Wykład III
Zasady zachowania
Zasady zachowania i symetria
– Każda zasada zachowania prowadzi do symetrii układu.
– I odwrotnie, każda symetria prowadzi do zasad zachowania Można pokazać, że:
Symetria translacyjna
Zasada zachowania pędu Symetria obrotowa Zasada zachowania
momentu pędu
Symetria odwrócenia czasu Zasada zachowania energii
Symetria inwersji Zachowanie parzystości
(Parzystość dotyczy zjawisk opisywanych w formalizmie mechaniki kwantowej)
Pęd
p v
Pęd jest wielkością opisującą ruch cząstki.
m
p m v
II zasada dynamiki Newtona
W inercjalnym układzie odniesienia:
�= ⃗ ⃗ �
�
Inna postać:
⃗ �= ∆ ⃗ �
∆ �
Jeśli
⃗ � =0 ∆ ⃗ �=0 ⃗ �=�����
skutek przyczyna
przyczyna skutek
III zasada dynamiki Newtona
Zasada zachowania pędu
F21 F12
1
2
Z III zasady dynamiki Newtona:
21 12 F F
dt d 1
12 p
F
dt d 2
21 p
F
0
0 ) (
0
2 1
2 1
2 1
dt d dt
d
dt d dt
d
dt d dt
d
p
p p
p p
p p
const
p
Zasada zachowania pędu
Jeśli układ cząstek jest izolowany, to całkowity pęd układu nie zmienia się
Jeśli
⃗ � =0 ∆ ⃗ �=0 ⃗ �=�����
⃗ �=�����
Doświadczenia ilustrujące ZZP
1. Wózki 2. Armatka
Do jakich zjawisk można zastosować ZZP ?
• Zderzenia sprężyste (elastyczne) wahadło Newtona, kule bilardowe
• Zderzenia niesprężyste (nieelastyczne)
Energia kinetyczna
Cząstka o masie m, poruszająca się z szybkością v ma energię kinetyczną
�
�= � �
22
Praca
Praca wykonana przez stałą siłę przesuwającą cząstkę
wzdłuż przemieszczenia jest równa:
•
A Bjednostka SI pracy 1J = 1N·1m
⃗ �
⃗ �
Praca
Praca dW wykonana przez siłę F przesuwającą cząstkę wzdłuż dr jest równa:
A B
⃗�
d
dW F r d
Twierdzenie o równoważności pracy i energii kinetycznej
W inercjalnym układzie odniesienia praca siły wypadkowej działającej na cząstkę jest równa zmianie energii kinetycznej cząstki
dW = dEk
Lub w postaci całkowej: W = E
kWiadomo, że różniczka df funkcji f(x) jednej zmiennej jest dana wzorem:
�� = �
′��
Analogicznie, różniczka energii kinetycznej:
� ��=�
[
�(⃗�2 2)]
=�⃗� ∙ � ⃗� mddtv vdt ma dr Fwyp dr dWwypTwierdzenie o równoważności praca -energia
Praca siły wypadkowej działającej na cząstkę jest równa zmianie jej energii kinetycznej:
∆ � =∆ �
�Siły zachowawcze
Jeśli praca siły przemieszczającej cząstkę z punktu A do punktu B nie zależy od tego po jakim torze poruszała się cząstka, to ta siła jest nazywana siłą zachowawczą.
A
Wszystkie inne siły nie są B
zachowawcze.
(Twierdzenie)
Praca siły zachowawczej przemieszczającej cząstkę po torze zamkniętym jest równa zeru.
Sily zachowawcze : grawitacji, sprężystości, elektrostatyczna.
Energia potencjalna
Jeśli na cząstkę działa siła zachowawcza, to praca W wykonana przez tę siłę jest równa ubytkowi energii potencjalnej E
p. Zmiana energii potencjalnej jest związana ze zmianą położenia cząstki.
E
p= -W
Ta definicja określa energię potencjalną z dokładnością do stałej.
Praca siły równoważącej siłę pola zachowawczego jest równa przyrostowi energii potencjalnej
U = W
rówEnergia potencjalna w polu grawitacyjnym
h
Ep
M r m
�=�.���/ �
�⃗ �
�=�.��∙��
−���
�/ �� �
�r
G Mm
E
p
Przykład: praca przy podnoszeniu
∆ � r ó wnow =�
� ó����� ��� �=¿
¿ ������ �°=���
∆ �
�= �
��− �
��=¿ ��� −�=���
∆ � ró wnow=∆ �
�❑∆ � g=−∆� ró wnow=−�� �
∆ � g=−∆ � �
Zasada zachowania energii
1. Z twierdzenia o równoważności praca- energia kinetyczna:
2. W polu siły zachowawczej
Podstawiając 1) do 2) :
Przenosząc na lewą stronę
:
∆ � =∆ �
�∆ � � =− ∆ � �
∆ � � =− ∆ �
∆ � � + ∆ � � = 0
(¿ ¿ � + �∆�¿ �) =0� � + � � = �����
Energia mechaniczna
E E
k+ E
pEnergia związana z ruchem
Energia związana z położeniem
Zasada zachowania energii
2. Całkowita energia układu izolowanego jest zawsze stała.
1. Energia nie może być wykreowana ani zniszczona,
może jedynie ulegać transformacji z jednej postaci w inną.
Zasada zachowania energii mechanicznej w polu
grawitacyjnym
Ruch obrotowy
Prędkość kątowa
Przyśpieszenie kątowe
t
Θ ω
t
ω ε
Moment siły
F r
M M I ε
Moment pędu
(cząstki)
O
r L
p
p r
L
L ω
I
Zasada zachowania momentu pędu
W inercjalnym układzie odniesienia moment siły wypadkowej działającej na cząstkę jest równy szybkości zmian momentu pędu:
⃗ � = ∆ ⃗ �
∆ �
Jeśli to
