Wykład III
Zasady zachowania
Zasady zachowania i symetria
– Każda zasada zachowania prowadzi do symetrii układu.
– I odwrotnie, każda symetria prowadzi do zasad zachowania Można pokazać, że:
Symetria translacyjna
Zasada zachowania pędu Symetria obrotowa Zasada zachowania
momentu pędu
Symetria odwrócenia czasu Zasada zachowania energii
Symetria inwersji Zachowanie parzystości
(Parzystość dotyczy zjawisk opisywanych w formalizmie mechaniki kwantowej)
Pęd
p m v v
p
Pęd jest wielkością opisującą ruch cząstki.
m
II zasada dynamiki Newtona
W inercjalnym układzie odniesienia:
𝑎 = 𝐹 𝑚 Inna postać:
𝐹 = ∆𝑝
∆𝑡
Jeśli 𝐹 = 0 ∆𝑝 = 0 𝑝 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
skutek przyczyna
przyczyna skutek
III zasada dynamiki Newtona
Zasada zachowania pędu
21
12 F
F
F21 F12
1
2
Z III zasady dynamiki Newtona:
dt d 1
12
F p
dt d 2
21
F p
0
0 ) (
0
2 1
2 1
2 1
dt d dt
d
dt d dt
d
dt d dt
d
p
p p
p p
p p
const
p
Zasada zachowania pędu
Jeśli układ cząstek jest izolowany, to całkowity pęd układu nie zmienia się
Jeśli 𝐹 = 0 ∆𝑝 = 0 𝑝 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
𝒑 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕
Doświadczenia ilustrujące ZZP
1. Wózki 2. Armatka
Do jakich zjawisk można zastosować ZZP ?
• Zderzenia sprężyste (elastyczne) wahadło Newtona, kule bilardowe
• Zderzenia niesprężyste (nieelastyczne)
Energia kinetyczna
Cząstka o masie m, poruszająca się z szybkością v ma energię kinetyczną
𝐸
𝑘= 𝑚𝑣
22
Praca
Praca ∆𝑊 wykonana przez stałą siłę przesuwającą cząstkę
wzdłuż przemieszczenia ∆𝑟 jest równa:
A B
jednostka SI pracy 1J = 1N·1m
∆𝑊 = 𝐹 ∙ ∆𝑟
𝑭 ∆𝒓
𝑭
Praca
Praca dW wykonana przez siłę F przesuwającą cząstkę wzdłuż dr jest równa:
A B
𝑭 d𝒓
dW d
F r
Twierdzenie o równoważności pracy i energii kinetycznej
dt dt mdv v
ma dr F dr
wyp dWwyp
W inercjalnym układzie odniesienia praca siły wypadkowej działającej na cząstkę jest równa zmianie energii kinetycznej cząstki
dW = dEk
Lub w postaci całkowej: W = E
kWiadomo, że różniczka df funkcji f(x) jednej zmiennej jest dana wzorem:
𝑑𝑓 = 𝑓′𝑑𝑥
Analogicznie, różniczka energii kinetycznej:
𝑑𝐸𝑘 = 𝑑 𝑚(𝒗2)
2 = 𝑚𝒗 ∙ 𝒅𝒗
Twierdzenie o równoważności praca -energia
Praca siły wypadkowej działającej na cząstkę jest równa zmianie jej energii kinetycznej:
∆𝑾 = ∆𝑬 𝒌
Siły zachowawcze
Jeśli praca siły przemieszczającej cząstkę z punktu A do punktu B nie zależy od tego po jakim torze poruszała się cząstka, to ta siła jest nazywana siłą zachowawczą.
A
Wszystkie inne siły nie są B
zachowawcze.
(Twierdzenie)
Praca siły zachowawczej przemieszczającej cząstkę po torze zamkniętym jest równa zeru.
Sily zachowawcze : grawitacji, sprężystości, elektrostatyczna.
Energia potencjalna
Jeśli na cząstkę działa siła zachowawcza, to praca W wykonana przez tę siłę jest równa ubytkowi energii potencjalnej E
p. Zmiana energii potencjalnej jest związana ze zmianą położenia cząstki.
E
p= -W
Ta definicja określa energię potencjalną z dokładnością do stałej.
Praca siły równoważącej siłę pola zachowawczego jest równa przyrostowi energii potencjalnej
U = W
rówEnergia potencjalna w polu grawitacyjnym
𝐸 𝑝 = 𝑚𝑔
h
Ep
M
r m
r G Mm E
p
𝒈 = 𝟗. 𝟖𝟏𝒎/𝒔
𝟐𝐹
𝑮 = 𝟔. 𝟔𝟕 ∙ 𝟏𝟎−𝟏𝟏 𝒎𝟑/𝒌𝒈𝒔𝟐
Przykład: praca przy podnoszeniu
∆𝑾
równow= 𝑭
𝒓ó𝒘𝒏𝒐𝒘𝒚𝒄𝒐𝒔𝜽 =
= 𝒎𝒈𝒚𝒄𝒐𝒔𝟎° = 𝒎𝒈𝒚
∆𝑬
𝒑= 𝑬
𝒑𝒌− 𝑬
𝒑𝒑= 𝒎𝒈𝒚 − 𝟎 = 𝒎𝒈𝒚
∆𝑾
równow= ∆𝑬
𝒑∆𝑾
g= −∆𝑾
równow= −𝒎𝒈 𝒚
∆𝑾
g= −∆𝑬
𝒑Zasada zachowania energii
1. Z twierdzenia o równoważności praca- energia kinetyczna:
2. W polu siły zachowawczej
Podstawiając 1) do 2) :
Przenosząc
∆𝐸
𝑘 na lewą stronę:
∆𝑊 = ∆𝐸 𝑘
∆𝐸 𝑝 = −∆𝐸 𝑘
∆𝐸 𝑝 = −∆𝑊
∆𝐸 𝑝 + ∆𝐸 𝑘 = 0 ∆(𝐸 𝑝 +𝐸 𝑘 ) = 0
𝐸 𝑝 + 𝐸 𝑘 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
Energia mechaniczna
E E
k+ E
pEnergia związana z ruchem
Energia związana z położeniem
Zasada zachowania energii
2. Całkowita energia układu izolowanego jest zawsze stała.
1. Energia nie może być wykreowana ani zniszczona,
może jedynie ulegać transformacji z jednej postaci w inną.
Zasada zachowania energii mechanicznej w polu
grawitacyjnym
Ruch obrotowy
Prędkość kątowa
t
Θ ω
t
ω ε
Przyśpieszenie kątowe
F r
M
Moment siły
ε M
I
Moment pędu
(cząstki)
r L
p
O
p r
L
L ω
I
Zasada zachowania momentu pędu
W inercjalnym układzie odniesienia moment siły wypadkowej działającej na cząstkę jest równy szybkości zmian momentu pędu:
𝑴 = ∆𝑳
∆𝒕
Jeśli to
