= CUq śćść .. PojemnoPojemno śćść elektryczna. elektryczna. ElektrycznoElektryczno

1

Wykład 4

Pojemno

Pojemność ść elektryczna. elektryczna.

Elektryczno Elektryczność ść . .

Wrocław University of Technology 24-03-2012

2

Pojemnośćelektryczna

Okładki kondensatora są przewodnikami, a więc są powierzchniami ekwipotencjalnymi: wszystkie punkty na okładce mają ten sam potencjał elektryczny. Co więcej, istnieje róŜnica potencjałów między dwiema okładkami.

Ładunek q i róŜnica potencjałów U (zwana napięciem) dla kondensatora są do siebie proporcjonalne, czyli:

CU q =

Stałą proporcjonalności C nazywamy pojemnością kondensatora. Jednostką pojemności w układzie SI, jest farad (F).

1 farad = 1F = 1 kulomb na wolt = 1 C/V

3

NatęŜenie pola elektrycznego kondensatora Zgodnie z prawem Gaussa

ES q = ε

q

s d E =

∫ ^{r r}

ε

powierzchnia Gaussa jest taka, Ŝe jeśli przechodzi przez nią strumień

elektryczny, to natęŜenie E ma na niej jednakową wartość i wektory E oraz dS są równoległe. Wtedy

gdzie S jest polem tej części powierzchni Gaussa, przez którą przenika strumień. Dla wygody lepiej jest zawsze rysować powierzchnię Gaussa w ten sposób, aby obejmowała całkowicie ładunek na dodatniej okładce.

4

Obliczanie róŜnicy potencjałów

RóŜnica potencjałów między okładkami kondensatora jest związana z natęŜeniem pola elektrycznego E wzorem:

gdzie całkę naleŜy obliczyć po dowolnym torze, który zaczyna się na jednej okładce i kończy na drugiej. Będziemy zawsze wybierać tor wzdłuŜ linii pola elektrycznego, od okładki ujemnej do dodatniej. Dla takiego toru wektory E i d będą miały przeciwne kierunki i iloczyn skalarny E ^.ds będzie równy - Eds.

∫ ^⋅

−

=

−

pocz pocz

kon

V E d s

V r r

gdzie - i + przypominają, Ŝe tor całkowania zaczyna się na okładce ujemnej i kończy na okładce dodatniej.

∫

−

⋅

= E ds

U

5

Kondensator płaski

ES q = ε

Korzystając z prawa Gaussa

Wtedy

Ed ds E Eds U

d

=

=

= ∫

∫

− 0

Jeśli teraz podstawimy do wzoru q = CU

d C ₌ ε

S

Pojemność rzeczywiście zaleŜy tylko od wielkości geometrycznych, a mianowicie pola powierzchni okładki S i odległości d między okładkami. ZauwaŜ, Ŝe C wzrasta, jeśli zwiększamy pole powierzchni okładki S lub zmniejszamy odległość d.

ε

= 8.85

10

F/m

6

Kondensator cylindryczny

powierzchnia Gaussa

Ładunki gromadzące się na obu powierzchniach jest jednakowy Q+ = Q- składowe równoległe do osi pomijamy ze względu na symetrię układu

= Q

0

ES ε

=Q

⋅

⋅123

S 0E 2π rL

ε

Stąd natęŜenie pola wynosi:

Lr ε 2π E Q

⋅

=

7

Kondensator cylindryczny

RóŜnica potencjałów:

( )

∫

∫

−

=

=

∆ ^b

a

b

a

a L b

Q r

dr L Edr Q

U

V ln ln

2 2

π ε

π ε

Pojemność takiego kondensatora wynosi:

( )

a b

L a

L b Q

Q U

C Q

ln 2 ln 2 ln

0

0

ε π ε

π

= ⋅

⋅ −

= −

=

a b C L

ln 2 π ⋅ ε

=

8

Kondensator kulisty Zgodnie z prawem Gaussa

( )

0

0

ES E 4 r

q = ε = ε π

Wyznaczając z tego wzoru E otrzymujemy:

2

4

1 r E q

= πε

Następnie

ab a b q r

dr Eds q

U

a

b

= −

−

=

= ∫

∫

−

4 πε

4 πε

Ostatecznie pojemność

a b C ab

= 4 πε

−

9

Łączenie szeregowe kondensatorów

2 2 1

1 C

∆V Q C a

∆V = Q =

2

1 ∆V

∆V

∆V= +

2 1 eq 2

1

eq C

1 C

1 C

1 C

Q C

Q C

Q = + ⇒ = +

Ogólnie pojemność kondensatorów w połączeniu szeregowym wynosi:

∑

=

= + + +

=

1

i i

N 2

1

eq

C

1 C

... 1 C

1 C

1 C

1

10

Łączenie równoległe kondensatorów

∆V C Q

∆V

C₁= Q¹ a ₂= ²

∆V C C

∆V C

∆V Q C

Q

Q =

+

=

+

=

+

2 1

eq

C C

∆V C = Q = +

Ogólnie pojemność kondensatorów w połączeniu równoległym wynosi:

∑

= + + + +

=

1 i

i N

3 2 1

eq

C C C ... C C

C

11

Pomiar małych deformacji przy uŜyciu kondensatora płaskiego

d - d

S C ε d

S

C ε 2 ⁰

0

1= = ∆

( )







− /

−

−

= /

− −

=

−

= dd ∆d

d

∆d S d

∆d ε d

S ε d

S C ε C

∆C _{2 1} ^{0 0} ₀

(

)

d

∆d S

∆C ε =

= − d

∆d<< ₂

d

~ 1 czułośćrośnie

S ε

d

∆d ∆C

0

= 2

cm r mm d pF

C~10⁻² , ~0,5 , 2 ~5

∆ Dla

8

7 10

10

~ ⁻ ÷ ⁻

∆d Kondensator

powietrzny Mostek

pojemności

próbka

12

Pomiar poziomu cieczy przy uŜyciu kondensatora cylindrycznego

Metoda umoŜliwiająca monitorowanie poziomu cieczy, szczególnie produktów z tendencją do tworzenia osadów, w aplikacjach wysokotemperaturowych/ wysokociśnieniowych oraz w procesach szybkozmiennych.

2

1 C

C

C= +

1 2 1

r lnr

x ε

C =2π

( )

1 2 0 2

r lnr

x L ε

C =2π −

Zalety:

- bardzo krótki czas odpowiedzi pomiarowej - wysoka dokładnośćpomiaru

- detekcja rozdziału faz cieczy niezaleŜnie od obecności emulsji i zawiesin

13

Dielektryk

Dielektryk – materiał w którym nie występują swobodne ładunki elektryczne.

C0

C_d

ε

gdzie ε > 1 nazywa się przenikalnością elektryczną dielektryka.

Obecność dielektryka między okładkami kondensatora, powoduje, Ŝe natęŜenie pola w tym obszarze zmniejsza się ε razy. Przyczyną tej modyfikacji pola elektrycznego jest polaryzacja dielektryka.

Dielektryk umieszczony w zewnętrznym polu elektrycznym modyfikuje to pole.

E E0

ε

gdzie E₀- natęŜenie pola elektrycznego między okładkami kondensatora próŜniowego, E – natęŜenie pola, gdy przestrzeń między okładkami jest wypełniona dielektrykiem.

14

NatęŜenie prądu NatęŜenie prądu definiuje się:

dt I = dQ

Jednostką natęŜenia prądu w układzie SI jest amper (A), czyli kulomb na sekundę:

1 amper = 1 A = 1 kulomb na sekundę = 1 C/s.

Ładunek jest zachowany stąd:

I

= I

+ I

15

Gęstośćprądu elektrycznego

Gęstość prądu elektrycznego J, ma taki sam kierunek jak prędkość poruszających się ładunków, jeśli są dodatnie, i przeciwny kierunek, jeśli są ujemne.

∫ ^⋅

= J d s

I r r

Jeśli gęstość prądu J jest stała i równoległa do ds, wtedy:

Js ds J ds J

I = ∫ ⋅ = ∫ =

Jednostką gęstości prądu elektrycznego w układzie SI jest amper na metr kwadratowy (A/m²).

16

Prędkośćunoszenia

Gdy przez przewodnik płynie prąd, elektrony w rzeczywistości poruszają się przypadkowo, ale z prędkością unoszenia (dryfu) v_dw kierunku przeciwnym do natęŜenia przyłoŜonego pola elektrycznego, które wywołuje przepływ prądu.

Całkowity ładunek nośników, z których kaŜdy ma ładunek e, w przewodniku o długości L wynosi

e nSL q = ( )

gdzie n jest liczbą nośników na jednostkę objętości.

NatęŜenie prądu jest równe:

ne J nSe v I

v nSev L

nSLe t

I q

d

=

=

= ⇒

=

= /

17

Opór elektryczny

Opór elektryczny (rezystancja) między dwoma dowolnymi punktami przewodnika określamy przez przyłoŜenie róŜnicy potencjałów U między tymi punktami i pomiar natęŜenia / powstałego prądu. Opór elektryczny R jest określony wzorem:

I R = U

Jednostką oporu elektrycznego w układzie SI, jest om równy wolt na amper.

1 om = 1 Ω = 1 wolt na amper = 1V/A.

Opór elektryczny właściwy (rezystywność) ρ materiału:

J

= E

ρ ^{m m}

A V m A

m V J

E   = = = Ω ⋅

 

/

/

18

Opór elektryczny

Opór elektryczny jest właściwością ciała.

Opór elektryczny właściwy jest właściwością materiału.

L E = U

J

= E ρ

S J = I

S R = ρ L

I

R = U

19

Prawo Ohma

Prawo Ohma:

NatęŜenie prądu, płynącego przez przewodnik jest zawsze wprost proporcjonalne do róŜnicy potencjałów, przyłoŜonej do przewodnika.

Element obwodu spełnia prawo Ohma, gdy jego opór nie zaleŜy od wartości i polaryzacji przyłoŜonej róŜnicy potencjałów.

20

Prawo Ohma

Ruch elektronów przewodnictwa w polu elektrycznym o natęŜeniu E jest więc złoŜeniem ruchu, wynikającego z przypadkowych zderzeń i ruchu wywołanego polem E. Gdy rozwaŜymy wszystkie elektrony swobodne, ich przemieszczenia przypadkowe uśredniają się do zera i nie dają wkładu do prędkości unoszenia. Prędkość unoszenia jest wynikiem oddziaływania pola elektrycznego na elektrony.

Szare linie ilustrują ruch elektronu od punktu A do punktu B z sześcioma zderzeniami po drodze. Zielone linie pokazują, jak mógłby wyglądać tor w obecności przyłoŜonego pola elektrycznego o natęŜeniu E.

21

Siła elektromotoryczna

Aby wytworzyć stały przepływ ładunku, potrzebujemy „pompy ładunku" - urządzenia, które wykonując pracę nad nośnikami ładunku, utrzymuje róŜnicę potencjałów między parą swych zacisków. Urządzenie takie nazywamy źródłem siły elektromotorycznej (źródłem SEM); powiedzenie, Ŝe źródło dostarcza siły elektromotorycznej L, oznacza, Ŝe wykonuje ono pracę nad nośnikami ładunku.

dq

= dW ε

Siła elektromotoryczna źródła SEM jest pracą, przypadającą na jednostkę ładunku, jaką wykonuje źródło, przenosząc ładunek z bieguna o mniejszym potencjale, do bieguna o większym potencjale.

Jednostką siły elektromotorycznej w układzie SI jest dŜul na kulomb [J/C].

22

Pierwsze prawo Kirchoffa

Suma natęŜeń prądów wpływających do dowolnego węzła musi być równa sumie natęŜeń prądów wypływających z tego węzła.

= 0

∑ ^I

Reguła oporu: Gdy przemieszczamy się wzdłuŜ opornika w kierunku przepływu prądu, zmiana potencjału wynosi -IR, przy ruchu w

przeciwną stronę wynosi +IR.

23

Drugie prawo Kirchoffa

Algebraiczna suma zmian potencjału napotykanych przy pełnym obejściu dowolnego oczka musi być równa zeru.

= 0 +

∑ ^U = ∑ ^E ∑ ^IR

Reguła oporu: Gdy przemieszczamy się wzdłuŜ opornika w kierunku przepływu prądu, zmiana potencjału wynosi -IR, przy ruchu w przeciwną stronę wynosi +IR.

Reguła SEM: W doskonałym źródle SEM zmiana potencjału wynosi +

ε

ε