨ (¬q)), v(p) = tt, v(q) = tt;
(d) z = ((¬(¬p)) ∧ (¬(¬(¬q)))) ∨ (¬(¬(¬(¬r)))), v(p) = tt, v(q) = ff, v(r) = tt.
1
Zadanie 6 Wykaż, że dla dowolnego wartościowania zdań prostych zdania złożone:
p → q, (¬q) → (¬p), (¬p) ∨ q, ¬(p ∧ (¬q)) mają tę samą wartość logiczną.
Zadanie 7 Pokaż, że następujące zdania są tautologiami (niektóre nawiasy opuszczono):
(a) ¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q), (b) ¬(p ∨ q) ↔ (¬p ∧ ¬q),
(c) ((p ∨ q) ∧ r) ↔ ((p ∧ r) ∨ (q ∧ r)), (d) ((p ∧ q) ∨ r) ↔ ((p ∨ r) ∧ (q ∨ r)), (e) ((p ∧ q) → r) ↔ (p → (q → r)).
Zadanie 8 Sprawdź, które z poniższych zdań są spełnione oraz które są tautologiami.
(a) (p ∨ q) ∧ (¬p ∧ ¬q), (b) (p → q) ∨ (q → p), (c) (p → q) ∧ (p → ¬q),
(d) ((p ∧ q) ∨ (q ∧ r)) → ¬(p ∧ r).
Zadanie 9 Niech v będzie wartościowaniem zdań prostych. Wykaż, że dla dowolnych zdań zło- żonych y i z:
(a) jeżeli ˜v(y) = ff, to ˜v(y ∨ z) = v(z);
(b) jeżeli ˜v(y) = tt, to ˜v(y ∧ z) = v(z).
Zadanie 10 Niech y i z będą zdaniami złożonymi. Zauważ, że zdanie y ↔ z jest tautologią dokładnie wtedy, gdy dla dowolnego wartościowania v zdań prostych zdania y i z mają tę samą wartość logiczną (czyli zachodzi równość ˜v(y) = ˜v(z)).
Zadanie 11 Niech y i z będą zdaniami złożonymi. Rozważmy zdania
z1 = (y ∨ z), z2 = (y → z).
Uzasadnij, że:
(a) jeżeli zdanie z jest spełnione, to zdania z1 i z2 też są spełnione;
(b) jeżeli zdanie z jest tautologią, to zdania z1 i z2 też są tautologiami.
Zadanie 12 Niech y i z będą zdaniami złożonymi. Wykaż, że:
(a) jeżeli zdanie y ∧ z jest spełnione, to zdanie z też jest spełnione;
(b) jeżeli zdanie y ∧ z jest tautologią, to zdanie z też jest tautologią.
Zadanie 13 Używając pojęcia zdania złożonego, podaj precyzyjne sformułowanie pytania posta- wionego w zadaniu 1.
Zadanie 14 Czy w algebrze wartości logicznych można wyrazić:
(a) działanie alternatywy za pomocą działań koniunkcji i implikacji, (b) działanie koniunkcji za pomocą działań implikacji i alternatywy?
2
3 Algebra zbiorów
Zadanie 15 Korzystając z rachunku zdań, udowodnij, że dla dowolnych zbiorów A, B, C za- chodzą następujące równości:
(a) (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C), (b) (A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C), (c) (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C), (d) (A ∩ B) \ C = (A \ C) ∩ (B \ C), (e) (A \ B) ∪ C = (A ∪ C) \ (B \ C), (f) (A \ B) ∩ C = (A ∩ C) \ B, (g) (A \ B) \ C = A \ (B ∪ C).
Zadanie 16 Sprawdź, że dla dowolnego zbioru A zachodzą równości:
(a) A ∪ ∅ = A, (b) A ∩ ∅ = ∅, (c) A \ ∅ = A, (d) ∅ \ A = ∅.
Zadanie 17 Wykaż, że dla dowolnych zbiorów A i B zachodzą następujące zależności.
(a) A ∩ B = A wtedy i tylko wtedy, gdy A ⊂ B;
(b) A ∪ B = B wtedy i tylko wtedy, gdy A ⊂ B.
Zadanie 18 Niech A, B, C będą dowolnymi zbiorami. Udowodnij, że:
(a) jeżeli A ⊂ B i B ⊂ C, to A ⊂ C;
(b) jeżeli A ⊂ C i B ⊂ C, to A ∪ B ⊂ C;
(c) jeżeli A ⊂ B i A ⊂ C, to A ⊂ B ∩ C.
Niech X będzie dowolnym zbiorem. Jeśli A jest podzbiorem zbioru A, to symbolem ∼ A oznaczamy dopełnienie zbioru A, czyli zbiór X \ A.
Zadanie 19 Uzasadnij, że dla dowolnego podzbioru A zbioru X zachodzą równości:
(a) ∼ (∼ A) = A, (b) A∩ ∼ A = ∅, (c) A∪ ∼ A = X.
Zadanie 20 Wykaż, że dla podzbiorów A i B zbioru X zachodzą równości:
(a) A∩ ∼ B = A \ B, (b) A∪ ∼ B =∼ (B \ A), (c) ∼ (A ∩ B) =∼ A∪ ∼ B, (d) ∼ (A ∪ B) =∼ A∩ ∼ B.
3
Rozwiązania, wskazówki, odpowiedzi
1 Odpowiedź. (a) tt, (b) tt, (c) ff.
3 Rozwiązanie.
(a) x → y = ¬x ∨ y, (b) x → y = ¬(x∧ 6= y).
4 Wskazówka. 0 → 0 = 1.
6 Wskazówka. Ułóż tabelkę z rubrykami: v(p), v(q), ˜v(¬p), ˜v(¬q), ˜v(p → q), . . . 8 Odpowiedź.
(a) nie jest spełnione, nie jest tautologią;
(b) jest spełnione, jest tautologią;
(c) jest spełnione, nie jest tautologią;
(d) jest spełnione, nie jest tautologią.
9 (a) Rozwiązanie. Jeżeli ˜v(y) = ff, to
v(y ∨ z) = ˜˜ v(y) ∨ ˜v(z) = v(y) ∨ v(z) = ff ∨ v(z) = ff.
11 Rozwiązanie.
z1 = (y ∨ z), z2 = (y → z).
(a) Jeżeli zdanie z jest spełnione, to istnieje wartościowanie v zdań prostych, dla którego ˜v(z) = tt. Wówczas
v(z˜ 1) = ˜v(y ∨ z) = ˜v(y) ∨ ˜v(z) = ˜v(y) ∨ tt = tt, czyli zdanie z1 jest spełnione.
Analogicznie pokazujemy, że zdanie z2 jest spełnione.
(b) Jeżeli zdanie z jest tautologią, to dla dowolnego wartościowania v zdań prostych wartość logiczna zdania z wynosi tt, czyli zachodzi równość ˜v(z) = tt. Wówczas dla dowolnego warto- ściowania v zdań prostych mamy
v(z˜ 2) = ˜v(y → z) = ˜v(y) → ˜v(z) = ˜v(y) → tt = tt, czyli zdanie z2 jest tautologią.
Analogicznie pokazujemy, że zdanie z1 jest tautologią.
15 (g) Rozwiązanie. Dla dowolnego elementu x mamy
x ∈ (A \ B) \ C ≡ x ∈ (A \ B) ∧ ¬(x ∈ C) ≡ (x ∈ A ∧ ¬(x ∈ B)) ∧ ¬(x ∈ C) ≡ x ∈ A ∧ (¬(x ∈ B) ∧ ¬(x ∈ C)) ≡ x ∈ A ∧ ¬(x ∈ B ∨ x ∈ C) ≡ x ∈ A ∧ ¬(x ∈ B ∪ C) ≡ x ∈ A \ (B ∪ C).
Piotr Jędrzejewicz, Ćwiczenia ze wstępu do matematyki dla informatyków, I rok informatyki, jesień 2002.
Rachunek zdań, wersja trzecia, 12 II 2003.
4
