Fizyka 1

Fizyka 1

Wykład 8.

Praca

●

Nieskończenie mały przyrost pracy jest wyznaczany jako iloczyn skalarny siły wykonującej pracę i nieskończenie małego przemieszczenia.

●

Praca siły działającej na skończonej drodze jest równa całce z

nieskończenie małych przyrostów pracy na tej drodze.

Siła zachowawcza

Praca wykonana przez siłę wypadkową działającą na punkt materialny (ciało) wzdłuż pewnej drogi, jest równa zmianie energii kinetycznej E

tego punktu materialnego

W = ΔE

(*)

Następnie ciało porusza się w przeciwnym kierunku pod wpływem siły grawitacji, która teraz jest zgodna z kierunkiem ruchu. Przy zaniedbywalnym oporze powietrza, prędkość i energia kinetyczna rosną aż do wartości jaką ciało miało początkowo. Gdy ciało spada siła i przemieszczenie są jednakowo skierowane, praca jest dodatnia.

Ciało rzucone pionowo do góry z prędkością początkową v₀, z energią kinetyczną E_k=mv₀²/2.

Siła grawitacji działa przeciwnie do kierunku ruchu więc prędkość ciała, i jego energia kinetyczna maleją aż do zatrzymania ciała.

Praca wykonana przez siłę grawitacji podczas wznoszenia się ciała jest ujemna (siła jest skierowana przeciwnie do przemieszczenia,cos 180° = −1).

Po przebyciu zamkniętej drogi (cyklu) energia kinetyczna ciała nie zmieniła się, więc na podstawie równania (*) oznacza to, że praca wykonana przez siłę grawitacji podczas pełnego cyklu jest równa zeru.

Siła zachowawcza

Siła jest zachowawcza, jeżeli praca wykonana przez tę siłę nad punktem materialnym, który porusza się po dowolnej drodze zamkniętej, jest równa zeru.

Wszystkie siły, które działają w ten sposób (np. siła sprężysta wywierana przez idealną sprężynę, siła grawitacji) nazywamy siłami zachowawczymi.

Siła jest zachowawcza, jeżeli praca wykonana przez tę siłę nad punktem materialnym, który porusza się po dowolnej drodze zamkniętej, jest równa zeru.

Siła jest zachowawcza, jeżeli praca wykonana przez tę siłę nad punktem materialnym, który porusza się po dowolnej drodze zamkniętej, jest równa zeru.

Siła jest niezachowawcza, jeżeli praca wykonana przez tę siłę nad punktem materialnym, który porusza się po dowolnej drodze zamkniętej, nie jest równa zeru.

Wszystkie siły, które działają w ten sposób (np. siła tarcia, siła oporu powietrza)

nazywamy siłami niezachowawczymi.

Siła zachowawcza

Rozpatrzmy pracę wykonaną przez siłę grawitacji podczas ruchu ciała z punktu A do punktu B po dwóch różnych drogach.

Praca wykonana przez siłę grawitacji podczas ruchu ciała w górę jest ujemna, bo siła jest skierowana przeciwnie do przemieszczenia (kąt pomiędzy przemieszczeniem i siłą wynosi 180°; cos180°=

−1). Gdy ciało przemieszcza się w dół, to siła grawitacji i przemieszczenie są jednakowo skierowane, praca jest dodatnia. Natomiast przy przemieszczaniu w bok, siła grawitacji nie wykonuje żadnej pracy, bo jest prostopadła do przemieszczenia ( cos 90° = 0 ).

Przesunięcia w górę znoszą się z przemieszczeniami w dół, tak że wypadkowe przemieszczenie w pionie wynosi h i w konsekwencji wypadkowa praca wykonana przez siłę grawitacji wynosi W = mgh bez względu na wybór drogi.

Praca w polu grawitacyjnym nie zależy od wyboru drogi łączącej dwa punkty, ale od ich wzajemnego położenia.

Siła zachowawcza

Dla dowolnej siły zachowawczej

Dla drogi zamkniętej z A do B i z powrotem praca jest równa zeru W _A1B + W _B2A = 0

W _A1B = − W _B2A

Jeżeli odwrócimy kierunek ruchu i przejdziemy z A do B po drodze (2) (rys. b) to, ponieważ zmieniamy tylko kierunek ruchu, to otrzymujemy pracę tę samą, co do wartości ale różniącą się znakiem W _A2B = − W _B2A W _A1B = W _A2B

Siła zachowawcza

Dla dowolnej siły zachowawczej

Praca wykonana przez siłę zachowawczą przy przemieszczaniu ciała od A do B jest taka sama dla obu dróg. Drogi (1) i (2) mogą mieć dowolny kształt o ile tylko łączą te same punkty A i B.

W _A1B = W _A2B

Siłę nazywamy zachowawczą, jeżeli praca wykonana przez nią nad punktem materialnym poruszającym się między dwoma punktami zależy tylko od tych punktów, a nie od łączącej je drogi. Siłę nazywamy niezachowawczą, jeżeli praca wykonana przez nią nad punktem materialnym poruszającym się między dwoma punktami zależy od drogi łączącej te punkty.

Energia potencjalna

Energia potencjalna jest ogólną nazwą pewnych rodzajów energii. Jest to energia związana z konfiguracją układu ciał (wzajemnym ich położeniem), które oddziałują ze sobą (tzn. działają między nimi siły zachowawcze).

Grawitacyjna energia potencjalna

Związana z odległością wzajemną

ciał, które przyciągają się siłą ciężkości (np. skoczek bungee –

Ziemia).

Energia potencjalna sprężystości

Związana ze stopniem ściśnięcia

lub rozciągnięcia ciała sprężystego (lina bungee).

Pomidor wznosi się, energia kinetyczna maleje, siła ciężkości zamienia tę energię w grawitacyjną energię potencjalną układu pomidor – Ziemia.

W czasie spadku energia potencjalna zamienia się w energię kinetyczną pomidora.

Zmianę grawitacyjnej energii potencjalnej definiujemy jako pracę wykonaną nad ciałem przez siłę ciężkości, wziętą z przeciwnym znakiem

DE_p = -W

Energia potencjalna

Gdy siła wykonuje nad ciałem pracę W, związana z tym zmiana energii potencjalnej układu jest przeciwna do wykonywanej pracy. W przypadku ogólnym, gdy siła może zależeć od położenia, praca W jest wyznaczona przez równanie

W postaci ogólnej zmiana energii potencjalnej układu związana ze zmianą jego konfiguracji W =

∫

x_pocz x_końc

F( x)dx

D

∫

x_pocz x_końc

F (x)dx

Energia potencjalna

Grawitacyjna energia potencjalna

Cząstka o masie m porusza się pionowo wzdłuż osi y, z punktu y_pocz do y_końc. Siła ciężkości wykonuje nad nią pracę. Zmiana energii potencjalnej układu ciało – Ziemia:

Grawitacyjna energia potencjalna:

Grawitacyjna energia potencjalna układu cząstka – Ziemia zależy jedynie od położenia y cząstki w pionie, liczonego względem punktu odniesienia y=0 (czyli jej wysokości), a nie zależy od jej położenia w poziomie.

D

∫

y_pocz y_końc

(−mg)dy=mg

∫

y_pocz y_końc

dy=mg[ y ] y^końc y_pocz

D

D

E_p( y)=mgy

Energia potencjalna

Energia potencjalna sprężystości

Rozważamy układ klocek-sprężyna. Gdy klocek przemieszcza się z punktu x_pocz do punktu x_końc, działa na niego siła sprężystości F= –kx.

Energia potencjalna sprężystości:

D

∫

x_pocz x_końc

(−kx)dx=k

∫

x_pocz x_końc

xdx=1

2 k [ x²]x_końc x_pocz

D

2 kx 2

końc−1

2 kx 2 pocz E_p(x)=1

2 k x²

Zasada zachowania energii mechanicznej

Energia mechaniczna układu jest sumą jego energii kinetycznej Ek i energii potencjalnej Ep:

E_mech= E_k + E_p

W układzie izolowanym, w którym zmiana energii pochodzi jedynie od sił zachowawczych, energia kinetyczna i energia potencjalna mogą się zmieniać, lecz ich suma, czyli energia

mechaniczna E_mech, nie może ulegać zmianie.

DE_mech = DE_k + DE_p = 0

Twierdzenie:

Gdy energia mechaniczna jest zachowana, można powiązać ze sobą sumę energii kinetycznej i potencjalnej w pewnej chwili i w jakiejś innej chwili bez analizowania ruchu układu w chwilach pośrednich i bez wyznaczania pracy wykonanej przy tym przez siły działające w układzie.

Zasada zachowania energii mechanicznej

Zasada zachowania energii mechanicznej mówi, że dla ciała podlegającego działaniu siły zachowawczej, suma energii kinetycznej i potencjalnej jest stała. Ta zasada jest bardziej ogólna

i obowiązuje dla wszystkich odosobnionych układów ciał.

Układy odosobnione to takie, na które nie działają siły zewnętrzne (spoza układu). W

takich układach suma energii kinetycznych i potencjalnych wszystkich ciał pozostaje stała bez względu na oddziaływania w nich zachodzące.

Zad.

Skoczek na linie "bungee" skacze z punktu A i osiąga najniższy punkt B tak jak na rysunku.

Skoczek korzysta z liny o długości l, która rozciąga się sprężyście ( F = −kx ), aż do zerwania, co następuje gdy lina wydłuży się o x = 50% w stosunku do długości początkowej. Ile razy wytrzymałość liny na zerwanie musi być większa niż ciężar skoczka, żeby lina nie urwała się?

Zasada zachowania energii mechanicznej

W punkcie A grawitacyjna energia potencjalna skoczka liczona względem powierzchni Ziemi wynosi mgh (masę liny pomijamy), natomiast energia potencjalna sprężystości liny równa się zeru, bo lina nie jest rozciągnięta. Całkowita energia mechaniczna układu w punkcie A wynosi

więc E_A = mgh.

Natomiast energia całkowita układu w punkcie B

E_B = mg(h − l − x) +kx²/2

jest sumą grawitacyjnej energii potencjalnej skoczka i energii potencjalnej sprężystości rozciągniętej liny.

Ponieważ siły grawitacji i sprężystości są siłami zachowawczymi więc energia mechaniczna jest zachowana. Uwzględniając, że energia kinetyczna skoczka w punktach A i B jest równa zeru otrzymujemy

mgh = mg(h − l − x) +kx²/2 kx²/2− mgl − mgx = 0

Wstawiając do tego równania maksymalne możliwe wydłużenie liny x = 0.5 możemy obliczyć graniczny współczynnik k liny

k=12mg/l, skąd otrzymujemy

F = kx = (12mg/l) (l/2)=6mg

Odp.:Wytrzymałość liny na zerwanie musi być co najmniej 6 razy większa niż ciężar skoczka.

Zasada zachowania energii

Czy energia jest zachowana w przypadku, gdy w układzie działa siła niezachowawcza?

Jeżeli oprócz siły zachowawczej F_z działa jeszcze siła niezachowawcza F_nz (np. tarcie), to z twierdzenia o pracy i energii otrzymujemy

W_z + W_nz = ΔE_k ,

a ponieważ W_z = − ΔE_p , to W_nz = ΔE_k + ΔE_p

Energia mechaniczna cząsteczki jest stała dopóty, dopóki nie pojawi się siła zewnętrzna (spoza układu) lub siła wewnętrzna niezachowawcza, która na nią oddziałuje. W przypadku sił niezachowawczych zmiana energii mechanicznej jest równa pracy wykonanej przez te siły:

W _niezach = Δ(E _k + E _p) = ΔE .

Zasada zachowania energii

Siła tarcia zmienia energię mechaniczną układu (zmniejsza ją bo tarcie jest siłą rozpraszającą).

Co stało się ze "straconą" energią mechaniczną? Zostaje ona przekształcona na energię wewnętrzną U , która objawia się wzrostem temperatury ciała i otoczenia. Zmiana energii

wewnętrznej ΔU jest równa rozproszonej energii mechanicznej ΔE_k + ΔE_p + ΔU = 0.

Energia całkowita, tj. suma energii kinetycznej, energii potencjalnej i energii wewnętrznej w układzie odosobnionym nie zmienia się. Inaczej mówiąc energia może być przekształcana z

jednej formy w inną, ale nie może być wytwarzana ani niszczona; energia całkowita jest wielkością stałą.

Rodzaje energii

● Cząstki i atomy będące składowymi wszystkich ciał są w ciągłym ruchu. Polega on na złożeniu losowych drgań, a energia kinetyczna związana z tym ruchem nazywana jest

energią cieplną. Jak sama nazwa wskazuje, jest ona związana z temperaturą ciała.

Zauważmy, że energia cieplna może być przenoszona z miejsca na miejsce, np. poprzez przewodnictwo cieplne, konwekcję lub radiację. W takich przypadkach mówimy o

transporcie ciepła.

● Energia elektryczna jest bardzo popularnym rodzajem energii i wykorzystujemy ją do wykonania pracy w wielu praktycznych zastosowaniach.

• Paliwa, czyli na przykład benzyna lub jedzenie, zawierają w sobie energię chemiczną. Jest to forma energii potencjalnej wynikającej z wiązań i budowy cząsteczkowej danej substancji.

Energia chemiczna może zostać zamieniona na cieplną, np. poprzez utlenienie. Reakcje chemiczne mogą też prowadzić do powstawania energii elektrycznej, tak jak ma to miejsce w

bateriach. Natomiast energia elektryczna może być zamieniona na cieplną lub świetlną w urządzeniach takich jak grzejnik elektryczny czy żarówka.

Rodzaje energii

● Światło widzialne jest jedną z form fali elektromagnetycznych, które są związane z pewną energią promienioania. Do tego rodzaju energii zaliczamy fale radiowe, podczerwone (IR), nadfioletowe (UV), rentgenowskie oraz gamma. Wszystkie ciała posiadające energię cieplną

wypromieniowują energię w postaci fal elektromagnetycznych.

• Energia jądrowa powstaje w wyniku reakcji i procesów, w których dochodzi do zamiany masy na energię. Energia jądrowa ulega przemianie w energię promieniowania Słońca czy cieplną w reaktorach jądrowych, która potem jest zamieniana na elektryczną w turbinach parowych. Wszystkie rodzaje energii mogą ulegać przemianie jedna w drugą i, do pewnego

stopnia, mogą być zamieniane na pracę mechaniczną.